Notions de probabilités

Transcription

1 44 Notions de probabilités Capacités Expérimenter, d abord à l aide de pièces, de dés ou d urnes, puis à l aide d une simulation informatique prête à l emploi, la prise d échantillons aléatoires de taille n fixée, extraits d une population où la fréquence p relative à un caractère est connue. Déterminer l étendue des fréquences de la série d échantillons de taille n obtenus par expérience ou simulation. Évaluer la probabilité d un événement à partir des fréquences. Évaluer la probabilité d un événement dans le cas d une situation aléatoire simple. Faire preuve d esprit critique face à une situation aléatoire simple. Connaissances Tirage au hasard et avec remise de n éléments dans une population où la fréquence p relative à un caractère est connue. Fluctuation d une fréquence relative à un caractère, sur des échantillons de taille n fixée. Stabilisation relative des fréquences vers la probabilité de l événement quand n augmente. Activité 1 Pouliches ou poulains? Méthodes Fiche 10 p. 150 Fiche 11 p. 151 Évaluer la probabilité d un événement à partir des fréquences Pour la reproduction, un éleveur de chevaux a fait l acquisition d un étalon pour la somme de Le prix de vente d un poulain est et celui d une pouliche L éleveur estime à cinquante naissances le seuil de rentabilité de son investissement. Il est tout de même inquiet : sur les dix premières naissances, il compte seulement trois pouliches. Si cette situation devait se poursuivre, il pourrait ne pas récupérer son investissement dans les délais prévus. Cette répartition lui semble anormale : de son point de vue, le «hasard» devrait faire que le nombre de naissances des deux sexes soit le même. 1. Partagez-vous le sentiment de l éleveur sur la parité des naissances des deux sexes? Oui 2. Pour simuler expérimentalement une situation de «hasard» ayant deux possibilités, comme dans le problème posé avec la descendance de l étalon, vous allez utiliser une pièce de monnaie. a. Réalisez une première expérience en lançant dix fois une pièce. Notez dans le tableau la lettre P si le côté «PILE» apparaît et la lettre F si le côté «FACE» apparaît. Non 4 Notions de probabilités 43

2 b. Recommencez encore quatre fois cette expérience et reportez dans le tableau le nombre de «PILE» que vous avez obtenu dans chaque échantillon de 10 lancers. Expérimentation 1 Nombre de «PILE» sur dix lancers Quelle est l étendue des effectifs de cette série?... c. Si le côté «PILE» est associé à la naissance d une pouliche, vos résultats montrent-ils que la descendance de l étalon sur dix naissances est anormale ou possible? Justifiez votre réponse. d. Dans votre échantillon de cinquante lancers, combien avez-vous de «PILE»?... Si le côté «PILE» est associé à la naissance d une pouliche, l éleveur peut-il recouvrir le prix d achat de l étalon avec cinquante naissances? Activité 2 Évaluer la probabilité d un événement dans le cas d une situation aléatoire simple Combien de chances de perdre ou de gagner? Si vous jetez un dé à six faces, vous avez une «chance» sur six d obtenir le numéro deux. 1 On dit que la «probabilité» d obtenir le numéro deux est Quelle est la probabilité de ne pas obtenir le numéro deux? Évaluez de la même façon la probabilité d obtenir : a. le numéro cinq : avec un dé à 6 faces :... avec un dé à 20 faces :... avec un dé à 4 faces :... b. un numéro pair : avec un dé à 4 faces :... avec un dé à 8 faces :... avec un dé à 10 faces : Notions de probabilités

3 Travaux pratiques De quel côté tombe la tartine de confiture? Sur de nombreux blogs d internautes, à la question «de quel côté tombe la tartine beurrée?», la plupart des réponses, souvent humoristiques, peuvent se résumer à celle-ci : «Une tartine beurrée tombe toujours du côté beurré. Cette loi s applique aussi aux tartines de confiture». En l absence de beurre ou de confiture, intuitivement, on devine qu il n y a pas de raison que la tartine de pain tombe plus d un côté que de l autre. Il est plus difficile de conclure avec certitude dans le cas contraire, lorsqu un côté de la tartine est plus lourd. Position 1 Position 2 Vous allez simuler expérimentalement ce problème en laissant chuter des punaises baïonnettes. Ces punaises peuvent s immobiliser de deux façons différentes : soit la pointe vers le haut, soit la pointe vers le bas. À votre avis, dans quelle position la punaise a-t-elle le plus de «chances» de s immobiliser si vous la lancez?... A Simulation avec 10 lancers 1. Lancez dix punaises (ou 10 fois une punaise) et comptez le nombre de punaises avec la pointe vers le haut (Position 1) et le nombre de punaises avec la pointe vers le bas (Position 2). Reportez vos observations dans le tableau et calculez les fréquences pour chaque position. Effectif sur 10 lancers Position 1 Position 2 Cette série de lancer constitue un échantillon de taille n = 10. Comparez les fréquences de cet échantillon. c Fiche 10 p Reportez dans le tableau ci-dessous les résultats de 4 de vos voisins. Position 1 Position 2 Voisin 1 Effectif Voisin 2 Effectif Voisin 3 Effectif Voisin 4 Effectif 4 Notions de probabilités 45

4 Travaux pratiques Comparez votre échantillon avec ceux de vos voisins. Obtenez-vous exactement la même distribution des fréquences qu eux? On appelle cette variation des fréquences la fluctuation d échantillonnage. L étendue des fréquences est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale des fréquences. c Fiche 10 p. 150 Quelle est l étendue des fréquences de la Position 1?... Quelle est l étendue des fréquences de la Position 2?... B Simulation avec des échantillons 1. Regroupez les effectifs de la Position 1 dans les 5 échantillons étudiés à la question précédente. Ajoutez-les aux résultats de cinq autres élèves, et ainsi de suite jusqu à recueillir tous les effectifs obtenus par simulations par les élèves de la classe. Reportez les résultats dans le tableau et calculez les fréquences. Taille n Effectif 50 lancers 100 lancers 150 lancers 200 lancers 250 lancers 300 lancers 2. Représentez graphiquement les fréquences en fonction du nombre de lancers. 3. Vers quelle valeur la fréquence relative à la Position 1 tendelle à se stabiliser quand n augmente?... s (en %) n Cette valeur est la probabilité d obtenir la Position 1. C 4. Quelle est la probabilité d obtenir la Position 2? Conclusion c Fiche 11 p. 151 Que pouvez-vous déduire de cette expérimentation pour commenter le problème de la tartine de confiture? 46 4 Notions de probabilités

5 Exercices 1 Simulation Une pièce de monnaie, un dé (à 4, 6, 8, 10 ou 20 faces) ou une urne contenant des boules (en couleur ou numérotées) sont des outils permettant de simuler expérimentalement des situations aléatoires. Dans un jeu, Flora a une chance sur 6 de gagner. Avec quel outil pouvez-vous simuler expérimentalement ce jeu? 2 Dans un QCM, chacune des 50 questions propose Échantillon 1 Issue Nombre d apparitions Échantillon 2 Issue Nombre d apparitions Échantillon 3 Issue Nombre d apparitions Couleur de la boule Noire Rouge Verte Couleur de la boule Noire Rouge Verte Couleur de la boule Noire Rouge Verte a. Quelle est l étendue des effectifs de chaque série? b. Dans ces 3 échantillons, le nombre d apparitions d une couleur peut-il être nul, égal à tous les autres et/ou égal au nombre total de tirages? 3 réponses, dont une seule est juste. Avec quel outil pouvez-vous simuler expérimentalement les réponses faites au hasard par un candidat? 3 André se rend régulièrement, de façon aléatoire, tous les dimanches à 12 heures durant un an dans l un des 4 restaurants de sa ville. Le même jour et à la même heure Bastien, quant à lui, se rend toujours dans le même établissement. Avec quel outil pouvez-vous simuler expérimentalement la rencontre d André et de Bastien dans le même restaurant? 6 c Fiche 10 p. 150 Un sac contient 10 boules noires, 10 boules rouges et 10 boules vertes. Deux échantillons de 300 tirages au hasard d une boule avec remise sont réalisés. Les résultats sont les suivants : Échantillon 1 Issue Nombre d apparitions Échantillon 2 Issue Nombre d apparitions Couleur de la boule Noire Rouge Verte Couleur de la boule Noire Rouge Verte a. Quelle est l étendue des effectifs de chaque série? b. Dans ces 2 échantillons, le nombre d apparitions d une couleur peut-il être nul, égal (ou peu différent) à tous les autres et/ou égal au nombre total de tirages? 4 Le sang humain est classé en quatre groupes : A, B, AB et O. La répartition dans la population française est la suivante : A : 45 %, B : 9 %, AB : 3 % et O : 43 %. Avec quel outil pouvez-vous simuler expérimentalement le choix au hasard d un individu qui ait du sang du groupe B dans une population de personnes? Échantillonnage 5 c Fiche 10 p. 150 Un sac contient 10 boules noires, 10 boules rouges et 10 boules vertes.trois échantillons de 9 tirages au hasard d une boule avec remise sont réalisés. Les résultats sont les suivants : 7 c Fiche 11 p. 151 Une simulation est réalisée avec une pièce de un euro. Les résultats sont représentés graphiquement Nombre de côtés «face» pour 10 lancers Numéro de l échantillon a. Quel est le caractère étudié? b. Quel est le nombre d échantillons? c. Quel est le nombre de lancers par échantillon? d. Quelle est l étendue des effectifs de cette série statistique? 4 Notions de probabilités 47

6 Exercices 8 c Fiches 10 et 11 p. 150 et 151 Une simulation est réalisée avec un dé à 4 faces. Une partie des résultats est représentée graphiquement. 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 a. Quel est le caractère étudié? b. Quel est le nombre d échantillons? c. Quel est le nombre de lancers par échantillon? d. Quelle est l étendue des fréquences de cette série statistique? e. La probabilité d obtenir la face n «3» est de 0,25. Peut-on trouver ce nombre à l aide du graphique? 9 c Fiches 10 et 11 p. 150 et 151 Une simulation est réalisée avec un dé à 6 faces. Une partie des résultats est représentée graphiquement s de la face numéro «3» pour 300 lancers Numéro de l échantillon s de la face numéro «5» en % Nombre n de lancers par échantillon a. Quel est le nombre minimal de lancers? Le nombre maximal? b. Donnez une estimation de la probabilité d obtenir le numéro «5» sachant que la fréquence se stabilise vers la probabilité quand le nombre de lancers n augmente. Probabilité 10 c Fiche 11 p. 151 Dans la classe de Zoé il y a 30 élèves. Un délégué est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que Zoé soit choisie? Quelle est la probabilité qu elle ne soit pas choisie? 11 c Fiche 11 p. 151 Pour une tombola, vous avez acheté 4 billets sur les vendus. Quelle est la probabilité que vous avez de gagner? 12 c Fiche 11 p. 151 Dans une classe de 28 élèves, 17 élèves pratiquent un sport en club. Quelle est la probabilité qu un de ces élèves sportifs soit choisi au hasard? 13 c Fiche 11 p. 151 a. Vous tirez une carte au hasard d un jeu de 32 cartes. Évaluez la chance d obtenir : l as de pique, un roi, un trèfle. b. Combien de cartes faut-il tirer sans remise pour être sûr d avoir un trèfle? 14 c Fiche 11 p. 151 La roulette d un casino est numérotée de 0 à 36. Quelle est la probabilité d obtenir : le numéro 12, un numéro pair, un numéro impair. Testez-vous! Parmi les trois réponses proposées, vous devez en choisir une seule. 1. Une pièce de monnaie non truquée est lancée 3 fois de suite. Le côté «pile» apparait les 3 fois. Si la même pièce est lancée une nouvelle fois, on a 2. 8 bonbons bleus, 5 verts et 12 rouges sont dans un sac. Quelle est la probabilité de prendre au hasard un bonbon vert? 3. Quelle est la probabilité de gagner au loto avec une seule grille? 4. Le bulletin météo prévoit la pluie pour l après-midi, avec un indice de confiance de 4 sur 5. Quelle affirmation est vraie? A. plus de chance d obtenir pile B. plus de chance d obtenir face A. 5 % B. 20 % C. 12 % A. impossible B. peu probable C. 50 % A. il va pleuvoir 4 h sur 5 B. Il y a de grandes chances qu il pleuve C. autant de chances d obtenir pile que face C. Il y a 1 chance sur 5 qu il pleuve 48 4 Notions de probabilités

7 Problèmes Jeu de fléchettes La cible en forme de disque d un jeu de fléchette est constituée de quatre zones : un disque central et trois couronnes. Les rayons des quatre cercles concentriques sont les suivants : r 1 = 3 cm, r 2 = 8 cm, r 3 = 13 cm et r 4 = 18 cm. 1. Calculez les aires Ä 1,Ä 2,Ä 3 et Ä 4 des quatre zones, en centimètres carrés et à 10 1 près. 2. Si l on considère que pour une fléchette qui est dans la cible, la probabilité d atteindre une zone est proportionnelle à son aire, calculez les probabilités p 1, p 2, p 3 et p 4 d atteindre chaque zone à 10 1 près. 3. Chaque zone est associée à un nombre de points qui décroît lorsqu on s éloigne du centre, comme l indique la figure. Calculez le nombre maximum de points que peut obtenir un joueur qui atteindrait 100 fois la cible. 4. Calculez le nombre probable de points qu obtiendrait un joueur qui atteindrait 100 fois la cible en lançant les fléchettes au hasard. Population active La pyramide des âges donne la répartition de la population française en 2008, en fonction du nombre d années et la répartition des actifs dans cette population. Âge en années 4,1 4,3 4,2 3,8 3,7 3,8 3,3 2,5 2,0 2,1 0,8 0,2 0,1 0, ,6 0,2 0,2 50 1,5 1,8 2,8 2, ,7 2,8 3,3 3,3 3,3 4,2 3,8 3,7 3,6 4,2 4,5 0 Effectif (en millions) Pyramide des âges 2008 : France Population totale Population active 5 c Fiche 54 p. 172 c Fiche 13 p Quel est le nombre de femmes dans la population française? 2. Quel est le nombre d hommes dans la population française? 3. Calculez, par décennies, l effectif total des hommes et des femmes. 4. Quel est l âge moyen en France en 2008 : des hommes? des femmes? de la population totale? 5. Quel est l âge médian en France en 2008? 6. Calculez, par décennies, la fréquence exprimée en pourcentage des femmes actives. 7. Calculez, par décennies, la fréquence exprimée en pourcentage des hommes actifs. 8. Entre 20 et 30 ans, quelle est la probabilité qu un homme pris au hasard dans la population soit un actif? Qu une femme prise au hasard soit une active? Comment expliquez-vous cette différence? 9. Entre 60 et 70 ans, un homme a-t-il plus de chances de travailler qu une femme? Comment expliquez-vous ce résultat? Probabilités avec un dé Vous allez vérifier par une simulation informatique, que la probabilité d obtenir une des faces d un dé 1 est bien égale à a. Dans la cellule A1 saisissez «=ALEA.ENTRE.BORNES(1;6)». En cas de problème, si «#VALEUR!» apparaît c est que la fonction n est pas en mémoire. Dans ce cas, dans le menu Outils, sélectionnez Macros complémentaires et dans la liste qui apparaît, cochez Utilitaire d analyse. b. Pour sélectionner d un seul coup les premières cellules de la colonne A, en haut, dans la cellule de la barre d outils, saisissez «A1:A6000» et validez. Dans le menu Edition sélectionnez Remplissage puis En bas, pour copier la formule en A1 dans les autres. 4 Notions de probabilités 49

8 Problèmes a. Saisissez «Face» en D2, «Effectif» en E2 et en F2. b. Saisissez «1» en D3, «2» en D4, «3» en D5, «4» en D6, «5» en D7, «6» en D8. c. Saisissez «=NB.SI(A1:A6000;1)» en E3, «=NB.SI(A1:A6000;2)» en E4, «=NB.SI(A1:A6000;3)» en E5, «=NB.SI(A1:A6000;4)» en E6, «=NB.SI(A1:A6000;5)» en E7 et «=NB.SI(A1:A6000;6)» en E8. d. Saisissez «=E4/6000» en F4. Sélectionnez la cellule F4, faites apparaître la croix noire en bas à droite de cette cellule et cliquez-glissez jusqu en F8. 3. a. Tapez une dizaine de fois sur la touche F9 du clavier. En déduire une estimation théorique de la fréquence d apparition de chaque face. b. La probabilité d obtenir une des faces d un dé 1 est-elle bien égale à? 6 Passage aux caisses Pour mieux anticiper le comportement des clients, un responsable de supermarché veut étudier le cas où le passage aux six caisses est aléatoire. Pour simuler expérimentalement ce problème, il décide d utiliser un dé équilibré à six faces en associant chaque face à un numéro de caisse. 1. Échantillons de 30 valeurs Dans un premier temps, il réalise 10 échantillons de 30 lancers de dé. Les apparitions des différentes faces sont reportées dans le tableau suivant : Face du dé Total Échantillon de 30 lancers a. Calculez les fréquences d apparitions de la face 1, en pourcentage, dans les 10 échantillons. b. Représentez ces fréquences par un nuage de points dans un repère orthogonal. Échelles : en abscisses, 1 cm pour 1 unité ; en ordonnées 1 cm pour 10 %. 19 c. Tracez la droite horizontale É 1 passant par le point d ordonnée maximale. Tracez la droite horizontale É 2 passant par le point, d ordonnée minimale. d. Quelle est l étendue e 1 des fréquences de cette série? Déduisez un commentaire sur le passage aux caisses de 30 clients. 2. Échantillons de 100 valeurs Dans un deuxième temps, le responsable du magasin réalise 10 échantillons de 100 lancers. Le tableau suivant donne les nombre d apparitions de la face 1. Échantillon Apparition de la face a. Calculez les fréquences d apparitions de la face 1, en pourcentage, dans les 10 échantillons. b. Représentez ces fréquences dans un repère orthogonal. Échelles : en abscisses, 1 cm pour 1 unité ; en ordonnées, 1 cm pour 10 %. c. Tracez la droite horizontale É 3 passant par le point d ordonnée maximale. Tracez la droite horizontale É 4 passant par le point d ordonnée minimale. d. Quelle est l étendue e 2 des fréquences de cette série? Déduisez un commentaire sur le passage aux caisses de 100 clients. e. Tracez au jugé la droite moyenne passant par le nuage de points. Déduisez une estimation de la probabilité qu un client passe par la caisse 1. Répondre au hasard aux QCM Un candidat passe un concours comportant des tests psychotechniques. Les tests sont sous forme de QCM (Questions à Choix Multiples). Pour chaque question, cinq réponses sont proposées, dont une seule est juste. Le candidat doit cocher la case de la réponse qu il suppose vraie. L épreuve se compose de deux tests : un premier comportant 20 questions d un point chacune et un deuxième constitué de 100 questions de 0,2 point chacune. Le candidat se demande qu elles seraient ses deux notes s il répondait au hasard à toutes les questions Notions de probabilités

9 Problèmes Vous devez simuler ce problème à l aide d un tableur-grapheur. 1. Simuler les nombres entiers 1, 2, 3, 4 et 5 a. Lancez le tableur-grapheur. Dans la cellule A1, saisissez «=ALEA()» et validez.tapez une dizaine de fois sur la touche F9 du clavier. Donnez un encadrement des valeurs aléatoires qui s affichent dans la cellule A1. b. Dans la cellule A1, saisissez «=ALEA()*5» et validez.tapez une dizaine de fois sur la touche F9 du clavier. Donnez un encadrement des valeurs aléatoires qui s affichent dans la cellule A1. c. Dans la cellule A1, saisissez «=ALEA()*5+1» et validez.tapez une dizaine de fois sur la touche F9 du clavier. Donnez un encadrement de la fluctuation des valeurs aléatoires qui s affichent dans la cellule A1. d. Dans la cellule A1, saisissez «=ENT(ALEA()*5+1)» et validez. Tapez une dizaine de fois sur la touche F9 du clavier. Quelles sont les valeurs aléatoires qui s affichent dans la cellule A1? 2. Créer 10 échantillons de 20 valeurs a. Sélectionnez la cellule A1, faites apparaître la croix noire en bas à droite de cette cellule et cliquez-glissez jusqu en A20. Pour compter la quantité de chiffre 1 dans cet échantillon, dans la cellule A22 saisissez «=NB.SI(A1:A20;1)». Tapez une dizaine de fois sur la touche F9 du clavier. Donnez un encadrement de la fluctuation des valeurs aléatoires qui s affichent dans la cellule A22. b. Pour créer 9 échantillons de plus, sélectionnez les cellules de A1 à A22, faites apparaitre la croix noire en bas à droite de A22 et cliquez-glissez jusqu en J22. c. Pour afficher le minimum et le maximum de chiffre 1 dans ces 10 échantillons, en C25 saisissez «=MIN(A22:J22)» et en C26 «=MAX(A22:J22)». Tapez plusieurs fois sur la touche F9 du clavier. Quelle est la valeur minimale qui s affiche en C25? La valeur maximale en C26? Déduisez l étendue de la fluctuation de la quantité du chiffre 1 dans ces échantillons. 3. Résultats du candidat au premier test On admet que cocher au hasard la bonne case du QCM est assimilable à l apparition du chiffre 1 dans les 10 échantillons. Quelle est la note minimale et la note maximale que peut obtenir le candidat en cochant au hasard les réponses aux 20 questions? Résultats du candidat au deuxième test a. Utilisez le tableur pour simuler 10 échantillons de 100 valeurs. b. En multipliant les simulations à l aide de la touche F9, recherchez la valeur minimale de chiffre 1 qui peut apparaître dans un échantillon ainsi que la valeur maximale. Déduisez la note minimale et la note maximale que peut obtenir le candidat en cochant au hasard les réponses aux 100 questions. c. Quelle est l étendue de la fluctuation du nombre de chiffre 1 dans les échantillons simulés? Exprimez cette étendue en pourcentage. d. Quelle est la note approximative que le candidat peut espérer obtenir en répondant au hasard? Le tirage au sort est-il équitable? Au début d un match de rugby, le choix des camps des équipes est déterminé par un tirage au sort au moyen d une pièce de monnaie. L équipe favorisée par le sort choisit son camp (en fonction du vent et du soleil) pour la première mi-temps et l autre équipe donne le coup d envoi. Sur les dix dernières années, une équipe a bénéficié du tirage au sort 142 fois sur 260 matchs en choisissant toujours le côté pile. Pour vérifier s il est «normal» que le hasard ait permis 142 fois à la même équipe de gagner le tirage au sort, une expérimentation est réalisée en simulant les 260 lancers d une pièce de monnaie à l aide d un tableur-grapheur informatique. Dans une feuille d un tableur-grapheur, la fonction «=ENT(ALEA()*2)» est saisie dans les colonnes A, B, C, D et E de la première à la 260 e cellule. Elle permet d afficher dans ces cellules 0 ou 1 de façon aléatoire. 4 Notions de probabilités 51

10 Problèmes Chacune des 5 colonnes constitue un échantillon. Dans la ligne 263 est calculée la quantité de 1 dans chaque échantillon en saisissant par exemple «=SOMME(A1:A260)» en A263 pour la colonne A. Dans la ligne 264 est calculée la fréquence de 1 dans chaque échantillon en saisissant par exemple «=A263/260)» en A264 pour la colonne A. Dans la cellule F267 est calculée l étendue des fréquences en saisissant «=MAX(A264:E264)- MIN(A264:E264)». En tapant sur la touche F9 du clavier, quatre nouvelles séries de 0 et 1 dans cinq échantillons sont simulées. Les résultats sont les suivants : 1. Dans ces 25 échantillons obtenus par simulation : a. quels sont l effectif maximal et la fréquence maximale de 1? b. quels sont l effectif minimal et la fréquence minimale de 1? c. quelle est l étendue des effectifs de 1? d. quelle est l étendue des fréquences de 1? 2. a. Représentez graphiquement les fréquences de ces 25 échantillons. Échelle : en abscisses 0,5 cm pour 1 échantillon, et en ordonnées 1 cm pour 0,1 unité. b. Tracez au jugé la droite horizontale passant par le nuage de points. Quelle est la fréquence autour de laquelle fluctuent les fréquences? c. Quelle est la probabilité d obtenir le côté pile? Justifiez votre réponse. 3. On admet que l apparition du côté pile d une pièce de monnaie lors de 260 lancers est assimilable à l apparition du chiffre 1 dans un échantillon de 260 valeurs aléatoires obtenus par simulation informatique. a. Si le tirage au sort était parfaitement équitable, combien de fois l équipe de rugby aurait dû en bénéficier sur les 260 matchs? b. Est-il alors «normal» que le hasard ait permis 142 fois à la même équipe de bénéficier du tirage au sort? Le hasard est-il équitable? Justifiez votre réponse Notions de probabilités