Cours de mathématiques - Alternance Gea Programmation linéaire à plusieurs variables

Transcription

1 Cours de mathématiques - Alternance Gea Programmation linéaire à plusieurs variables Anne Fredet 2 janvier 2006 Définitions Définition. Un programme linéaire est un programme consistant à trouver un extremum (maximum ou minimum) d une fonction à plusieurs variables, vérifiant en outre un système d équations ou d inéquations, ces fonctions étant linéaires. La méthode graphique devient difficile à réaliser lorsqu il y a 3 variables, et impossible s il y a plus de 3 variables. Il faut donc trouver une autre méthode : celle du simplexe. Sous sa forme la plus générale, le modèle de programmation linéaire est le modèle d optimisation suivant : minimiser (ou maximiser) z(x) = n c j x j i= fonction objectif sous les contraintes n a ij x j j= = b i i =,, m Les nombres c j, a ij, b i sont les paramètres du modèle, ils sont connus avant la résolution. Les variables de décision x j sont indéterminés à priori. Définition.2 On appelle : point réalisable tout point x qui satisfait aux contraintes,

2 espace réalisable ou polyhèdre des contraintes l ensemble des points réalisables, solution optimale un point réalisable qui optimise (maximise ou minimise) z(x) valeur optimale la valeur de z(x) atteinte pour toute solution optimale. 2 Méthode du simplexe 2. Idée On sait que la solution, si elle existe, se trouve au moins sur un sommet du domaine des solutions réalisables, la recherche de la solution optimale s effectue uniquement sur ces sommets. L algorithme du simplexe examine comme première solution un des sommets (en général l origine), qui constitue la solution de base de l algorithme. Puis il se déplace de sommet en sommet, afin d améliorer la fonction économique à chaque étape. Après un nombre fini d itérations, il arrive à un sommet à partir duquel tout déplacement vers un autre sommet n améliore plus cette valeur. On est alors au sommet optimal. 2.2 Système canonique Pour appliquer la méthode du simplexe, on suppose que le système est donné sous forme canonique, c est à dire qu il comprend une contrainte de positivité pour chaque variable et que les autres contraintes sont des inégalités majorantes. On suppose de plus que la fonction objectif est à maximiser : Définition 2. On appelle programme linéaire canonique un programme du type x 0. x n 0 a x + + a n x n b a p x + + a pn x n b p max(c x + + c n x n ). 2

3 Afin de résoudre ce système, on commence par transformer les inéquations du sysème en équations, en ajoutant de nouvelles variables appelés variables d écart. On obtient le système : x 0. x n 0 e 0. e p 0 a x + + a n x n + e = b a p x + + a pn x n + e p = b p max(c x + + c n x n ) On notera Z la fonction objectif : Z = c x + + c n x n. On va considérer ce système sous forme de tableau afin de le résoudre : x x 2 x n e e 2 e p e a a 2 a n b e 2 a 2 a 22 a 2n b 2... e p a p a p2 a pn 0 0 b p Z c c 2 c p Les variables correspondant à des coefficients non nuls de la fonction objectif sont des variables hors base. Elles ne figurent pas dans la première colonne. La solution de base est x = = x n = 0 et e = b,, e p = b p. Dans ce cas, la fonction économique vaut 0, les variables x i sont hors base Système générique On peut transformer certaines contraintes afin d obtenir un système générique :. Toute inégalité de la forme a x + a 2 x a n x n b peut être transformée en a x a 2 x 2 a n x n 3

4 2. Toute égalité de la forme a x + a 2 x a n x n = b peut être transformée en deux inégalités a x + a 2 x a n x n b et a x + a 2 x a n x n b, c est-à-dire a x + a 2 x a n x n b et a x a 2 x 2 a n x n b 2.4 Algorithme du simplexe L algorithme du simplexe consiste à parcourir le polyhèdre des points réalisables de sommet en sommet jusqu à ce qu on ne puisse plus améliorer la solution. Au point de départ, la fonction objectif est nulle, et il s agit de l augmenter. Si certains de ses coefficients sont positifs, il apparait clairement qu en augmentant l une des variables correspondant à un coefficients positifs, on augmente cette fonction objectif. On a donc un critère d obtention de l optimum : tant que la dernière ligne d un tableau du simplexe contient au moins un coefficient positif, la solution examinée peut être améliorée. Première étape : Recherche du pivot Le pivot est un coefficient du tableau qui permet, grâce à la méthode du pivot, d annuler tous les coefficients de la colonne contenant ce pivot, excepté cet élément qui est ramené à après division de la ligne le contenant par ce nombre.. Choix de la colonne pivot La colonne pivot est définie à partir des coefficients de la fonction économique. On cherche à se focaliser sur la variable qui, en augmentant, augmentera le plus possible la fonction objectif. Cette variable correspond au plus grand coefficient positif de la fonction objectif. Considérons les coefficients c,, c n de la fonction économique. Parmi tous les coefficients positifs, on considère le plus grand. La colonne pivot est la colonne qui le contient. S il existe plusieurs coefficients correspondant à cette valeur positive maximale, on peut choisir celui que l on veut. La variable correspondante sera la variable entrante car elle ne va plus s annuler. 4

5 Exemple 2. Si on considère le programme linéaire suivant : x 0, x 0, x 3 0 x + x 2 x 2 2 3x + 4x 2 2 x + x 2 3 max(3x x 2 + x 3 ) En introduisant les variables d écart, on obtient x 0, x 0, x 3 0 x + x 2 + e = x 2 + e 2 = 2 3x + 4x 2 + e 3 = 2 x + x 2 + e 4 = 3 max(3x x 2 + x 3 ) e 0, e 2 0, e 3 0, e 4 0 Le premier tableau se présente donc ainsi : x x 2 x 3 e e 2 e 3 e 4 e e e e Z Le plus grand coefficient positif de la fonction économique est c = 3. La colonne pivot est donc la première colonne. La variable x est donc entrante. 2. Choix de la ligne pivot La variable entrante va prendre la place d une des variables de base, appelé variable sortante. Il faut maintenant trouver quelle valeur maximum peut prendre cette variable entrante afin de maximiser la fonction objectif. Pour cela, chaque coefficient de la dernière colonne est divisé par le coefficient correspondant de la colonne pivot : si la colonne pivot 5

6 est a i a 2i. a pi c i, on calcule les rapports b j a ji pour j =,, p lorsque a ij > 0. On obtient de cette façon, pour chaque contrainte prise séparement, la valeur maximal que peut prendre la variable entrante. On sélectionne le plus petit rapport positif, correspondant à la contrainte la plus forte : on cherche l indice k tel que 0 b k a ki b j a ji en ne considérant les j que si a ij > 0. La k-ième ligne est la ligne pivot, et a ki est le pivot : la ligne pivot est la ligne k telle que b k a ki soit positif et minimal. La variable correspondant à cette ligne est la variable sortante. Exemple 2.2 Si on considère l exemple précédent, on avait le tableau suivant : x x 2 x 3 e e 2 e 3 e 4 e e e e Z La première ligne est la ligne pivot. Les seuls coefficients positifs non nuls de cette colonne sont a =, a 3 = 3 et a 4 =. Calculons les 6

7 rapports b j a j correspondants. On a b = a = b 3 = 2 a 3 3 = 4 b 4 = 3 a 4 = 3 Le plus petit rapport est le premier, donc la ligne pivot est la première. Le pivot associé est a =. La variable entrante est x et la variable sortante est e. Deuxième étape : Réduction du tableau On divise la ligne pivot par le pivot puis on annule ensuite les coefficients du tableau situés au-dessus et au-dessous du pivot, en soustrayant la ligne pivot aux autres lignes. x x 2 x 3 e e 2 e 3 e 4 x e e on effectue L 3 L 3 3L e on effectue L 4 L 4 L Z on effectue L 5 L 5 3L La solution correspondante est définie par x =, x 2 = x 3 = 0, e = 0, e 2 = 2, e 3 = 9 et e 4 = 2. La fonction économique vaut 3 en ce point. Troisième étape : Itération S il existe un coefficient c i positif dans le nouveau tableau, on retourne à la première étape (choix du pivot) puis à la deuxième (réduction du tableau). On réitère ce processus jusqu à ce que tous les coefficients de la fonction économique soient négatifs. Cela se produira forcément. Exemple 2.3 Si on reprend le tableau de l exemple précédent, on avait Il existe un coefficient c i positif, à savoir c 3 =. La troisième colonne est donc 7

8 la colonne pivot. Le seul coefficient positif de cette colonne est a 43 =, c est donc le pivot. On réduit le tableau et on obtient x x 2 x 3 e e 2 e 3 e 4 x e e x Z Tous les coefficients de la fonction économique sont négatifs, on a donc la solution optimale. Elle est définie par x =, x 2 = 0, x 3 = 2, e = 0, e 2 = 2, e 3 = 9 et e 4 = 0. Dans ce cas, max(3x x 2 + x 3 ) = Autre exemple On considère le programme linéaire suivant x 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0 3x + 2x 2 + 4x 3 + 3x x + 8x 2 + 0x 3 + 2x 4 20 x + x 2 + x 3 + x 4 5 max(6x + x x 3 + 8x 4 ) La résolution de ce programme nous donnes ces tableaux successifs : x 2 x 3 x 4 e e 2 e 3 e e e Z La solution correspondante est x = x 2 = x 3 = x 4 = 0 et e = 70, e 2 = 20, e 3 = 5. La variable entrante est x 4 et la variable sortante est e 2. x x 2 x 3 x 4 e e 2 e e x e Z on effectue L 2 L L on effectue L L on effectue L L 3 L on effectue L 4 L L 2 8

9 La solution correspondante est x 4 = 0, e = 40 et e 3 = 5, les autres variables étant nulles. La fonction économique vaut 80. On cherche le pivot, et on le trouve sur la première colonne, trosième ligne. La variable entrante est donc x et la variable sortante est e 3 : x x 2 x 3 x 4 e e 2 e 3 e on effectue L L 3L 3 x on effectue L L 2 7L x on effectue L L 5 3 Z on effectue L L 4 6L 5 3 Ce tableau est le dernier car tous les coefficients de la dernière ligne sont négatifs. La solution optimale correspondante est x = 2, x 4 = 3, e = 25. La fonction économique vaut en ce point Autre présentation On peut ne pas garder les variables de la base dans la première colonne. La solution correspondante est alors définie par les coefficients nuls de la fonction objectif. Les autres variables seront nulles. On considère le programme linéaire suivant x 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0 3x + 2x 2 + 4x 3 + 3x x + 8x 2 + 0x 3 + 2x 4 20 x + x 2 + x 3 + x 4 5 max(6x + x x 3 + 8x 4 ) La résolution de ce programme nous donnes ces tableaux successifs : x x 2 x 3 x 4 e e 2 e La solution correspondante est e = 70, e 2 = 20, e 3 = 5 (les coefficients de 9

10 la dernière ligne sont nuls) et x = x 2 = x 3 = x 4 = 0. On obtient ensuite x x 2 x 3 x 4 e e 2 e La solution correspondante est x 4 = 0, e = 40 et e 3 = 5, les autres variables étant nulles. La fonction économique vaut 80. Le dernier tableau est : x x 2 x 3 x 4 e e 2 e Ce tableau est le dernier car tous les coefficients de la dernière ligne sont négatifs. La solution optimale correspondante est x = 2, x 4 = 3, e = 25. La fonction économique vaut en ce point Contraintes saturées et gains marginaux Une contrainte est saturée au point solution si sa variable d écart est nulle en ce point. Les gains marginaux sont les nombres de la dernière ligne du tableau, situés dans les colonnes des variables d écart. Seuls les contraintes saturés conduisent à des gains marginaux non nuls. 2.8 Exercices Exercice 2. Résoudre le programme x, x 2, x 3 0 2x x 2 + 2x 3 7 2x 4x 2 2 4x + 3x 2 + 8x 3 0 max(2x + x 2 + x 3 ) 0

11 Exercice 2.2 Résoudre le programme x, x 2, x 3 0 x 00 x 2 50 x + x 2 + 2x x + x 2 + x max(3x + 4x 2 + 2x 3 ) Exercice 2.3 Résoudre le problème suivant en utilisant l algorithme du simplexe : Un artisan fabrique deux articles A et B nécessitant chacun deux opérations : un usinage et un traitement thermique. Le produit A subit un usinage d heure et un traitement thermique de 3h. B subit un usinage de 2h et un traitement thermique de 3h. De plus, 2kg de matière première entrent dans la composition de A et kg dans celle de B. La fabrication de B se termine par un travail de finition qui dure h. Toutes les 3 semaines, l artisan dispose de l atelier d usinage pendant 80h et du four pendant 50h. De plus, pendant cette période, il ne peut pas consacrer plus de 35h au travail de finition ni stocker plus de 80kg de matière première. Quelles quantités de A et B l artisan doit-il fabriquer pendant cette période si la marge bénéficiaire est de 30 euros pour l article A et de 20 euros pour l article B. 3 Méthode duale 3. Définition Si on compare le problème (P) : avec le problème (P2) maximiser z = n j= c jx j avec n j= a ijx j b i pour i =,, m minimiser z 2 = m i= b iy i avec m i= a ijy i c j pour j =,, n On dit que P et P2 sont le primal et le dual d un même programme linéaire. Le programme dual d un programme linéaire est un programme linéaire. Le

12 nombre de variables du dual est égal au nombre de contraintes du primal et le nombre de ses contraintes est égal au nombre de variables du primal. Par exemple primal dual variables :x, x 2 variables :y, y 2, y 3, y 4 contraintes : contraintes : a x + a 2 x 2 b a 2 x + a 22 x 2 b 2 a y + a 2 y 2 + a 3 y 3 + a 4 y 4 c a 3 x + a 32 x 2 b 3 a 2 y + a 22 y 2 + a 32 y 3 + a 42 y 4 c 2 a 4 x + a 42 x 2 b 4 fonction économique : fonction économique : z = c x + c 2 x 2 z 2 = b y + b 2 y 2 + b 3 y 3 + b 4 y 4 La résolution du primal donne la solution du dual et réciproquement. Les données du primal sont utilisées horizontalement pour l écriture du programme. Ces mêmes données sont utilisées verticalement pour l écriture du programme dual. De plus, le type d extremum du dual est le contraire de celui du primal. Si on considère le programme linéaire suivant : 2 variables indépendantes x et x 2 4 contraintes : 2x + x x + x x 400 x fonction économique : z = 20x + 30x 2 à maximiser La solution optimale de ce problème est x = 00 et x 2 = 700. Le programme dual du précédent est : 4 variables indépendantes y, y 2, y 3 et y 4 2 contraintes : 2y + y 2 + y 3 20 y + y 2 + y 4 30 fonction économique : z 2 = 000y + 800y y y 4 à minimiser 2

13 La valeur optimale de z 2 est On a : état initial x x 2 e e 2 e 3 e état optimal x x 2 e e 2 e 3 e La solution optimale qui donne z = est x = 00, x 2 = 700, e = 00, e 2 = 0, e 3 = 300 et e 4 = 0. En regardant la dernière ligne du tableau, on trouve les valeurs correspondant à la solution optimale du problème dual : y 2 = 20 et y 4 = 0, qui nous donne le bon résultat : z 2 = = On remarque que le dual du dual est le problème initial. 3.2 Exercices Exercice 3. Résoudre minimiser 80u + 50u u u 4 u 0, u 0, u 3 0, u 4 0 u + u 2 + 2u u + u 2 + u 3 + u Applications Exercice 4. Une usine produit deux modèles de machines, l une que l on appellera modèle A exige 2 kg de matière première et de 30 heures de fabrication et donne un bénéfice de 7 euros. L autre que l on appellera B exige 4 kg de matière première et de 5 heures de fabrication et donne un bénéfice de 6 euros. On dispose de 200 kg de matière première et de 200 h de travail. Quelle production doit on avoir pour obtenir un bénéfice maximal? Exercice 4.2 L entreprise Duralumin fabrique des pièces en inox, de trois types A, B et C ; elles sont fabriquées par lot de 50 dans un grand atelier où sont rassemblées deux machines de découpe de l inox, une emboutisseuse 3

14 et deux polisseuses ; chaque machine fonctionne 20 heures par mois. Les caractéristiques de fabrication sont rassemblées dans le tableau suivant : coût horaire lot A lot B lot C découpe 20 euros h, 5h, 5h emboutissage 30 euros 0, 5h h polissage 40 euros 2h h h inox (mat. première) 50 euros 85 euros 68 euros prix de vente (H.T.) 200 euros 200 euros 20 euros Quel est le programme de production optimal (pour un mois)? Exercice 4.3 Dans une cafétéria, on sert 2 sortes de désserts glacés, à base de cocktails exotiques, de glace et de fruits confits : la créole et la tropicale. La créole nécessite 8cl de cocktail exotique, 2dl de glace et 5g de fruits confits. La tropicale nécessite 5cl de cocktail exotique, 2dl de glace et 25g de fruits confits. Chaque jour, l atelier de patisserie peut préparer 600 cl de cocktail exotique, 520 dl de glace et 5 kg de fruits confits. Une créole est vendue,2 euros et une tropicale euro. Maximiser le profit. Exercice 4.4 Un agriculteur peut utiliser 2 type d engrais X et Y pour épandre sur ses cultures. Les besoins par an et par hectare de 60 kg de potasse, 20 kg de calcium et 90 kg de nitrates. Pour une meme quantité, les 2 types d engrais coutent la meme chose. Leur composition pour 0 kg est de : produit X : kg de potasse, 3 kg de calcium, 3 kg de nitrates et 3 kg de produit neutre produit Y : 2 kg de potasse, 2 kg de calcium, kg de nitrates et 5 kg de produit neutre Question : Comment fertiliser les cultures à moindre cout? Exercice 4.5 Ce problème a été donné au DECF La Société des Scieries Vosgienne (SSV) souhaite s apprivisionner en bois de différentes essences courantes. Compte tenu de la demande actuelle en bois scié, elle souhaite acquérir au moins 200m3 de chêne, au moins 60 m3 de hêtre et au moins 300m3 de sapin. Les prix au m3 sur la marché traditionnel sont de 40 euros pour le chêne, 90 euros pour le hêtre et 70 euros pour le sapin. Mais la SSV peut aussi profiter des offres de certains exploitants forestiers 4

15 dont les forêtes ont été dévastées par la tempête du 26 décembre 999 et qui proposent par lots, à moindre coût, du bois de qualité équivalente. Trois offres ont été sélectionnées : offre A : lots de 5m3 de chêne, 5m3 de hêtre, 20m3 de sapin. Prix d un lot : 3840 euros. offre B : lots de 6m3 de chêne, 8m3 de hêtre, 24m3 de sapin. Prix d un lot : 3960 euros. offre C : lots de 9m3 de chêne, 24m3 de hêtre, 2m3 de sapin. Prix d un lot : 2880 euros.. Déterminer le prix et la quantité de bois que souhaite acquérir la SSV, si elle se fournit sur le marché traditionnel et achète les quantités minimales qu elle désire acquérir. 2. L objectif des questions suivantes est de déterminer si la SSV a intérêt à se fournir sur la marché traditionnel ou à profiter des offres sélctionnées. On supposera dans ce qui suit qu elle choisit d acheter uniquement des lots A,B et C. (a) En notant respectivement a, b et c les quantités de lots A, B et C à acheter pour obtenir la quantité de bois désirée, écrire la forme canonique du programme P, établissant les contraintes et la fonction économique Z à minimiser pour satisfaire la SSV. (b) Écrire, sous forme canonique puis sous forme standard, le programme P, dual du programme P. On notera x, y et z les variables duales, e, e 2, e 3 les variables d écart du programme dual et Z la fonction économique du programme dual. (c) Établir les deux premiers tableaux permettant de résoudre le programme P par la méthode du simplexe. Indiquer soigneusement les variables entrantes et sortantes dans le premier tableau. (d) Le troisième tableau est le suivant : x y z e e 2 e 3 R 5 e z y Z i. Montrer que ce tableau correspond à l optimum, et déterminer les nombres de lots A, B et C que la SSV doit acheter pour minimiser ses coûts. 5

16 ii. Indiquer le prix minimum à payer par la SSV pour satisfaire ses besoins. Quel est alors, en pourcentage, le rabais obtenu par rapport au prix du marché traditionnel? iii. Si la SSV désire acheter le nombre de lots A,B et C lui permettant de minimiser ses coûts, la quantité de bois acheté correspond-elle exactement à la quantité souhaitee? 6

17 5 Solutions des exercices Solution 2. En ajoutant les variables d écart, on s intéresse au système suivant : x, x 2, x 3, e, e 2, e 3 0 2x x 2 + 2x 3 + e = 7 2x 4x 2 + e 2 = 2 4x + 3x 2 + 8x 3 + e 3 = 0 max(2x + x 2 + x 3 ) En appliquant l algorithme du simplexe, on obtient les tableaux suivants (le pivot est en rouge) x x 2 x 3 e e 2 e 3 e e e Z La solution de base est alors x = x 2 = x 3 = 0, e = 7, e 2 = 2, e 3 = 0, Z = 0. x x 2 x 3 e e 2 e 3 x e e Z La solution est alors x 2 = x 3 = e = 0, x = 7 2, e 2 = 5, e 3 = 24 et Z = 7. x x 2 x 3 e e 2 e 3 3 x e x Z La solution est alors e = e 3 = x 3 = 0, x = 3 2, x 2 = 24, e 2 = 77 et Z = 55. C est la solution optimale car tous les coefficients de la fonction économique sont négatifs ou nuls. 7

18 Solution 2.2 En ajoutant les variables d écart, on s intéresse au système suivant : x, x 2, x 3, e, e 2, e 3, e 4 0 x + e = 00 x 2 + e 2 = 50 x + x 2 + 2x 3 + e 3 = 200 2x + x 2 + x 3 + e 4 = 300 max(3x + 4x 2 + 2x 3 ) En appliquant l algorithme du simplexe, on obtient les tableaux suivants (le pivot est en rouge) x x 2 x 3 e e 2 e 3 e 4 e e e e Z La solution de base est alors x = x 2 = x 3 = 0, e = 00, e 2 = 50, e 3 = 200, e 4 = 300, Z = 0. x x 2 x 3 e e 2 e 3 e 4 e x e e Z La solution correspondante est e 2 = x = x 3 = 0, e = 00, x 2 = 50, e 3 = 50, e 4 = 00, Z = 600. x x 2 x 3 e e 2 e 3 e 4 e x x e Z La solution optimale est x = 50, x 2 = 50, x 3 = 0, Z = 750, e = 50, e 2 = 0, e 3 = 0, e 4 = 50 (tous les coefficients de la fonction objectif sont nuls). 8

19 Solution 2.3 On a le tableau suivant : article A article B dispo max usinage h 2h 80h traitement thermique 3h 3h 50h matière première 2kg kg 80kg finition h 35h marge Soit x la quantité d articles A et y la quantité d articles B fabriqués en trois semaines. On s intéresse donc au programme linéaire suivant : maximiser 30x + 20y x 0, y 0 x + 2y 80 3x + 3y 50 2x + y 80 y 35 c est-à-dire maximiser 30x + 20y x 0, y 0 x + 2y 80 x + y 50 2x + y 80 y 35 En ajoutant les variables d écart, cela nous donne le système suivant : maximiser 30x + 20y x 0, y 0, e 0, e 2 0, e 3 0, e 4 0 x + 2y + e = 80 x + y + e 2 = 50 2x + y + e 3 = 80 y + e 4 = 35 9

20 On obtient le tableau suivant : x y e e 2 e 3 e 4 e e e e Z Le pivot est sur la première colonne, troisième ligne. x est donc la variable entrante et e 3 la variable sortante : x y e e 2 e 3 e 4 e e x e Z Le pivot est maintenant sur la deuxième colonne, deuxième ligne. La variable entrante est y et la variable sortante est e 2 : x y e e 2 e 3 e 4 e y x e Z Les coefficients de la dernière ligne étant tous négatifs, l algorithme s arrète. La solution optimale est donc x = 30, y = 20, e = 0, e 4 = 5 et e 2 = e 3 = 0. Les contraintes deux et trois sont donc saturées. On retrouve bien les solutions obtenues par la méthode graphique. Solution 3. il suffit d effectuer la résolution de son dual : maximiser 30x + 20y x 0, y 0 x + 2y 80 x + y 50 2x + y 80 y 35 20

21 Le dernier tableau de l algorithme du simplexe est x y e e 2 e 3 e 4 e y x e Z La valeur minimale du problème initial est donc 300. Il correspond à u = 0, u 2 = 0, u 3 = 0 et u 4 = 0. Solution 4. Soit x le nombre d appareils de modèle A et y le nombre d appareils de modèle B. On s intéresse donc au système suivant : x 0, y 0 2x + 4y x + 5y 200 max(7x + 6y) En introduisans les variables d écart, on obtient x 0, y 0, e 0, e 2 0 2x + 4y + e = x + 5y + e 2 = 200 max(7x + 6y) La méthode du simplexe nous donne les tableaux suivants : qui nous donne x y e e Z e 2 y e x Z

22 On obtient e 2 e y x Z La solution optimale est donc x = 20 et y = 40. Le bénéfice est alors de 380 euros. Solution 4.2 Soient x, x 2, x 3 les quantités de pièces de type A, B, C fabriquées. Chaque pièce A coûte 20 euros pour la découpe, 0, 5 30 = 5 euros pour l emboutissage, 2 40 = 80 euros pour le polissage et 50 euros de matière première, soit 65 euros. Elle rapporte donc = 35 euros. Chaque pièce B coûte, 5 20 = 30 euros pour la découpe, 40 euros pour le polissage et 85 euros de matière première, soit 55 euros. Elle rapporte donc = 45 euros. Chaque pièce C coûte, 5 20 = 30 euros pour la découpe, 30 euros pour l emboutissage, 40 euros pour le polissage et 68 euros de matière première, soit 38 euros. Elle rapporte donc = 72 euros. On s intéresse au système suivant : x 0, x 2 0, x 3 0 x + 0, 5x 2 + 2x 3 20, 5x + x 3 20, 5x + x 2 + x 3 20 max(35x + 45x x 3 ) En introduisans les variables d écart, on obtient x 0, x 2 0, x 3 0, e 0, e 2 0, e 3 0 x + 0, 5x 2 + 2x 3 + e = 20, 5x + x 3 + e 2 = 20, 5x + x 2 + x 3 + e 3 = 20 max(35x + 45x x 3 ) En utilisant la méthode du simplexe, on considère le tableau suivant x x 2 x 3 e 0, e 2, e 3, Z

23 qui nous donne On obtient x x 2 e x 3 0, 5 0, 25 0, e 2 0, , e 3 0, , Z x e 3 e 2 x e x Z La solution optimale est donc obtenue en x = 0, x 2 = 80, x 3 = 40. Le bénéfice est alors de 6480 euros. Solution 4.3 Soit X le nombre de créoles vendues et Y le nombre de tropicales. On a 8X + 5Y 600 (cocktail) 2X + 2Y 520 (glace) 5X + 25Y 5000 (fruits) On veut maximiser la fonction, 2X + Y. On a les tableaux suivants : X Y 2nd membre rapports e e e /3 F En modifiant la ligne e, cela nous donne Y e 2nd membre rapports x 0, 625 0, e 2 0 0, 75 0, e 3 0 5, 625, F 0 2, 5,

24 En modifiant la ligne e 3, cela nous donne e e 3 2nd membre x 0 0, 2 0 0, e , 6 0, Y 0 0, 2 0 0, F 0 0, 2 0 0, On a donc X = 20 créoles et Y = 28 tropicales. Le profit est alors de 2720 euros (et il reste 24dl de glace) Solution 4.4 Soit x et y les quantités d engrais X et Y utiliser par an et par hectare. On veut alors : x + 2y 60 3x + 2y 20 3x + y 90 min(x + y) Solution 4.5. Sur le marché traditionnel, les 200m3 de chêne couteraient euros, les 60m3 de sapin couteraient euros et les 300m3 de sapin couteraient euros, soit un total de euros. 2. On s intéresse mainteant aux lots A,B et C (a) On cherche donc à minimiser Z = 3840a b c avec a 0, b 0, c 0 5a + 6b + 9c 0 (chêne) 5a + 8b + 24x 60 (hêtre) 20a + 24b + 2c 300 (sapin) (b) le dual P est donc maximiser Z = 200x + 60y + 300z x 0, y 0, z 0 5x + 5y + 20z 3840 avec 6x + 8y + 24z x + 24y + 2z

25 On obtient la forme standard en introduisant les variables décart : maximiser Z = 200x + 60y + 300z x 0, y 0, z 0, e 0, e 2 0, e 3 0 5x + 5y + 20z + e avec = x + 8y + 24z + e 2 = x + 24y + 2z + e 3 = 2880 (c) On a donc les tableaux suivants : x y z e e 2 e 3 e e e Z La variable entrante est donc z et la variable sortante est e 2. On obtient alors : x y z e e 2 e e z e Z , (d) Le troisième tableau est le suivant : x y z e e 2 e 3 R 5 e z y Z i. L optimum est atteint au troisième tableau car tous les coefficients de la fonction économique sont négatifs ou nuls. Le maximum de P est alors de euros. C est également le minimum du problème primal P. En dernière ligne du tableau 3, on lit que les valeurs des variables réeles du primal permettant d atteindre l optimum sont a = 0, b = et c = 3. Pour minimiser ses coûts, la SSV doit donc acheter 0 lot A, lots B et 3 lots C. Le prix correpondant est euros, ce uqi est plus intéressant qu au marché traditionnel. 25

26 ii. On cherche le rabais r tel que + r = On trouve r , 767. Le rabais est donc de 7,67%. iii. On a achete 3m3 de chêne en trop (cela se lit dans la première colonne de la dernière ligne du tableau 3. 26