TD3 EM TSI Exercice 1 : Etude de structures simples avec le théorème de Gauss

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1 Exercice 1 : Etude de structures simples avec le théorème de Gauss 1) On va chercher à déterminer, avec un repérage sphérique (,, ), le champ électrostatique créé par une sphère, de centre, de rayon, chargée uniformément en surface avec une densité > 0. La charge totale est donc = 4. a) Calcul du flux de : = ) ) i) Faire l analyse des invariances de la fonction densité surfacique de charges et en déduire la variable dont dépend le champ électrostatique. ii) Faire l analyse des symétries de la distribution de charges et en déduire la direction du champ électrostatique. iii) Vérifier alors qu une surface de Gauss sphérique de rayon et de centre O est appropriée pour obtenir l expression de ϕ. Exprimer alors ce flux. L ensemble des plans de symétrie contenant le point le point et le point, où l on cherche à déterminer le champ, sont des plans de symétrie. L intersection de ces plans se fait suivant. Donc,, ) =,, ). - > alors = - < alors = 0 c) Appliquer le théorème de Gauss et en déduire l expression du champ en tout point de l espace. d) En utilisant la continuité du potentiel ) et en posant ) = 0, donner l expression du potentiel électrostatique en tout point de l espace à l aide de ). e) Tracer les fonctions ) et ). On applique le théorème de Gauss > = ) 4 = ) = 4 On peut déterminer le potentiel ) = 4 + On en déduit le potentiel associé : En prenant ) = 0, alors : ) = On peut tracer les profils associés : < = ) 4 = 0 = 0 Le potentiel est alors constant ) =. Cette constante doit vérifier la continuité du potentiel électrique en = donc : ) = ) = 4 La distribution de charges est indépendante des paramètres et, donc,, ) = ). Une surface de Gauss sphérique de rayon est appropriée ici compte tenue des résultats précédents = ) = ). = ). = ) 4 b) Détermination de i) Déterminer la charge présente à ii) l intérieure de la surface de Gauss si < Déterminer la charge présente à l intérieure de la surface de Gauss si > On peut distinguer deux cas : 2) Un cylindre infini, de rayon, porte une charge répartie uniformément en volume avec une densité volumique positive. a) En utilisant le théorème de Gauss, déterminer le champ électrostatique en un point quelconque de l espace (on dégagera donc 2 situations et ). Représenter le graphe ). b) Construire le potentiel électrostatique en choisissant son origine à la surface du cylindre = ) = 0. Représenter ce potentiel ) et donner sa valeur sur l axe de révolution du cylindre. En proposant une surface de Gauss cylindrique, on trouve l expression du champ pour donné : > < - ) = pour < - ) = pour > On trouve le potentiel associé : - ) = ) pour <

2 - ) = ln ) pour > Exercice 2 : Rayon classique de l électron 1) On considère une distribution volumique de charges de densité volumique ρ uniforme contenue dans une sphère. On note Q la charge totale. Déterminer l expression du champ électrostatique et du potentiel électrostatique en tout point en fonction de Q, R et. On utilise les coordonnées sphériques. Tous les plans contenant le point M et O sont des plans de symétrie donc le champ est radial =,, ). On a invariance pour toutes rotations autour de O de la distribution de charges : = ) On propose très logiquement une sphère pour la surface de Gauss - > : ) = - < : ) = On trouve ensuite les potentiels : - > : ) = En prenant un potentiel nul à l infini - < :) = + = : ) = 1 utilisant les questions précédentes. On donne = 9,1. 10, = 1,6. 10, = 3,0. 10, = 8,9. 10 On a donc pour cette charge au repos une identification qui donne alors : Soit : 3 20 = 3 = 1,7 20 Exercice 3 : Le condensateur plan et diédrique Un vidéo projecteur utilise des forces électrostatiques afin d orienter les micro-miroirs réfléchissant la lumière à projeter. Chaque cellule (pixel) est équivalente un condensateur dont la détermination de la capacité est nécessaire afin d apprécier son temps de réponse électrique (par rapport aux temps de cadencements imposés par le signal vidéo). a) Etude «en position» condensateur plan : 2) On associe à une distribution de charges créant un champ électrostatique une densité volumique d énergie électrique égale à. Calculer l énergie électrostatique de cette distribution en fonction de Q, R et. On a donc une énergie électrostatique totale : = 2 4 = = = 2 4 = = = ) Einstein a postulé que l énergie d une masse au repos est égale à mc 2. Calculer alors l ordre de grandeur du rayon d un électron en On va considérer le système équivalent à deux plans (P 1) et (P 2) parallèles et rectangulaires. (P 1) et (P 2) sont de dimension surfacique et et placés en regard l un de l autre à une distance. Une différence de potentiel positive = est maintenue entre ces deux plans. On néglige toute influence électrique extérieure. On suppose petit devant les longueurs et de sorte que les effets de bords soient négligeables (ce qui revient à supposer les plaques condensateur idéal). ) ) infinies et le 1) Déterminer, à l aide du théorème de Gauss, le champ électrostatique ) rayonné en tout point par le plan ) seul. On notera >0 la densité surfacique supposé uniforme de ce plan. 2) Déterminer le champ électrostatique ) rayonné en tout point par le plan ) seul. On notera - la densité surfacique supposée uniforme de ce plan.

3 3) En déduire l expression du champ entre les plaques. On propose une surface de Gauss cylindrique centré sur chaque plan On obtient une capacité équivalente de 0,17 nf 8) L ensemble {alimentation + miroir} de tous les pixels est équivalent à un condensateur de 1 nf (contribution majoritaire de la cellule MOS d alimentation). Si on suppose que l ensemble est équivalent à un circuit RC, quelle est la valeur de la résistance de liaison à ne pas dépasser pour avoir un système électrique suffisamment rapide pour suivre un signal vidéo dont la cadence est de 20µs? Il faut RC << 20 µs soit R << 20 kω b) Etude «en position» condensateur diédrique : Le flux à travers cette surface fermée nous donne alors : = = + + En remarquant que le plan contenant la distribution est également un plan de symétrie alors : = Avec =0, alors : = 2 Les plaques métalliques (P 1) et (P 2) forment maintenant un dièdre d angle. On note Oz la droite d intersection de leurs plans ; sa distance à leurs bords intérieurs et sa distance à leurs bords extérieurs. Une différence de potentiel continue et positive = est maintenue entre les plans (P 1) et (P 2). On note, et les coordonnées cylindriques du point M quelconque de l espace entre les deux plaques. On néglige toujours les effets de bords. Et donc un champ =. 4) Déterminer la capacité du condensateur en fonction de,, et La capacité s obtient en calculant la circulation du champ sur un parcours d une armature à l autre : Donc : = = = = = = 5) Rappeler l expression de la densité d énergie électrique ainsi que son unité. 1) On admettra que le potentiel électrostatique ) dépend uniquement de. Justifier que les lignes de champ électrostatique entre les plaques soient des arcs de cercle centrées sur Oz. Dessiner des lignes de champ et des équipotentielles. Si ) alors = ) Donc le champ est orthoradial : = et s exprime en. 6) En utilisant la fonction, déterminer l énergie électrostatique accumulée par le condensateur chargé en fonction de et = 1 2 = 1 2 On donne = 10µ, = 5µ, = 2µ, = 8, ) Calculer la capacité équivalente des condensateurs en parallèles dans le cas du condensateur plan. Donc = ) conduit à ) = )

4 2) En appliquant le théorème de Gauss à la surface élémentaire fermée comprise entre et +, et +, et +, montrer que ) = On prend la surface suivante : 5) Montrer que l expression de la capacité du condensateur diédrique peut se mettre sous la forme = en calculant la charge totale portée par (P 1) = Donc : = = 6) Donner le rapport C /C sachant que = 7µ et = 2µ et =10. On obtient C /C 3, ce qui est logique, car on réduit l épaisseur du condensateur. Donc : = 0 =, +, ),, )) = 0 Soit un champ qui se conserve donc, +, ) =,, ) donc = 0 Or : = ) = ) Exercice 4 : Le condensateur cylindrique Un condensateur est formé de deux cylindres conducteurs très longs (on néglige les effets de bords), d axe, séparés par un matériau dont la permittivité diélectrique. Le premier cylindre plein, de rayon, au potentiel, porte la charge surfacique > 0 uniforme; le second, au potentiel < est creux et de rayon > Donc : ) = 3) En déduire l expression du potentiel et du module du champ en M en fonction des constantes, et On a donc ) = + avec deux conditions aux limites imposées : 0) = = Et : ) = + = Soit :) = + Donc = ) = On donne le théorème de Coulomb exprimant le champ électrostatique à proximité immédiate d un conducteur chargé en surface avec une densité : = (où est le vecteur normal à la surface du conducteur et dirigé vers l extérieur de celui-ci). 4) Déterminer la densité surfacique de charges ) sur (P 1) pour une distance radiale au voisinage immédiat de (P1) A l aide du théorème de coulomb, on a, à proximité directe du conducteur et pour une position radiale donné : = ) a) Etude théorique 1) Déterminer le champ électrique entre les deux cylindres. 2) Déterminer la capacité linéique en fonction de et des caractéristiques géométriques du condensateur. 3) Donner l expression de l énergie électrostatique linéique d un tel système. Que vous évoque ce résultat si l on introduit la charge linéique? =. On peut alors trouver la capacité linéique en calculant la circulation pour aller de l âme à la gaine : Donc = = = ln = 2h ln

5 On a, par définition, = Donc = =, = 2 On retrouve l équivalent linéique du condensateur plan b) Application : capteur de proximité Pour asservir précisément la position d un appareil de mesure à une distance microscopique d un objet métallique, ou inversement la position d une pièce de métal par rapport à un outil fixe, on peut utiliser un capteur capacitif de proximité. La tête de mesure de ce capteur comporte un cylindrique métallique (A) long de à base circulaire plane (D) de rayon, entouré d un cylindre métallique coaxial ouvert (B) plus long, de rayon intérieur dont une extrémité est exactement dans le plan (D). ) est la capacité d un condensateur plan : ) = est la capacité d un condensateur cylindrique : = 3) Pour faire la mesure de, on relie la pièce (P ) et le cylindre (B) à la masse électrique. Quelle est alors l expression de la capacité en fonction de? On a donc un condensateur C 2 équivalent à un fil et donc : = + 4) Application = 5; = 6; = 5; = 0,1; 10.. Donner la valeur de. On obtient 8 pf Exercice 5 : Condensateur de 2 e espèce a) Description Soient deux fils verticaux, conducteurs, de longueur et distant de. On note et la distance radiale respective d un point avec chaque fil. Avec et on pourra négliger les effets de bords. Les fils sont chargés respectivement avec une densité linéique + et et placés aux potentiels et <. La pièce métallique plane (P) est parallèle à (D) à une distance. L ensemble {(A),(B),(P)} forme une association de trois condensateurs : Le condensateur {(A),(B)} de capacité constante Le condensateur {(A),(P)} de capacité ) Le condensateur {(B),(P)} de capacité ) 1) Représenter le schéma électrique équivalent de l ensemble {(A),(B),(P)} entre les connexions de mesures 1 et 2. Quelle est l expression de la capacité électrique du capteur entre 1 et 2? C0 1) En appliquant le théorème de Gauss, donner l expression du champ créé par chaque fil. 2) En travaillant dans le plan contenant les deux fils, mesurer la circulation du champ électrique total entre les deux fils. On notera, pour les besoins du calcul, le rayon faible de ces deux fils ( et ). 3) Exprimer la capacité linéique. 4) Les deux fils sont immergés sur une hauteur h < dans de l eau de permittivité diélectrique (le reste des fils émergeant est dans l air assimilé à du vide). Que peut-on remarquer de notable sur la fonction h)? b) Application : capteur de niveau On montre rapidement que = + ) ) 2) Exprimer et ) en négligeant les effets de bord. C1(x) C2(x) Proposer un protocole permettant de vérifier qu une simple nappe de fils isolés électriquement permet d obtenir un capteur linéaire de niveau de liquide (on appréciera également la pertinence de la linéarité). Matériel à disposition : - Verrerie (bécher, burette graduée ) - Multimètre avec documentation technique

6 - Nappes de fils isolés par une gaine en plastique Rq : Rappels sur les incertitudes de type B : S il s agit d un appareil analogique (règle, cadran) alors = où est la graduation de l appareil S il s agit d un appareil numérique alors le constucteur donne une incertitude sous la forme d une somme de deux termes : + % Avec constantes donnée par le constructeur, est la valeur unitaire du dernier digit affiché. Une régression linéaire donne alors : L incertitude est alors donnée par : 2 + % ) = 12 + % ) = 3 Le champ électrique total est donc : = 2 2 La circulation du champ électrostatique est conservative et indépendante du chemin suivi. Il est pratique de la mesurer dans le plan contenant les deux fils : = ) = + 2 ) = ln 2 ln 2 ln Cette linéarité est vérifiée mais le résidu de 0,1 montre une incertitude expérimentale notable conduisant à une incertitude sur la pente de 10%. Il s agit surtout d un effet lié à la faible valeur de la capacité. Exercice 6 : Condensateur sphérique a) Partie théorique On considère deux conducteurs de géométrie sphérique de même centre. Le premier est une sphère de rayon et le second un calotte sphérique de rayon (bord intérieur) et (bord extérieur). L ensemble forme un condensateur sphérique. L armature interne de rayon porte une charge répartie uniformément en surface et l armature externe de rayon est reliée à la masse. D où : = En présence d un liquide, on se retrouve alors avec deux condensateurs en parallèle, ce qui conduit à la capacité équivalente : = h) ln + h ln La capacité est donc une fonction linéaire de la hauteur de liquide 1) Déterminer, à l aide du théorème de Gauss, le champ entre les armatures. 2) Exprimer la différence de potentiel ) ) en fonction de, et

7 3) En déduire la capacité du condensateur sachant que = + avec D après le théorème de Gauss, le champ entre les armatures est donné par : ) = 4 ) =. Soit ) =. La circulation entre les deux armatures donne : = soit : = b) Application : On représente l ensemble Terre-ionosphère comme un volumineux condensateur. Rq : En temps normal, l atmosphère est partiellement ionisée et parcourue par de faibles courants électriques verticaux dont l effet principal est de décharger le système Terre-atmosphère. Cependant l activité orageuse et la foudre permettent de maintenir la stabilité du système. Exercice 7 : Modélisation électrique d une cellule ( l) Toutes cellules vivantes de l organisme présentent une différence de potentiel électrique transmembranaire ou potentiel de membrane. Quand la cellule est au repos, ce potentiel électrique reste stable : c est le potentiel de repos. Les parois d une membrane cellulaire sont sélectives et favorisent le passage de certains ions, par exemple. Ainsi, une membrane perméable aux ions sera le siège des phénomènes suivants : Ions K + La Terre, de rayon R = 6380 km, se comporte comme un conducteur parfait de potentiel nul et porte une charge négative -Q (Q > 0) uniformément répartie sur sa surface, tandis que l ionosphère représentée par une surface équipotentielle sphérique de rayon R + zo, de potentiel V possède une charge totale +Q. On suppose que l atmosphère possède la permittivité du vide. Des mesures à l altitude zo = 60 km ont permis d évaluer le potentiel à environ 360 kv par rapport au potentiel de la Terre. 1) Justifier que le système se comporte comme un condensateur localement plan. Déterminer la valeur numérique de la capacité C. Ions Cl - Diffusion d ions dans la cellule z0 << R. On retrouve le résultat précédent Application numérique : C = 7, F 2) Calculer l énergie électrostatique Ue du système, ainsi que la valeur du champ E au niveau du sol. On obtient = = 4,32 et, puisque l ensemble est équivalent à un condensateur plan, le champ est uniforme et donné par = = 6. 3) Calculer la charge -Q portée par la Terre puis donner la valeur de la densité surfacique de charge à la surface de la Terre. Limitation de la diffusion par les ions négatifs arrêtés par la membrane et restés à l extérieur de la cellule. La membrane est globalement neutre et constitue un condensateur. Il apparaît alors une cellule moins riche en ions que l extérieur. Le potentiel de Nernst, mesurable par des microélectrodes, est alors plus faible dans la cellule : Puisqu il s agit d un condensateur Q=CV et donc Q=27,2kC et la densité surfacique est donc donnée par = = 5,31 10.

8 TD3 EM TSI Un conducteur occupant le demi espace infini > 0 est alors caractérisé par une distribution de charges de densité volumique ) =, alors que le demi espace < 0 est vide ( = 0). La surface de séparation est le plan yoz, ; est une distance très petite de l ordre de la dizaine de. Une membrane cellulaire est modélisée localement par un plan ; l axe est orienté vers l extérieur de la cellule. Une étude précise a permis de mesurer un potentiel (avec > 0) dans la cellule et un potentiel ne dépendant que de en dehors de la cellule : 0 ) = > 0 ) = Comment un biologiste peut-il, avec la connaissance du profile ), obtenir l expression de la densité volumique de charge dans l espace? On obtient le champ électrostatique par : 1) a) Donner la direction du champ électrostatique en tout point de l espace ; de quelle(s) variable(s) dépend sa norme? b) Déterminer, en utilisant Maxwell Gauss, l expression de pour > 0 et < 0 en admettant que le milieu impose un champ nul lorsque tend vers +. c) En déduire l expression du potentiel ) en tout point de l espace en fixant 0) = 0 L énoncé suppose que le système présente un plan de symétrie yoz et zox. Donc le champ électrostatique est suivant Ox. = = Donc : 0 ) = 0 > 0 ) = Et avec Maxwell-Gauss : = = 0 ) = 0 > 0 ) = On retrouve une membrane neutre et un électrolyte subissant l action du rideau de charge négative attirant des charges positives à proximité de la membrane. La charge totale est donc = ce qui redonne la structure du condensateur Exercice 8 : Champ et potentiel au voisinage d un plan chargé ; pression électrostatique dans un conducteur : Nous avons vu qu un conducteur chargé en équilibre électrostatique n est, par définition, traversé par aucun courant et que les charges supplémentaires sont localisées en surface (en toute rigueur sur une faible épaisseur ). Le champ électrostatique à l intérieur est alors nul et n autorise alors aucune densité volumique de charges au cœur du conducteur : = = 0. On a invariance de la distribution suivant y et z donc = ) La distribution de charge est volumique donc le champ est continu, donc : = = ) = pour > 0 à une constant d intégration prise comme nulle d après l énoncé = 0, ù: ) = = assurant la continuité du champ pour cette distribution volumique pour < 0 On trouve alors le potentiel par = ) = 1 pour > 0 ) = (prendre la définition du champ dans cette zone pour le calcul de son potentiel!!!) Les charges apportées sont alors plaquées à proximité de la surface du conducteur sur une faible épaisseur.

9 2) a) Tracer avec soin, sur des graphes séparés, les courbes de variation de = et de ). b) Comment se déforment ces courbes lorsque 0 en supposant que le produit reste constant (refaire les graphes)? Conclusion. bord du matériau constituent une barrière de potentiel retenant les électrons. = = 0) = La pression électrostatique s exprime comme une densité volumique d énergie. On retrouve le modèle des charges de surface avec une discontinuité du champ qui redonne le théorème de coulomb avec un champ aux abords immédiats du conducteur donné par (ce qui permet de définir une densité surfacique = tout à fait cohérente). A noter que 0 entraîne si constant ce qui va dans le sens d une distribution importante en x=0. 3) a) Quelle est la force électrostatique à laquelle est soumis un élément de volume entourant un point du demi espace > 0? b) En déduire la résultante des forces qui s exerce sur un tube de section et de hauteur infinie de puis = 0 jusqu à ; quelle est sa direction et son sens? c) Donner alors l expression de la quantité / homogène à une pression (appelée pression électrostatique). d) Vers quelle limite tend cette grandeur / lorsque 0, le produit restant constant? Exprimer le résultat obtenu en fonction de et σ (densité surfacique de charges de notre problème), puis en fonction de et 0), valeur du champ électrostatique au voisinage de la surface = 0. Commentaire. On a une force électrostatique élémentaire subie par un élément de volume du conducteurs donné par : Donc = = ) = 2 = 2 = = Cette force tend à fixer les charges sur la surface. Ces dernières sont retenues par les ions du réseau, qui, au