1. Signaux discrets particuliers. U[n] 1.1. Echelon unité. ev!w = f 1 2geh! 0 0 2geh! < 0 k Impulsion discrète. δ[n]

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1 k k. Signaux discrets particuliers.. Echelon unité U[n] ev!w = f 2geh! 0 0 2geh! < 0 k.2. Impulsion discrète kn δ[n] Représentation de l Echelon unité n #V!W = f 2geh! = 0 0 2geh! 0 k n.3. Signal rectangulaire Représentation de #V!W. Soit le signal rectangulaire suivant : 2geh%5! 5 П T (n)= m BN!g! 0 Le signal est de longueur 2 T + et d amplitude A= v. Signal rectangulaire en fonction d échelon unitaire est : П 2T (n) = U(n + T) U(n (T + )) Pour T = 2 2geh%2! 2 П 2 (n)= m BN!g! 0 Signal rectangulaire en fonction d échelon unitaire est : П 2T (n) = U(n + 2) U( n- 3 ) Signal rectangulaire en fonction d impulsion de Dirac est : П 2T (n) = δ(n + 2) + δ(n + ) + δ(n) + δ(n - ) + δ( n- 2 ) П 2 (n) -2 2 Représentation du signal rectangulaire. n /6

2 2 Produit de convolution des signaux discrets 2.. Définition Le calcul du produit de convolution de deux signaux discrets est donné par l équation suivante : y[n] = f [n] * f 2 [n] = f p]. f [ n p] [ 2 tous les p Propriétés de la convolution.. La commutativité f [k] * f 2 [k] = f 2 [k] * f [k].2. La distributivité ( f [k] + f 2 [k] )* f 3 [k] = f [k] * f 3 [k] + f 2 [k] * f 3 [k].3. L associativité f [k] * f 2 [k] * f 3 [k] = f [k] * (f 2 [k] * f 3 [k] ) = (f [k] * f 2 [k]) * f 3 [k].4. L élément neutre L'élément neutre du produit de convolution est l'impulsion de Dirac discrète ( δ [ n]) δ[ n]* f [ n] = f [ n] f [ n]* δ[ n n ] = f [ n 0 n 0 ] 3. Transformée de Fourier d'un signal discret : TFTD 3.. Définition Un signal discret est défini par une suite d échantillons espacés entre eux d une période Te. La transformée de Fourier appliquée à un signal discret x[n] devient donc : X ( f ) = + 2 jπ nf n + Fe 2 jπ x[ n]. e = x[ n]. e nfte n n Si cette série converge, la transformée de Fourier inverse est définie par : x[ n] = F Fe / 2 e Fe / 2 X ( f ). e nf 2 jπ Fe 3.2. Propriétés de la TFTD Globalement, la TFTD possède les mêmes propriétés que la TF. X(f) est une fonction complexe. X(f) est le spectre d amplitude et arg (X(f)) est le spectre de phase. 2/6

3 4. Transformée en z d une séquence : Le signal analogique est maintenant numérisé et transformé en une suite de valeurs numériques x[n] codées sur N bits qu on représente par des segments dont la hauteur est proportionnelle à la valeur binaire. C est une façon commode de représenter graphiquement une séquence numérique x[n] constituée des valeurs du signal x(t) aux instants t=0, Te, 2Te... On supposera que le signal x(t) est nul pour t< Définition. Soit une suite (x n ) n N. On appelle transformée en z de (x n ) n N la fonction, notée Z[x n ], de la variable complexe z définie, lorsqu il y a convergence, par : [ ] + = n = 0 n Z x n (z) x n z. 3/6

4 4.2 Propriétés de la transformée en z a) Linéarité Soit s (t) ets 2 (t) deux signaux quelconques possédant chacun une transformée en z, S (z) ets 2 (z). La transformée en z d une combinaison linéaire ls (t)+ms 2 (t) de ces deux fonctions est égale à ls (z)+ms 2 (z). b) Théorème du retard Soit s(t) un signal quelconque possédant une transformée en z, S(z) etsoitx(t) = s(t at e ) correspondant au même signal retardé d un temps at e. La transformée en z de s(t at e ) est égale à : c) Théorème de la valeur finale X(z) = z a S(z) Soit s(t) un signal quelconque possédant une transformée en z, S(z). Soit (s k ) la suite échantillonnée correspondant au signal s(t). Le théorème de la valeur finale permet de connaître la valeur vers laquelle tend la suite (s k ) lorsque k +, autrement dit lorsque t +. d) Multiplication par le temps lim s [( k = lim z ) S(z) ] k + z Soit s(t) un signal quelconque possédant une transformée en z, S(z).Soit x(t) le signal défini par x(t) = t s(t). Alors : X(z) = zt e ds(z) dz e) Changement d échelle Soit s(t) un signal quelconque possédant une transformée en z, S(z). Soit (s k ) la suite échantillonnée correspondant au signal s(t). Soit (x k ) la suite d échantillons définie par : x k = a k s k avec a 0 Le signal x(t) correspondant à la suite (x k ) possède une transformée en z telle que : ( z X(z) = S a) 4.3 Transformée en z de signaux usuels a) Impulsion unité L impulsion unité étant définie par : d k = pour k = 0 On a : D(z) = d k = 0 pour k 0 d k z k = z 0 = b) Échelon unité L échelon unité étant défini par : u k = pour k 0 On a : U(z) = z k = ( ) k = z z = z = z z 4/6

5 c) Rampe unité La rampe unité en temps continu est définie par : v(t) = t pour t 0 En remarquant que v(t) = t u(t) et en utilisant la propriété étudiée précédemment, on obtient : ( ) du(z) d z V(z) = zt e = zt e dz dz z soit : V(z) = zt e (z ) z (z ) 2 d où : V(z) = zt e (z ) 2 d) Exponentielle décroissante Soit s(t) le signal défini par s(t) = e at pour t 0. La transformée en z de ce signal a pour expression : S(z) = S(z) = e akte z k = e ate z ( e at e ) k z k = = eate z e ate z = 4.4 Algorithme de calcul et transmittance T(z) : z z e ate ( ) k e ate z L algorithme nous permet de calculer la valeur de l échantillon de sortie yn en fonction des échantillons d entrée et de sortie précédents. Le filtre numérique le plus général peut se décrire par un algorithme de calcul de la forme : La transmittance T(z) permet de synthétiser le filtre, de tracer son diagramme de Bode et d étudier ses réponses à une impulsion, à un échelon ou à une entrée quelconque. Pour passer de l algorithme, relatif au domaine temporel, à la variable z, on utilise la règle de passage très simple: 5/6

6 En utilisant cette règle, l algorithme se transforme en : Soit, après factorisation Ce qui donne la transmittance en z du filtre : 6/6