1. Exposants non entiers Taux d évolution moyen et moyenne géométrique Indice de base Approximation d un taux d évolution 22

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1 TAUX D ÉVOLUTION SÉQUENCES. Exposants non entiers 6 2. Taux d évolution moyen et moyenne géométrique 8 3. Indice de base Approximation d un taux d évolution 22 EXERCICES Pour démarrer 27 Pour faire le point 3 Pour s entraîner 34 VERS LE BACCALAURÉAT 32 TRAVAUX DIRIGÉS Euros courants et euros constants 25

2 SÉQUENCE Activité Exposants non entiers Exposants n A Recopier et compléter :. (a 2 ) 3 = a 2. a. (5 2 ) 3 =5 ; b. (5 2 ) =5 8 ; c. (5 2 ) =5 4 ; d. (5 2 ) =5 2 ; e. (5 2 ) =5 ; f. (5 3 ) =5. B Voir Les Indispensables n 24 p. 4. Chercher le nombre positif x tel que x 2 = 6, c est chercher le nombre positif dont le carré vaut 6. On le note 6 ou 6 2. On a alors x =6 2 =4 et ( 6 2) 2 =6 = 6. De même, 27 3 est le nombre qui, élevé au cube, donne 27. Ainsi ( 27 3) 3 = 27.. À l aide de la calculatrice, donner la valeur des nombres suivants : a. 8 3 ; b. 6 4 ; c ; d À l aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie au dixième de : a ; b. 5 ; c. 325 ; d. 000 C. Recopier et compléter : a. ( 3 4) 4 =3 4 =3 =3; b. (,5 2) 2 =,5 = 2. Recopier et compléter : a. ( 0 3) =0; b. (5 ) 4 =5; c. ( ) 4 =3. 3. Recopier, compléter et donner la valeur exacte de x : a. ( ) 3 = 5 donc si x 3 = 5 alors x = ; b. Si x 5 = 3 alors x = Cours Pour a > 0 et n entier naturel non nul : a = a et (a n ) n = a. Pour x >0: si x n = a alors x = a n n ; si x = a alors x n = ( a n) n = a n n = a = a. EXEMPLE ( 2 5) 5 =2 5 5 =2 =2. 6 Taux d évolution

3 SÉQUENCE Exercices d application Résoudre une équation du type x n = b exercice résolu a. Déterminer la valeur exacte de x tel que x 0 =,2. b. À l aide d une calculatrice, déterminer la valeur arrondie au millième de x tel que x 0 =,2. Solution a. On a x 0 =,2 donc (x 0 ) 0 =,2 0 ce qui donne x =,2 0. b. Il suffit d effectuer à la calculatrice :, 2 ^ ( / 0 ) =. On obtient à l écran, ce qui donne au millième x, Reprendre le en donnant, à l aide d une calculatrice, la valeur arrondie au millième de x.. Déterminer la valeur exacte de x tel que : a. x 5 =,2 ; b. ( + x) 24 =,542 ; c. ( + x 00 ) 0 = 3,06. VOIR EXERCICES N 29 à 3 PAGE 28 Exercices d application 3 Calculer le pourcentage d augmentation exercice résolu Le nombre d adhérents d un club de hip-hop augmente de x % tous les ans sur une période de huit ans. Au bout de ces huit années, le nombre d adhérents a été multiplié par 2,3. Calculer le pourcentage d augmentation annuel de ce nombre (arrondir au millième). Solution Quand on augmente de x % par an, le coefficient multiplicateur est ( + x 00 ) par an. Au bout des huit années, on a un coefficient multiplicateur de ( + x 00 ) 8. On a donc à déterminer x tel que ( + x 00 ) 8 = 2,3. Ce qui donne (arrondi au millième) : ( + x 00 ) = 2,3 8 =,097. Vérifier les calculs en effectuant à la machine, On obtient + x 00 = + 0,097=+ 0,97 00, ce qui donne x 0,97, soit un pourcentage d augmentation de 0,97 %. 4 Dans une région, le nombre d agriculteurs diminue de x % tous les ans sur une période de 5 ans. Au bout de ces 5 ans, le nombre d agriculteurs a été multiplié par 0,75. Calculer le pourcentage de diminution annuel (arrondir au millième). 5 Le nombre de poissons-chats dans un marais augmente de x % tous les ans sur une période de 0 ans. Au bout de 0 ans, le nombre de poissons a été multiplié par,4. Calculer le pourcentage d augmentation annuel (arrondir au millième). Voir Les Indispensables n 3 et 4 pp. 8 et 9. VOIR EXERCICE N 62 PAGE 35 Taux d évolution 7

4 Activités 2 Taux d évolution Taux d évolution moyen et moyenne géométrique Le tableau suivant donne la fréquentation à midi de la cantine d un lycée du lundi au mercredi : SÉQUENCE 2 Voir Les Indispensables n 2 p. 8. Lundi Mardi Mercredi A. Calculer la variation absolue entre lundi et mardi. 2. Calculer la variation relative entre lundi et mardi ( c est-à-dire calculer ). Cette variation est le taux d évolution entre lundi et mardi. L exprimer sous forme décimale, puis en pourcentage. Trouver le coefficient multiplicateur correspondant. 3. Calculer le taux d évolution entre mardi et mercredi. B. Le taux d évolution entre lundi et jeudi est 3,5 %, calculer la fréquentation de la cantine le jeudi. 2. Le taux d évolution entre mardi et vendredi est + 0,02, calculer la fréquentation de la cantine le vendredi. 3 Moyenne géométrique En 2004, il y avait 250 adhérents dans un club de tennis. Ce nombre a augmenté de 4 % en 2005 et ensuite baissé de 5 % en A Recopier et compléter le tableau suivant : Année Variation en % Taux d évolution Coefficient multiplicateur Effectif hausse de 4 % t = k = 2006 baisse de 5 % t 2 = k 2 = Résumé des deux évolutions de % T = K = B. a. Déterminer la valeur arrondie au millième du nombre k tel que k 2 = K. b. En déduire la valeur arrondie au millième du nombre t tel que ( + t) 2 = K. 2. Si le taux d évolution du nombre des adhérents de ce club avait été de t par an sur ces deux années, quel serait le taux global d évolution? Le nombre t est le taux moyen annuel d évolution entre 2004 et C Recopier et compléter le tableau suivant (on remplacera t par la valeur trouvée précédemment) : Année Variation en % Taux d évolution Coefficient multiplicateur Effectif de % t = k = 2006 de % t = k = Résumé des deux évolutions de % T = K = Quel résultat ce tableau permet-il de vérifier? 8 Taux d évolution

5 SÉQUENCE 2 Cours Taux d évolution et coefficient multiplicateur Si une quantité varie de y à y 2, le taux d évolution entre y et y 2 est le nombre t tel que : ( + y t) y y 2, on a alors 2 y =+t ou encore t = y 2 y y. +t est le coefficient multiplicateur. Taux global et taux moyen d évolution à l issue de deux évolutions successives Si une quantité subit deux évolutions successives à des taux respectifs t et t 2, le taux global est T ; il vérifie +T =(+t ) ( + t 2 ). On appelle taux moyen d évolution le taux unique t qui, répété deux fois, fournit le même résultat que les deux évolutions successives, c est-à-dire que + T =(+t) 2. Autrement dit : ( + t) 2 = ( + t )( + t 2 ) ce qui donne +t = ( + t ). ( + t 2 ) On dit que + t est la moyenne géométrique de ( + t ) et ( + t 2 ). t est le taux moyen d évolution : il s interprète en terme de hausse ou de baisse en pourcentage. Exercices d application 6 Calculer des taux d évolution exercice résolu En 2004, le taux d augmentation du prix d un livre était de + 0,0 et en 2005, pour le même livre, le taux d évolution était de 0,05.. Calculer le taux global T correspondant à ces deux évolutions successives. Interpréter ce taux en terme de hausse ou de baisse en pourcentage. 2. Calculer le taux moyen annuel t d évolution durant cette période (arrondir au centième) et l interpréter ensuite en terme de hausse ou de baisse en pourcentage. Utiliser les coefficients multiplicateurs. Solution. Le coefficient multiplicateur global est ( + 0,0) ( 0,05) =,045 =+0,045. Le taux global est donc T = + 0,045 ce qui correspond à une augmentation globale de 4,5 %. 2. On est ramené à résoudre l équation ( + t) 2 =,045, ce qui donne + t =,045,022 donc t + 0,022 d où t 2,2 %. Le taux moyen annuel d évolution durant cette période est d environ + 0,022 ce qui correspond à une augmentation de 2,2 % en moyenne par an. 7 c. Combien y a t-il de rats dans ce laboratoire au On considère une population de 00 rats de bout de deux ans? Quel est le taux global T d évolution de la population de rats sur ces deux années? laboratoire qui s accroît de 2 % la première année et de 5 % l année suivante. 2. Quel est le taux annuel moyen t d accroissement. a. Quel est le coefficient multiplicateur correspondant à la hausse de 2 %? Quel est le taux d évolu- de la population de rats sur ces deux années? 3. En considérant ce taux annuel moyen d accroissement, combien peut-on prévoir de rats au bout de tion t de la population de rats la première année? b. Quel est le coefficient multiplicateur correspondant à la hausse de 5 %? Quel est le taux d évolu- cinq années d étude? tion t 2 de la population de rats la deuxième année? VOIR EXERCICES N 35 à 4 PAGES 28 et 29 Taux d évolution 9

6 SÉQUENCE 3 Activité 4 Le zoo Indice de base 00 A Le tableau ci-dessous indique le nombre d animaux dans un zoo. Année Population Indice 00 Quel est le taux d évolution du nombre d animaux entre 2000 et 200? Interpréter ce taux en terme d augmentation ou de diminution en pourcentage. B. Si la population du zoo avait été de 00 animaux en 2000, quel aurait été le nombre d animaux en 200 avec le taux d évolution trouvé en A? Recopier et compléter alors la case correspondante du tableau. Cette valeur trouvée est appelée indice de cette population en 200 avec pour base 00 en Recopier et compléter la troisième ligne du tableau, selon le même principe qu en A. 3. Donner la signification des indices trouvés en 2002, en 2003 et en Cours Un indice traduit l évolution d une quantité par rapport à une quantité de référence. Calcul de l indice L indice i d une quantité y 2 par rapport à une quantité y est : i = y 2 y 00. La connaissance d un indice permet de connaître le coefficient multiplicateur k et donc le taux d évolution t : k = y 2 y = i et k =+t. 00 Astuce : k = + t y y 2 00 i Remarque Si on étudie, par exemple, la consommation d électricité en France et que l on affecte l indice 00 à l année 2004, cela signifie que la référence est la quantité d électricité consommée en EXEMPLE Si en 2006, une quantité a augmenté de 5 % par rapport à l année de référence 2000 (indice 00), on dit que l indice de cette quantité est de 5 en Attention! Un indice de 5 correspond à un taux d évolution de + 5 % (= + 0,5) et non de 5 %. 20 Taux d évolution

7 SÉQUENCE 3 Exercices d application 8 Trouver l indice On donne le tableau suivant : exercice résolu Année Quantité 600 Q 820 Indice 00 2 i. Calculer les valeurs Q et i de ce tableau. Astuce : on a un tableau de proportionnalité (voir le cours)! 2. Donner le taux d évolution entre 2003 et 2004 puis celui entre 2003 et Trouver les coefficients multiplicateurs. Solution. On a 600 = Q 00 2 donc Q = = 792 ; de même i = = 3, Un indice de 2 correspond à une augmentation de 2 % donc le taux d évolution entre 2003 et 2004 est de + 2 %, c est-à-dire de + 0,2. De même entre 2003 et 2005, il est de + 3,75 % ou de + 0, On donne le tableau suivant : Année Quantité Q 200 Q 2 Indice Calculer les valeurs Q et Q 2 de ce tableau. 2. Donner le taux d évolution entre 2003 et 2004 puis celui entre 2003 et Évolution d un prix de vente Une entreprise a mis sur le marché en janvier 2004 un nouvel outillage. Elle l a proposé aux prix suivants : Année Prix Parallèlement, l indice des prix des produits manufacturés était le suivant : Année Indice des prix 00 05,3. Quel est le taux d évolution du prix de l outillage proposé par l entreprise entre 2004 et 2005? 2. Peut-on dire que le prix de cet outillage a augmenté plus vite ou moins vite que l indice des prix? Comparer les taux d évolution. Le graphique ci-dessous indique l évolution des ventes (en milliers) entre 200 et 2002 de produits multimédia dans un magasin CD audio CD Rom DVD Cassettes vidéo En prenant l indice 00 pour l année 200, calculer pour chacun de ces produits l indice en Calculer le taux d évolution de chacun de ces produits entre 200 et VOIR EXERCICES N 2 à 24 et 42 à 48 PAGES Taux d évolution 2

8 SÉQUENCE 4 Approximation d un taux d évolution Activités 5 Petits taux A Approche La population de la ville A a augmenté de % par an pendant deux ans entre 2004 et La population de la ville B a augmenté de 30 % par an pendant deux ans sur la même période. Anne habite dans la ville A et dit que la population de sa ville a augmenté de 2 % sur cette période (elle fait le calcul : % 2=2%). Blanche habite dans la ville B et dit que la population de sa ville a augmenté de 60 % sur la même période (elle fait le calcul : 30 % 2=60%).. Pour chacune des deux villes, quel est le coefficient multiplicateur correspondant à l augmentation entre 2004 et 2006? En déduire le taux d évolution correspondant. 2. Qui de Anne ou de Blanche est la plus proche de la vérité? B Approximation. Recopier et compléter le tableau suivant : Taux t ( + t) 2 +2t ( + t) 2 (+2t) t 2 0,200 0,00 0,050 0,00 0,005 0,000 Expliquer pourquoi les résultats des deux dernières colonnes sont identiques. 2. Parmi les phrases suivantes, indiquer celle qui vous semble correcte : a. Pour toutes les valeurs de t, ( + t) 2 = + 2t ; b. ( + t) 2 + 2t pour toutes les valeurs de t ; c. ( + t) 2 + 2t si t est voisin de zéro. Voir l interprétation en terme de fonctions dans le TD p. 75. C Évolutions successives Recopier et compléter le tableau ci-dessous. On note k le coefficient multiplicateur correspondant à deux augmentations successives au taux t et k' le coefficient multiplicateur correspondant à une seule évolution au taux 2t. Taux d évolution t k k' Différence k k' Différence en % + 40 %,96,8 0,6 6,00 % + 20 % + 5 % + 0 % +5 % +2 % + %. Que peut-on dire à la lecture de ce tableau? 2. Quel est le lien entre ce tableau et le précédent? Pour deux évolutions successives au taux t, le coefficient multiplicateur est ( + t) Taux d évolution

9 SÉQUENCE 4 6 Taux réciproque ( + t) Pour une évolution au taux t, on multiplie par + t : x Pour retrouver la valeur de départ, on divise par + t : y. x y. +t A. Un prix x a subi une évolution au taux t, le nouveau prix est y. On a (choisir la bonne réponse) : a. y = tx ; b. y = x + t ; c. y =(+t)x. 2. De même avec : a. x = y ; b. x = y tx ; c. x = y. +t t Voir Les Indispensables n 6 p. 9. Dans un premier temps, on pourra prendre des valeurs particulières, par exemple t = 0,0 et x = 0, 50. B. Recopier et compléter le tableau ci-contre. Taux t /( + t) t Différence 2. Parmi les phrases suivantes, indiquer celle qui + 20 % 0, ,80 0, vous semble correcte : + 5 % a. Pour toutes les valeurs de t, = t ; + 0 % +t +5 % b. t pour toutes les valeurs de t ; +t + 2 % + % c. t si t est voisin de zéro. +t C Dans quels cas peut-on dire qu une hausse de t % est à peu près compensée par une baisse de t %? 7 Variations relatives successives A. En 2004, le prix d un article était 50. Ce prix a augmenté de 20 % entre 2004 et Calculer le prix de cet article en Assia affirme «puisque le prix a augmenté de 20 % sur deux ans cela revient au même que s il avait augmenté chaque année de 0 %». A-t-elle raison? B. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. On note k le coefficient multiplicateur correspondant à l évolution au taux t et k' le coefficient multiplicateur correspondant à deux évolutions successives au taux t. 2 Taux t k Prix correspondant k' Prix correspondant Différence de prix + 0,40,40 50,40 = 20,20 2 =,44 50,44 = = 6 + 0,20 + 0,0 + 0,05 + 0,04 + 0,02 + 0,0 2. Que faut-il modifier dans la phrase d Assia pour qu elle devienne correcte? Taux d évolution 23

10 SÉQUENCE 4 Cours Formule d approximation locale Pour t proche de zéro ( + t) 2 + 2t. Application aux petits taux Pour t voisin de zéro Deux évolutions successives au taux t correspondent approximativement à une évolution au taux 2t. Pour t proche de zéro +t t. Pour t voisin de zéro Le taux réciproque d une évolution au taux t est approximativement de t. Attention! Ces approximations sont vraies seulement si t est très proche de 0. Exercices d application 2 Manipuler des petits taux exercice résolu. Le prix d un minerai a subi une évolution de+% durant deux années consécutives. a. Quel est le taux d évolution global sur cette période de deux ans? b. Donner directement une valeur approchée du taux d évolution au bout des deux années. Justifier la réponse et interpréter ce résultat en terme de hausse ou de baisse en pourcentage. 2. Le prix d un minerai a subi une augmentation de 2 % entre 2005 et a. Quel est le taux d évolution sur cette période? b. Donner directement une valeur approchée du taux réciproque entre 2006 et Justifier la réponse et interpréter ce résultat en terme de hausse ou de baisse en pourcentage. Solution. a. L augmentation est de % sur deux ans ce qui donne un taux d évolution de + 0,0 chaque année. Le coefficient multiplicateur global est donc ( + 0,0) 2 =,020 = + 0,020 ce qui correspond à un taux global de + 0,020, soit une hausse de 2,0 %. b. Ce taux étant voisin de zéro, on peut dire que le taux d évolution sur deux ans est de l ordre de 2 0,0 = + 0,002, ce qui correspond à une hausse d environ 0,2 %. 2. a. L augmentation est de 2 % entre 2005 et 2006, ce qui donne un taux d évolution de + 0,02 pour cette période. b. Ce taux étant voisin de zéro, on peut dire que le taux d évolution réciproque entre 2006 et 2005 est approximativement 0,02, ce qui correspond à une baisse d environ 2 %. 3 Prix d un CD Un CD coûte 5. Son prix augmente deux fois de suite de 0,5 %.. Donner l ordre de grandeur de l augmentation en pourcentage et, à l aide de cette approximation, calculer le nouveau prix du CD. 2. Calculer la valeur exacte du nouveau prix du CD. 3. Comparer les résultats des questions et 2. VOIR EXERCICES N 50 et 5 PAGE Taux d évolution

11 TRAVAUX DIRIGÉS TD OBJECTIF Euros courants et euros constants Comment passer d euros courants à des euros constants. Vocabulaire Lorsque des calculs sont effectués en euros constants, cela signifie que l on a éliminé l impact de l inflation. Une donnée en volume est une donnée en euros constants. Lorsque les calculs sont faits en euros courants, cela signifie qu ils sont faits avec les prix de l année, ceux affichés sur les étiquettes. Une donnée en valeur est une donnée en euros courants. Énoncé Passer d euros courants (ou d une donnée en valeur) à des euros constants (ou d une donnée en volume) correspond à une même opération : éliminer l inflation. Avec effet prix Euros courants Valeur Questions Sans effet prix Euros constants Volume A. Valeur de PIB Le tableau ci-dessous donne la valeur du PIB de la France entre 2003 et PIB en milliards d euros constants 557,2 638,0 Taux de croissance annuel en valeur (%),5 5,2 Indice des prix 00,2 3,8 PIB en volume aux prix de ,36 Taux de croissance annuel en volume (%) aux prix de 995 0,5 L année 995 servira de référence pour la suite de l exercice.. Expliquer le calcul qui mène à 5,2 2. On donne la formule : Source : Insee. Avec l indice des prix de l année 995 pris comme base 00, pour une année x donnée : PIB de l année x en volume au prix de 995 = PIB en valeur de l année x ( indice du prix de l année x ) 00. a. Expliquer le calcul qui mène à 400,36. b. Calculer le PIB en volume en Calculer le taux de croissance annuel en volume au prix 995 (en %) pour Taux d évolution 25

12 TRAVAUX DIRIGÉS TD On pourra compléter les tableaux en s aidant d une calculatrice ou d un tableur. B. Prix du timbre poste. Évolution du prix Le tableau ci-dessous indique l évolution du prix de l affranchissement d une lettre de moins de 20 g de 960 à Année Prix en euros 0,04 0,05 0,06 0,08 0,2 0,5 0,8 0,20 0,2 0,24 Année Prix en euros 0,27 0,30 0,32 0,34 0,35 0,38 0,43 0,46 0,46 0,50 En affectant l indice 00 à l année 960, on souhaite dresser le tableau des indices du prix du timbre en France depuis 960. Année Prix en euros d un timbre 0,04 Indice du prix d un timbre 00 a. À l aide d un calcul de proportionnalité, indiquer comment remplir la cellule rouge. b. Recopier et compléter le tableau jusqu en Indice des prix On donne ci-dessous l évolution de l indice des prix à la consommation, base 00 en 960, pour la même période. On dit que le taux d inflation pendant cette période a été de 9,85 %. Année Indice des prix Année Indice des prix Source : Insee. On dit qu on est dans un processus d inflation lorsque l indice des prix augmente. a. Montrer que les prix à la consommation ont augmenté de 9,85 %, entre 969 et 97. b. Recopier et compléter le tableau suivant : De 60à65 65à69 69à7 7à74 74à76 76à78 78à79 79à80 80à8 8à82 Taux d inflation De 82à83 83à84 84à85 85à90 90à9 9à92 93à94 95à98 98à03 Taux d inflation Pendant quelle période l inflation a-t-elle été la plus forte? 3. Conclusion L objectif de cette question est d observer le lien entre le taux de l inflation et le prix du timbre poste, autrement dit : «Le prix du timbre poste a-t-il augmenté plus vite ou moins vite que le coût de la vie?». Recopier et compléter le tableau suivant et répondre à la question posée ci-dessus. Année Prix en euros d un timbre 00 Indice des prix 00 Prix en euros constants 0,04 26 Taux d évolution

13 Les indispensables 4 QCM Il y a une seule bonne réponse par question.. 0 % de 20,05 est égal à : a. 200,5 ; b. 2,005 ; c. 0, Pour augmenter 45,8 de 2 %, on effectue : a. 45,8 2 ; b. 45,8,2 ; c. 45,8, Pour diminuer 98, de 5 %, on effectue : a. 98, 5 ; b. 98, 0,95 ; c. 98, 0, Un prix est passé de 80 à 00, le taux d évolution relative de ce prix est donc : a. + 0,20 ; b. + 0,25 ; c. +,25. Voir Les Indispensables n 2 p Un prix est passé de 000 à 950 ce qui correspond à une évolution au taux de : a. 0,05 ; b. 0,50 ; c Un prix a subi une augmentation de 3 % puis une autre de 5 % ce qui correspond à une augmentation globale de : a. 8%; b. 5%; c. 8,5 %. 7. Un prix a subi une baisse de 3 % puis une autre de 5 % ce qui correspond à une baisse globale de : a. 8%; b. 7,85 % c. 5 %. 8. Un prix a subi une augmentation de 3 % puis une baisse de 5 % ce qui correspond à une : a. baisse de 2,5 % ; b. baisse de 2 % ; c. hausse de 2 %. Voir Les Indispensables n 5 p Au rayon CD Le prix d un CD a augmenté de 3,5 %, il est maintenant de 2,50. Calculer l ancien prix du CD (arrondir au dixième d euro). 6 Au Salon de la BD La BD Les tuniques rouges coûte 9,50 en janvier. Au cours du Salon de la BD en février, son prix diminuera de 4 %. Calculer ce prix. EXERCICES Pour démarrer 7 Toujours au Salon de la BD En février, la BD Les trolles de Troyes coûtait 0,80. Sachant que son prix a baissé de 5,2 % par rapport au mois précédent, calculer le prix de la BD en janvier (arrondir au dixième d euro). 8 Évolution de la population Le tableau suivant donne l évolution de la population (en millions) dans deux régions du Monde entre 900 et Année Inde (avec Bangladesh et Pakistan) Amérique du Nord Source : Pour ces deux régions : Voir Les Indispensables n 2 p. 8. a. calculer la variation absolue entre 900 et 2000 ; b. calculer le taux d évolution entre 900 et 2000 ; c. calculer le taux d évolution relative entre 2000 et 900. Coefficient multiplicateur 9 Calculer le coefficient multiplicateur correspondant à : a. une hausse de 0,5 % ; b. une baisse de 2 %. 20 Calculer le coefficient multiplicateur correspondant à : a. une baisse de 5 % suivie d une baisse de 4 % ; b. une hausse de 0, % suivie d une baisse de 0,3 % ; c. une baisse de,2 % suivie d une hausse de,5 %. Calcul d un taux d évolution 2 Calculer le taux d évolution correspondant à une hausse de : a. 0%; b. 5%; c. 0,2 %. Taux d évolution 27

14 EXERCICES 22 Calculer le taux d évolution correspondant à une baisse de : a. 0%; b. 5%; c. 0,2 %. 23. Calculer le taux d évolution correspondant à une hausse de 6 % suivie d une baisse de 7 %. 2. Calculer le taux d évolution correspondant à une baisse de 8 % suivie d une hausse de 9 %. 24 Interpréter en terme de hausse ou de baisse en pourcentage le taux d évolution t dans les cas suivants : a. t = + 0,08 ; b. t = 0,0 ; c. t =+6%; d. t = 0,2 %. Puissances n 25 À l aide d une calculatrice, donner l arrondi au millième des nombres : a. 2 3 ; b. 5 4 ; c. 0, Sans calculatrice, simplifier les nombres suivants : a. 8 3 ; b ; c ; d À l aide d une calculatrice, déterminer l arrondi de t au centième (t >0): a. t 2 =,2 ; b. ( + t) 2 =,2 ; c. ( + t) 2 =, À l aide d une calculatrice, déterminer l arrondi de t au centième (t >0): a. t 2 = 0,83 ; b. ( t) 2 = 0, À l aide d une calculatrice, déterminer l arrondi de t au centième (t >0): a. ( + t) 2 = 2,56 ; b. 25,4 ( + t) 0 = Déterminer, à l aide d une calculatrice, la valeur de x (x > 0) telle que : a. ( + x) 3 = 2,3 ; b. ( x) 5 = 2,49. 3 Déterminer, à l aide d une calculatrice, la valeur de t (t > 0) telle que : a. ( + t) 3 = 5,45 ; b. ( t) 4 = 0,56. Moyenne géométrique 32 Calculer la moyenne géométrique des nombres 5 et 22. Donner la valeur arrondie au centième. 33 Calculer la moyenne géométrique des nombres,4 et,2. Donner la valeur arrondie au dixième. 34 Calculer la moyenne géométrique des trois nombres:, ;,3 et,4. La moyenne géométrique de trois nombres positifs x, y et z est (xyz) 3. Taux moyens 35 Accroissement de population À la fin de deux années consécutives, le nombre d habitants d une ville a augmenté de 5 %. Calculer le taux moyen annuel d augmentation durant ces deux années (arrondir au millième). 36 La ville se dépeuple À la fin de deux années consécutives, le nombre d habitants d une ville a baissé de 5 %. Calculer le taux moyen annuel de baisse durant ces deux années (arrondir au millième). 37 Les prix augmentent Un article coûtait 25 en Son prix a subi une hausse de 5 % en 2005 puis une hausse de 6 % en Calculer le prix de cet article en 2006 (arrondir au centime d euro). 2. Calculer le taux global d évolution entre 2004 et Calculer le taux moyen annuel d augmentation durant ces deux années. 38 Enfin des baisses! Un article coûtait 25 en Son prix a subi une hausse de 5 % en 2005 puis une baisse de 6 % en Calculer le prix de cet article en 2006 (arrondir au centime d euro). 2. Calculer le taux d évolution entre 2004 et Calculer le taux moyen annuel d évolution durant ces deux années. 28 Taux d évolution

15 EXERCICES 39 Variations de prix Un article coûtait 25 en Son prix a subi une hausse de 8 % en 2005 puis une baisse de 0 % en Calculer le prix de cet article en Calculer le taux d évolution entre 2004 et a. Quel est son signe? b. Interpréter cette évolution en terme de hausse ou de baisse en pourcentage. 3. Calculer le taux moyen annuel d évolution durant ces deux années. 40 Un terrain rectangulaire mesure 200 m de long et 00 m de large.. Calculer son aire. 2. a. Si la longueur augmente de 0 % et la largeur diminue de 5 %, quelle sera la nouvelle aire? Calculer le taux d évolution entre l aire initiale et la nouvelle. b. De même si la longueur diminue de 0 % et la largeur augmente de 5 %. 4 Les bactéries On considère une population de bactéries qui augmente de 80 % la première heure et de 70 % l heure suivante. Indice de base Une quantité subit une augmentation de 2 % entre 2003 et 2004 et une augmentation de 20 % entre 2003 et Recopier et compléter le tableau d indices de cette quantité. Année Indice a. Déterminer le taux d évolution entre 2005 et 2006 (arrondir au millième). b. Interpréter cette évolution comme une hausse ou une baisse en pourcentage. 43 Une quantité baisse de 8 % entre 2002 et Le tableau suivant donne partiellement les indices d évolution entre 2002 et Année Indice Trouver l indice de l année Traduire en terme de pourcentage l évolution entre 2003 et 2004 (arrondir au millième). 3. Cette quantité baisse encore de 8 % entre 2004 et Trouver l indice de Population En reprenant le tableau de l exercice 8 et en prenant comme base 00 l année 900, calculer l indice de population en 2000 pour l Inde et pour l Amérique du Nord. 45 Chiffre d affaires Évolution du CA de La Française des Jeux en milliards d euros :. À l issue des deux heures, de quel taux la population de bactéries a-t-elle évolué? 2. Quel est le taux d évolution moyen horaire de cette population sur cette durée? 3. Il y avait 0000 bactéries au début de la première heure. En considérant ce pourcentage moyen d accroissement, combien peut-on prévoir de bactéries au bout de quatre heures? , , , , , , ,4 7,79 8,55 Source : FDJhttp:// entreprise/chiffres/chiffres_ca.php. Taux d évolution 29

16 EXERCICES En prenant comme année de référence 996 (base 00), calculer l indice du chiffre d affaires de cette société les années suivantes (jusqu en 2004). 46 Les bolides On indique ci-après une liste de véhicules classés en fonction de leur vitesse maximale (obtenue sur circuit fermé), et ce, par ordre décroissant :. Lamborghini Diablo : 320 km/h ; 2. Ferrari 456M GT : 320 km/h ; 3. Porsche 9 Turbo : 305 km/h ; 4. Dodge Viper ACR : 304,6 km/h ; 5. Callaway C2 : 304 km/h ; 6. Ferrari 360 Modena : 295 km/h. Source : En prenant comme base 00 la vitesse maximale de la Ferrari 306 Modena, calculer l indice de vitesse maximale des autres voitures. 47 La Lorraine touristique Ce tableau montre l évolution entre 2003 et 2004 de la fréquentation des touristes venant de l étranger en Lorraine et fréquentant les hôtels classés ou de chaîne : Lorraine Nuitées (en milliers) Hôtels classés Janvier à décembre ou de chaîne Allemagne Belgique 6 68 Royaume-Uni Pays-Bas 44 3 Autres pays Total Source : Insee, direction du Tourisme. En raison des arrondis sur les milliers, la somme des données (nuitées par pays de provenance) peut présenter une différence avec le total. On va exprimer ces données sous forme d indices.. Indice d évolution Recopier le tableau ci-dessus en remplaçant la première colonne (nuitées 2003) par l indice 00, compléter alors la deuxième colonne. 2. Indice de répartition Reprendre le tableau initial en attribuant l indice 00 pour chaque année à l Allemagne. 3. Dans quel cas met-on en valeur l évolution de la fréquentation par rapport au pays d origine? par rapport à l Allemagne? 48 Le pétrole Le tableau ci-dessous donne le chiffre d affaires des cinq premières compagnies pétrolières mondiales en milliards de dollars. CA Total 07,7 3,6 66,2 68,0 BP 78,7 232,6 285,6 330,0 ExxonMobil 78,9 23,2 264,0 340,0 Chevron Texaco 9,7 2,9 42,9 86,0 Schell 79,4 20,7 265,2 30,0 Source : Alternatives économiques, septembre Reproduire et compléter ce tableau en prenant comme indice 00 l année 2002 pour chaque compagnie pétrolière. Quelle évolution veut-on visualiser en faisant cela? 2. Mêmes questions qu en en attribuant, chaque année, l indice 00 à la compagnie Total. Approximation d un taux 49 La BD Le prix d une BD est 0,50 au mois de septembre. Ce prix a augmenté de,5 % entre le mois de juillet et le mois de septembre.. Quel est le taux d évolution de ce prix entre juillet et septembre? 2. Quel est le taux d évolution approximatif de ce prix entre septembre et juillet? À l aide de cette approximation, évaluer le prix de la BD en juillet. 3. Calculer la valeur exacte du prix de la BD en juillet. 4. Comparer les résultats des questions et Le cours a. Deux évolutions successives au taux de 0,04 correspondent approximativement à une évolution au taux b. Le taux réciproque d une évolution au taux de 0,02 est approximativement 5 Valeur exacte valeur approchée Un prix augmente de,5 % entre 2002 et 2003, puis de,5 % entre 2003 et Taux d évolution

17 EXERCICES. Sans calculatrice, donner une approximation du pourcentage d augmentation de ce prix entre 2002 et Expliquer. 2. Avec calculatrice, donner la valeur exacte du pourcentage d augmentation de ce prix entre 2002 et Comparer les résultats obtenus aux questions et 2. Pour faire le point 52 QCM A B C En janvier, un prix a augmenté de 0 % et en février, il a augmenté de 20 %. L augmentation moyenne sur chacun de ces deux mois est : de 4,89 % (arrondi au centième) de 5 % de 0 % 2 Augmenter successivement de 0, % puis de 0, % revient à : augmenter approximativement de 0, % augmenter exactement de 0 % augmenter approximativement de 0,2 % 3 Augmenter successivement de 30 % puis de 30 % revient à : augmenter approximativement de 60 % augmenter exactement de 69 % augmenter exactement de 60 % 4 Après avoir augmenté deux fois on obtient une augmentation de,5 % : cela correspond approximativement à deux hausses successives de 7,5 % cela correspond approximativement à deux hausses successives de 0,075 % cela correspond approximativement à deux hausses successives de 0,75 % 5 Entre 2005 et 2006, un prix a augmenté de 0,5 %. Pour retrouver le prix en 2005 à partir du prix en 2006 : on effectue exactement une baisse de 0,5 % on effectue approximativement une baisse de 5 % on effectue approximativement une baisse de 0,5 % En 2004 l indice du coût d une matière première était 00, en 2006 il était de 25. On peut donc dire que cette matière première a augmenté de : En 2004 l indice du coût d une matière première était 00, en 2006 il était de 82. On peut donc dire que cette matière première a baissé de : Un livre coûtait 0 en 2005 et 8 en On affecte l indice 00 à l année 2005 donc l indice en 2006 de ce livre est : L indice du prix d un CD était 00 en 2005, son indice en 2006 était 03. Le taux d évolution du prix sur cette période est : 25 % % 8 82 % 8 % , ,03 Taux d évolution 3

18 Notions abordées VERS LE BACCALAURÉAT Pourcentages Indices Augmentations successives en pourcentage Approximation de taux Énoncé Trois réponses exactes et deux inexactes valent : 3 2 0,5 = 2 points. Trois réponses exactes et deux absences de réponses valent : = 3 points. Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Dans cette partie, aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note, sur cette partie, est ramenée à 0.. Si un prix augmente successivement de 5 % puis de 20 %, alors il a augmenté de : a. 25%; b. 20%; c. 26 %. Aide Utiliser les coefficients multiplicateurs. Il s agit d un résultat de cours. 2. Une augmentation au taux t suivie d une autre augmentation au même taux t correspond approximativement à une évolution dont le taux est 2t : a. pour toutes les valeurs de t ; b. si t est proche de zéro ; c. si t est supérieur à 0,5. 3. En 2005, il y avait 500 licenciés dans un club de sport. En prenant l indice 00 pour cette année 2005, l indice pour l année 2006 est 2. L effectif a donc augmenté entre 2005 et 2006 de : a. 2 licenciés ; b. 2%; c. 60 licenciés. Aide Voir cours sur les indices page Taux d évolution 4. En 2005, il y avait 500 licenciés dans ce club de sport. En prenant l indice 00 pour cette année 2005, l indice pour l année 2006 est 95. L effectif a donc : a. diminué de 5 licenciés ; b. augmenté de5%; c. diminué de 5 %. 5. Dans un lycée, l administration a calculé le nombre d admis au bac en 2005 et en Le proviseur a pris comme année de référence 2005 en lui donnant l indice 00. L indice pour l année 2006 est alors 05. Le proviseur-adjoint a pris comme indice 00 l année Pour le proviseur-adjoint, l indice 2005 est donc : a. 95,24 (arrondi au centième) ; b. 95 ; c Un prix a augmenté de 0 % sur trois ans. Le taux moyen annuel d évolution sur cette durée est donc, arrondi au millième, de : a. 0,03 ; b. 0,032 ; c. 0,033.

19 VERS LE BACCALAURÉAT Une bonne copie. c 2. b 3. c 4. c 5. a 6. b. Commentaires. a. Faux : on ne peut pas ajouter des pourcentages qui ne portent pas sur la même valeur. b. Faux : ayant déjà augmenté de 5 %, si on augmente encore de 20 % on augmente de plus de 20 %. c. Bravo!,05,20 =,26 ce qui donne une augmentation de 26 %. 2. a. Faux : deux augmentations successives de 30 % correspondent à une augmentation de 69 % (,30,30 =,69) et non de 60 %. b. Bravo! C est un résultat du cours. c. Faux: un nombre supérieur à 20 n est pas proche de a. Faux : quand on passe de l indice 00 à l indice 2, on augmente de 2 % et non de 2. b. Faux : Voir a. c. Bravo! 500,2 = 560 donc une augmentation de 60 licenciés. 4. a. Faux : quand on passe de l indice 00 à l indice 95, on diminue de 5 % et non de 5. b. Faux : le passage de l indice 00 à un indice plus petit correspond à une baisse. c. Bravo! Voir a. Pour une augmentation de 5 %, le coefficient multiplicateur est ( ) =, = 0, = 0,05 = 5 % a. Bravo! Il suffit de faire un tableau de proportionnalité : Proviseur Proviseur-adjoint x 00 x 05 = donc x = ,24. b. et c. Faux : 95 et 90 ne sont pas acceptables dans ce tableau de proportionnalité, les produits en croix ne sont pas égaux. 6. a. Faux :,03 3,09. b. Bravo! L équation ( + x) 3 =, a pour solution à la calculatrice : x 0,03228 (voir b). c. Faux : attention à l arrondi demandé! Taux d évolution 33

20 EXERCICES Pour s entraîner 53 Les véhicules en Europe Voici la production européenne en 2003 (en milliers de véhicules particuliers et utilitaires) : 2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous par des indices pour les années manquantes (on pourra utiliser un tableur ou une calculatrice). Fréquentation du cinéma dans le Monde Millions de spectateurs Allemagne 00 Espagne 00 France 00 Italie 00 Royaume-Uni 00 Quel pays a eu la plus forte évolution entre 989 et 2002? entre 989 et 995? 55 Pourcentages et addition Voici l évolution d une action à la bourse sur une semaine : Source : KeySectors/Transport/?p=automotive&l=fr. En prenant la France comme base 00 en 2003, calculer l indice des autres pays cités sur cette carte pour la production de véhicules particuliers et utilitaires en Il conviendra naturellement de reconnaître chacun de ces pays! 54 Le tableau ci-dessous indique la fréquentation du cinéma dans le Monde. Fréquentation du cinéma dans le Monde Millions de spectateurs Allemagne 0,6 24,5 63,9 Espagne 78, 94,6 40,7 France 20,9 30,2 84,2 Italie 94,8 90,7,5 Royaume-Uni 94,6 4,9 75,9 Source : Centre National de la Cinématographie.. En prenant pour indice 00 l année 989, calculer l indice en 995 pour l Allemagne (arrondir au centième). Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Hausse Hausse Hausse Hausse Hausse de 0,05 % de 0, % de 0,2 % de 0,05 % de 0, % Luc, qui suit la bourse de près, se dit : «En faisant la somme de ces variations, j obtiens 0,5 % donc l action a augmenté de 0,5 % entre lundi et vendredi». Qu en pensez-vous? 56 Pourcentage moyen Entre 2004 et 2005, un prix augmente de 2 %, puis de 3 % entre 2004 et Sans calculatrice, donner une approximation du pourcentage moyen d augmentation de ce prix durant ces deux années. 2. Avec calculatrice, calculer la valeur exacte du pourcentage moyen d augmentation de ce prix durant ces deux années. 3. Comparer les résultats obtenus en et Léa affirme que quatre hausses successives de 2 % correspondent à une hausse d environ 8 %. Léo affirme lui que quatre hausses successives de 0 % correspondent à une hausse de 40 %. Qui est le plus proche de la réalité? Expliquer. 34 Taux d évolution

21 EXERCICES 58 La France est touristique Ce tableau recense les arrivées de touristes non-résidents en France sur : Arrivées Arrivées Indice Indice Taux Origine des des d évolution (en (en arrivées arrivées entre 2003 milliers) milliers) et 2004 Europe ,47 0,0053 Amérique ,0637 Asie de L Est et Pacifique Moyen-Orient Afrique Non spécifié Source : tourisme_etrangers.jsp. Recopier et compléter ce tableau. 59 La bourse Les valeurs d une action boursière durant une semaine sont données dans le tableau suivant : Jour de la semaine Valeur de l action lundi mardi mercredi jeudi vendredi 5,8 6, 6,5 6,6 6,9. Calculer le taux d évolution de cette action entre lundi et mardi, puis entre mardi et mercredi, etc. Recopier et compléter alors ce tableau (arrondir au millième) : Taux d évolution relative de la valeur de l action De De De De lundi mardi à mercredi jeudi à à mardi mercredi à jeudi vendredi 2. Après lecture de ce résumé de la semaine, un épargnant tient le raisonnement suivant : «Je fais la somme des taux et je trouve + 0,068, j en conclus que le taux d évolution entre le lundi et le vendredi est de 0,068». a. Que penser de ce raisonnement? b. Quel est le pourcentage d évolution de cette action du lundi au vendredi? c. Que penser des deux résultats obtenus? 60 Gaz naturel Les quatre premiers pays producteurs de gaz naturel et leur production en millions de m 3 sont donnés ci-après Russie États-Unis Canada Royaume-Uni Source : Comité professionnel du pétrole Cédigaz.. Reproduire ce tableau en affectant pour chaque année l indice 00 à la Russie. Quelle évolution étudie-t-on dans ce cas : l évolution de la production de gaz relative aux pays ou relative aux années? 2. De même en affectant pour chaque année l indice 00 au Canada. 6 Population Le tableau ci-dessous indique l évolution de la population de quelques pays entre 970 et 2003 (en milliers d habitants) Philippines Belgique Oman Reproduire ce tableau : a. en affectant l indice 00 à l année 970 ; b. en affectant l indice 00 à l année 990 ; c. en affectant l indice 00 à l année Comparer les trois tableaux. Que constate-t-on? Expliquer. 62 Tout augmente!. Déterminer à l aide d une calculatrice le réel x tel que x 0 =,344 puis t tel que ( + t) 0 =, Le prix d un matériau a augmenté de 34,4 % en dix ans. Calculer le taux moyen d augmentation annuel sur cette période. 63 Taux annuel et taux mensuel. À l aide d une calculatrice, donner la valeur de t tel que ( + t) 2 =,07 (arrondir au millième). 2. On place une certaine somme au taux annuel de 7%. À quel taux mensuel cela correspond-il? Au bout d un an, cette somme sera multipliée par,07. Taux d évolution 35

22 EXERCICES Consommation médicale totale ,4 Source : Insee.. Sachant que l augmentation entre 200 et 2003 a été de 3 %, calculer la consommation de médicaments en France en On considère que cette augmentation a été la même annuellement durant ces deux années. a. Donner le taux moyen annuel d augmentation de la consommation de médicaments en France entre 200 et 2003 (le résultat sera donné sous forme de pourcentage arrondi au dixième). b. Avec cette hypothèse, calculer la consommation de médicaments en Les principaux pays touristiques La Chine, les États-Unis et la France sont parmi les principales destinations de vacances dans le Monde. Le graphique ci-dessous montre l évolution du nombre (en milliers) de touristes étrangers arrivés dans ces trois pays durant les quatre années de la période Dans tout l exercice, on arrondira les résultats au millième Taux d évolution France États-Unis Chine A A B C D Année Chine États-Unis France , , ,2 50,9 75, ,2 75, ,8 4,9 76,7 64. a. Calculer le taux d évolution du nombre de tou- Consommation médicale Le tableau ci-dessous donne la consommation médicale totale en France pour l année 200, en milliards d euros courants : ristes en Chine entre 998 et Interpréter ce résultat en terme de hausse ou de baisse en pourcentage. b. Calculer le taux moyen annuel d évolution sur cette période. Le traduire en pourcentage. 2. Reprendre la question pour la France. 3. Pour les États-Unis, on constate une forte baisse du nombre de touristes étrangers durant la période a. Calculer le taux d évolution du nombre de touristes étrangers sur cette période. À quel pourcentage de baisse correspond-il? Montrer que le taux moyen annuel d évolution durant cette période est 9,27 %. b. Sachant que le taux d évolution entre 2000 et 200 a été d environ 0,6 %, calculer le nombre de touristes étrangers arrivés aux États-Unis en 200. c. Calculer le nombre de touristes qui auraient dû arriver aux États-Unis en 2002 si le taux d évolution donné à la question b s était maintenu durant les deux périodes et Le radon La principale source de radioactivité naturelle, à laquelle l homme est exposé, est un gaz radioactif appelé radon. Au cours d une expérience, on a relevé chaque jour en fin de journée la concentration de radon dans une habitation. L unité est le Bq m 3 (Becquerel par m 3 ). Ce tableau indique les résultats obtenus : Jour Concentration Coefficient Taux (en Bq m 3 ) multiplicateur d évolution , ,57 4 0, ,83 0,74 6 0, ,850. Reproduire et compléter ce tableau. 2. Calculer le taux d évolution de la concentration du radon durant la première semaine.