3 ème Chapitre A 2 NOMBRES RATIONNELS, IRRATIONNELS PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS. 1) Schéma représentant les différents ensembles de nombres.

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1 1 I) Le point sur les nombres. 1) Schéma représentant les différents ensembles de nombres. entiers naturels IN entiers relatifs Z décimaux D rationnels IQ réels IR irrationnels

2 2 2) Définitions des différents types de nombres : Nombres entiers : Un nombre entier est un nombre tel que : En écriture fractionnaire, il peut s écrire sous la forme d une fraction décimale de dénominateur 1. En écriture décimale, sa partie décimale est nulle, il peut donc s écrire sans virgule. Nombres entiers naturels : Un nombre entier naturel est un nombre entier qui peut être égal ou supérieur à zéro. Exemples : 5 ; 0 ; 447 ; ; 52 1 Nombres entiers relatifs : Un nombre entier relatif est un nombre entier qui peut être supérieur, égal ou inférieur à zéro. Exemples : 8 ; 47 ; 0 ; ; 584 ; 17 1 ; 0 Nombres décimaux : Un nombre décimal est un nombre tel que : En écriture fractionnaire, il peut s écrire sous la forme d une fraction décimale. En écriture décimale, sa partie décimale est «finie» Exemples : 4.8 ; ; ; ; 6 ; 0 Nombres rationnels : Un nombre rationnel est un nombre tel que : En écriture fractionnaire, il peut s écrire sous la forme d une fraction. En écriture décimale, sa partie décimale présente une «période» qui se répète à l infini. Exemples : 8 5 ; 65 ; ; 0 ; ! Remarque : Les nombres entiers et décimaux sont des nombres rationnels particuliers.

3 Exemples : 8 = 8 1 = = = Nombres irrationnels : Un nombre irrationnel est un nombre qui n est pas rationnel : Il ne peut pas s écrire sous la forme d une fraction. En écriture décimale, sa partie décimale est infinie, et ne présente aucune «période». Exemples : 2 ; 3 ; 13 ; II)! Remarque : Un nombre peut s écrire avec un radical, et être rationnel : = = = 9 8 Diviseurs communs à deux nombres entiers. Dans tout cette partie, nous n utiliserons que des nombres entiers strictement positifs. 1) Diviseurs et multiples. Soit a et b deux nombres entiers strictement positifs. Df : b est un diviseur de a signifie qu il existe un entier strictement positif n tel que a = nb. On dit alors que a est un multiple de b.! Remarque : La division euclidienne de a par b donne un quotient entier égal à n, avec un reste nul : a b 0 n Exemples : Cherchons tous les diviseurs du nombre = 1 36 donc la liste des diviseurs de 36 ordonnée dans le sens 2 18 croissant est : ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; ( 36 est un multiple de chacun de ces 9 nombres.)

4 Cherchons tous les diviseurs de 41 : 4 41 = n a que 2 diviseurs : 1 et 41. C est un nombre premier. Df : Un nombre premier est un nombre entier strictement positif qui n est divisible que par lui- même et par 1. Liste des nombres premiers inférieurs à 50 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47! Remarque : Tous les nombres entiers sont divisible au moins par eux même et par 1. Rappels des critères de divisibilité : Par 2 : Un nombre entier est divisible par deux si et seulement si il se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8. Par 3 : Un nombre entier est divisible par trois si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Par 4 : Un nombre entier est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4. Par 5 : Un nombre entier est divisible par 5 si et seulement si il se termine par 0 ou 5. Par 9 : Un nombre entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Par 10 : Un nombre entier est divisible par 10 si et seulement si il se termine par 0. 2) Diviseurs communs à deux entiers. Df : Un diviseur commun à deux entiers a et b est un entier qui est à la fois diviseur de a et diviseur de b.! Remarque : 1 est un diviseur commun à tous les nombres entiers.

5 Df : Le PGCD de deux nombres entier a et b est le plus grand diviseur commun à a et b. Il est noté PGCD (a ; b). 5 Exemple : Liste de tous les diviseurs de 8 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 Liste de tous les diviseurs de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 Liste de tous les diviseurs communs à 8 et à 12 : 1 ; 2 ; 4 PGCD ( 8 ; 12 ) = 4 3) Nombres premiers entre eux, fractions irréductibles. Df : Deux nombres premiers entre eux sont deux nombres dont le PGCD est 1.! Remarque : Ils n ont pas d autres diviseurs communs que 1. Exemples : 7 et 10 sont premiers entre eux. 7 et 14 ne sont pas premiers entre eux. Df : Une fraction irréductible est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. Conséquence : Pour simplifier une fraction et la rendre irréductible, il faut chercher le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis décomposer chacun d entre eux sous la forme d un produit contenant ce PGCD. On peut alors simplifier la fraction par le PCGC. Exemples 2 est irréductible car PGCD ( 2 ; 3) = = = 4 4 est irréductible car PGCD ( 4 ; 3) = Le PGCD de 60 et 45 est 5 3 c est à dire 15.

6 III) Recherche du PGCD de deux nombres entiers en utilisant des algorithmes. 6 P.G.C.D. DE DEUX NOMBRES : Diviseurs de 72 : 1 ; 2 ; 3 : 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72 PROPRIETE 42 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42 Diviseurs de 40 : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ;10 ; 20; : 1 ; 2 ; 7 ; 14 ; 49 ; 98 Diviseurs communs à 72 et 40 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 42 et 98 : 1 ; 2 ; 7 ; 14 PGCD de 72 et 40 : 8 42 et 98 : = = 56 Diviseurs de 32 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; 56 Diviseurs communs à 40 et 32 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 42 et 56 : 1 ; 2 ; 7 ; 14 PGCD de 40 et 32 : 8 42 et 56 : 14 Règle: si a < b alors PGCD ( a ; b ) = PGCD ( a b ; b )

7 7 TECHNIQUES DE CALCUL DU P.G.C.D.DE DEUX NOMBRES Algorithme des différences On peut accélérer Algorithme d'euclide Différences dividende diviseur restes = = = = = = Le PGCD de 424 et 148 est la dernière différence non nulle Le PGCD de 424 et 148 est le dernier reste non nul. IV) Exemples d application. 1) Simplifier une fraction. Simplifier la fraction : Je calcule le PGCD ( 1078 ; 322 ) avec la méthode de l algorithme d Euclide. dividende diviseur reste PGCD ( 1078 ; 322 ) = : 14 = 77 et 322 : 14 = 23 donc = = 77 23

8 8 2) Problèmes se résolvant à l aide du PGCD. Pour le premier mai, Julie dispose de 182 brins de muguets et 78 roses. Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs. Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire? Quelle sera la composition de chaque bouquet? Je détermine le PGCD de 182 et 78 à l aide de l algorithme d Euclide. Dividende Diviseur Reste PGCD ( 182 ; 78 ) = 26 Julie pourra faire 26 bouquets identiques. 182 : 26 = 7 et 78 : 26 = 3 Chaque bouquet sera composé de 7 brins de muguets et 3 roses. Une pièce rectangulaire de 5,40 m de long et de 3 m de large est recouverte, sans découpe, par des dalles de moquette carrées, toutes identiques. Quelle est la mesure du côté de chacune de ces dalles sachant que l on veut le moins de dalles possible? Calculer alors le nombre de dalles utilisées. Je cherche le PGCD de 540 et 300 par la méthode de l algorithme d Euclide : Dividende Diviseur Reste PGCD ( 540 ; 300 ) = 60

9 9 Chaque dalle a pour mesure de côté 60 cm. 540 : 60 = 9 et 300 : 60 = 5 Il y aura 9 dalles dans la longueur, et 5 dalles dans la largeur. 9 5 = 45 Il y aura donc 45 dalles.