-1- Version 8 mars 2005 Expérience no 9 VISCOSITE II MESURE DE LA VISCOSITE PAR ECOULEMENT CAPILLAIRE (VISCOSIMETRE D'OSTWALD)

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1 -1- Version 8 mars 2005 Expérience no 9 VISCOSITE II MESURE DE LA VISCOSITE PAR ECOULEMENT CAPILLAIRE (VISCOSIMETRE D'OSTWALD) A. THEORIE Définition du coefficient de viscosité η Un fluide (liquide ou gaz) possède toujours une certaine viscosité, c'est-à-dire la propriété d'agir par efforts tangentiels. Une plaque pouvant glisser sur une lame liquide (fig.1) sous l'action d'une force F horizontale se met en mouvement, ce qui crée de la part du liquide des forces de frottement visqueuses agissant suivant le plan de la plaque (tangentiellement) et dont la résultante W s'oppose à F. La vitesse de la plaque va d'abord croître, mais, comme W croît également, au bout d'un temps relativement court, W sera égale à F et la résultante des forces agissant horizontalement étant nulle, la vitesse se stabilisera à la vitesse limite v (force nulle, i.e. accélération nulle). L'expérience montre que W est proportionnelle d'une part à la surface S, ce qui est naturel puisque sur chaque élément de surface le phénomène est le même et, d'autre part, à la variation de la vitesse dans la direction perpendiculaire au mouvement, c'est-à-dire au gradient de vitesse suivant z. Dans notre cas, la vitesse des couches liquides en contact avec le support est nulle et elle croît de façon approximativement linéaire, jusqu'à la vitesse v des couches supérieures en contact avec la plaque en mouvement. Le gradient sera donc égal à v/zo. On peut donc écrire W = ηs v z o où η est un coefficient de proportionnalité qui dépend du liquide et qui est par définition le coefficient de viscosité du liquide. Plus généralement pour un gradient quelconque, v/zo doit se remplacer par dv/dz; on prend la tension tangentielle τ = W/S comme grandeur significative des effets de viscosité et on écrit: τ = η dv dz L'unité de η est la poise: 1 poise = 1 g cm -1 s -1. Dans le système SI, l'unité s'exprime en kg/(m s); elle peut s'exprimer en Pa s. (1 poise = 10 -l Pa s).

2 -2- Viscosimètre d'ostwald a) Généralités Une technique possible pour mesurer le coefficient de viscosité η est l'emploi d'un tube capillaire vertical, de rayon intérieur r et de hauteur L, à travers lequel on vide le liquide contenu dans un réservoir de volume V. On montre dans l'appendice que le débit du tube, lorsque le niveau du liquide dans le réservoir est à une hauteur z au-dessus de l'entrée du tube, est donné par: Q(z) = πρgr4 (L + z) où ρ: masse volumique du liquide g: accélération de la pesanteur Remarque: En notant S la section intérieure du tube capillaire, la formule ci-dessus s'écrit: r2 Q(z) = (ρgsl +ρgzs) Le premier terme de la parenthèse représente le poids de la colonne de liquide dans le tube. Le second représente la force exercée par la pression hydrostatique ρgz sur la section S. On voit ainsi que le débit d'un tube cylindrique de rayon r et de longueur L est donné de manière générale par: r2 Q = F où F est la résultante des forces extérieures agissant sur le liquide η est le coefficient de viscosité du liquide. Un cas particulier très connu est celui du tube placé horizontalement, les forces extérieures étant exprimées au moyen des pressions p 1 et p 2 à l'entrée, respectivement à la sortie du tube: Q = πr4 ( ) p 1 p 2 c'est la formule de Poiseuille-Hagen. (voir appendice Viscosité I) Il est utile de se rappeler que Q est proportionnel à r 4! b) Cas d'un réservoir sphérique de rayon R En partant de l'expression citée ci-dessus pour Q(z) et de la relation: Q(z) = dv/dt (V=volume) On calcule le temps T mis par le liquide pour évacuer le

3 -3- réservoir sphérique de rayon R: T 2R dv T = dt = 0 = z=0 Q(z) ρgr 4 2R(R + L) L(L + 2R) ln L + 2R L Les grandeurs T, L, ρ, g, r, R étant mesurées, on en tire la valeur de η. Pratiquement, on construit des tubes tels que L» R. Dans ce cas, la variation de la somme des forces extérieures agissant sur le liquide dans le tube capillaire est petite. On peut faire l'approximation d'un débit moyen constant: Q = V T = πρgr4 (L + R) 1) L'expression pour Q s'obtient soit directement à partir de la formule pour Q(z) p.2, soit en effectuant un développement limité en R/L dans la formule pour T ci-dessus. On trouve dans ce cas que la viscosité est donnée par: η = πρtgr4 (L + R) 2) 8VL B. EXERCICES 1. Vérification de la loi de Poiseuille-Hagen Déterminer préalablement le volume V et le rayon R du réservoir sphérique des trois viscosimètres en mesurant la masse de l eau qu il peut contenir. On veille à maintenir la température du liquide constante durant tout cet exercice. Pour des tubes de même longueur le rapport entre le débit et la quatrième puissance du rayon doit être constant: Q/r 4 = const. (Poiseuille-Hagen) Vérifier qu'il en est bien approximativement ainsi dans notre cas (pour calculer Q utiliser l éq. 1)). 2. Mesure de la variation de la viscosité η de l'eau avec la température θ: η = f(θ). Utiliser le tube le plus étroit dans cette exercice (ceci permet de négliger l énergie cinétique mise en jeu dans le liquide à l entrée et à la sortie du tube, correction de Hagenbach). η est proportionnel au temps T. On peut donc écrire η = C T, où C est la constante de proportionnalité (identifier cette dernière dans l éq. 2)). Ayant déterminé la valeur de la constante C, on peut déterminer facilement η aux différentes températures en mesurant le temps d'écoulement T (la constante C est approximativement indépendante de la température). On choisit 10 températures θ différentes comprises entre 5 et 50 C environ. Reporter ln η (ln = logarithme naturel) en fonction de l'inverse de la température absolue, ln η = f(1/θ), ce qui donne approximativement une droite.

4 -4- η = Ae E act Rθ ln η = E act R 1 θ + ln A La pente de cette droite est ln η (1 / θ) = E act R, où R = [J mole -1 K -1 ] est la constante des gaz. La pente permet de déterminer l'énergie d'activation E act (pour la signification de E act, voir introduction Viscosité I). Comme E act est une fraction de la chaleur de vaporisation Q vap, on peut écrire: E act = Q vap n où n est un nombre compris entre 1 et 5 généralement. Déterminer n pour l'eau. Q vap de l eau vaut J/mole. 3. Mesure de la viscosité η d'une solution de sucre dans l'eau en fonction de la concentration. La mesure se fait avec le tube de plus faible diamètre et en tenant compte cette fois de la variation de la densité ρ de la solution. Selon l équation 2) on a que η = C T. Jusqu'ici on a utilisé de l'eau. Donc: η(ρ) = C'ρT où C' = C ρ(h 2 O) Connaissant la concentration γ en sucre de la solution, la densité ρ de la solution s'obtient à partir des tables. Les mesures se font pour les concentrations en poids suivantes: γ = 0%, 5%, 10%, 15% (en poids) de sucre. Rappel: γ = poids de sucre poids eau + sucre A la fin de chaque mesure, remettre la solution dans la bouteille correspondante. A la fin de l expérience, il faut absolument rincer les capillaires, car le sucre risque de les boucher! Donner les résultats sous forme d'une représentation graphique η = f(γ ). Astuce: Pour gagner du temps, la viscosité pour γ =0 peut être reprise de l exercise 2.

5 -5- APPENDICE Détermination de Q(z) On se place dans la situation d'un écoulement laminaire. Le débit pour une couronne de rayons x, d'épaisseur dx, s'écoulant à la vitesse v(x,z) s'exprime par: dq = 2π x dx v(x,z) D'où le débit pour un z donné: r Q(z) = dq o La vitesse mouvement. v(x,z) s'obtient par résolution de l'équation du Les forces agissant sur une colonne de liquide de rayons x, sont: i) le poids G = π x 2 (L+z)ρg ii) la force de frottement visqueux W = 2π x L τ avec pour la tension tangentielle τ: A l'équilibre W = G d'où Ainsi τ = η dv(x,z) (signe ( ) puisque dv dx dx < 0) dv(x,z) = ρg(l + z)x 2Lη dx v(x, z) = ρg (L + z)x2 + 4Lη La condition aux limites vaut: v(r,z) = O ce qui fixe la valeur de la constante. et finalement v(x, z) = ρg 4η L + z (r 2 x 2 ) L const. Introduisant cette égalité dans l'expression pour dq, et intégrant, il vient r r ρg Q(z) = dq = 2πx 0 (L + z)(r2 x 2 )dx 0 4ηL soit Q(z) = πρgr4 (L + z)