EXTRAITS DU B.O. SPECIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires

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1 EXTRITS DU.O. SPEIL N 6 DU 8 OÛT 008 onnaissances apacités ommentaires.1 Nombres entiers et décimaux Désignations. onnaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l écriture d un entier ou d un décimal. ssocier diverses désignations d un nombre décimal : écriture à virgule, fractions décimales. L objectif est d assurer une bonne compréhension de la valeur des chiffres en fonction du rang qu ils occupent dans l écriture à virgule, sans refaire tout le travail réalisé à l école élémentaire. La bonne compréhension s appuie sur le sens et non sur des procédures. Ordre. *Valeur approchée décimale. omparer deux nombres entiers ou décimaux, ranger une liste de nombres. Encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux autres. Placer un nombre sur une demi-droite graduée. Lire l abscisse d un point ou en donner un encadrement. * Donner une valeur approchée décimale (par excès ou par défaut) d un décimal à l unité, au dixième, au centième près.. Opérations onnaître les tables d addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent. Multiplier ou diviser un nombre par 10, 100, Longueurs, masses, durées Effectuer, pour les longueurs et les masses, des changements d unités de mesure. Les procédures utilisées pour comparer, encadrer, intercaler des nombres sont justifiées en s appuyant sur la signification des écritures décimales ou le placement des points sur une demi-droite graduée. Je révise 1 : : : 4 : : 6 : 7 : 1. Vérifier que l élève ne lit pas le nombre 1, à partir de son dernier chiffre, sans tenir compte de l existence de la virgule, et qu il ne considère pas ainsi comme le chiffre des unités.. et. Vérifier que l élève ne confond pas dizaine et dixième. Insister également sur l orthographe des deux mots.. Repérer les élèves qui répondent 9,10. Ils considèrent à tort que la partie entière est 9 et que la partie décimale correspond aux dixièmes. 4. Identifier les erreurs des élèves (suppression de tous les zéros, des zéros à droite d un nombre entier).. Repérer les élèves qui croient que, lorsque les parties entières sont égales, le nombre le plus grand est celui qui a le plus de décimales. 6. Vérifier que l élève ne confond pas décamètre et décimètre. On pourra, à cette occasion, revoir les préfixes kilo, hecto, déca ctivités Objectifs Lire l abscisse d un point. Lier l écriture décimale et l écriture fractionnaire d un nombre décimal. ien comprendre la différence entre le chiffre des dixièmes (centièmes) d un nombre et son nombre de dixièmes (centièmes). 1. a. bscisse de : 1,6. hiffre des dixièmes : 6. Nombre de dixièmes : b. 1,6 = 1 + = + = a. bscisse de : 1,. hiffre des centièmes. Nombre de centièmes : 1. hiffre des dixièmes :. Nombre de dixièmes : b. 1, = = + =

2 Objectifs Distinguer la partie entière et la partie décimale d un nombre décimal. Écrire un nombre décimal de différentes façons. 1. a. «Fiche technique» de 76, Écriture en lettres : soixante-seize unités et cinq dixièmes. Écriture décimale : 76,. Sa partie entière : 76. Sa partie décimale : 0, ou 10. Écritures décomposées : (7 10) + (6 1) + ( 0,1) ou Écriture sous la forme d une fraction décimale : b. «Fiche technique» de,69 Écriture en lettres : cinq unités et deux cent soixante-neuf millièmes. Écriture décimale :,69. Sa partie entière :. Sa partie décimale : 0,69 ou Écritures décomposées : ( 1) + ( 0,1) + (6 0,01) + (9 0,001) ou ou Écriture sous la forme d une fraction décimale : a. 0,9 b., c.,9 d. 0,046 e.,64 f. 0,08. a d. 10 b e c f On peut prolonger efficacement cette activité de la façon suivante : demander aux élèves de formuler les règles pour comparer deux nombres décimaux. On pourra utiliser le Savoir-faire 1 page 1 du manuel ; utiliser la demi-droite graduée pour demander d encadrer par exemple 7,66 à l unité puis au dixième près. On pourra ensuite utiliser le Savoir-faire page 1 du manuel.. a. 7,06 ; 7,8 ; 7,4 ; 7,66 ; 7,8. b. 7,06 ; 7,8 ; 7,4. 4. Par exemple : 7, ; 7,6 ; 7,7 ; 7, ; 7,8. Objectifs Retrouver, en liaison avec l écriture décimale, les règles de déplacement de la virgule pour effectuer une multiplication ou une division par 10, par 100, par ,4 10 = dizaines + unités + 4 dixièmes,4 10 = ,4. insi :,4 10 =,4 et,4 10 =,4.. a. 4 b et. On retrouve les règles pour multiplier ou diviser un nombre décimal par 10, par 100, par dans le Savoir-faire page 1 du manuel. 6. a. 87,4 b. 1,6 c. 4 9 d. 40 e. 780 f. 1,69 g. 0,87 h. 0, 6 i. 0,004 On vérifiera que les élèves ne considèrent pas un nombre décimal comme deux entiers séparés par une virgule (erreurs du type 8, égal à 8,74 00 ou à 800,74 00). près cette activité, on pourra convertir des mesures (voir le Savoir-faire 4, p. 1 du manuel). Objectifs Placer un point dont l abscisse est un nombre donné. Ranger une liste de nombre décimaux. Encadrer et intercaler des nombres décimaux. 1. N J K L I M 1 Exercices a b. 100 c d ,8 7,4 7,66 7,8 8 8,1 7,06. La visualisation des nombres décimaux sur la demi-droite graduée favorise l acquisition des règles pour comparer. On utilise le signe < : vérifier que l élève le lit «est plus petit que» ou «est inférieur à» (cette deuxième formulation est peu connue des élèves arrivant en sixième). Faire la même vérification avec le signe >. 7,06 < 7,8 < 7,4 < 7,66 < 7,8 < 8, = (7 100) + (8 10) +. hiffre des centaines : 7 Nombre des centaines : 7 a b c a. Trente-quatre centièmes. b. Quatre cent soixante-cinq millièmes. c. Huit millionièmes. d. Sept dix-millièmes. 1 d hapitre 1 Nombres décimaux

3 :, ou 10 : 6,1 ou :,7 ou 7 10 D : 4,9 ou a. 8,7 = 8 + 0,7 = b. 4,79 = 4 + 0,79 = c. 67,014 = ,014 = d. 8,406 = 8 + 0,406 = e. 90,64 = ,64 = f. 6,400 = 6 + 0,400 = a. 9,6 < 4,8 b. 16,8 > 16,74 c. 1,7 = 1,70 d. 47,7 > 47,7 0,87 < 0,9 < 0,909 < 0,91 < 0,91 < 0,99 a. <,6 < 4 b. 1 < 1,4 < 16 c. 0 < 0,97 < 1 d. 6 < 6, < 7 Par exemple : a. 1 < 1,4 < 1 b. 1,1 < 1,1 < 1, c. 1,1 < 1,104 < 1,11 d. 1,11 < 1,116 < 1,1 a. 600 b. 1 c. 846,7 d. 46, e. 90 f. 70 a. 0,9 b. 0,6 c.,41 d. 0,7 e. 8,76 f. 0, hm ; dam ; 6 dm. a. 48,6 m = 4,86 hm = 4,86 dam = 4 86 dm b.,79 dam = 7,9 m = 79 dm = 790 cm 16 DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 1) Nombre hiffre des dizaines Nombre de dizaines hiffre des centaines Nombre de centaines a. hiffre des dizaines : 4 hiffre des dixièmes : b. hiffre des dizaines : hiffre des dixièmes : 1 c. hiffre des dizaines : 1 hiffre des dixièmes : a. 16, : 16 et 0, (ou 10 ). b.,7 : et 0,7. c. 8,46 : 8 et 0,46. d. 0,9 : 0 et 0,9. a. 04, : cinq cent quatre unités et deux dixièmes. b. 8,04 : huit unités et quatre centièmes. c. 1,6 : quinze unités et trente-six centièmes. d. 9,001 : neuf unités et treize dix-millièmes. a. 7,40 b. 10,90 c. 008,010 d. 00,46 e f g. 1,800 h i. 80,00 a. 4,6 = ( 100) + (4 10) + ( 1) + ( 0,1) + (6 0,01) b. 9,4 = ( 10) + (9 1) + ( 0,1) + ( 0,01) + (4 0,001) c.,468 9 = ( 1) + (4 0,1) + ( 6 0,01) + (8 0,001) + (9 0,000 1) a. 67,8 b. 600,04 c ,001 d. 900, a b c d a. Mille neuf cent trois. b. Deux mille onze. c. Mille deux cent un. d. Mille cent deux. e. Deux mille cent un. f. Deux cents millions. 4 6 a.,1 b. 8,016 c. 1,000 d. 01,08 1. (0,1) ; (0,7) ; (0,9) ; D(1,).. Nombre de dixièmes : 14. F(0,1) ; G(0,7) ; H(0,8) ; I(0,8). J(8,6) ; K(8,68) ; L(8,8) ; M(8,71). 7 P(8,14) ; Q(8,17) ; R(8,11) ; S(8,119).

4 8 DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE ) Nombre 9 hiffre des dixièmes Nombre de dixièmes hiffre des centièmes Nombre de centièmes 9, , , , a. 0,9 = 10 6 c. 0,06 = 1000 b. 0,8 = d. 0,4 = a., = 00 + = + = b. 14,7 = 14 + = + = c. 6,49 = 6 + = + = d.,000 4 = + = + = e. 89,76 = 89 + = + = f. 07, = 07 + = + = a. 0,7 = 10 c. 0,00 = 1000 e. 1,6 = g.,48 = i. 1 = 1 1 b. 0,4 = d. 0,0 1 = f. 1, = h. 146,8 = a. 0,8 b. 0,19 c.,7 d. 4,6 e. 0,00 7 f.,4 E : 7,6 = G : 7,8 = a. 8, b. 6,17 c. 4,06 d. 8,4 F : 7,68 = H : 7,7 = ; ; 7,600 ; L intrus est a. 0,4 > 0, 9 b. 14,019 < 14,0 c. 6,99 > 6,989 d. 64,66 < 64,64 e. 0,07 = 0,070 f. 1,989 > 1,987 9 a. 7, > b.,46 < c >,9 d < 0,41 e > f < a. 7, 8 ou 9 b.,, 1 ou 0 c. 4,,, 1 ou 0 d. 0, 1,,, 4,, 6, 7, 8 ou 9 1. E(8,71) ; I(8,7) ; G(8,69).. G E N I L 719 a. 7,19 = 100 c. 9,04 = e. 0,07 = 100 b.,4 = d.,011 4 = f. 8 = ,7 8,8. 8,69 < 8,71 < 8,7 < 8,7 < 8,79 < 8, ,88 < 11,9 < 1,08 < 1,409 < 1,47. 01,6 > 01,8 > 01,09 > 00,9 > 00,68 6,6 > 6,8 > 6,61 > 6,49 > 6,49 > 6, a. = + = + = 4, b = + = 6 + = 64, c = + = 4 + = 4, ,00 > 8,80 > 8,7 > 8,90 > 8,09 lassement : 1 er : édric. e : Éric. e : rthur. 4 e : Dimitri. e : oris < a < , < a < 17, hapitre 1 Nombres décimaux

5 47 a. 6 < 6,1 < 6 b. 49 < 49,8 < 0 c. < + 10 < 6 d. 9 < 9,9 < ,0 10 = 1. Un bouquet de dix roses coûte 1. 6 : 10 =,6. Une place de cinéma coûte, a. < b < 6 b.,1 < b <, 1. 9 ; 96 ; 97 ; 98 ; 99 ; 100 ; On peut intercaler une infinité de nombres décimaux entre 94,8 et 101,. a. 16,7 < 16,70 < 16,71 b. 8,46 < 8,46 < 8,47 c. 9,0 < 9,06 < 9,1 d. 0,99 < 0,990 1 < 0,991 a. 8, < 8,1 < 8,4 < 8,6 < 8, b. 6,7 < 6,701 < 6,70 < 6,704 < 6,71 c.,4 <,40 1 <,40 <,40 <, 1. a. 6 b. 147 c. d. 0. a. 9 b. 1 c. 9 d. 47 Valeur approchée par défaut de 8,46 Valeur approchée par excès de 8,46 À l unité près 8 9 u dixième près 8, 8, u centième près 8,4 8, a. Par défaut : 0,9 Par excès : 1,0 b. Par défaut : 6,4 Par excès : 6, c. Par défaut : 9, Par excès : 9,4 d. Par défaut : 6,8 Par excès : 6,9 a. 480 b. 7 c. 700 d. 60 e. 40 f. 90 a. 100 b c. 10 d. 100 e. 100 f a. 6,8 b. 000 c. 70 d. 0,01 4 e. 0,04 f. 0, a. 10 b. 100 c. 10 d. 100 e. 100 f a. L b. dl c. dl d. hl e. dl f. dal a.,4 dm = 4 cm ; 16 dm = 160 cm ; 8,7 dm = 8,7 cm ; 10 dm = 1 00 cm. b. 0,4 m = 40 cm ; 1 m = 100 cm ;,6 m = 6 cm ; 9 m = 900 cm. c. 8 mm =,8 cm ; 4,7 mm = 0,47 cm ; 74 mm = 7,4 cm ; 146, mm = 14,6 cm. a. 8 L = 80 dl b. 1 dl = 1 00 ml c. 7 dl =,7 L d. 4 ml = 0,4 dl e. 1,6 cl = 16 ml f. 1, L = 0,01 hl a. 16 kg = g b. 4, dg = 40 mg c. 1 mg = 0,1 g d. 1, t = 1 00 kg e. 0,84 hg = 840 dg f kg = 14 t a. 8, dg = 8 cg b. 47 mg =,47 dg c. t = 000 kg d. 4,6 dag = 4 60 cg e. 1 cg = 0,1 g f. 40 g =,4 hg Thème de convergence a. Suède, France, llemagne, Danemark, Portugal, République Tchèque, Slovaquie, ulgarie, Estonie et Lettonie. b. France, Suède, llemagne, Portugal, Danemark, République Tchèque, Estonie, Slovaquie, ulgarie et Lettonie.. La ulgarie et la France. À l oral a. Six cent soixante-dix-neuf. b. Huit cent six mille deux cents. c. Neuf millions deux cent quarante mille sept cent cinquante et un. d. Treize mille vingt-huit. e. Trois mille quatre cent quatre-vingt-dix-huit. f. Deux millions soixante mille sept : a. 9 90, ; 6,00 ; : b. 8,7 0,87, : c. 40 0,4 4, 4 70 a. dizaines b. milliers c. unités d. centièmes e. millièmes f. milliers

6 a. Seize unités et sept dixièmes ou cent soixante-sept dixièmes. b. Huit unités et trente-deux centièmes ou huit cent trente-deux centièmes. c. Quatre unités et six millièmes ou quatre mille six millièmes. d. vingt-neuf unités et soixante et un centièmes ou deux mille neuf cent soixante et un centièmes. e. ent trente-neuf unités et quatre dixièmes ou mille trois cent quatre-vingt-quatorze dixièmes. f. Deux unités et onze dix-millièmes ou vingt mille onze dix-millièmes. a. 794 b c. 409, d a b. 10 c d. 7 e. 70 f =,9 ; insi : < =,406 ; =,64 ; 1000 < = 8,46 ; = 4,987 <,6 < < a. 0,007 mm b. 1, mm c. 0,000 0 mm. a μm b. 0 μm c. 0,06 μm. a. 0, nm b. 0,004 9 nm c. 9 nm 1. Jupiter, Neptune, Saturne, Terre, Uranus et Vénus.. Mars, Mercure, Terre et Vénus.. Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune. 74 a. 14 b. 1,4 c. 0,14 d. 0,9 e.,9 f. 0, a = 1,8 = , b a 1, ; 0, ; ; ; ; 84,6 : À l échelle 1, les dimensions de la salle sont 100 9, cm et 6 cm Je suis : 6 8 Je suis : 178,91 Je suis : 4,84 On exprime chacune des longueurs dans la même unité, par exemple en m. 1 =, m ; =,04 m ; =,4 m ; 4 =,4 m ; =,04 m ; 6 = 0 m. 6 > 1 > > 4 > > b = = + = a. c = = b. Voir figure question.. d = 1,81 6. b < a < d < c 7. a. 1 < d < 1 b. 1, < d < 1,4 1. (,04) ; (,16) ; (,) F E D, 0 est le chiffre des unités une fois par dizaine, donc fois. 0 est le chiffre des dizaines des nombres 100, et des nombres 00, 01 09, donc 0 fois. On utilise 4 fois le chiffre On ne peut pas utiliser la boule n 1 car sa masse n est pas comprise entre 0,6 kg et 0,8 kg (on peut également justifier en utilisant uniquement le diamètre qui n est pas compris entre 7,0 cm et 8 cm). On ne peut pas utiliser la boule n car son diamètre n est pas compris entre 7,0 cm et 8 cm. Thème de convergence Lille, Strasbourg, Paris, La Rochelle, Lyon, ordeaux, Nice et jaccio.. ordeaux, La Rochelle, Lille, Lyon, Paris et Strasbourg.. 17 < 17,8 < 18 hapitre 1 Nombres décimaux 7

7 rgumenter et débattre Pour les curieux Vrai. Vrai. Faux 4. Faux. Vrai 6. Vrai 7. Faux Vincent a tort. Il voit un nombre décimal comme deux entiers séparés par une virgule ; il fait donc l erreur d utiliser la règle de comparaison des entiers (4 < 8) pour la partie décimale. 1. Florent a tort : le chiffre des dizaines est, alors que la partie entière du nombre 7, est 7.. Nombres à cinq chiffres vérifiant les conditions : 7,11 ; 67,1 ; 97,1 ; 74,1 ; 674, ; 974, ; 76,1 ; 676, ; 976, ; 78,14 ; 678,4 ; 978, a. b c a. b. c. d.. Pour 1 789, il faut hiéroglyphes ( ). Pour , il faut 4 hiéroglyphes (9 6). 4. On peut seulement écrire les nombres entiers.. Numération additive : pour lire un nombre, on additionne les valeurs de tous les hiéroglyphes qui ont été utilisés dans son écriture. Numération qui n est pas une numération de position : l ordre des hiéroglyphes n a pas d importance. 8

8 nnexe 1 16 Nombre hiffre des dizaines Nombre de dizaines hiffre des centaines Nombre de centaines nnexe 8 Nombre hiffre des dixièmes Nombre de dixièmes hiffre des centièmes Nombre de centièmes 9,87 6,4 8, ,6 hapitre 1 Nombres décimaux 9

9 EXTRITS DU.O. SPEIL N 6 DU 8 OÛT 008 onnaissances apacités ommentaires. Opérations ddition, soustraction, multiplication et division. onnaître les tables d addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent. Multiplier ou diviser un nombre par 10, 100, *Multiplier un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001. La maîtrise des tables est consolidée par une pratique régulière du calcul mental sur des entiers et des décimaux simples. La division décimale est limitée à la division d un décimal par un entier. En calcul posé, le dividende comporte au maximum deux chiffres après la virgule. Sens des opérations. Techniques élémentaires de calcul. hoisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée. Savoir effectuer ces opérations sous les diverses formes de calcul : mental, à la main ou instrumenté. onnaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, produit, terme, facteur, dividende, diviseur, quotient, reste. Pour les problèmes à étapes, la solution peut être donnée à l aide d une suite de calculs, *ou à l aide de calculs avec parenthèses. La capacité à calculer mentalement est une priorité et fait l objet d activités régulières. La maîtrise des différents moyens de calcul doit devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes. oncernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n est recherchée. Ordre de grandeur. Établir un ordre de grandeur d une somme, *d une différence, d un produit. L objectif est de sensibiliser les élèves à utiliser les ordres de grandeur pour contrôler ou anticiper un résultat. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. 10 Je révise 1 : : : 4 : ctivités Objectif Savoir choisir l opération qui convient au traitement d une situation donnée. 1. a. Soustraction b. ddition c. ddition d. Soustraction. a = 66 ; il y a 66 externes dans ce collège. b = 6 ; la distance cherchée est 6 km. c. = + =,4 + 7,9 donc = 11, cm. d. EF = EG FG = 8,8 4,9 donc EF =,9 cm. Objectif omprendre le lien entre l addition et la soustraction. 1. a. D = D = donc D = 40 m. b = 700 ; = 40 ; = = 1 donc 1 8 = 7 et 1 7 = = 64 donc 64 = 9 et 64 9 =. 4. a , = 7, b. 1, 10,8 = 48, 1, 10,8? Objectif Savoir calculer habilement une somme de plusieurs termes. 1. a. (41,7 +,8) + 8, = 97, + 8, = 1,8 (47,7 + 8,) +,8 = 100 +,8 = 1,8. On obtient le même résultat. b. La deuxième façon est la plus rapide.. (148, + 81,7) + 47,98 = ,98 = 1 47,98 Objectif Savoir contrôler ou anticiper une somme ou une différence en utilisant les ordres de grandeur. 1. Un ordre de grandeur de la somme des distances est 800 km.. Un ordre de grandeur de cette somme est 1 00 ; le seul résultat possible est 1 498, (les trois autres sont sûrement faux).. Un ordre de grandeur de la différence 9,80 9,90 est 0, donc un ordre de grandeur du prix de vente du lecteur est 0.

10 Objectifs Savoir calculer des durées en utilisant l addition ou la soustraction. 1. La durée cherchée est h 8 min.. On obtient h 0 min. Le voyage a duré h 0 min. Exercices 14 1 DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 1) Externes Demi-pensionnaires Total Garçons 7 10 Filles Total a b. + 1 = , , = 7, Terme ; 114,. Différence ; termes. Différence 4. Somme ; termes. Différence ; terme a. b c. 1 d. 16 e f. 49, a. 819 est faux. b. 66 est faux. c. 19 est faux = 9 ; 9 < 10 donc Loïc pourra régler ses achats a. 1 b. 7,9 c. 46,9 d. 104 e. 4,7 f. 0 a. b. 6,1 c. 8 d. 8,6 e. 0 f. 11,09 a. h 8 min b. 1 h c. 6 h 0 min a. h 0 min b. 4 h 06 min c. h 0 min 1. 1, + = 17, donc = 17, 1, =,8 ; il manque,80 à Marine.., = 11 donc = 11 +, = 14,. Julie a eu 14,.. 10 = 7,7 donc = 10 7,7 =,. Le goûter de Julie coûte, a. ( + 7) + (0 + 0) = = 00 b. (87 + 1) + ( ) = = 000 c. ( ) + ( + 77) + ( ) = = 000 a. (, + 77,) + (66, +,) = = 00 b. (1 + 9) + ( + 8) + ( + 7) + (4 + 6) + = = 4 c. (46 + 4) + (47 + ) +(48 + ) + (49 + 1) + 0 = = 40 a.,7 1,4 = 10, b. 148,4 + 11,6 = 80 c. 66,7,8 = 60,9 d. 100,6 100,6 = a. 7,6 +,7 = 40, = 100 b. 4,7,6 = 1,0 = c. 97,,871 = 91,9 = d. 0,4 + 0,48 = 0,8 = a. = 0 b. = 00, c. = 10 d. = 1,7 e. = 0 f. = a. 8 ; 10 ; 1 b. 7 ; 9 ; 11 c. 16 ; 19 ; d. 16 ; ; 9 On obtient : a. 16 b c d. 1, e. 88,9 f. 104,8 On obtient : a. 9 b. 41 c. 618 d. 0,8 e. 4,01 f. 70,94 a. 999 b. 6,96 c. 4,14 d. 41 e. 89 f. 87, a. b. c.. a. = = 19 Julie mesure 19 cm, soit 1,9 m. b. = = 17 Le tarif sans remise est 17. c. = = 19 Julien a perdu 19 billes. 1. a. 98,9 100 et 49,8 0 donc 98,9 49,8 0. b ; 19,7 0 et 0,1 0 donc (10 19,7) 0,1 0.. a. 49,1 b., hapitre ddition et soustraction 11

11 On obtient 40.. Somme exacte : 9, La séance a duré h 1 min.. La séance a débuté à 18 h. 1. Marc est arrivé à 14 h 40.. Marc a attendu min. 1, = 1,. Sarah a eu 1, au deuxième contrôle. 11 = 14. Fabien a 14 ans. Thème de convergence = Entre 00 et 006, il y a eu 4 16 accidents corporels de moins = 96. Entre 006 et 007, il y a eu 96 accidents corporels de plus. À l oral a. b. 8 c. 19 d. 14 e. f. 4 g. 6 h. 8 i. 1 j. 16 k. 4 l ,78 + 0,4 = 1,014. Le nombre demandé est 1,014. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE ) x y x (y + 10) (x y) ,7 1,8 7,9 7,9 100,4 90, x, = 14,9.. x = 14,9 +, soit x = 17,4. Salima possédait 17, a b = Donc un ordre de grandeur de l accroissement de la population française entre le 1 er septembre 00 et le 1 er septembre 006 est (un million). 1. On obtient 14,. e nombre est 14,8.. On obtient 4,9. 4. e nombre est 114,8. Thème de convergence 47 On obtient 90 mm/m a. 70 b. 69 c. 100 d. 0 e. 8 f. 11,1 a b c d. 90 a b DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE ) a b a + b a b ,4 18,9 6, 7, On obtient 16,.. On obtient 1,.. On obtient x = 7,8. 1. a et b sont égaux.. a et b sont nuls.. b est nul. a. 44,7 + (88,9 77,1) = 44,7 + 11,8 = 6, b. 178 (44 + 9) = = 4 c. 8,9 (1,9 9,4) = 8,9 1, = 46,4 rgumenter et débattre Vrai (propriété du cours).. Faux.. Faux : on peut poser l opération ou faire le calcul en ligne. 4. Faux : on peut faire le calcul en ligne ou utiliser une calculatrice.. Faux : c est un résultat approché. 6. Vrai (définition de la différence de deux nombres). 7. Vrai : = Vrai. 9. Faux : 1 h 0 min = 1, h. 10. Faux : (1 10) + 1 = = 1 (10 + 1) = 1 = Oui ; ce nombre est égal à, (7, = donc = 7, =,) = Donc c est exact.. 0,0 = 0, donc = 0, + 0,0 = 0,. e nombre est égal à 0,. 1. c.. b.. a. 1. On obtient le triple de 8, soit On obtient alors le double de, soit 46.

12 . et. Première somme : = 1,. Deuxième somme : = 17,. Troisième somme : Quatrième somme : inquième somme : Sixième somme : = 1, = 197, =, Septième somme : Huitième somme : Neuvième somme : Dixième somme : = 1984, = , =, = 1998, =,. Pour les curieux a. 8 8 = 64. La somme des huit premiers nombres impairs consécutifs est 64. b. 9 9 = 81. La somme des neuf premiers nombres impairs consécutifs est 81. c = 100. La somme des dix premiers nombres impairs consécutifs est On obtient : 1,78 ; 1 97,79 et, Les résultats sont identiques.. On obtient les mêmes résultats dans les colonnes et F.. a. Non. b. On calcule = 10. hapitre ddition et soustraction 1

13 nnexe 1 14 Externes Demi-pensionnaires Total Garçons 7 10 Filles 6 Total 18 nnexe 8 a b a + b a b 48 18,9 7, 87 nnexe 4 x y x (y + 10) (x y) ,7 1,8 100,4 90,4 14

14 EXTRITS DU.O. SPEIL N 6 DU 8 OÛT 008 onnaissances apacités ommentaires. Opérations ddition, soustraction, multiplication et division. onnaître les tables d addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent. Multiplier ou diviser un nombre par 10, 100, *Multiplier un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001. La maîtrise des tables est consolidée par une pratique régulière du calcul mental sur des entiers et des décimaux simples. La division décimale est limitée à la division d un décimal par un entier. En calcul posé, le dividende comporte au maximum deux chiffres après la virgule. Sens des opérations. Techniques élémentaires de calcul. hoisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée. Savoir effectuer ces opérations sous les diverses formes de calcul : mental, à la main ou instrumenté. onnaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, produit, terme, facteur, dividende, diviseur, quotient, reste. Pour les problèmes à étapes, la solution peut être donnée à l aide d une suite de calculs, *ou à l aide de calculs avec parenthèses. La capacité à calculer mentalement est une priorité et fait l objet d activités régulières. La maîtrise des différents moyens de calcul doit devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes. oncernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n est recherchée. Ordre de grandeur. Établir un ordre de grandeur d une somme, *d une différence, d un produit. L objectif est de sensibiliser les élèves à utiliser les ordres de grandeur pour contrôler ou anticiper un résultat. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. Je révise 1 : : : 4 : ctivités Objectif Savoir choisir l opération qui convient au traitement d une situation. 1. a. Multiplication b. Soustraction c. Division/ Multiplication d. ddition. a.,1, = 7,7 donc Paula paie 7,7. c. 1,6 = donc = 4,. Le cartable pèse 4, kg. Objectif Justifier la technique de calcul du produit de deux nombres décimaux = 4 0. a. 1, 100 = 1 b.,4 10 = 4 c. 4 0 : = 1,,4 d. 1,,4 = 4, 1 4 = : ,,4 = 4, Objectif Savoir contrôler ou anticiper un produit en utilisant les ordres de grandeur ,9 400 donc le résultat proposé par naïs est faux.. a. 4,0 19,8 0 4 ; 1,98 00,1 00 ; 0,99 100, b. On obtient 80 ; 400 ; 100. c. On obtient 80,19 ; 96,198 ; 99, Donc les ordres de grandeur choisis sont corrects. Objectif Mettre en place la technique de calcul du produit de deux nombres décimaux sur des exemples. Multiplication par un nombre inférieur à 1, multiplication par 0,1 ; par 0, ,74 a trois chiffres après la virgule et 4,9 en a un. Donc le produit 9,74 4,9 a quatre chiffres après la virgule. 81, a un chiffre après la virgule et,7 en a deux. Donc le produit 81,,7 a trois chiffres après la virgule. hapitre Multiplication 1

15 . Pour déterminer le nombre de chiffres après la virgule d un produit de deux nombres décimaux, on additionne les nombres de chiffres après la virgule des deux facteurs du produit.. a. e produit a deux chiffres après la virgule. Donc 1,7 4, = 7,1. b. 1,7 4, =,71 0,17 0,4 = 0, ,04 =,71 1,7 40 = 71,.,8 >,8,8 0,9 <,8,8 0,4 <,8 17 > ,7 < , < ,1 =,7 4, 0,01 = 0,4 0,7 0,001 =, : 10 =,7 4, : 100 = 0,4 0,7 : =, Exercices 1. 4,8., , 7 0,01 = 0,. Une communication de min coûte 0,. 0,01 7 = 0,7. Une communication de 7 min coûte 0,7. On obtient : a. 8 b. 8 1 c. 0 d e. 8 f. 10,6 g. 70,64 h. 69,8 i. 86,9 j. 66, a b. 7 c. 0,69 d e a. 0,01 b. 0,486 c. 0,168 d. 0,11 7 a. 41,8 b. 4,6 c. 10,44 d.,41 a b c. 100 d e. 1 f Les facteurs de ce produit sont les nombres,8 et = On obtient m, soit 4,8 km = La camionnette transporte trois millions de crayons. a. 4 b. 9 c. 4 d. 4 e. f. a. 16 ; 4 b. 0 ; 7 c ; d. 104,8 ; 17, e. 1,6 ;,4 f ; a. 1 1 b c. d a. 1,78 877,4 = ,47 b. 1,7 8 87,74 = 108, On obtient : a. 16, b. 18,81 c. 1,14 d. 19,41 6 e.,1 f. 199,04 a. 44,11 b ,7 c. 1,98 99 d. 7,484 e ,08 f. 6,74 8 a. 14,8 b. 1,1 c. 8 d. 67,4 e. 1 74,4 f. 40,0 a. (0, ) 4,7 = 1 4,7 = 4,7 b. (0,01 100) 88,9 = 1 88,9 = 88,9 c. (1 8) (7 41, 10) = = d. 009 (0,1 8) ( ) = = ,4 0, , ,44 0, ,8, = 7 donc on paiera 7 pour ces pommes.,4, = 8,4 donc on paiera 8,40 pour ces clémentines. 1. 0,1 = 1,07. Maxime parcourra 1,07 km en min. 0,1 0 = 4,. Maxime parcourra 4, km en 0 min.. 0,1 47 = 10,10. Maxime a parcouru 10,10 km en 47 min. a. ( ) ( ) = = 100 b. (4 0,) (4 0,) = 1 1 = 1 c. ( ) ( ) ( ) = = d. (0 ) (0 ) (0 ) = = e. (0, ) (0, ) (0, ) = = 1 a. (0 ) 0,01 = 100 0,01 = 1 b. ( ,000 1) (4, 10) = 1 4 = 4 c. 0

16 a.,9 + 4,8 = 8,7 b. 4,9 + 10,8 = 148,7 c. 409,76 4,8 = 4,96 d. 14,1 +, = 6,4 a. 0,01 b. 80 c. 0,000 1 d. 0,000 1 e. 0,1 a.,7 (1, + 8,8) b. 7 + (8, 6) a. 9 (1,4 + 0,6) = 9 1 = 117 b. 17 (17 0,9) = 17 1, = 1,7 a. 89 < 89 b. 7 0, < 7 c. 1 > 1 0, d. 1 0,999 < 1 1,001 a., b. 0,8 c. 7 d. 0, (6 4) + (4 ). On obtient 1. Il y a 1 élèves de 6 e dans ce collège. 1. On obtient 17,1.. Il restera 17,10 à Margaux pied = 0,48 cm.. 1 yard = 91,44 cm. Thème de convergence 44, 10 =. L espérance de vie aura augmenté de mois, soit ans et 1 mois, entre 000 et 010. Elle sera donc de 81 ans et 1 mois en On obtient 11. À l oral 1 On obtient 48 m ,6 9, donc le résultat de Marine est faux.. 998,7 9, donc le calcul de Samir est faux. 1. 7,8 140 = 1 094,8. L employé perçoit 1 094,80 pour 140 h de travail.. 7,8 14, = 1 114,. L employé perçoit 1 114, pour 14, h de travail. 7 = 1 7 donc L de cette eau de mer contiennent 1,7 kg de sel. 7 7, = 06, donc 7, L de cette eau de mer contiennent,06 kg de sel.,6 4 = 10,6 donc hristophe paiera 10, ,7 = 4,8 donc le périmètre de ce carré est égal à 4,8 cm. 1,7 6 = 10,. Le pack contient donc 10, L d eau ; on pourra remplir le bidon de 10 L. (1, ) 10 = et > 00. Donc le déplacement des cartons en une seule fois est déconseillé a. Somme de et du produit de 4 par,. b. Produit de la somme de 7, et, par 4. c. Somme du produit de 9,8 par 100 et de 0. d. Produit de 8,7 par la somme de,7 et 6,. a. Somme de 4 et du produit de par 4,7. b. Différence du produit de 11 par et de,7. c. Produit de 1, par la somme de, et 9,. d. Produit de la différence de 74 et 4,4 par 1,. a. 18 b. c. 40 d. 6 e. 6 f. 4 a. 64 b. 6 c. d. 70 e. 600 f a. 60 b. 400 c d e f. 000 g. 0 h. 180 a. 10 b c d e f a.,4 b. 1,7 c. 100 d. 0,41 e. 0,0 f. 0,00 0 1,7 < 0,9 1,7 < 1,7 1 < 1,7 4, = 7. On pourra imprimer 7 pages en minutes = 10. Il faudra 10 min pour imprimer 10 pages. (4, 1,) + 1, = 7,7. Quentin paiera 7,70. 8 a. 1 b. 100 c. 10 d e. 100 f. 10 hapitre Multiplication 17

17 Faux (facteurs).. Faux.. Vrai (0, 0 = 10 et 10 < 0). 4. Faux (1, ).. Vrai. 6. Vrai. 7. Faux (0, ). 8. Faux : (0, ) (0,0 40) = 1 1 = Vrai. 10. Vrai.,4 ; 7,0 ; total = 1,0 1. 8, 7, = 9 6,7. 8 ; ; ; 4 ; 4 ; , 9, Marie achète 4 kg de fruits à, le kg et, kg de tomates à, le kg. ombien paiera-t-elle?. Marie paiera 1, a. (9,7 ) + (6,4) b. On obtient 61,.. (11,8 + 4,) (9,1,9) = 99, cm.. L aire est multipliée par.. Idem. 4. L aire est multipliée par DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 1) a b c b c a + (b c) b + c a (b + c) ,7 0, 9,7 11,4 9, 80,91 1,8 1, 0,6 0,7, 1,8,4 10 0, = (10 100) 0,0 7 = ,0 7 =,7,,7 4 = (, 4),7 = 10,7 =,7 70 0,01 =,7 66,6 4 = (66,6 ) = 1,, 4 = (, ) = 1, Les produits b. c. et e. sont égaux Les produits a. d. et f. sont égaux a. 7,8 b. 7,77 c. 7,67 d. 7,801 e. 7,789 donc,9 1, <,1,7 < ,789 0,000 1 < 0,78 10 < 0, = (6 4) ( ) = (6 ) (4 ) = 0 0 = 600. a. ( ) (4 7) = ( 4) ( 7) = = 100 b. ( ) ( ) = ( ) ( ) = = 990 c. (4 4) ( ) = (4 ) (4 ) = = (0,88 ) + (,,). On obtient 11,4. Fabrice paiera 11, a. (10, 0) (, 44) b. Recette : 8,0. 40 entrées plein tarif et 64 entrées tarif réduit. a. 4 b. 48 c = 1. Il y a 1 façons différentes de constituer le plat principal.. 1 = 4. On peut constituer 4 menus. e nombre est égal à Thème de convergence = = 400 donc la durée de vie d un sac en plastique est 400 mois, soit fois plus que celle d un mouchoir en papier. rgumenter et débattre = 6 ; le dernier chiffre du produit est. Réponse a. (le «multant» d un nombre s obtient en multipliant les chiffres qui composent ce nombre). 1. On peut former couples.. = 70. On peut former 70 triplets. 1. (1 ; 4), ( ; ) et (4 ; 1). (1 ; 6), ( ; ), ( ; ) et (6 ; 1). (1 ; 1), ( ; 6), ( ; 4), (4 ; ), (6 ; ) et (1 ; 1)

18 81 et exercice pourrait être proposé en devoir de recherche, à la maison. Un travail par «narration de recherche» pourrait être suggéré : les élèves explicitent, par écrit, leur recherche, avec les questions qu ils se posent, les «chemins» permettant d accéder aux réponses avec les outils dont ils disposent. Il existe beaucoup de travaux concernant la narration de recherche (voir par exemple, le site Internet narration/pres.htm) 1. a. En nommant D ce quadrilatère, on compte les trois droites (), () et (D), puis les deux droites () et (D), et enfin la droite (D). b. Par chaque sommet, il passe trois droites joignant un autre sommet. Il y a quatre sommets. Or chacune des douze droites est «passée» deux fois, d où le calcul.. sommets : = (4 ) : = 10. On obtient 10 droites. 6 sommets : = ( 6) : = 1. On obtient 1 droites.. 1 sommets : = (1 1) : = 78. On obtient 78 droites. sommets : = (4 ) : = 00. On obtient 00 droites. 8 7 sommets : = (6 7) : = 666. On obtient 666 droites = (69 70) : = 41. Pour les curieux En appliquant cette méthode, on obtient : 1 18 = 4 ; = 8 ; = 04 ; 11 1 = 16 ; 1 11 = 1 ; 1 19 = 47 ; = 7 ; = ; 1 1 = a. 1re ligne : / e ligne : 48,6 / 48,6 e ligne : 4 1,88 / 4 1,88 b. a (b + c) = (a b) + (a c). a. 1 re ligne : 140 / 140 e ligne : 484,7 / 484,7 e ligne : 4 061,77 / 4 061,77 b. a (b c) = (a b) (a c) hapitre Multiplication 19

19 6 nnexe 1 a b c b c a + (b c) b + c a (b + c) 1 4 8,7 0, 9 1,8 1, 0,6 0

20 EXTRITS DU.O. SPEIL N 6 DU 8 OÛT 008 onnaissances apacités ommentaires. Nombres et calculs Multiples et diviseurs. onnaître et utiliser les critères de divisibilité par, et 10. onnaître et utiliser les critères de divisibilité par, 4 et 9. La notion de multiple, introduite à l école primaire, est rappelée sur des exemples numériques, en même temps qu est introduite celle de diviseur. Les différentes significations de ce dernier terme doivent être explicitées. Sens des opérations. hoisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée. Pour les problèmes à étapes, la solution peut être donnée à l aide d une suite de calculs, *ou à l aide de calculs avec parenthèses. Techniques élémentaires de calcul. Savoir effectuer ces opérations sous les diverses formes de calcul : mental, à la main ou instrumenté. onnaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, produit, terme, facteur, dividende, diviseur, quotient, reste. La capacité à calculer mentalement est une priorité et fait l objet d activités régulières. La maîtrise des différents moyens de calcul doit devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes. oncernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n est recherchée. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. Je révise 1 : : : 4 : : Objectif ctivités Rappeler la signification des nombres intervenant dans une division euclidienne, notamment interpréter le quotient d un nombre a par un nombre b comme étant le plus grand nombre de groupes de b éléments que l on peut constituer avec a éléments = 468 < 00, donc Karima peut utiliser 6 perles = 486 < 00, donc Karima peut utiliser 7 perles = 04 > 00, donc Karima ne peut pas utiliser 8 perles.. a. Karima peut utiliser au maximum 7 perles. b = 486 et = 14. Il reste donc 14 mm pour fermer le collier.. 00 = (18 7) a. Karima aurait pu effectuer la division euclidienne de 00 par 18. b Le nombre maximal de perles que Karima peut utiliser est le quotient de la division euclidienne de 00 par 18, soit 7 et le reste est la quantité de fil qui reste pour fermer le collier, soit 14 mm. c. Le nombre 00 est appelé le dividende. Le nombre 18 est appelé le diviseur. d. Le reste est le nombre 14. Il correspond à la longueur de fil restant pour fermer le collier. Le quotient est le nombre 7. Il correspond au nombre maximal de perles par collier. Objectif Revoir la technique de la division euclidienne posée. 1. a. Le reste 6 ne convient pas car le reste doit être inférieur au diviseur. b. On ne peut pas enlever 40 de hapitre 4 Division euclidienne Division décimale 1

21 c. Il y a 0 dizaines à partager en 4 parts égales, ce qui donne 0 comme chiffre des dizaines du quotient DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 1) a b Objectif Le quotient de la division euclidienne de par 8 est égal à 41 et le reste est égal à 7. Le quotient de la division euclidienne de 94 par est égal à 6 et le reste est égal à. Découvrir le critère de divisibilité par 4 qui n a pas toujours été abordé au M. On commence par montrer sur un exemple que tous les multiples de 100 sont divisibles par 4, puis on en conclut qu il suffit de regarder le nombre formé par le chiffre des dizaines et celui des unités pour savoir si un nombre est divisible par On peut partager 100 en quatre parts égales de. On peut partager 00 en quatre parts égales de 0. On peut partager 00 en quatre parts égales de 7. On peut partager 900 en quatre parts égales de.. a. Jamel commence par partager 00 en quatre parts égales de 7. Il reste 17 billes à partager. Jamel ne peut pas partager 17 billes en quatre parts égales car 17 n est pas un multiple de 4. b. Jamel aurait pu partager 0 billes en quatre parts égales car il aurait commencé par partager 00 en quatre parts égales de 7 puis il aurait partagé les 0 billes restantes en quatre parts égales de. Il aurait ainsi obtenu quatre parts de 7 +, soit 80 billes. c. 4 = 4 1, donc Jamel peut partager 04 billes en quatre parts égales de 7 + 1, soit 76 billes. 9 n est pas un multiple de 4, donc Jamel ne peut pas partager 09 billes en quatre parts égales. 40 = 4 10, donc Jamel peut partager 40 billes en parts égales de , soit 8 billes. 8 = 4 7, donc Jamel peut partager 8 billes en parts égales de 7 + 7, soit 8 billes. n est pas un multiple de 4, donc Jamel ne peut pas partager billes en quatre parts égales.. Pour savoir si un nombre est divisible par 4, il suffit de regarder si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4. Objectif omprendre la division décimale. Interpréter le quotient d un nombre décimal a par un nombre entier b comme le nombre par lequel il faut multiplier b pour obtenir a. 1.,4 = 17,. Kangouro a parcouru 17, m en cinq sauts.. a. Dans l égalité 8 = 1,76, le nombre manquant représente la longueur d un saut (en m). b. D une part, 8 = 16 et 16 < 1,76. D autre part, 8 = 4 et 4 > 1,76. Donc le nombre manquant est compris entre et.. a. Kangoura peut partager 1 m en huit parts égales de m au maximum. Elle aura ainsi pu partager 16 m, il restera donc m à répartir. b. m = 0 dm, il faut donc partager 0 + 7, soit 7 dm en huit parts égales. Elle peut répartir 7 dm en huit parts de 7 dm. Elle aura ainsi pu partager 6 dm, il restera donc 1 dm à répartir. c. 1 dm = 10 cm, il faut donc partager , soit 16 cm en huit parts égales. e qui donne cm par part. La longueur d un saut de Kangoura est donc égale à : m 7 dm cm, soit,7 m. 4. a. Kangouro a effectué la division de 1,76 par 8. b. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE ) 1 1, , Exercices DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE ) a. 6 7 b

22 4 1. a. 8 1 b a. (1 ) + = + = 8 b. (4 0) + 4 = = 94 L égalité «dividende = (diviseur quotient) + reste» est bien vérifiée dans les deux cas. a. 69 = (60 4) + 9, donc : 69 min = 4 h 9 min. b. 41 = (60 6) +, donc : 41 min = 6 h min. c. 90 = (60 1) + 0, donc : 90 min = 1 h 0 min. 1. a b c a. 08 = 6 8 b. 87 = 1 7. a. 08 est un multiple de 6. b. 8 est un diviseur de 08. c. 1 est un diviseur de 87. d. 87 est un multiple de 7. 9 a. 4 7, , b. 6 4, , c. 4 6, , d. 1, , a. Vrai, car : 144 = 4 6. b. Faux car : 84 = c. Faux, car : 98 = d. Vrai, car 490 = 14. e. Faux, car 144 = f. Vrai, car 16 = g. Vrai, car 40 = Un nombre est divisible par si son chiffre des unités est 0,, 4, 6 ou 8, et seulement dans ce cas.. Les nombres divisibles par sont : 18 ; et Un nombre est divisible par si son chiffre des unités est 0 ou, et seulement dans ce cas.. Les nombres divisibles par sont : 1 et Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0, et seulement dans ce cas.. Les nombres divisibles par 10 sont : 40 et e , 0 9 4, f. 7, , g. 1, , hapitre 4 Division euclidienne Division décimale

23 4 h., , i , 0 0 4, a. 8 1, , b. 6, , c. 7, 8 d. 0 0, e. 9 9, , f. 9, , g , 1 1, h , i , , , , , DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 4) Dividende Diviseur Quotient Reste = 48 et 9 1 = 77, donc on a bien : 9 1 < 6 < Le quotient de la division euclidienne de 6 par 9 est donc égal à (9 1) = 14. Le reste de la division euclidienne de 6 par 9 est donc égal à a. 16 min = h 4 min. b. 81 min = 4 h 41 min. c. 94 min = 1 h 4 min.. a. 89 s = 1 min 9 s. b. 891 s = 14 min 1 s. c. 64 s = 10 min 4 s. 1. a. 980 s = 1 h 80 s = 1 h 6 min 0 s. b. 91 s = 1 h 1 s = 1 h 8 min 41 s. c. 6 7 s = 1 h 1 s = 1 h min 1 s.. a min = 0 h 4 min = 1 jour 6 h 4 min. b. 4 min = 9 h min = jours 11 h min. c min = 114 h 1 min = 4 jours 18 h 1 min. 0 = Il faut donc huit cars pour transporter les élèves (sept cars pleins et un car avec 14 élèves). 1. Le quotient de la division euclidienne de 198 par est égal à 7. On pourra donc créer 7 classes de élèves dans ce collège.. Le reste de la division euclidienne de 198 par est égal à. Il restera donc élèves. Le nombre d élèves par classe doit être compris entre et. On pourra donc créer une classe supplémentaire de élèves.. e collège comptera au minimum huit classes de sixième à la rentrée = Le contenu de la chaudière permet de se chauffer pendant jours entiers = et 1 10 = 10. Il faut donc 10 min, soit heures pour remplir la citerne.

24 = 70. Gregory mettra 70 s, soit 1 min pour effectuer huit tours de piste.. 18 min = s : 90 = 1. Gregory effectuera 1 tours en 18 min. 1. Les multiples de 4 compris entre 18 et 4 sont : 0, 4, 8,, 6, 40, 44.. Les multiples de et de 9 compris entre 1 et 60 sont : 18, 6, 4.. Les multiples de et de 10 inférieurs à 100 sont : 0, 0, 60, Il y a 0 multiples de compris entre 1 et 101 :, 10, 1, 0,, 0,, 40, 4, 0,, 60, 6, 70, 7, 80, 8, 90, 9, 100. Les nombres divisibles par sont : 16 et 4. Les nombres divisibles par 9 sont : 07 et 04. Les nombres divisibles par 4 sont : 16, 40 et DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE ) Nombre Divisible par x x x x Divisible par x x x x Divisible par 4 x x Divisible par x Divisible par 9 x x Divisible par 10 x 1. Nombres divisibles par : a ou 7 48 ou ou ou b. 10 ou 1 ou 14 ou 16 ou 18. c. et d. 1 6 et 8 sont divisibles par quel que soit le chiffre manquant.. Nombres divisibles par : a ou 7 48 ou b. 1 ou 1 ou 18. c ou 1 6 ou 1 66 ou d. 8 ou 8 ou 88.. Nombres divisibles par 4 : a ou ou b. 1 ou 16. c ou 1 6 ou 1 6 ou 1 76 ou d. 8 est divisible par 4 quel que soit le chiffre manquant. 4. Nombres divisibles par : a ou b. 10 ou 1. c. et d. 1 6 et 8 ne sont pas divisibles par quel que soit le chiffre manquant Nombres divisibles par 9 : a b. 1 c d Nombres divisibles par 10 : a b. 10 c. et d. 1 6 et 8 ne sont pas divisibles par 10 quel que soit le chiffre manquant. 1. a. 49,8 0, donc : 49,8 : 0 :. Un ordre de grandeur du quotient de 49,8 par est donc égal à 10. b. 90,7 900, donc 90,7 : 900 :. Un ordre de grandeur du quotient de 90,7 par est donc égal à 00. c. 1,4 0, donc 1,4 : 7 0 : 7. Un ordre de grandeur du quotient de 1,4 par 7 est donc égal à 0.. a. 49,8 : = 9,96. b. 90,7 : = 00,9. c. 1,4 : 7 = 0,. a. = 6,4 : = 1,. b. =, : 6 = 8,7. c. = 7,8 : 1 = 0,6. d. = 86,8 : 14 = 0,7. e. = 17, : = 4,. f. = 8,16 : 1 = 0, = 87,, d où : = 87, : 7 = 1,.. 6 = 61,, d où : = 61, : 6 = 10,.. 1 = 4, d où : = 4 : 1 =, = 7,6, d où : = 7,6 : 8 = 0,. 1.,9 : 6,4 : 6. Le prix d un litre est donc environ égal à 0,9.. 8,9 : 8 40 : 8. La longueur de chaque morceau est donc environ égale à cm.. 87, : 90 :. Le nombre de verres est donc environ égal à h 04 min 6 h et 6 : = 1,. La durée de chaque épisode est donc environ égal à 1, h, soit 1 h 1 min.. 19,8 : 8 0 : 8. Le prix d un kilogramme de pommes est donc environ égal à,. 49,8 : 6 = 8,. haque ami devra verser 8, : 60,. Le prix d un billet doit être au moins égal à,0. 7,8 : 6 = 1,. Victoria peut acheter 1, kg de cerises avec 7,80. hapitre 4 Division euclidienne Division décimale

25 4 0,8 = 1,70. Les deux baguettes coûtent 1,70. 16,70 1,70 = 1. Les six gâteaux coûtent 1. 1 : 6 =,0. Un gâteau coûte,0. 7, = 6. La masse des cinq cartons est égale à 6 kg. 1,8 1,4 = 0,4. La masse de la charge totale de la camionnette est égale à 0,4 t, soit 40 kg = 414. La masse des douze caisses est égale à 414 kg. 414 : 1 = 4,. La masse d une caisse est égale à 4, kg. 0 6 = 70. La quantité totale de lait produite par jour par le troupeau est égale à 70 L. 70 : 18 = 40. La quantité totale de beurre produite par jour par le troupeau est égale à 40 kg. Thèmes de convergence :,07. Il faut consommer environ deux oranges par jour : 7 =. inq personnes de 7 kg peuvent monter dans cet ascenseur = 0. La masse autorisée sans l enfant est égale à 0 kg. 0 : 7 = 4,4. Quatre personnes au maximum pourront monter avec l enfant dans cet ascenseur c. (4 8) + =. Le nombre est égal à. d. 60 = (0 0) + 0. Vingt étagères sont entièrement remplies. 1. a. 8 : = 14 b. 64 : = c. 146 : = 7. a. 1 : = 7 b. 66 : = c. 9 : = 1. a. : 4 = 8 b. 04 : 4 = 1 c. 40 : 4 = a. 4 : = 9 b. 100 : = 0 c. 0 : = 41. a. 4 : 9 = 6 b. 99 : 9 = 11 c. 189 : 9 = 1 1. Faux, car 4 n est pas divisible par 4.. Faux, car = 10 et 10 n est pas divisible par.. Vrai, car + 9 = 1 et 1 est divisible par. 4. Vrai, car le chiffre des unités de 7 est.. Faux, car = 1 et 1 n est pas divisible par Vrai, car 16 est divisible par a. 6 : = 1,4 b. 8 : = 7,6 c. 1, : =,11. a. 6,9 : 9 = 4,1 b. 4,7 : 9 =,0 c. 81,09 : 9 = 9,01 a. = 0, = 1, b. = 6 0,6 =,6 c. = 1,8 =,6 d. =,1 = 1, À l oral Dans la division de 1 par 6, le dividende est égal à 1, le diviseur est égal à 6, le reste est égal à et le quotient est égal à. a. 1 = ( ) + b. = (8 4) + c. 6 = (4 6) + d. 0 = (7 4) + e. 64 = (9 7) + 1 f. 0 = (6 8) + a. 90 : = 18. La longueur de chaque étape est égale à 18 km. b. 48 = ( 9) +. Trois crayons ne seront pas rangés dans un sachet. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 6) a b. 8 6 c d e f

26 Tous les nombres de la première colonne sont des multiples de.. Tous les nombres de la deuxième colonne ont un reste égal à 1 dans la division euclidienne par. Tous les nombres de la troisième colonne ont un reste égal à dans la division euclidienne par. Tous les nombres de la quatrième colonne ont un reste égal à dans la division euclidienne par. Tous les nombres de la cinquième colonne ont un reste égal à 4 dans la division euclidienne par = ( 9) +. Le reste de la division euclidienne de 148 par est, donc 148 serait dans la 4 e colonne. 60 =. Le reste de la division euclidienne de 60 par est 0, donc 60 serait dans la 1 re colonne. 17 = ( 6) +. Le reste de la division euclidienne de 17 par est, donc 17 serait dans la e colonne. 1 = ( 106) + 1. Le reste de la division euclidienne de 1 par est 1, donc 1 serait dans la e colonne. 64 = 19. Le reste de la division euclidienne de 64 par est 0, donc 64 serait dans la 1 re colonne. 749 = ( 149) + 4. Le reste de la division euclidienne de 749 par est 4, donc 749 serait dans la e colonne. 99 = ( 198) +. Le reste de la division euclidienne de 99 par est, donc 99 serait dans la 4 e colonne ,0 : 8 = 49,0. Le prix d achat d un pantalon est égal à 49,0.. a. 8 + = 110. Le nombre total de pantalons achetés est égal à 110. b. 49,0 110 = 44. Le montant total de la commande est égal à = Le montant total de la vente est égal à : 110 = 9. Le prix de vente d un pantalon est égal à ,4 : = 1,. Le demi-périmètre du rectangle est égal à 1, cm. 1, 8, = 4,7. La largeur du rectangle est égale à 4,7 cm.. 6,4 : 4 = 6,6. La longueur d un côté du carré est égale à 6,6 cm. 96 = ( 4) + 16 D où : 4 = = 946 D où : = 946 : 4 =. Le quotient de 96 par est égal à 4 et le reste est égal à 16. La distance entre le premier arrêt et le troisième arrêt est égale à 600 m, donc la distance entre deux arrêts successifs est égale à 00 m. 00 8, soit 400. Donc la distance entre le premier et le neuvième arrêt est égale à 400 m = 16. Le nombre de pages lues par harlotte du lundi au samedi est égal à : 6 = 7. Le nombre de pages lues par harlotte chaque jour (sauf le dimanche) est égal à 7. a. 6,40 : 4 = 14,10. Le montant dépensé par Zoë est égal à 14,10. 14,10 = 4,0. Le montant dépensé par nna est égal à 4,0. b. 6,40 : = 18,80. Le montant dépensé par nna est donc égal à 18,80. 18,80 = 7,60. Le montant dépensé par Zoë est donc égal à 7,60. c. (6,40 ) : = 1,40 : =,70. Le montant dépensé par Zoë est donc égal à,70.,70 + = 0,70. Le montant dépensé par nna est donc égal à 0,70. d. (6,40 4) : =,40 : = 6,0. Le montant dépensé par nna est donc égal à 6,0. 6,0 + 4 = 0,0. Le montant dépensé par Zoë est donc égal à 0,0. hapitre 4 Division euclidienne Division décimale 7

27 = Le nombre total de lignes est donc égal à : = 8. Le nombre de pages de la nouvelle édition est donc égal à 8. Si on appelle x le plus petit nombre, on a : x + x x + + x + + x + 4 =. D où : x = 10 x = : = 4. On peut aussi représenter le plus petit nombre par un segment noir et chaque unité par un segment bleu.la somme des cinq nombres est donc égale à cinq fois le plus petit nombre + dix unités. Les nombres sont : 4, 46, 47, 48 et 49. Un groupe de 1 personnes vient de passer, donc il faut attendre 10 min avant le passage du prochain groupe. 9 1 = 80. Le nombre de personnes restant dans la file d attente est donc égal à = (1 6) + 8 Il reste 6 groupes de 1 personnes à faire passer avant le tour d Ingrid. Ingrid doit donc encore attendre 70 min, soit 1 h 10 min avant de pouvoir entrer dans le musée. 1. Le plus petit entier non nul divisible à la fois par 4 et par 6 est 1.. Les bus de la ligne passent toutes les 4 minutes et ceux de la ligne passent toutes les 6 minutes, donc un bus de la ligne se retrouvera à cet arrêt en même temps qu un bus de la ligne après un nombre de minutes multiple de 4 et de 6, soit après 1 minutes, c est-à-dire à 14 h 1 min. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 7) 1 4 I 1 9 II 1 9 III 4 1 IV b. La douzième et la vingtième décimale du quotient de par sont égales à 6., b. La dernière décimale affichée pour le quotient de par est 7. En divisant «à la main» par, on obtient une partie décimale composée uniquement de 6.. Le résultat affiché correspond à une valeur arrondie du quotient de par. Thèmes de convergence : 64 = 0,47. La quantité de déchets ménagers produits par habitant en France en 004 est donc égale à 0,47 tonnes, soit 47, kg.. 61 : 00 = 0,87. La quantité de déchets ménagers produits par habitant aux U.S.. est donc égale à 0,87 tonnes, soit 870 kg. 170 : 1 10 = 0,14. La quantité de déchets ménagers produits par habitant en Inde est donc égale à 0,14 tonnes, soit 14 kg. 1,8 : 8 = 0,1. La quantité de déchets ménagers produits par habitant en utriche est donc égale à 0,1 tonnes, soit 1 kg = Le nombre total de victimes de 0 à 4 ans en 006 est donc égal à : Le nombre moyen de victimes par jour est donc égal à 110 environ : 7. Le nombre moyen de décès par semaine est donc égal à 7 environ. rgumenter et débattre Vrai.. Vrai.. Faux. e nombre est égal à (4 8) + reste. 4. Faux. Par exemple, 18 est divisible par mais pas par 4.. Vrai, car si un nombre est divisible par 4, alors cela signifie que ce nombre est un multiple de 4, donc c est aussi un multiple de. 6. Faux. Par exemple, les nombres 10, 14 et 18 ne sont pas divisibles par 4.

28 71 Le premier chiffre est un carré, donc le premier chiffre peut être égal à 0 ou 1 ou 4 ou 9. e ne peut pas être 0. En effet, 0 est le carré de 0 et 0 est le quotient de 0 par un nombre non nul, on aurait alors le deuxième chiffre égal aussi à 0, ce qui n est pas possible car tous les chiffres sont différents. e ne peut pas être 1, car 1 est le carré de 1 et 1 est le quotient de deux nombres égaux. On aurait alors le deuxième et le troisième chiffre identiques, ce qui n est pas possible. Si le premier chiffre est 4, on aurait le quotient du deuxième chiffre par le troisième chiffre égal à (car 4 est le carré de ). e qui signifie que le deuxième chiffre est le double du troisième. Le code pourrait être 41 ou 46. Les cas 44 et 484 ne peuvent être retenus car tous les chiffres doivent être différents. Si le premier chiffre est 9, on aurait le quotient du deuxième chiffre par le troisième chiffre égal à (car 9 est le carré de ). e qui signifie que le deuxième chiffre est le triple du troisième. Le code pourrait être 91 ou 96. Le cas 99 ne peut être retenu car tous les chiffres doivent être différents Pour les curieux. a. 1 b (1 c. 1 d ( ( (179 Le quotient de la division euclidienne de 4 79 par est 1 79 et le reste est. Le quotient de la division euclidienne de 49 par 9 est 17 et le reste est. Le quotient de la division euclidienne de 90 par 4 est 0 et le reste est. Le quotient de la division euclidienne de 184 par 6 est et le reste est 4. Le quotient de la division euclidienne de 610 par 74 est 8 et le reste est 18. hapitre 4 Division euclidienne Division décimale 9

29 nnexe 1 a. b Le quotient de la division euclidienne de par 8 est égal à --- et le reste est égal à Le quotient de la division euclidienne de 94 par est égal à --- et le reste est égal à ---. nnexe nnexe 4 1, a. b , nnexe Dividende Diviseur Quotient Reste

30 nnexe 4 Nombre Divisible par Divisible par Divisible par 4 Divisible par Divisible par 9 Divisible par 10 nnexe 6 a. b. c d. e. f nnexe I II III IV, hapitre 4 Division euclidienne Division décimale 1

31 EXTRITS DU.O. SPEIL N 6 DU 8 OÛT 008 onnaissances apacités ommentaires. Nombres en écriture fractionnaire Écriture fractionnaire. À l école élémentaire, l écriture fractionnaire est introduite en référence au partage d une unité. Par exemple 7 est 7 fois un tiers. *Quotient exact. *Un quotient ne change pas quand on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre. *Interpréter a comme quotient de b l entier a par l entier b, c est-à-dire comme le nombre qui multiplié par b donne a. *Placer le quotient de deux entiers sur une demi-droite graduée dans des cas simples. Prendre une fraction d une quantité. *Il s agit de faire comprendre la modélisation de ce type de problème par une multiplication. *Reconnaître dans des cas simples que deux écritures fractionnaires différentes sont celles d un même nombre. Le vocabulaire relatif aux écritures fractionnaires est utilisé : numérateur, dénominateur. *Le programme de la classe de 6 e a pour objectif d interpréter aussi 7 comme : le tiers de 7 ; le nombre qui multiplié par donne 7 ; un nombre dont une valeur approchée est,. L utilisation de quotients, sous forme fractionnaire, permet de gérer plus facilement les raisonnements et de repousser la recherche d une valeur approchée décimale à la fin de la résolution. La connaissance des tables de multiplication est notamment exploitée à cette occasion. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. Je révise 1 : : : ctivités Objectifs omprendre qu une fraction représente le quotient de son dénominateur par son numérateur. omprendre qu une fraction peut représenter un nombre décimal ou pas. 1. a. et b. Objectif omprendre qu une fraction peut désigner une partie d un tout, un nombre de «parts» d une quantité. 1. et. c.. Une petite parcelle carrée correspond à un neuvième de la surface du jardin. 4. Quatre petites parcelles carrées sont recouvertes de fleurs = d. On a pu reconstituer trois rectangles entiers avec les parties coloriées. e. =.

32 . a. = : = 0, 6 b ,8 0 0 En divisant 11 par 6, on n obtient jamais de reste nul Exercices ou.... = 7 a. FUX. En effet, une fraction est le quotient de deux nombres entiers. Objectif omprendre la règle des quotients égaux. b. FUX. Par exemple, 1 est une fraction. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 1) 1. boîtes coûtent = et 16 =, donc 10 boîtes coûtent. 0 = 10 et = 64, donc 0 boîtes coûtent = 0 : et 64 : = 1,8, donc 4 boîtes coûtent 1,8.. On obtient le prix d une boîte en divisant le prix payé par le nombre de boîtes achetées. Le prix d une boîte est donc égal à : 16 : ou : 10 ou 64 : 0 ou 1,8 : 4. On obtient à chaque fois, , 8 = = = =, : naïs a mangé 8 0 (ou ) de la tablette.. ndréa a mangé 7 de la tablette. 0 DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE ) a. 1 4 c. 18 = 7, b. 0, = 6, d , 16 = = , 8 = 0 4 a. 10 = 10 b. 7 = 7 Objectif : Découvrir les trois stratégies de calcul du produit d une fraction par un nombre. 1. correspond à trois cinquièmes de.. 40 : = 8, donc la longueur d un petit segment est égale à 8 mm. 8 = 4, donc la longueur est égale à 4 mm.. a. = : = 0, 6. 0,6 40 = 4. D où : = 40. b. On obtient ainsi : 40 = b. 40 = 10, donc D = 10 mm. c. 4 = 10 :. On doit donc reporter fois pour obtenir D. d. = D 10 = = 4. c = 1 d. 4 9 = a. 6 = b. 1 = c. 8 6 = d = e = f. 9 7 = : 8 9 a. = = 0 0 : 10 b. 7, 7, : 8 09, 9 = = : 8 c : 11 7 = = : 11 d. 004, 0, : 4 1 = = = = 01, 0, : 4 e. 6 6 : 1 6 = = 7 7 : : 10 18, 1 1 f. = = : hapitre Écritures fractionnaires

33 8 a. 8 7 = 16, 7 = = 8 = 8 1 = = = = 10 b. 1 9 = 7, 9 = 67, 1 9 = 1 9 = 1 4, = 67, = = = 67, c. 1 9 =, 9 = 9, = 1 = 1, = 9, = = = 9, a. 4 1, 6 1, 6 = 4 = 4 14, =, b., = 0, 4, = 101, c. 6 91, 91, = 6 = 6 1, = 7, a. 0 b. 0 = 0, donc le livre de Lisa est composé de 0 pages.. a a. Un trimestre = un quart d une année. b. Un mois = un douzième d une année. c. Une semaine = un cinquante deuxième d une année. a. Une journée est composée de 48 demi-heures, d où : 0 min = 1 d une journée. 48 b. Une journée est composée de 4 fois 6 h, d où : 6 h = 1 d une journée. 4 c. 6 h = 4 h + 1 h = 1, journée = trois demi-journées = d une journée. 1. Sept douzièmes des immeubles de cette commune ont plus de six étages.. Dans ce bus, deux passagers sur trois sont des étudiants.. Quatre cinquièmes des arbres de cette forêt sont des chênes. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE ) 1. Montée Descente Rivière. La descente correspond à 4 de la longueur totale du parcours. 7 La partie le long de la rivière correspond à 1 7 de la longueur totale du parcours. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 4) 1. haque partie représente 60 m. 60 m 0 b. Un septième du livre de Merry est composé de pages. c. 7 = 17, donc le livre de Merry est composé de 17 pages. 18 D. = 6 = 1 D = 6 DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE ) a. 00 g = 0, kg = 10 kg = 1 kg. 18 b. 18 dg = 0,001 8 kg = kg = kg. c. 91 hg = 9,1 kg = kg. a. cm = 0, m = 100 m = 1 4 m. b. dm = 0, m = 10 m. c mm = 1,74 m = m = 87 0 m. 1. bscisse de = 1. bscisse de = 4. bscisse de = 11.. et. a. O D I E F b. bscisse de G = 1. G

34 19 0 a. Trente-huit dixièmes = 8 10 =,8. b. Sept quatorzièmes = 7 14 = 0,. c. Vingt-trois millièmes = d. Dix-neuf sixièmes = = 0,0. (nombre non décimal). a. ent deux cinquièmes = 10 = 0,4. b. Quarante-sept tiers = 47 c. Soixante-douze quarts = 7 4 = 18. (nombre non décimal). d. inquante-quatre demis = 4 = a. 4. a. 4 =,7 b. 7 b. 7 n est pas un nombre décimal =. 11 = Il n existe pas de fraction égale à dont le 10 numérateur est car = et 10 n est pas un entier. 4. Il n existe pas de fraction égale à 11 dont le 4 dénominateur est 10 car 10 = 4 10 et DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 6) a. 9 6 c = 1, b. =, 19, 77 d. 1 0, n est pas un entier. 0 a. = b d. 1 = e = c. 4 = = 17 a. 48 b = 96, (nombre décimal non entier) = 18 (nombre entier) a. = b = c d = e. 17 = = 4 7 c. 8 7 d , (nombre non décimal) = 1 (nombre entier) e. 77 = 08, (nombre décimal non entier) f a. 19 d. 6 1, (nombre non décimal) 6, b , c , e , f. 67, 9 04, a. 6 < < 7 b. 0 < 11 < 1 c. 6 7 < < d. 9 < < 10 e. < < 6 f. 0 < < a. = 7 (= 1,4) b. = 6 11 c. = 19 4 (= 4,7) d. = 1 7 e. = 1 4 (=,7) f. = des perles du collier a. sont noires. 6 1, soit 1, des perles du collier b. sont noires. 6 10, soit, des perles du collier c. sont noires. 4 6, soit, des perles du collier d. sont noires. 6, soit 1, des perles du collier e. sont noires = et 1 = Ronaldo et aroline ont peint huit vingtièmes de la maison le premier jour et cinq vingtièmes le deuxième jour, soit treize vingtièmes les deux premiers jours. Il reste donc sept vingtièmes de la surface à peindre le troisième jour. 1 a , = = b., = = c. 1, 4 = = d. 0, = = e. 0, = = f. 1164, = = hapitre Écritures fractionnaires

35 a , =,, =, 7 16, 16, = 7 = 7 0, = 14, , 11,, = = = 14, 8 8 b , =,, =, 16, 4 16, 4 = = 41, = 1, , 4 49,, = = = 1, 4 4 c , =,, =, 0, 0, = = 0, 10 = 0, 1 0 0, 10,, = = = 01, a. 16 7, 7, = 16 = 16 0, 9 = 14, 4 b. 8, 8, = = 0, = 0, c ,, = = 0, 07 = 0, = 7. Le tonneau contient donc 7 L : 0, = 144. On peut donc remplir 144 bouteilles d un demi-litre. 9 6 =, 4. Il y a donc,4 litres d essence dans le réservoir. 6,4 =,6. Il faut donc ajouter,6 L pour faire le plein. 40 a. 1 = b. 6 = 7 7 c = d = 41 DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 7),7 9 = 1, 4 6 = 48 = = =,6 0 = 7 7, =, 0 10 = 1 = = = 70 0,7 =, = Il faut donc prévoir 10 repas par jour = 1. malia a donc réuni 1 voix. = 18. nthony a donc réuni 18 voix = 90. La distance parcourue en train 4 est donc égal à 90 km = 0. La distance parcourue en car est a.. b.. a. 4. c. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 8) x 1 1. La moitié de x = = x.. Le double de x = x.. Le triple de x = x. x 1 4. Le tiers de x = = x. x 1. Le quart de x = = x donc égale à 0 km = 10. La distance parcourue en voiture est donc égale à 10 km = = La distance parcourue en voiture correspond donc à 1 du trajet = 64. Il y a eu 64 arbres détruits = 96. Il y a donc encore 96 arbres exploitables.. 1,8 96 = 11,68. La quantité de fruits obtenus est donc égale à 11,68 tonnes. Thème de convergence = 11 87,. La superficie recouverte de forêts est donc égale à km environ. À l oral 4 bscisse de : 4. bscisse de : 6 4 ou. bscisse de : 9 4. bscisse de D : 1 ou. 4

36 46 a. 7 c. 4, b , d ,, 8 1.,. a. et b. e , 47 a c. 1 0 e = b. = 1 = d. 14 = 1 1 = 48 a. 9 4 = 1 b = 4 c. 7 1 = 6 d = e. 78 = 7, 8 f = 7 g. 1 8, = 1 h. 07, = 08, i. 4, = 1 j 06, = 08, k. 14, = 71, l., = 1, 49 a. 1 7 = 4 4 b. 7 = 10 7 c = d = 7 e. 4 = 0 4 f. 9 = Faux, car la fraction 0 n existe pas. 0. Vrai, car on a divisé le numérateur et le dénominateur par Faux, car = 7 et Vrai, car on a multiplié le numérateur et le dénominateur par.. Vrai, car 1 10 = = Vrai Faux, car 10 = =. 8. Vrai c. La surface non coloriée représente 4 0, soit 1 de la surface du rectangle.. La surface non coloriée représente 16 80, soit 1 de la surface du rectangle. 9 a. = D = 1 D b. = E c. = E d. D = E = E 1 4 e. D = f. = D 4 60 DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 9) 1.,. et. b. O F I D G E H ,8 1 1, 8,6 14. a. Distance entre deux graduations : 1 O , = 0,. hapitre Écritures fractionnaires L abscisse du milieu de [] est égale à 1. L abscisse du milieu de [] est égale à 9 ou. 6 L abscisse du milieu de [] est égale à 10 ou = = 4 4 = 1 heure.

37 6 Il restait 7 du film à regarder lorsque Rebecca Garçons Filles Filles Filles a découvert le coupable. Elle a donc découvert le coupable après avoir regardé du film. 7 Durée totale du film : 1 h min = 11 min =. La durée déjà écoulée au moment où Rebecca a découvert le coupable est donc égale à 80 min, soit 1 h 0 min cl correspondent aux deux cinquièmes de de la bouteille, donc 1 cl correspondent à 1 de la bouteille.. 1 = 7, donc la contenance totale de la bouteille est égale à 7 cl hristophe parcouru de la distance totale, 80 soit de la distance totale = 4, donc Maxime doit effectuer 4 8 pas pour rejoindre son frère. 1. La somme de correspond aux deux septièmes du gain de Fatima. Donc 1 du gain correspond à = 6 0, donc le montant total du gain est égal à = 4 40, donc le montant total 7 destiné aux quatre enfants est égal à : 4 = 1 11,, la part de chaque enfant est donc égale à 1 11,. 1. eau eau eau eau eau sirop. Le volume de sirop représente 1 du volume d eau.. Le volume d eau représente du volume de la boisson Le volume de sirop représente 1 du volume de la boisson. 6. Le nombre de garçons est égal à 1 du nombre de filles.. Le nombre de filles est égal à du nombre d élèves Le nombre de garçons est égal à 1 du nombre d élèves =, donc le petit frère de Luc a ans Prix d un chocolat :, soit environ 0,41.. a. 1 8 =,, donc Yann a payé,. 1 0,, donc Sarah a payé, , 7, donc hloé a payé 7,7. b. 0,41 8 =,8, donc Yann a payé,8. 0,41 =,0, donc Sarah a payé,0. 0,41 19 = 7,79, donc hloé a payé 7,79.. Les résultats les plus précis sont ceux obtenus en prenant la valeur exacte fractionnaire. vec la valeur exacte :, +,0 + 7,7 = 1. vec la valeur approchée :,8 +,0 + 7,79 = 1, , donc la superficie 6 de la maison est égale à 0 m = 600, donc la superficie du jardin potager est égale à 600 m = 60, donc la superficie de la pelouse est égale à 60 m = 0 La surface recouverte de pelouse représente 1 0 de la surface du terrain. Nombre de concurrents éliminés le matin de la première journée : 67 = Nombre de concurrents restants pour l aprèsmidi de la première journée : =. Nombre de concurrents revenus pour les épreuves de la deuxième journée : 1 =.

38 7 Nombre de concurrents éliminés à la fin de la deuxième journée : 4 1 = Nombre de concurrents ayant participé aux épreuves de la dernière journée : = 1. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 10) 9 1 =, = + = = 4 + 1= , = 41, 1= =, donc la masse des noyaux est égale à kg. 1 = 9, donc la masse des fruits dénoyautés est égale à 9 kg.. 9 =, 7, donc la masse de sucre 8 à ajouter est égale à,7 kg.. 9 +,7 = 1,7, donc la masse du mélange (fruits dénoyautés et sucre) est égale à 1,7 kg , =,, donc la masse perdue à la cuisson est égale à,71 kg. 1,7,71 = 8,66, donc la masse de confiture obtenue est égale à 8,66 kg = 9, donc la distance séparant le point 7 de départ de la première pause est égale à 9 km =,, donc la distance restant 6 à parcourir après la deuxième pause est égale à, km. 1, = 17,, donc la distance séparant le point de départ de la deuxième pause est égale à 17, km Le nombre de sièges occupés est égal à du nombre total de places. 77. Nombre de passagers : = = = = = = = = 10 1 = DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 11) 1 4 I 9 II 1 7 III 1 IV 1 6 Thème de convergence = 60, il y a donc 60 L d eau dans la citerne au début de l été. 60 : 10 17, donc la citerne pourra fournir l eau consommée par la famille pendant 17 jours sans pluie. rgumenter et débattre Vrai. En effet, 9 est le nombre par lequel 7 il faut multiplier 7 pour obtenir 9.. Faux. En effet, le reste de la division de 9 par 7 n est jamais nul.. Vrai. En effet, une valeur approchée au dixième près de 9 est 1, Faux. En effet, 16, est une valeur approchée au centième près de 49.. Faux. En effet, 8 est le nombre par lequel il faut multiplier pour obtenir Vrai. En effet si le diviseur est plus grand que le dividende, alors le quotient est inférieur à Vrai. En effet, = Vrai. En effet, 01, = et Faux. En effet, 0, = et 10 1 x x = x x Vrai. En effet, 0, = = et 1 x x =. 10 a. Vrai. En effet, 1 : =. b. Faux. c. Faux. d. Faux. e. Vrai. En effet, =. hapitre Écritures fractionnaires 9

39 8 1. On a d un côté 1, soit du pont et de l autre 10 côté du pont situés au-dessus de la terre ferme, 10 donc du pont ou plus simplement la moitié 10 du pont est située au-dessus de la terre ferme. e qui signifie que la moitié du pont est au-dessus de la rivière. La moitié de la longueur du pont est donc égale à 40 m. La longueur totale du pont est donc égale à 80 m = 16 et 80 = Le pont est au-dessus de la terre ferme sur 16 m d un côté et de l autre côté sur 4 m. Pour les curieux 87 haskara aurait pu écrire la fraction, ce qui 9 correspond à la fraction 9. Les Grecs auraient pu écrire la fraction β γ, ce qui correspond à la fraction. Les Mésopotamiens auraient pu écrire la fraction, ce qui correspond à la fraction 1. Les Egyptiens auraient pu écrire la fraction, ce qui correspond à la fraction 1 4. Nicole d Oresmes aurait pu écrire la fraction, 84 Fraction des élèves de la 6e qui ont voté pour Olivier : 8 =. 0 Fraction des élèves de la 6 e qui ont voté pour Isabelle : 10 =. Olivier et Isabelle ont été élus tous les deux avec deux cinquièmes des voix de leur classe. 8 Le prix d une tablette de chocolat noir est égal aux deux tiers du prix d une tablette de chocolat au lait. 89 ce qui correspond à la fraction. Les Romains auraient pu écrire la fraction v III, ce qui correspond à la fraction. a = b = c = L aire grisée représente 1 de l aire du grand carré. 91 On peut remarquer que les quotients restent identiques. 40

40 nnexe 1 et = = = = = = : = 0 4 : nnexe 4 a ,7 b ,48 7 c ,6 d ,666 nnexe 16 Départ rrivée nnexe m nnexe 18 O I 0 1 hapitre Écritures fractionnaires 41

41 nnexe 6 1 a , b. ---, c ,77 d ,416 nnexe 7 41,7 9 = 7, = 4 6 = 0 10 = = = = = = = = = nnexe La moitié de x. Le double de x a. x b. x c. 1 x d. x. Le triple de x 4. Le tiers de x e. x 4 f. 1 x. Le quart de x g. 1 4 x h. x nnexe

42 nnexe ; ;, ; + 0,1 ; ;,01 ; 4,1 1 ; ; ; 0, ; 100 ; nnexe I II III IV hapitre Écritures fractionnaires 4

43 EXTRITS DU.O. SPEIL N 6 DU 8 OÛT 008 La résolution de problèmes a pour objectifs : de mettre en place les principaux raisonnements qui permettent de reconnaître et traiter les situations de proportionnalité, d initier les élèves à la présentation, à l utilisation et à l interprétation de données sous diverses formes (tableaux, graphiques ). onnaissances apacités ommentaires 1.1 Proportionnalité Propriété de linéarité. Tableau de proportionnalité. Reconnaître les situations qui relèvent de la proportionnalité et les traiter en choisissant un moyen adapté : - utilisation d un rapport de linéarité, entier ou décimal, - utilisation du coefficient de proportionnalité, entier ou décimal, - passage par l image de l unité (ou «règle de trois»), - *utilisation d un rapport de linéarité, d un coefficient de proportionnalité exprimé sous forme de quotient. Les problèmes à proposer (qui relèvent aussi bien de la proportionnalité que de la non proportionnalité) se situent dans le cadre des grandeurs (quantités, mesures). Ils doivent relever de domaines familiers des élèves et rester d une complexité modérée, en particulier au niveau des nombres mis en œuvre. Les rapports utilisés sont, soit des rapports entiers ou décimaux simples *soit des rapports exprimés sous forme de quotient. Pourcentages. ppliquer un taux de pourcentage. Les élèves doivent connaître le sens de l expression «% de» et savoir l utiliser dans des cas simples où aucune technique n est nécessaire. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. Je révise 1 : : : 4 : Objectifs ctivités Mettre en place la notion de proportionnalité. Introduire le coefficient de proportionnalité. 1. Tous les quotients sont égaux à 0,.. haque quotient représente le prix d un œuf, qui est le même quel que soit le nombre d œufs achetés.. Le coefficient de proportionnalité est égal à 0, œufs coûtent ; on peut acheter 1 œufs pour 4,0. Objectif Mettre en place un raisonnement de type «fois plus». 1. Il lui faudra 4 min (deux fois plus de temps).. Elle parcourt 7, km en 6, min (soit 6 min 1 s). Elle parcourt 10 km en 7 min (soit 1 h 1 min). Objectif Mettre en place la règle de trois. 1. a. Le prix d un billet est 8. b. Le prix de cinq billets est 40. c. Trois nombres sont utilisés : ; 4 et.. (9 : ) = 6 donc DVD coûtent Objectif ppliquer la notion de proportionnalité à une situation concrète. 1. a. On doit multiplier le volume par 11 pour obtenir la masse. Le coefficient de proportionnalité est 11. b. On obtient 44 g et 68 g.. a. On doit diviser la masse par 11 pour obtenir le volume. b. On obtient 11 cm et 1 cm. Objectif Utiliser la propriété additive de la linéarité. 1. Il faudrait 10 g de beurre pour deux personnes = 600 donc il faudrait 600 g de beurre pour dix personnes.. Nombre de personnes 8 10 Quantité de beurre (en g)

44 Objectif Savoir reconnaître s il y a ou non proportionnalité, en utilisant diverses techniques. 1. a. 0,9 = 1,9 ; 0,9 =,8 et 4 0,9 =,8. Le prix à payer est donc proportionnel au nombre de croissants achetés et le coefficient de proportionnalité est égal à 0,9 (qui représente le prix d un croissant acheté à l unité). b. 0,9 = 4,7 et 4,7 4,. Le prix du lot de cinq croissants n est pas égal à cinq fois le prix d un croissant ; donc il n y a plus proportionnalité.. a. Le prix d un paquet revient à 1,1. b. Dans ce cas, le prix d un paquet revient de même à 1,1. c. Le prix d un paquet revient à 1,1, quel que soit le nombre de paquet achetés. d. Dans ce cas, le prix d un paquet revient à 1,10, et non plus 1,1. Donc il n y a plus proportionnalité entre le prix payé et le nombre de paquets achetés.. a. 6 = 1 et 1 = 0. Lorsque la durée d abonnement est doublée, le tarif est également doublé. b. 1 = 4 mais 0 = 60 et Lorsque la durée d abonnement est doublée, le tarif n est pas doublé (dans cette situation). 4. a. + = 8 et = 16. La distance parcourue en 16 min est obtenue en additionnant la distance parcourue en 6 min et celle parcourue en 10 min. b. + 8 = 1 mais = 6 et 6 0. La durée d un parcours de 1 km ne s obtient pas en additionnant la durée d un parcours de km et celle d un parcours de 8 km. Objectif ppliquer la proportionnalité à un problème d échelle. 1. :10 Longueur mesurée sur le plan (en cm) Longueur réelle (en cm) 1 4, Nombres et mots manquants : 10 ; 10 ; petites ; réelles. 1 4 Exercices 10 a. 0, = 1 donc œufs coûtent 1. b. 0, 8 = 1,6 donc 8 œufs coûtent 1, = 00 donc nna a parcouru 00 m, soit, km.., = 9,6 donc nna aurait parcouru 9,6 km. 1.,6 : = 1, donc une bouteille de lait coûte 1,0.. 1, = 6, donc cinq bouteilles de lait coûtent 6,0. 1.,4 : = 0,8 donc un litre de cette huile pèse 0,8 kg, soit 800 g.. 0,8 4 =, donc quatre litres de cette huile pèsent, kg.. 0,8 7 =,6 donc sept litres de cette huile pèsent,6 kg. Objectif Savoir appliquer un taux de pourcentage. 1., = 1,6 donc 00 D pèsent 1,6 kg..,, = 8,6 donc 00 D pèsent 8,6 kg. 1. Nombre d élève de sixième Nombre d élèves qui pratiquent au moins un sport On doit multiplier 17 par élèves de 6 e pratiquent au moins un sport = 49 donc 49 élèves de 6 e ne pratiquent pas un sport régulièrement = 49, ce qui était prévisible puisque = 8 donc 8 % de 17 correspond au nombre d élèves de 6 e qui ne pratiquent pas un sport régulièrement = 1 mais 1,1 =,4 et,4 1,! Il n y a pas proportionnalité entre la taille et l âge. Le prix de 16 yaourts n est pas le double de celui de 8 yaourts. 8 1er tableau : 0 = 10 et 0 = = 00 et 60 = 10. e tableau : 10, 180, 40, = = = 06, Le prix payé pour l achat de trois paquets n est pas le triple du prix d un paquet acheté à l unité. a. 4 b. 11 c. 190 d. 7 e. 90 f. 140 g. 180 h. 0 hapitre 6 Proportionnalité 4

45 Il y a eu 48 élèves en plus. 1., m.. 4,1 cm = 48. Le coefficient de proportionnalité est égal à Taille de l objet (en mm) Taille de l image (en mm) 0,8 1, 1, Le coefficient de proportionnalité représente le grossissement du microscope. 1 Durée (en min) Distance parcourue (en km) 1,,8 4 8 Durée (en min) 7 10 Nombre total de battements : 48 = 1. La durée cherchée est 1 min. Distance parcourue (en km) onsommation d essence (en L) Durée (en h) 6 Durée (en min) Durée (en h) 1 Durée (en s) Distance mesurée sur la carte (en cm) Distance réelle (en km) Montant de la remise (en ) Prix marqué (en ) ire (en m ) 1,7 1 ire (en dm ) Durée du parcours (en min) Distance parcourue (en m) Volume (en m ) 1 0,8 1 Volume (en dm ) = 90. On peut recouvrir 90 m avec trois pots de peinture.. 10 = 0 4. Il faut utiliser quatre pots de peinture pour recouvrir 10 m : 00 = 0,08. Sur ce plan, la longueur de cette rue est 0,08 m, soit 8 cm = Le côté du parc mesure cm, soit 100 m. (Il est plus simple de diviser par les valeurs de la question 1.) m = cm ; : 0 = 0, donc le nombre cherché est = 800, donc la largeur de la salle de classe est 800 cm, soit 8 m. On obtient une hauteur de 6,7 m pour le 1 er étage : 4 = 0. Il faut 0 g de farine pour une personne = 180. Il faut 180 g de farine pour six personnes. 1. 1,6 : = 4, donc un mètre de tissu coûte 4,0.. 4, = 1 donc mètres de tissu coûtent 1. a. 10 : = 4 donc la fontaine débite 4 L en 1 min. 4 7 = 168 donc la fontaine débite 168 L en 7 min. b. 60 = 10 et = 1. Donc il faudra 1 min pour que cette fontaine débite 60 L d eau kg de chocolat coûte g de chocolat coûte,40.. On a acheté 00 g de chocolat. 4. Les trois tablettes vendues à l unité coûteraient,60.

46 Le tarif payé pour deux années d abonnement n est pas le double de celui payé pour une année d abonnement. Le prix d un carnet de 0 tickets n est pas le double de celui d un carnet de 10 tickets (4 4 ) donc il n y a pas proportionnalité entre le prix des carnets et le nombre de tickets. Le prix de la carte de 100 photocopies n est pas le double de celui de la carte de 0 photocopies. L aire n est pas doublée lorsque la mesure du côté est doublée. On obtient les distances en multipliant les durées par un même nombre, égal à 60 (coefficient de proportionnalité). 1. On obtient les distances réelles en multipliant les distances sur la carte par un même nombre, égal à (coefficient de proportionnalité).. On obtient 17 km.. On mesure 0 cm sur la carte. Le prix payé pour une lettre de 40 g n est pas le quadruple de celui payé pour une lettre de 10 g Il faut regarder le prix au litre.. On peut calculer le prix au litre pour chaque conditionnement : 0,96 / L pour les bouteilles en plastique ; 1,0 / L pour les cannettes et,4 / L pour les bouteilles en verre. Le premier conditionnement est le plus économique. ôté du carré (en cm) Périmètre du carré (en cm) On obtient les périmètres en multipliant les longueurs des côtés par le même nombre 4, donc le périmètre d un carré est proportionnel à la mesure du côté g.. 70 g.. 87, g = = = = inq élèves ont voté pour Héléna. 7 4 = 1 mais 0,9 =,7 et,7,. Le prix des 1 crêpes n est pas le triple de celui de 4 crêpes. Donc il n y a pas proportionnalité entre le nombre de crêpes achetées et le prix payé (c est une promotion). 47 La raquette coûtera 16. Thème de convergence Le prix de 6 pommes n est pas le double de celui de pommes, donc il n y a pas proportionnalité entre le prix payé et la quantité de pommes achetées (cela dépend de la «grosseur» des pommes). + = mais = 4 et = 48 mais + 6 = 8 et priori, il n y a pas proportionnalité entre le volume et la hauteur d eau.. Le volume n est pas double lorsque la hauteur est doublée (donc l idée intuitive était correcte). 1. priori, le volume d eau est proportionnel à la hauteur d eau dans cet aquarium.. Les volumes sont obtenus en multipliant les hauteurs par un même nombre, égal à 8 : il y a donc bien proportionnalité entre le volume et la hauteur d eau dans l aquarium victimes piétons et victimes à vélo. À l oral 1. Vrai (la moitié).. Faux (10,4 0,4).. Vrai. 4. Faux (10 48 = 7). a. 10 b. 0 c. 100 d. 10 e. 80 f. 49 g. h. 10 a. 9 b. 1 c. 4 d. e. f. 0 g. 6 h. 48 i. 10 j d.. e.. b. 4. c.. f. 6. a. hapitre 6 Proportionnalité 47

47 8 48 a. % b. 60 % c. 0 % d. 9 % e. % f. 4 % 9 a. 4 d b. 1 e. 0 c. 1 7 f c = c. a. = c c b. = ( c) ( c) = 4 c c c. = 4 (c c) = 4 d. L aire de EFG correspond bien à quatre fois celle de D.. L aire n est pas doublée lorsque le côté est doublé donc l aire d un carré n est pas proportionnelle à la longueur de son côté Le coefficient de proportionnalité est égal à Longueur de tissu (en m) 10 Prix payé (en ) 7 Valeurs approchées demandées : 11,6 pour et, pour h.. h 4 min (,4 h). 4, 1. 9 = 0, et 6, 6 = 0,6. Le prix au litre du premier conditionnement est plus avantageux que celui du deuxième.. 0,8 =,49 et,49 > 1,4 donc il est plus économique d acheter une bouteille de 1, L. DOUMENTS À PHOTOOPIER (NNEXE 1) a. b Il suffit de représenter un rectangle de longueur 1 cm, de largeur 4 cm.. On obtient 48 cm.. L aire du rectangle agrandi est obtenue en multipliant par 4 celle du rectangle initial T (en s) 4 67 D (en m) Le tonnerre parcourt 0 m par seconde.. La vitesse du son dans l air est environ égale à 0 m s 1. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE ) 1. a, 4,7 11, 0,8 110 b = a 6 10, 14,1,6 1,4 0 a 7, 10 1, 6,1 b = ( a) + 11,6 48, 110, 167. Seul le premier tableau est un tableau de proportionnalité : les valeurs de b sont obtenues en multipliant celles de a par le même nombre. Thèmes de convergence Entre 004 et 00, il est prévu une augmentation de déchets municipaux par habitant de 0 kg ( = 0), soit presque 48 %. 1. On perd 900 gouttes en 1 h.. On perd gouttes en 4 h, soit 1 00 cl, ou encore 1 L d eau = 70. Le nombre de fumeurs 100 réguliers de 18 ans est 70. rgumenter et débattre Vrai : le prix d un kg est le même, quelle que soit la quantité achetée.. Faux : on peut se déplacer plus ou moins vite.. Faux : ce tarif est le même quel que soit le temps passé dans l eau. 4. Vrai, sauf s il y a une promotion.. Faux en général, les bananes n étant pas toutes de même «taille» et donc de même masse. 6. Faux : on affranchit au même tarif une lettre de 10 g et une lettre de 0 g. 7. Vrai : = 10. Il y a 0 g de chocolat supplémentaire dans chaque cas. Il faudra 1 jours. Il leur faudra 1 jour et demi ( = 4 donc = 1,).

48 Pour les curieux = 88 et = 79, a = et = 14,. 100 b. On obtient c. 10 =, ; 10 +, = 14,. 100 On obtient 14,.. a = 96 et 96 97,. 100 b = 97, Masse de pommes (en kg) 1,,,8,4,7 Prix payé (en ),7 6, 7 8, 9, hapitre 6 Proportionnalité 49

49 nnexe 1 64 a b nnexe 67 a, 4,7 11, 0,8 110 b = a 6 a 7, 10 1, 6,1 b = ( a)

50 EXTRITS DU.O. SPEIL N 6 DU 8 OÛT 008 onnaissances apacités ommentaires 1.. Organisation et représentation de données Représentations usuelles : tableaux. Lire, utiliser et interpréter des données à partir d un tableau. Lire interpréter et compléter un tableau à double entrée. *Organiser des données en choisissant un mode de présentation adapté : - tableaux en deux ou plusieurs olonnes, - tableaux à double entrée. Il s agit d un premier pas vers la capacité à recueillir des données et à les présenter sous forme de tableau. Repérage sur un axe. Lire et compléter une graduation sur une demi-droite graduée, à l aide d entiers naturels, de décimaux, de fractions simples ,,, *ou de quotients (placement exact ou approché). e travail doit être l occasion de manier les instruments de tracé et de mesure. Représentations usuelles : diagrammes en bâtons, *diagrammes circulaires ou demi-circulaires, graphiques cartésiens. Lire, utiliser et interpréter des informations à partir d une représentation graphique simple. La capacité visée concerne l aptitude à faire une interprétation globale et qualitative de la représentation étudiée (évolution d une grandeur en fonction d une autre). Dès la classe de 6 e, l utilisation de calculatrices et de logiciels permet de familiariser les élèves avec le passage d un type d organisation, d un type de présentation à un autre Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. Je révise 1 : : :. 1 Hauteur (en cm) Objectif ctivités omprendre et interpréter un tableau à double entrée. 1. Le nombre 7 représente le nombre d élèves de la classe de 6 e qui préfèrent le football, le nombre 4 représente le nombre total d élèves qui préfèrent l athlétisme et le nombre 7 représente le nombre total d élèves (effectif) de la classe de 6 e.. 9 élèves de 6 e préfèrent le football.. Il y a 6 élèves en 6 e élèves de 6 e ont choisi l athlétisme. Objectif Savoir lire, interpréter et construire un graphique cartésien. 10 Durée (en jours) Objectif Savoir organiser des données ; les représenter par un diagramme en bâtons. 1. Longévité (en années) Nombre d espèces d animaux a. près 4 jours, la pousse de blé a atteint cm et, après 6 jours, 10 cm. b. ette pousse a atteint 1 cm en 8 jours et 0 cm en 9 jours. hapitre 7 Tableaux et graphiques 1

51 Nombre d espèces Objectif Longévité (en années) Lire et interpréter des informations à partir d un diagramme circulaire. 1. a. Le diagramme circulaire 1 donne la répartition moyenne de la consommation d énergie d un ménage (en %). b. Le chauffage représente 0 % de la consommation énergétique d un ménage ; l électroménager en représente 0 %.. a. Le diagramme circulaire donne la répartition moyenne de la consommation d énergie pour l électroménager (en %) de ce même ménage. b. Le froid représente 46 % de la consommation énergétique pour l électroménager d un ménage ; la cuisson en représente 17 %. 1 Exercices 1. 1 h.. Train n h : Nombre de garçons externes en 6e : Nombre de demi-pensionnaires en 6 e = = = 1.. Filles Garçons Total Externes Demi-pensionnaires Total Filles Garçons Total Externes 6 11 Demi-pensionnaires Total Pour 100 g, prix payé :. Pour 00 g, prix payé : 10. Pour 00 g, prix payé : 0.. Pour 1, on peut acheter 00 g de chocolats Prix de vente (en ) Quantité de chocolat (en g) joueurs ont 1 ans. 7 joueurs ont 16 ans = 9 : 9 joueurs ont moins de 11 ans = 1 : 1 joueurs ont plus de 14 ans = 49. Il y a 49 joueurs de badminton dans ce club représente le nombre d élèves de 6e 4 ayant un animal = 8. Il y a 8 élèves en 6 e = 1. 1 élèves ont un animal ou plus François a obtenu la somme 7 quatre fois.. Somme obtenue Nombre de fois 1. Il y a flûtistes dans l orchestre.. Il y a garçons violonistes dans l orchestre.. Filles Garçons Total Flûtistes Violonistes 4 7 Saxophonistes 1 Total Médailles Pays États-Unis hine Total Or rgent ronze Total % de = = ouleur Solides Rouge Vert Total Prisme Pyramide Total 19 14

52 = élèves de cinquième 100 participent à l atelier scientifique.. Sixième inquième Total Participent à l atelier Ne participent pas à l atelier Total En h, distance parcourue : 10 km. En h, distance parcourue : 00 km. En 7 h, distance parcourue : 00 km.. Il a fallu 1 heure pour parcourir 0 km et 8 heures pour parcourir 0 km. 1. À 4 h : 4. À 16 h : 0. À h : à 14 h et à 18 h.. Température la plus basse : 4 h. Température la plus haute : 16 h à h et à 8 h.. Température la plus basse : 4. Température la plus haute : = 16. Le plus grand écart de température observé est À h, température : 6. À 10 h, température : 8. À h, température : 7.. à 6 h, 1 à 14 h. 1. Hauteur d eau à 6 h : 4 m.. Hauteur d eau la plus élevée : 4,7 m vers 8 h.. Hauteur d eau la plus basse : 1, m vers h. 4. L eau est montée dans le port de h à 8 h, soit pendant 6 heures. À h : 1, m. À 8 h : 4,7 m. 4,7 1, =, : l eau est montée d environ, m.. L eau a atteint la hauteur de 4, m vers 7 h et vers 9 h près min de chauffage : 6. près min de chauffage : min.. a b. 9 min. 6. a. L eau a une température constante de 100. b. La température de l eau baisse après 11 minutes car Jade ne chauffe plus. 1. Mois le plus pluvieux : Juin. Hauteur des précipitations : 78 mm.. vril, oût, Octobre et Novembre. 1. Le chiffre 1 apparaît dix fois.. hiffre après la virgule Nombre d apparitions Nombre d apparitions = 1.. a. 6 milliards d habitants. b. = 6. La population mondiale a bien doublé de 1960 à ,7 milliards d habitants Nombre d entrées (en millions) hiffre après la virgule 1 Hauteur d eau (en m) Heure 1. Sur l axe des abscisses, 1 cm représente minutes écoulées. Sur l axe des ordonnées, 1 cm représente une température d eau égale à Musée du Louvre Musée national des châteaux de Versailles et de Trianon Musée d Orsay Musée national d art moderne Musée du quai ranly Musées hapitre 7 Tableaux et graphiques

53 1 Région 1 : Midi-Pyrénées. Région : uvergne. Région : lsace (4 + 7) = = 0. L aquaculture représente 0 % dans cette répartition.. a = b = ( ) = = = L aquaculture a produit tonnes. Thèmes de convergence 4 1. Plus grande nuisance sonore : le transport routier. Plus petite nuisance sonore : le transport ferroviaire % + 68 % = 80 % = % ou quatre cinquièmes de 4 80 = l émission totale de bruit sont 100 produits par le transport routier et le transport ferroviaire %.. Par exemple, la vaisselle et les bains-douches = 16. Le foyer consomme litres d eau pour les bains et les douches. À l oral 1 1. ouleur Jetons Jaune Rouge Total Ronds arrés 1 1 Total 10. Il y a 1 jetons carrés jaunes = = = ( = %) leu : Hommes. Vert : Enfants. Orange : Femmes En 10 min : km. En 0 min : 9 km.. 6 km en 0 min.. Durée (en min) Distance (en km) = = = 0, La distance parcourue est donc proportionnelle à la durée de parcours. 0, correspond au nombre de kilomètres parcourus en une minute. Orange : entre et heures. leu : plus de heures. Violet : entre 1 h et heures. Vert : 0 h km km.. Perpignan et Rouen. 4. Rennes et Toulon = : nombre de garçons qui participent à la chorale. 0 : nombre de filles qui ne participent pas à la chorale Diagramme 1 : 0 % Diagramme : 7 % Diagramme : % Diagramme 4 : 100 % Diagramme : % Diagramme 6 : 0 % Thèmes de convergence Les conducteurs de voitures de tourisme, les conducteurs de poids lourds par exemple.. 11 ans et 1 ans.. De 1 ans à 19 ans. 4. À partir de 14 ans.. Les cyclomotoristes, les piétons, les cyclistes. 6. Les cyclomotoristes. 1. Le graphique donne les précipitations et les températures moyennes sur une année à Nantes.. a. Les températures moyennes maximales. b. Les températures moyennes minimales.

54 . a. 1. b. Environ 7. c. Environ 8 mm. 4. a. Juin, Juillet, oût et Septembre. b. Janvier, Février, Mars et Décembre. c. Janvier, Octobre, Novembre et Décembre.. les précipitations moyennes croissent alors que les températures moyennes décroissent. rgumenter et débattre Faux.. Faux. 9 4, 6 =, Le montant des exportations de jus de fruit représente bien environ 4 millions de zeds. 40 Pour les curieux 1. haque axe représente la moyenne dans une discipline ; il est gradué de en.. Les sommets du polygone vert représentent les moyennes de Nadia dans chacune des neuf disciplines.. Les sommets du polygone rouge représente les moyennes de la classe dans chacune des neufs disciplines. 4. Technologie : 1. Français : Nadia a des moyennes supérieures à celles de la classe en LV1, en Maths, en Musique, en Technologie, en SVT et en Histoire-Géographie. Par contre, ses moyennes sont inférieures à celles de la classe en Français, en EPS et en rts Plastiques. hapitre 7 Tableaux et graphiques

55 EXTRITS DU.O. SPEIL N 6 DU 8 OÛT 008 onnaissances apacités ommentaires.1 Figures planes Notions de parallèle, de perpendiculaire. Tracer, par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée. Utiliser différentes méthodes. Il est seulement attendu des élèves qu ils sachent utiliser en situation ces notions, notamment pour la reconnaissance de deux droites parallèles ou pour leur tracé. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. 6 Je révise 1 : : : Objectifs (1) ctivités Faire prendre conscience de l unicité d une droite passant par deux points distincts, puis présenter les notations d une droite. Faire apparaître qu une droite est représentée par une ligne droite, mais qu elle est illimitée. Faire la distinction entre droite, demi-droite et segment de droite. Présenter les notations. 1. On peut tracer une infinité de droites passant par le point.. On ne peut tracer qu une seule droite passant par les points et.. b. On ne peut pas tracer entièrement une droite, car une droite est illimitée. Objectifs () Utiliser les symboles et pour tester de la bonne compréhension des notations concernant les droites, demi-droites et segments de droite. omprendre la définition de points alignés : ils n appartiennent pas à une même ligne, mais à une même droite. 1. et. b. E D (d). [D) ; [D] ; () ; D []. [] ; (D) ; [D) ; (D).. a. Les points, et n appartiennent pas à une même droite, donc ils ne sont pas alignés. Objectif () pprendre à décrire une figure en utilisant avec précision le vocabulaire mathématique : point, appartenir à, droite, demi-droite, segment. Programme de construction possible : Tracer une droite (d) et placer sur cette droite trois points G,H et I tels que H appartient au segment [GI]. Placer un point J qui n appartient pas à la droite (d). Tracer en violet la demi-droite [GJ). Tracer en vert le segment [HJ]. Tracer en bleu la droite (IJ). Objectifs (1) Montrer que des droites sont sécantes même si leur point d intersection n apparaît pas sur la figure. Faire reconnaître des droites perpendiculaires et des droites parallèles. 1. Droites sécantes à la droite (d) : (NR), (KM), (PM) et (LP). On pourra à cette occasion faire nommer de différentes façons la droite (NR).. Droites perpendiculaires : (PK) et (PM).. Droites parallèles : (LN) et (KM). Objectifs () Tracer la droite perpendiculaire à une droite donnée et passant par un point donné. On identifiera les problèmes rencontrés par les élèves : tracé de droites parallèles au lieu de droites perpendiculaires ; tracé d une droite passant par le point donné, mais non perpendiculaire à la droite (d) (avec, en particulier, le tracé d une droite «verticale») ; tracé d une droite perpendiculaire à la droite (d), mais ne passant pas par le point donné ; tracé d un segment ou d une demi-droite au lieu d une droite.

56 1.,. et.. a. (d 8 ) T (d 7 ) S (d) (d 7 ) // (d 8 ) (d 7 ) // (d 9 ) (d 9 ) On pourra présenter le savoir-faire 1 page 1 du manuel qui détaille la construction de deux droites perpendiculaires à l aide d une règle et d une équerre. U On observe que les droites (d 8 ) et (d 9 ) semblent parallèles. b. Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles. Objectifs () onstruire deux droites parallèles à l aide d un quadrillage. Exercices 1. et. D (d 1 ) F (d ) 1 E Six façons de nommer la droite (d) : (uv), (vu), (uw), (wu), (vw) et (wv). On pourra reposer la même question en remplaçant le point E par d autres points du quadrillage. Objectifs (4) Présenter la propriété «si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles», puis l utiliser pour construire deux droites parallèles. Présenter d autres propriétés liant parallélisme et orthogonalité. 1. a. (d 1 ) Les droites qui semblent perpendiculaires sont : (d 1 ) et (d ) ; (d ) et (d 4 ) ; (d 6 ) et (d 4 ) ; (d ) et (d ) ; (d 6 ) et (d ). 4. a. (d) b. (d) (d ) (d ) Les droites (d ) et (d ) sont parallèles. b. Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.. a. On sait que les droites (d 4 ) et (d ) sont parallèles. b. On sait que les droites (d 4 ) et (d 6 ) sont perpendiculaires. c. On observe que les droites (d ) et (d 6 ) semblent perpendiculaires. d. «Si deux droites sont parallèles et qu une troisième droite est perpendiculaire à l une, alors elle est aussi perpendiculaire à l autre.» 6 Les droites qui semblent parallèles sont : (d 4 ) et (d ) ; (d 6 ) et (d 7 ).. a. b. (d) // (d ) (d) // (d ) (d ) (d) (d) (d ) hapitre 8 À propos des droites 7

57 7 1. (d ) (d ) 1 Par exemple : (d 1 ) K M Les droites (d ) et (d ) sont parallèles. Propriété utilisée : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. (d 1 ) // (d ) (d ) // (d 1 ) (d ) (d 1 ) (d ). Les droites (d ) et (d ) sont parallèles. Propriété utilisée : Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles J a. (xy) b. [ x) c. [] d. D (xy) e. [) f. [x) 1.,. a. et. U. b. Le point U est le point d intersection des droites (RP) et (ST). P T R V L N S 9 E 16 a. Les droites (d 1 ) et (d ) sont sécantes en. b. Les droites (d 1 ) et (d ) se coupent en. c. Le point est le point d intersection des droites (d 1 ) et (d ). D F Les segments [] et [DE] ne se coupent pas.. Les droites () et (DE) sont sécantes. G et. (d) H I J H L N I M F J G K La droite (d) peut être nommée (HI) ou (IH). 1. et. R S T. La portion de la droite (RT) coloriée à la fois en rouge (ici : gris) et en bleu est le segment [RS]. a. Droites tracées qui passent par R : (RS) et (RQ). b. Demi-droites tracées dont l origine est le point S : [ST), [SQ) et [SR). c. Segments tracés dont l une des extrémités est T : [TS] et [TU] (d 1 ) et (d ) ; (d ) et (d 6 ) ; (d 4 ) et (d 6 ).. Trois droites qui se coupent en un même point : (d ), (d ) et (d ). 0 (d ) (d ) et (d ). 1 (d 4 ) (d ) (d 1 ) (d )

58 0 1. (d 1) (d ) (d 1 ) (d ) (d 1 ) // (d ) (d ) (d ) Tracer une droite (d), puis placer un point E qui n appartient pas à la droite (d). Tracer la droite perpendiculaire à la droite (d) et passant par le point E. 4 Tracer la droite (d ) perpendiculaire à la droite (d 1 ) et passant par le point. 1. et.. Les droites (d ) et (d ) sont perpendiculaires. Propriété utilisée : si deux droites sont parallèles et qu une troisième droite est perpendiculaire à l une, alors elle est aussi perpendiculaire à l autre. 1 Les droites (d 1 ) et (d ) sont parallèles. Propriété utilisée : si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles. 1. On sait que (d 1 ) (d ) et (d ) (d ).. Les droites (d 1 ) et (d ) sont parallèles. Propriété utilisée : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. D (d 1 ) (d ) (d) À l oral a. F [GE] b. G [EF] c. G (EF) d. I [EH) e. E [HI] f. H (EG) 4 a. Les droites (d 1 ) et (d ) sont parallèles et le point appartient à (d 1 ). b. Les droites (d ) et (d 4 ) sont perpendiculaires et les droites (d 4 ) et (d ) sont parallèles. 6 Tracer la droite (d ) parallèle à la droite (d 1 ) et passant par le point. Il n existe qu une seule droite perpendiculaire à la droite (d) et passant par le point. 7 (d ) // (d ) et (d ). 8 (d 1 ) (d ) // (d ) (d ) 6 Paul a raison : sur la première figure, il n y a pas de codage ; on ne peut donc pas être sûr que les droites (d 1 ) et (d ) sont perpendiculaires. E 9 (d ) (d 1 ) // (d ) (d ) (d ) // (d 1 ) (d ) E E D F G (d 1 ) // (d 4 ) (d 1 ) (d 4 ) D F hapitre 8 À propos des droites 9

59 Tracer une droite (d) (il y a une infinité de possibilités).. Tracer une droite (d) passant par le point (il y a une infinité de possibilités).. Tracer la droite (d) passant par les points et (on ne peut tracer qu une seule droite). 4. Marquer deux points et D, puis placer le point appartenant à la droite (D) (il n existe qu une seule droite passant par et D).. Tracer une droite (d) perpendiculaire à la droite (d 1 ) (il y a une infinité de possibilités). 6. Tracer la droite (d) parallèle à la droite (d ) et passant par le point E (on ne peut tracer qu une seule droite parallèle à une droite donnée et passant par un point donné). 1. Les points, et ne sont pas alignés, donc les droites () et () sont sécantes. omme appartient à ces deux droites, on peut dire que les droites () et () sont sécantes en.. Les points D, E et F sont alignés, donc ils appartiennent à une même droite que l on peut nommer (DE) ou (EF). Les droites (DE) et (EF) sont confondues. Les phrases sont dans l ordre :,, et. Tracer un triangle. Placer un point E appartenant au segment []. Tracer la droite parallèle à la droite () et passant par le point E. ette droite coupe le segment [] au point F. Programme de construction possible : Tracer un triangle RST. Tracer la droite perpendiculaire à la droite (RT) et passant par le point S ; cette droite coupe le segment [RT] au point U. Tracer la droite perpendiculaire à la droite (ST) et passant par le point U ; cette droite coupe le segment [ST] au point V. Programme de construction possible : Tracer un triangle MEP. Tracer la droite perpendiculaire à la droite (MP) et passant par le point E ; cette droite coupe le segment [MP] au point R. Tracer la droite parallèle à la droite (EP) et passant par le point R ; cette droite coupe le segment [ME] au point (d 1 ) (d ) ; (d 1 ) (d 4 ) ; (d 4 ) (d ).. On sait que : (d ) (d 1 ) et (d 4 ) (d 1 ). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc : (d ) // (d 4 ).. On sait que : (d ) // (d 4 ) et (d 4 ) (d ). Or, si deux droites sont parallèles et qu une troisième droite est perpendiculaire à l une, alors elle est aussi perpendiculaire à l autre. Donc : (d ) (d ). 4. Le quadrilatère D a quatre angles droits, donc c est un rectangle (d 1 ) (d ). On sait que : (d 1 ) () et (d ) (). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc : (d 1 ) // (d ). (d 1 ) (d ) (d 4 ) (d ) (d 1 ) // (d ). Les droites (d ) et (d ) sont perpendiculaires. Démonstration : On sait que : (d 1 ) // (d ) et (d ) (d 1 ). Si deux droites sont parallèles et qu une troisième droite est perpendiculaire à l une, alors elle est aussi perpendiculaire à l autre. Donc : (d ) (d ).. b. Les droites (d ) et (d 4 ) sont parallèles. Démonstration : On sait que : (d ) (d 1 ) et (d 4 ) (d 1 ). Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles Donc : (d ) // (d 4 ). 1. Les segments [], [], [D] et [E].. Les droites (D), (DE) et (E).. La droite (D) peut être nommée : (D), (DE), (ED), (E) ou (E). 4. Les points, et appartiennent à la droite (xy), donc ils sont alignés.. a. Les droites (DE) et () se coupent au point ; elles sont donc sécantes en. b. Les droites (D) et (xy) sont perpendiculaires (voir codage). c. Les points, et sont alignés, donc les droites () et () sont confondues.

60 d. Les droites () et (E) sont perpendiculaires (voir codage). 6. a. (xy) b. [] c. () d. [x) e. [) f. D (xy) g. [DE] h. E (D) 7. Les droites (D) et (E) sont perpendiculaires. Justification : On sait que : (D) (xy) et (E) (xy). Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc : (D) // (E). rgumenter et débattre 1. a. Vrai. b. Faux (les droites sont illimitées ; en les prolongeant, elles se coupent en un point). c. Vrai. d. Vrai (E sur la figure). e. Faux. E. Faux (elles peuvent D être confondues) Vrai.. Faux : par exemple (d 1 ) et (d ) sont sécantes, mais elles ne sont pas perpendiculaires.. a. Vrai (voir codage). (d 1 ) (d ) b. Faux (aucun codage). c. Vrai. On sait que : (d 1 ) (d ) et (d 4 ) (d ). On utilise la propriété : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc : (d 1 ) // (d 4 ). Nombre maximal de droites que l on peut construire : avec deux points : 1 avec trois points : avec quatre points : 6 avec sept points : 1 Pour les curieux Les lignes obliques du premier dessin ne sont pas parallèles ; il en est de même pour les lignes vertes du deuxième dessin. hapitre 8 À propos des droites 61

61 EXTRITS DU.O. SPEIL N 6 DU 8 OÛT 008 onnaissances apacités ommentaires ercle. Savoir que, pour un cercle : tout point qui appartient au cercle est à une même distance du centre ; tout point situé à cette distance du centre appartient au cercle. onstruire, à la règle et au compas, un triangle connaissant les longueurs de ses côtés. On attend des élèves qu ils sachent utiliser en situation ces propriétés. apacité déjà travaillée au cycle. *Médiatrice d un segment. *onnaître et utiliser la définition de la médiatrice ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété d équidistance. Utiliser différentes méthodes pour tracer la médiatrice d un segment ; Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. Les figures ne sont pas toujours représentées avec les mesures données dans les énoncés. Je révise 1 : : : Objectifs ctivités onnaître différentes méthodes de report d une longueur. Savoir que la condition «est à égale distance des extrémités d un segment» n est pas suffisante pour définir le milieu d un segment. 1. Les élèves peuvent utiliser une bande de papier ou un compas.. Seule la figure montre que le point I appartient au segment et qu il est équidistant de ses extrémités. Objectif onnaître les propriétés qui découlent de la définition d un cercle. 1. a. b. es points semblent se trouver sur le cercle de centre et de rayon cm. c. On utilise un compas pour relier ces points.. OF = OG = OH. Objectif Savoir construire, à la règle et au compas, un triangle connaissant les longueurs de ses côtés. 1. a. P K On a construit un triangle KPL tel que : KL = 6 cm ; KP = 4 cm ; PL = cm. b. Le point P convient aussi. c. KL = 6 cm, donc le cercle de centre K et de rayon cm ne coupe pas le cercle de centre L et de rayon cm. P L. À l échelle 1. cm R 4, cm 7 cm T 6 cm S

62 Objectif omprendre la notion de médiatrice d un segment, et connaître la propriété d équidistance de ses points. 1. Il existe une seule droite perpendiculaire à (RS) et passant par I.. a. et b. Voir le dessin ci-dessous. On a : V = T. c. V = T ; V = T ; DV = DT. V D (d) 1 Exercices En unités de longueur : ON = 4 ; JK = 1 ; LM = ; QP =. 1. et. D F E = D = EF. T J K. I = 4 cm ; JI = IK = cm ; JK = 4 cm.. a. [ ] médiatrice [ ] b. (d) 4 I D E F M Les triangles MI et MI, rectangles en I, sont superposables. Donc : M = M. Objectif onnaître la propriété réciproque de celle établie à l activité a., b. et c. Q S d. Les points L, P, Q, R et S semblent alignés. e. (LP) semble bien passer par I.. [ ] équidistant [ ] médiatrice [ ]. M I N R L P 6 7 On reprend exactement le savoir-faire 4 page et. Le dessin n est pas à l échelle. U V. Le rayon de ce cercle est égal à cm. RS > cm, donc : S (). RT < cm, donc : T () RU = cm, donc : U (). RV < cm, donc : V (). On applique le savoir-faire À l échelle 1. R T S 7 cm cm 8 cm. À l échelle 1. G 7,1 cm, cm H 6,4 cm F hapitre 9 Distances Médiatrice d un segment 6

63 Une corde.. Un diamètre.. Un arc. 4. Le centre milieu diamètre.. un rayon. 1. «<» et.. «=» et.. «>» et. La plus longue est la deuxième ligne brisée. On additionne les longueurs des segments formant chaque ligne. 1. Les longueurs des segments constituant la ligne brisée sont reportées «bout à bout» sur une même droite.. En additionnant les longueurs des segments de la ligne formée, on obtient la longueur MN a. 470 cm. b mm. c. 1,709 m. d.,04 km.. 0,001 km = 1, m et 1 00 mm = 1, m également. es deux segments ont la même longueur.. On trace un segment [] de longueur 6,4 cm et un segment [EF] de longueur,4 cm G = ED et D = EF.. < GF ; < ; GF > G ; < D ; EF < ED ; D > EG. 0 Précision indispensable : [ ] le point de ce segment [ ]. On peut utiliser un contre-exemple. Sur la figure I ci-contre, I = I, mais I n est pas le milieu de []. 1 Seul le e cas traduit que I est le milieu de []. Pour les autres cas, une figure pourra illustrer un contre-exemple J est le milieu de [IK] ; K est le milieu de [JL] ; L est le milieu de [KM] ; M est le milieu de [LN]. 1. et. M P N R S. N est le milieu de [MS]. Figure 1 : I = I = :, donc I =, cm. Figure : D = J = 6 cm. V [EF] et VE = VF, donc V est le milieu de [EF]. V [SU] et VS = VU, donc V est le milieu de [SU]. 1. Le centre.. Une corde.. Un rayon. 4. Un arc.. Un diamètre. 6. Un rayon. 1. et. a. I D SU =.. FJ = ST.. JD = TU. 4. = DJ :. 1. = M + M.. EF = EN + NF = + donc : EF = cm. cm cm E N F. KJ + JL > KL donc : J [KL]. 18 S F E T 19 SE + TE = ST, donc : E [ST]. SF + TF = ST, donc : F [ST]. 1. Dans chaque cas : M + M.. = M + M donc : M []. 8 E b. ID =,8 cm ; IE =,8 cm.. Si IG était égal à,8 cm, G appartiendrait au cercle de centre I et de rayon,8 cm. On applique ici les propriétés liées à la définition du cours et appliquées à cette situation : «Si un point est situé à cm du point O, alors il appartient au cercle de centre O et de rayon cm» et «Si un point appartient au cercle de centre O et de rayon cm, alors il est situé à cm du point O». La deuxième propriété est ici utilisée dans sa forme contraposée : «Si un point n est pas situé à cm du point O, alors il n appartient pas au cercle de centre O et de rayon cm». F

64 9 0 O > cm, donc n appartient pas au cercle de centre O et de rayon cm. O < cm, donc n appartient pas au cercle de centre O et de rayon cm. O = OD = cm, donc et D appartiennent au cercle de centre O et de rayon cm. Il s agit d un cercle de centre O, de rayon,7 cm. [O] est un rayon de ce cercle, [DE] en est une corde et [] un diamètre. On applique dans cet exercice la première propriété rappelée dans l exercice 8. O = O = OE, donc, et E appartiennent au même cercle de centre O et de rayon O. O = OF = 1,8 cm, donc et F appartiennent au même cercle de centre O et de rayon 1,8 cm. OD = OG, donc D et G appartiennent au même cercle de centre O et de rayon OD. 4 et exercice peut être proposé en travail à faire à la maison, à l échelle par exemple, ou sur une feuille à grands carreaux. I D a. M N 4 cm cm 6 cm es deux cercles ont le même rayon : 7 cm. 1. K Le rayon de ce cercle est égal à 6 cm.. a. Le centre du cercle de diamètre [KL] est le milieu de [KL] ; son rayon est égal à cm. b. Voir ci-dessus. L b. Par définition, tous les points situés à 4 cm du point appartiennent au cercle de centre et de rayon 4 cm. c. Par définition, tous les points situés à cm du point appartiennent au cercle de centre et de rayon cm. d. Deux points se trouvent à la fois à 4 cm du point et à cm du point.. À l échelle 1. 4 cm G cm 1. E 6 cm F E F G 7 On peut se reporter à la méthode de construction proposée en savoir-faire.. Il s agit du même cercle On peut se reporter à la méthode de construction proposée en savoir-faire.. 8 > 4 +, donc ces segments ne peuvent être les côtés d un triangle. hapitre 9 Distances Médiatrice d un segment 6

65 Seule la figure fait apparaître de façon certaine (codages) une droite perpendiculaire au segment, le coupant en son milieu. Il peut être utile ici de mettre en avant l idée essentielle selon laquelle «un dessin, même très bien réalisé, ne prouve rien», et que seul le codage (ou des indications suffisantes) permet de tirer des conclusions. 1. Par définition, I est le milieu de [EF].. Par définition, les droites (d) et (EF) sont perpendiculaires. Il suffit de tracer la perpendiculaire à [] passant par le milieu de []. On applique le savoir-faire 1 pour chaque segment. On applique le savoir-faire 1 pour le segment []. N I Le milieu du segment [GH], noté I, est équidistant des points G et H. Il suffit de construire un autre point équidistant de G et H, noté J. La droite (IJ), passant par deux points équidistants de G et H, est la médiatrice du segment [GH].. G À l oral J 1. Faux : seuls les points situés à une distance du centre égale au rayon du cercle lui appartiennent.. Faux ; contre-exemple : EG = cm mais G n est pas le milieu de [EF]. À l échelle 1 4. I H G (d) M E F 4 (m) R U T S V Q. Vrai. 4. Faux ; contre-exemple : R S. R D après les codages, la droite (m) est perpendiculaire à la droite () et elle coupe le segment [] en son milieu : (m) est donc la médiatrice du segment []. M appartient à la droite (m). Or, si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est équidistant de ses extrémités. Donc : M = M. Seuls les points appartenant à la médiatrice (d) du segment [] sont équidistants de et ; ici, ce sont les points R, O et N. M K 1 4. Vrai. a. M [] donc : = M + M =,8 cm. b. N [EF] donc : NF =,6, =,4 cm. c. K [RS] donc : RK = 6, 1,6 = 4,7 cm. a. I = 1, cm. b. D = 4, cm. c. EK =,8 cm. 1. Le diamètre de ce cercle est égal à 7 cm.. Le rayon de ce cercle est égal à 4, cm. Seul le point E appartient à ce cercle. S 66 L N a.,7 cm = 7, mm. b. 0,01 hm = 1 cm. c cm = 84 m. d. 40, dam = 4,0 hm.

66 9 H 4. Les droites (d) et (d ) sont perpendiculaires à la même droite () que l on pourrait nommer () ou (). Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc : (d) // (d ). (d) 64 D (d) est le point d intersection de (d) et de la médiatrice de [H]. I 60 et exercice permet de faire comprendre aux élèves que l égalité M + M = n est vérifiée que pour les points M appartenant au segment []. 1. M N. M [], donc : = M + M.. = N + N, donc : N []. E Le quadrilatère DE semble être un rectangle. 6 Fig S O O T () Fig.. et. [OS] et [OT] sont des rayons de ce cercle, donc : OS = OT. 4. a. Le point O est équidistant des points S et T. Or, si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Par conséquent, O appartient à la médiatrice du segment [ST]. b. Le centre d un cercle est équidistant de tous les points de ce cercle et, en particulier, des deux extrémités d une corde quelconque de ce cercle. D après le raisonnement précédent, on peut conclure que le centre d un cercle appartient toujours à la médiatrice d une de ses cordes M 6 6 et exercice nécessite du soin et de la précision. 1. La droite (d) est la médiatrice du segment [] ; donc, par définition, elle est perpendiculaire à la droite ().. La droite (d ) est la médiatrice du segment [] ; donc, par définition, elle est perpendiculaire à la droite ().. Les points, et sont alignés : les droites () et () sont donc confondues.. Le centre du cercle de diamètre [] est, milieu de [].. a. (MN) est perpendiculaire à (), et elle coupe [] en son milieu : donc, par définition, (MN) est la médiatrice de []. b. (MN) est la médiatrice de []. Or, si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est équidistant de ses extrémités. Donc : M = M et N = N. N hapitre 9 Distances Médiatrice d un segment 67

67 67 4. a. Le point est le centre du cercle de diamètre [MN] donc c est le milieu de [MN]. b. () est perpendiculaire à (MN), et elle coupe [MN] en son milieu : donc, par définition, () est la médiatrice de [MN].. () est la médiatrice de [MN]. Or, si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est équidistant de ses extrémités. Donc : M = N et M = N. Les égalités des questions et prouvent que les quatre côtés du quadrilatère MN ont la même longueur. 1. On applique le savoir-faire.. M = M et N = N.. Propriété : «Si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment». Les points M et N sont équidistants de et, ils appartiennent donc à la médiatrice du segment []. 4. La droite (MN) est la médiatrice du segment [] Les médiatrices du triangle se coupent en un même point I (on dit qu elles sont concourantes. 7. I = I = I, donc I est le centre du cercle passant par les trois sommets du triangle. Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est équidistant de ses extrémités. Le point M appartient à la médiatrice (d) du segment [KL], donc : MK = ML. ette égalité prouve que le point M est le centre d un cercle passant par les points et. e même raisonnement peut être tenu pour les points N et P appartenant à (d) et pour tout point appartenant à (d) de façon générale. P N K L M (d) et exercice annonce un résultat qui sera étudié en classe de e : les médiatrices d un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre du cercle circonscrit au triangle. 1.,. et. (d ) I (d 1 ) (d ) 4. Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est équidistant de ses extrémités. Le point I appartient à la médiatrice (d 1 ) du segment [], donc : I = I. Le point I appartient à la médiatrice (d ) du segment [], donc : I = I. I = I et I = I, donc : I = I.. Si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Le point I est équidistant de et, il appartient donc à la médiatrice (d ) du segment []. 70 On utilise tout d abord la conclusion de l exercice 67, la droite (MN) étant remplacée par (d). La droite (d) est la médiatrice du segment [] ; donc, par définition, elle est perpendiculaire à (). rgumenter et débattre Faux : on peut utiliser une bande de papier ou un compas.. Vrai (une illustration peut être proposée).. Faux : TR < 7, cm. 4. Faux : si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.. Vrai : un cercle a une infinité de diamètres. 6. Faux si I n appartient pas au segment []. 7. Vrai : on utilise les propriétés : «Si deux droites sont parallèles et qu une troisième droite est perpendiculaire à l une, alors elle est aussi perpendiculaire à l autre» et «Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles». Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est équidistant de ses extrémités. insi, tous les points de la médiatrice de [MN] sont équidistants de M et N. es points sont les centres de cercles passant par M et par N. Il y a donc une infinité de points répondant au problème.

68 7 On peut suggérer à Fatima de construire les médiatrices de deux cordes [] et [D] non parallèles de ce cercle. Leur point d intersection, équidistant de, de et de, est donc le centre cherché. Fig a.,80 cm L M (d),80 cm,09 cm,09 cm,8 cm 74 Remarque : On peut aussi, bien sûr, choisir deux cordes ayant une extrémité commune, comme sur la figure ci-dessous. Fig. 1. a. D N,8 cm b. La médiatrice de [] semble passer par M, N et L. c. Mot manquant : «médiatrice». d. En effet, si un point est le centre d un cercle passant par les extrémités d un segment, alors il est équidistant de ses extrémités. Or si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.. a. I P b. Les points, et n étant pas alignés, les médiatrices de [] et [] ne sont pas parallèles : elles sont donc sécantes en un (unique) point I équidistant de, et. Donc il n existe pas d autres points équidistants de, et.. On a donc : I = I = I, ce qui prouve que le point I est le centre d un cercle passant par les trois points, et.. D après les questions précédentes, on peut toujours faire passer un cercle par trois points non alignés. b. Mot manquant : «cercle». c. Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est équidistant de ses extrémités. Par conséquent, c est le centre d un cercle passant par ces extrémités.. Les centres de tous les cercles passant par deux points donnés et se trouvent sur la médiatrice de []. Pour les curieux 7 En exécutant ce programme de construction, on obtient bien un ovale. hapitre 9 Distances Médiatrice d un segment 69

69 EXTRITS DU.O. SPEIL N 6 DU 8 OÛT 008 onnaissances apacités ommentaires 4. ngles *issectrice d un angle. omparer des angles sans avoir recours à leur mesure. *Utiliser un rapporteur pour : - déterminer la mesure en degré d un angle, - construire un angle de mesure donnée en degré. *Reproduire un angle. *onnaître et utiliser la définition de la bissectrice. *Le rapporteur est un nouvel instrument de mesure qu il convient d introduire à l occasion de la construction et de l étude des figures. *La bissectrice d un angle est définie en sixième comme la demi-droite qui partage l angle en deux angles adjacents de même mesure. La justification de la construction de la bissectrice à la règle et au compas est reliée à la symétrie axiale. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. Je révise 1 : : : 4 : Question 1 : Vérifier que les élèves ne comparent pas les deux angles en utilisant la longueur de leurs côtés. ctivités c. ngles et.. a. L angle est un angle droit. b. ngles aigus : et. c. ngles obtus : et.. Dans l ordre croissant : 70 Objectif onnaître la notation d un angle, puis l utiliser dans une figure plus complexe. 1. a. GD ou DG. b. ULM ou MLU. c. uov ou vou. d. r s ou sr.. a. : xy ou y x. : y z ou zy. : D ou D. : FEI ou IEF. : D ou D. : EID ou DIE.. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 1) I J L M b. On marque en vert l angle LKM. Objectif Visualiser des angles et connaître le vocabulaire : droit, plat, saillant, rentrant, aigu, obtus. 1. a. L angle est un angle plat. b. ngles,,, et. K Objectif Utiliser un gabarit d angle pour donner du sens à la mesure d un angle.. a. zt = u c. rs = u Objectif b. mp = u d. 6 u < vdw < 7 u pprendre à utiliser un rapporteur pour mesurer ou construire un angle. 1. a. On peut compter au maximum 180 degrés. b. xoy = a. xoz = 90 xou = 0 xov = 11 yoz = 90 yov = 6 you = 10 b. Un angle plat mesure 180. Un angle droit mesure 90. c. Un angle saillant a une mesure comprise entre 0 et 180. Un angle aigu a une mesure comprise entre 0 et 90. Un angle obtus a une mesure comprise entre 90 et a. ngles aigus :, IHG et PQR. b. ngles obtus : DEF, JKL et MNO. c. 0 ; DEF 10 ; IHG 6 ; JKL 9 ; MNO 170 ; PQR 8.

70 À l issue de cette question, on indiquera aux élèves le savoir-faire 1 page 168 qui donne la méthode pour mesurer un angle avec un rapporteur. 4. On dégagera la méthode pour construire un angle de mesure donnée. On peut prendre appui sur le savoir-faire page 168 du manuel. Objectifs Définir puis construire deux angles adjacents. alculer la mesure d un angle. 1. a. x 0 4 z b. Les angles xy et yoz : ont le même sommet : le point, un côté commun qui est [y), sont situés de part et d autre de la demi-droite [ y). c. xy = xy + y z = = 7.. y omme le signalent les commentaires du programme, la construction de la bissectrice d un angle à la règle et au compas est reliée à la symétrie axiale et aux figures usuelles (chapitre 14) Exercices a. xoy ou yox : angle aigu. b. EFG ou GFE : angle obtus. c. HJK ou KJH : angle obtus. d. En bleu : LMO angle aigu. En orange : PON angle aigu. a. xou = 4 c. xov = 100 e. you = 1 b. woy = 40 d. yov = 80 f. xow = 140 Il s agit de construire des angles de mesure donnée. On rappellera aux élèves qu ils peuvent utiliser le savoir-faire page 168 du manuel. y 0 74 O 80 x Objectifs onstruire deux angles adjacents de même mesure, puis définir la bissectrice d un angle. onstruire la bissectrice d un angle à l aide d un rapporteur et d une règle non graduée. 1. a. et b. 80 : = 40. u 40 D 6. On utilise la méthode du savoir-faire page 169 du manuel. Les angles xoy et yoz ont le même sommet O, un côté commun [Oy) et sont situés de part et d autre de ce côté commun ; donc xoy et yoz sont adjacents : = 6. x 6 O 6 bissectrice de l angle xoy y 7 1. et. 6 : = 18. x O y z hapitre 10 ngles 71

71 8 G À l échelle 1 : F 8 8 F E. Les angles ETF, EUF et EVF ont la même mesure (elle dépend de la position des points E et F sur le cercle). U E V O T 19 et 0 On utilisera le savoir-faire page DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE ) 1. et. R noir vert rouge U V T S bleu. UST, SUR et TRS sont des angles aigus ; RUV est un angle obtus. Les angles et DEF ont la même mesure. 11 ngles aigus FD E E 1 ngles droits E ngles obtus D FE EF ngles plats F 1. ngles aigus : LP ; LP ; PM ; MP ; PM. ngle obtus : PM ; PM ; ML.. L angle colorié en vert est un angle rentrant DEF 10. GHI 80. JKL : 4. : 140. : 80. : 64. : 10. ngle violet :. ngle bleu : 110. ngle orange : 0. ngle vert : EGH 4 FIH L IHG 14 FEH 1 KFE 7 FKG DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE ) On utilisera le savoir-faire page 169. Les angles uw et vw ont la même mesure. Ils ne sont pas adjacents car ils n ont pas le même sommet. 1. Les côtés de l angle ros sont [Or) et [Os). Les côtés de l angle rot sont [Or) et [Ot). Les angles ros et rot ont donc en commun le côté [Or).. Les angles ros et rot ne sont pas adjacents car ils ne sont pas situés de part et d autre de leur côté commun [Or). t 6 7 O et. 148 : = 74. u t 74 a. b. s r v u y x 7. L 104 L 47 L 9 60 O 60 y x 4 4 O

72 c. 6 a. L angle I est plat donc : I = 180. x 8 O 8 y b. Les angles I et I sont adjacents, donc : I + I = I = 180, soit : I = = [O) est la bissectrice de l angle O pour la figure 1. et 0 Les élèves pourront s aider du savoirfaire page 168 du manuel. 1. Les élèves pourront s aider du savoir-faire page 168 du manuel.. EUI = 0 et IFH = 0. N 7 8 a. xoy = xoz yoz = 90 4 = 6. b. xoy = xot + toy = = 1. c. xoy = uov (uox + yov) xoy = 180 (71 + ) xoy = = 77. a. NDE = SDE SDN NDE = 90 1 = 69 b. NDE = DE (DM + MDO + ODN) NDE = 180 ( ) NDE = = 70 4 cm 110 M cm L 9 À l oral ngle obtus xoy. ngle obtus ED. ngle aigu uv. ngle aigu zt. 1. S 40 IRT = RTI RIT = LIO ILO = IOS R 4 cm a. 80 b. 1 c. 180 d. 4 e. 47 f. 116 g. 144 h. 1 i. 10 j. 100 k. 180 l. 0 m. 80. RST = Échelle 1 : V T a. 8 b. 86 c. 1 d. 16. a. 18 b. c. 89 d. 8 a. GJL = 71 b. GJL = 68. PVU = P 6 cm U 48 LMN = 71, donc : LMN = = 89. MNO = 100, donc : MNO = = 0. NOP = 146, donc : NOP = = G 49 xoy = = 100. zt = 60 4 = 6. y z t E 4. EGF = 7. 4, cm 60 F x 100 O 6 hapitre 10 ngles 7

73 0 1. À l échelle 1 : 7 Tracer un triangle tel que : F I E J (IJ) // (FG) = 40, = 6 cm et = 4 cm. Placer le point I qui est le milieu du côté []. Tracer le segment [I]. Tracer la bissectrice de l angle I ; elle coupe le côté [] en J. G. a. EIJ 46 ; IJE 0 ; IEJ 104. b. EFG 46 ; FGE 0 ; FEG 104. c. On constate que les angles des triangles EFG et EIJ sont deux à deux de même mesure. 1 François calcule le nombre de graduations entre les côtés [Ox ) et [Oy). Pour cela, il fait : 1 0 = 9. xoy = Voici les autres étapes de construction de la figure : Tracer la bissectrice de l angle EGF ; elle coupe le côté [EF] en H. Tracer la perpendiculaire à la droite (GF) passant par le point H ; elle coupe le côté [GF] en I. 9. Tracer un triangle VIE tel que : VE = 6 cm, IVE = 48 et IEV = 0. Tracer la bissectrice de l angle VIE ; elle coupe le côté [VE] en T et 6. Impossible. P = E + EP = + 1 = 180. P est un angle plat donc les points, et P sont alignés. 4 ULM = UL + LD + DLM ULM = = , donc ULM n est pas un angle plat. insi, U, L et M ne sont pas alignés. Un angle plein mesure 60, ainsi : xoy = 60 (xoz + yoz) xoy = 60 ( ) xoy = = Tracer un triangle RST tel que : RS = 6 cm, ST = 7 cm et SRT = 70. Placer le point L sur le côté [RS] tel que : STL = 1. Tracer la parallèle à la droite (TS) passant par le point L ; elle coupe le côté [TR] en U. 61 Tracer un cercle de centre O et de rayon cm, puis tracer un diamètre [] de ce cercle. Placer un point sur ce cercle tel que : = E 4 4 I (d) 6 1. et. À l échelle 1 : 74 On constate que les trois bissectrices se coupent en un même point.. La droite (d) est la médiatrice de [], donc elle est perpendiculaire à (). omme E appartient à (d), alors : IE = EI = 90.. (I) est la bissectrice de l angle EI, donc elle le partage en deux angles adjacents de même mesure. insi : EI EI 90 = = = 4. I = IE + EI = = 1.

74 6 x 1. a., b. et d. 11 t O 46 c. xot = xoy toy = = 67.. xov = xot + tov = 67 + = 90. Donc l angle xov est droit ,. et 4. À l échelle 1 : v y a. Un pentagone a cinq côtés. b. 60 : = 7.. et. E D 7 O 7 7 () 7 4. EO = 60 (7 4) = 7.. b. On constate que : = = D = DE = E. 6. b. On constate que : = E = E = D = D. c. [O) est la bissectrice de l angle OE. E cm D (d). Les points, et sont alignés dans cet ordre, donc : = 180. D = D = = 60.. [E) est la bissectrice de l angle D, donc elle le partage en deux angles adjacents de même mesure : E = 10 ED = = 60. = D + D 180 = 10 + D donc : D = = 60. insi : E = D = 60. La demi-droite [D) partage l angle E en deux angles adjacents de même mesure, c est donc la bissectrice de l angle E a. Un hexagone a six côtés. b. 60 : 6 = 60.. et. F E 60 O D () 4. FO = 60 (60 ) = 60.. On constate que : = = D = DE = EF = F. b [Ou) est la bissectrice de xoz donc : xoz = xou = = 70. xoy est un angle plat donc : xoy = 180. zoy = xoy xoz = = [Ov) est la bissectrice de zoy donc : zoy 110 zov = = = [Ou) est la bissectrice de xoz donc : uoz = xou =. uov = uoz + zov = + = 90. L angle uov est un angle droit. Thème de convergence a. 180 b. 6. Pourcentage 100 x ngle : 1,8 180 : 100 = 1,8 x = 6 : 1,8 = 0 Les fruits représentent 0 % de l alimentation du renard en hiver. hapitre 10 ngles 7

75 rgumenter et débattre Pour les curieux Vrai.. Faux (c est un angle nul).. Vrai. 4. Faux (E = = 64 ).. Vrai. 6. Faux (DE E). 7. Faux (ils ne sont pas situés de part et d autre de leur côté commun). Elles ont toutes les deux raison. urélie voit les angles adjacents xoy et yoz. Sarah voit, par exemple, les angles xoy et xoz qui ne sont pas adjacents. 1. adiba doit constater que les angles des deux triangles sont deux à deux de même mesure.. Les angles de chaque triangle mesurent approximativement 4, et = 0 et 0 = 10. À h 00, les aiguilles forment un angle de 10.. a. La petite aiguille fait le tour du cadran en 1 h. b. 60 : 1 = 0. La petite aiguille tourne de 0 en une heure. 0 : 60 = 0,. La petite aiguille tourne de 0, en une minute.. a. La grande aiguille fait le tour du cadran en 1 h. b. La grande aiguille tourne de 60 en une heure. 60 : 60 = 6. La grande aiguille tourne de 6 en une minute. 4. À h 0, la petite aiguille est entre le et le 6 alors que la grande aiguille est sur le : 1 = 0. L angle entre le 4 et est de 0. 0, 0 = 10. L angle entre la petite aiguille et le est de = 40. Les aiguilles forment un angle de 40 à h 0. 76

76 nnexe 1 a. I L K M J nnexe 9 R V S U T nnexe 1 1 hapitre 10 ngles 77

77 EXTRITS DU.O. SPEIL N 6 DU 8 OÛT 008 onnaissances apacités ommentaires. Géométrie Propriétés des quadrilatères usuels. onnaître les propriétés relatives aux côtés, aux angles, aux diagonales pour le rectangle, le carré et le losange. *La symétrie axiale est mise en jeu pour mettre en évidence certaines propriétés. Propriétés et construction des triangles usuels. onnaître les propriétés relatives aux côtés et aux *angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle. Utiliser ces propriétés pour reproduire ou construire des figures simples. onstruire une figure simple à l aide d un logiciel de géométrie dynamique. On travaillera à la fois les constructions sur papier par les outils de dessin traditionnels et les constructions sur écran à l aide d un logiciel de géométrie. onstructions géométriques. Reproduction, construction de figures complexes. es situations nécessitent de reconnaître des figures simples dans une figure complexe et demandent un travail d analyse utile aux apprentissages ultérieurs. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. L étude des triangles et quadrilatères particuliers est abordée dans deux chapitres : le chapitre 11 dans lequel sont abordées les définitions et les premières propriétés. le chapitre 14 dans lequel sont abordées les propriétés utilisant la symétrie axiale. Je révise 1. :. :. : 4. :. : 6. : 7. : 8. : ctivités 4. a. Faux. En effet, un triangle rectangle possède un côté qui est plus grand que les deux autres, donc il ne peut pas être équilatéral. b. Vrai. Le sommet de l angle droit est alors le sommet principal. c. Vrai. En effet, un triangle équilatéral est isocèle en chacun de ses sommets. Objectif Reprendre et préciser les notions de triangle rectangle, isocèle ou équilatéral déjà abordées en M b.. a.. c.. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 1) Objectif Préciser la définition d un losange. 1. On peut aussi utiliser le compas.. a. On ne peut pas utiliser la règle graduée seule pour construire un quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur. Il faut utiliser le compas. b. Un quadrilatère ayant ses quatre côtés de même longueur est un losange.. a. Le triangle est isocèle en. Le triangle EDF est rectangle en D. Le triangle GHI est équilatéral. 78 Objectif Préciser la définition d un rectangle. 1. On utilise la règle et l équerre.. b. Le quatrième angle semble être aussi un angle droit. c. Un quadrilatère ayant quatre angles droits est un rectangle.

78 Objectif Identifier un carré comme un rectangle particulier ou comme un losange particulier. 1. a. Un carré a quatre angles droits. b. Un quadrilatère ayant quatre angles droits est un rectangle. c. Un carré est donc un rectangle.. a. Un carré a ses quatre côtés de même longueur. b. Un quadrilatère ayant ses quatre côtés de même longueur est un losange. c. Un carré est donc un losange. Exercices 4 d. e. 4 cm 6 cm R T 6 cm cm cm I J cm K S échelle 1/ échelle 1/. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE ) Le quadrilatère 1 est un rectangle. Le quadrilatère est un losange. Le quadrilatère est un rectangle. Le quadrilatère 4 est un carré Le triangle E est isocèle en. Le triangle E est rectangle en. Le triangle D est équilatéral.. onstruire un triangle E rectangle en. onstruire un triangle équilatéral D tel que D soit du même côté que E par rapport à la droite (). onstruire un triangle E isocèle en tel que et soient de part et d autre de la droite (E). 1 4 a. Le triangle est isocèle en. Le triangle EDF est rectangle en D. Le triangle GHI est équilatéral. 8 cm a. cm D cm cm 0 cm échelle 1/ b. E 4 cm 4 cm F 6 cm b. N échelle 1/ 6 H 4 cm a. I cm 4 cm G échelle 1/ J cm 6 cm cm c. M D P échelle 1/ L K échelle 1/ b. M 6 cm N cm F 4 cm E échelle 1/ 8 cm P O échelle 1/ hapitre 11 Triangles et quadrilatères particuliers 79

79 c. R 7 cm S 11 Le triangle PQR est rectangle en Q. Le triangle LMN est isocèle en M. 1 a. 6 cm 7 U T échelle 1/ 4, cm 8 cm 4, cm 4, cm 4, cm échelle 1/ b. échelle 1/ 8 Il y a trois triangles rectangles dans cette figure. Le triangle D est rectangle en. Le triangle est rectangle en. Le triangle D est rectangle en. cm 7 cm 1 a. échelle 1/ 9 1. Le triangle est rectangle en. Le triangle D est isocèle en. Le triangle DE est rectangle et isocèle en D.. Tracer un triangle rectangle en tel que : = 10 cm et = 7 cm. Tracer un triangle D isocèle en tel que D et soient de part et d autre de la droite () et tel que D = 1 cm. Tracer le triangle DE rectangle et isocèle en D tel que E et soient de part et d autre de la droite (D). 8 cm b. échelle 1/ 10 1.,. et. () D ( ) 60 cm échelle 1/ 4 cm O O 14 a. 80 échelle 1/ 4. Le triangle O est isocèle en O, le triangle O D est isocèle en O, le triangle D est isocèle en, le triangle O est isocèle en O, le triangle O est isocèle en O. Les triangles OO et OO sont équilatéraux. Remarque : les triangles D, O et O D sont aussi équilatéraux mais un élève de sixième ne peut pas le prouver. On peut seulement demander de constater que ces triangles semblent être équilatéraux. 8 cm cm b. cm 8 cm 110 échelle 1/ cm

80 1 1. et. 1 a. cm 0 O cm cm cm échelle 1/ Il y a deux possibilités : O 1 et O. 1. Le triangle RST est isocèle en R, donc : RS = RT. Si un point est situé à égale distance de S et de T, alors il appartient à la médiatrice du segment [ST], donc R appartient à la médiatrice de [ST].. S R cm 1. Le quadrilatère HF est un rectangle non carré. Le quadrilatère GJF est un carré. Le quadrilatère LKG est un losange non carré.. onstruire un carré GJF dont les diagonales se coupent en H. onstruire un rectangle HF tel que les points et H soient de part et d autre de la droite (GF). onstruire le losange LKG tel que les points L et H soient de part et d autre de la droite (G). 1. Le quadrilatère O est un carré. Le quadrilatère ODEF est un losange. Le quadrilatère EG est un losange.. onstruire un cercle de centre O. Tracer deux rayons [O] et [O] perpendiculaires. onstruire le carré O. Placer le point F à l extérieur du carré O tel que le triangle OF soit équilatéral. Placer le point D à l extérieur du carré O tel que le triangle OD soit équilatéral. onstruire le losange ODEF. onstruire le losange EG. T D b. c. d. cm 6 cm D 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm cm cm cm D cm cm 8 cm échelle 1/ échelle 1/ échelle 1/ a. 7 cm D 4, cm D échelle 1/ échelle 1/ b. D 6 cm 9 cm échelle 1/ c. D 19 0 Voir figures. Le quadrilatère IJKL est un losange. Le quadrilatère DEFG est un rectangle cm échelle 1/ hapitre 11 Triangles et quadrilatères particuliers 81

81 d. F 9 cm 0 D F D échelle 1/ E Le triangle est isocèle en. Le triangle DEF est rectangle en D.. a. Le point est le sommet principal du triangle, isocèle en. b. Le côté [] est la base du triangle, isocèle en. c. Le côté [EF] est l hypoténuse du triangle DEF rectangle en D. 1. a. Les segments [] et [D] sont deux côtés opposés. b. Le segment [] est une diagonale. c. Les points et sont deux sommets consécutifs. d. Les angles D et. sont deux angles opposés.. Le quadrilatère D peut aussi se nommer D, D, D, D, D, D ou D. Le quadrilatère D est un losange. Le quadrilatère FED est un rectangle. Le quadrilatère DGH est un carré. E Il y a deux possibilités pour le carré EF. Thème de convergence 4 1. Les panneaux concernant un danger ont la forme d un triangle équilatéral.. Les panneaux d indication ont la forme d un carré.. Les panneaux d indication «N 89», «7», «E 11», «MONTPELLIER», «URILL LE PUY» ont la forme d un rectangle. Les panneaux «ORDEUX» et «USSEL» ont la forme d un rectangle avec un triangle équilatéral «attaché» à un petit côté pour indiquer la direction. Le panneau «STOP» est un polygone à huit côtés de même longueur (octogone régulier). Le panneau «voie prioritaire» a la forme d un carré. 4. Les panneaux représentés par un disque sont des panneaux d interdiction. À l oral D E (d) 1. Le triangle est rectangle en, donc le point est un point de la droite passant par et perpendiculaire à la droite ().. Le triangle E est rectangle en E. On constate que le point E semble appartenir au cercle de diamètre []. E E E 8 1. Les sommets du triangle sont les points, et et ses côtés sont les segments [], [] et []. Les sommets du triangle DEF sont les points D, E et F et ses côtés sont les segments [DE], [DF] et [EF].. Le côté opposé au sommet est le côté [].. Le sommet opposé au côté [DF] est le sommet E. 4 (d) E D

82 1. Le triangle est isocèle en, donc =, donc est un point du cercle de centre et de rayon.. Le triangle E est isocèle en E, donc E = E, donc E est un point de la médiatrice du segment [].. Le point D est un des deux points d intersection du cercle de centre et de rayon et de la droite (d). Il y a deux possibilités. (d) D 1 D E 6 y cm G y E 4 6 cm F x échelle 1/. EG = EF, donc le triangle EFG est isocèle en E. O D E x x échelle 1/ M 7 1. Le sommet principal peut être le sommet ou le sommet, mais pas le sommet car. Si le sommet principal est, la base est le côté [] (figure 1). Si le sommet principal est, la base est le côté [] (figure ).. Fig. 1 cm cm K 8 10 cm. L angle LKM est droit, donc le triangle KLM est rectangle en M L 7 cm échelle 1/ Fig. 8 cm 7 cm 7 cm échelle 1/. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE ) Le point est le point d intersection de la médiatrice de [] et de la droite (d). Il n y a qu une seule possibilité. D. a. La droite () est perpendiculaire à la droite (D) et passe par le milieu du segment [D], donc la droite () est la médiatrice du segment [D]. b. Le point appartient à la médiatrice de [D], donc il est équidistant des points et D, donc : = D. Le triangle D est donc isocèle en. hapitre 11 Triangles et quadrilatères particuliers 8

83 4 1. D F E ( 1 ) ( ) cm G échelle 1/. b. Les points et D appartiennent au cercle ( 1 ), donc : = D = cm. Le triangle D est donc isocèle en.. b. Les points et E appartiennent au cercle ( ), donc : = E = cm. Le triangle E est donc isocèle en. 4. Les points F et G appartiennent au cercle ( 1 ), donc : F = G = cm. Les points F et G appartiennent au cercle ( ), donc : F = G = cm. On a donc : = F = F = cm, donc le triangle F est équilatéral. De même, = G = G = cm, donc le triangle G est équilatéral D. Le triangle est isocèle en, donc : =. Le point est le milieu du segment [D], donc : = D. On a donc : = D. Le triangle D est donc isocèle en et Les droites () et (D) sont perpendiculaires à la même droite (), donc les droites () et (D) sont parallèles.. Les droites () et (D) sont parallèles d après la question précédente et la droite (D) est perpendiculaire à la droite (), donc la droite (D) est aussi perpendiculaire à la droite (D).. Les droites (D) et (D) sont perpendiculaires d après la question précédente, donc : D = Le quadrilatère D a donc ses quatre angles droits, c est donc un rectangle échelle 1/ 6 cm 1 D 6 cm. Les points et D appartiennent au cercle de centre et de rayon 6 cm, donc : = D = 6 cm. De même, les points et D appartiennent au cercle de centre et de rayon 6 cm, donc : = D = 6 cm. On a donc : = = D = D. Le quadrilatère D a ses quatre côtés de même longueur, donc D est un losange () D (d) 6 cm 6 cm ( ) 84 6 cm 6 cm 6 cm échelle 1/. 1 = 1 = = = 6 cm, donc le quadrilatère 1 est un losange. ( 1 ). Soit r le rayon du cercle (). On a donc : = D = r. Les points et appartiennent au cercle ( 1 ) de centre, donc : = = r. De même, les points et appartiennent au cercle ( ) de centre D, donc : D = D = r. On a donc : = = D = D. Le quadrilatère D a ses quatre côtés de même longueur, donc D est un losange.

84 rgumenter et débattre Vrai. Le sommet de l angle droit est alors le sommet principal et la base est l hypoténuse.. Faux. Dans un triangle équilatéral, les trois côtés ont la même longueur, alors que dans un triangle rectangle, l hypoténuse est le plus grand côté du triangle.. Vrai. Si le triangle avait deux angles droits, le triangle aurait deux côtés parallèles, ce qui n est pas possible. 4. Vrai car les quatre côtés d un losange ont la même longueur.. Faux. ontre-exemple : 0 6. Vrai car tous les angles d un rectangle sont droits. 7. Faux. P ontre-exemple : N M Le poème illustre un triangle rectangle. Q D 4 1. b. L angle D reste toujours égal à 90. c. D est un rectangle car il a quatre angles droits.. b. Les quatre côtés du quadrilatère D ont toujours la même longueur. c. D est un losange car il a ses quatre côtés de même longueur. hapitre 11 Triangles et quadrilatères particuliers 8

85 nnexe 1 4 nnexe nnexe (d) 86

86 EXTRITS DU.O. SPEIL N 6 DU 8 OÛT 008 onnaissances apacités ommentaires 4.1 Longueurs, masses, durées 4. ires : mesure, comparaison et calcul d aires Effectuer, pour les longueurs et les masses, des changements d unités de mesure. omparer géométriquement des périmètres. alculer le périmètre d un polygone. onnaître et utiliser la formule donnant la longueur d un cercle. omparer géométriquement des aires. Déterminer l aire d une surface à partir d un pavage simple. Différencier périmètre et aire. alculer l aire d un rectangle dont les dimensions sont données. onnaître et utiliser la formule donnant l aire d un rectangle. alculer l aire d un triangle rectangle, *d un triangle quelconque dont une hauteur est tracée. onnaître et utiliser la formule donnant l aire d un disque. Effectuer pour les aires des changements d unités de mesures Il s agit d entretenir les connaissances acquises à l école élémentaire, de compléter et consolider l usage d instruments de mesure, en s appuyant sur les équivalences entre les différentes unités. La comparaison de périmètres sans avoir recours aux formules est particulièrement importante pour affermir le sens de cette notion. Le travail sur les périmètres permet aussi une initiation aux écritures littérales. Poursuivre le travail effectué à l école élémentaire, en confrontant les élèves à des problèmes. La comparaison d aires sans avoir recours à des formules est particulièrement importante pour affermir le sens de cette notion. ertaines activités proposées conduisent les élèves à comprendre notamment que périmètre et aire ne varient pas toujours dans le même sens. Une démarche expérimentale permet de vérifier la formule de l aire du disque. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. Les figures ne sont pas toujours représentées avec les mesures données dans les énoncés. «u.a.» signifie «unités d aire» et «u.l.» signifie «unités de longueur». Je révise 1 : : : 4 : ctivités. a. 1 = = 6 u.a. b. 1 = 6 4 = 6 u.l. et = 1 = 6 u.l. donc : 1 >. c. Les deux figures ont la même aire mais pas le même périmètre. Donc la réponse à la question posée est non.. = 6 u.a. et = u.a. donc : > 1 ; d autre part, = 8 u.l. et 1 = 1 u.l. donc : < 1. L affirmation est vraie. Objectif omprendre que périmètre et aire ne varient pas toujours dans le même sens (cf. programme officiel). 1. a. 1 =. b. 1 <. c. Les deux figures ont le même périmètre, mais pas la même aire. Donc la réponse à la question posée est non. Objectif Utiliser diverses méthodes pour déterminer le périmètre d une figure. 1. La manipulation montre que le périmètre de la figure est le plus grand.. Périmètre du rectangle : 1 cm. Périmètre du triangle rectangle : 1 cm. Périmètre du polygone : 8 cm. hapitre 1 Périmètres et aires 87

87 Objectif Savoir comparer et calculer des aires sans avoir recours à des formules (cf. programme officiel). 1. hacune des quatre aires est égale à u.a.. a. b. 1. a. Les calculs donnent,1 comme valeur approchée par défaut au dixième près de chaque quotient. b. On admet que les longueurs de ficelle sont obtenues en multipliant les diamètres par le nombre π : le périmètre d un disque est proportionnel à son diamètre.. Le coefficient de proportionnalité est égal à π.. La valeur exacte de ce périmètre est donnée par : π = π d ou = π ( r) = π r. Objectif onnaître la formule donnant l aire d un disque. c. Les aires des figures, 6 et 7 sont donc égales.. a 8 = 16 u.a. ; 9 = 14 u.a. ; 10 = 1 u.a. (u.a. : le carreau rouge). b. 8 = u.a. ; 9 = 8 u.a. ; 10 = 0 u.a. (u.a. : le triangle vert). c. 9 < 10 < u.a. < 11 < 10 u.a. ; 17 u.a. < 1 < 18 u.a. ; 1 u.a. < 1 < 1 u.a.. 1 = cm ; = 0, cm ; = 4 cm. 1. On peut faire choisir un disque de plus grand rayon.. a. = r. b. L = π r. c. (D) = r π r = π r r. Exercices Objectif Savoir effectuer, pour les aires, des changements d unités de mesure. 1 es trois figures ont la même aire, égale à 8 carreaux. 1. Il faut 100 carrés de 1 cm de côté pour recouvrir un carré de 1 dm de côté.. a 1 dm = 100 cm ; 1 cm = 0,01 dm. b. Dans la bulle : «100» «6, dm = 6 cm». 88 Objectif Savoir calculer l aire d un triangle rectangle, d un triangle quelconque dont une hauteur est tracée. 1. a. (D) = 40 cm. b. () = (D). c. () = 1 (D) = 0 cm.. On obtient, cm.. a. (DEF) = 1 (EFD) et (EF) = 1 (EF). b. (ED) = (DEF) + (EF) = 1 (EFD) + 1 (EF) = 1 (D). c. (RST) = 1 (SVUT) donc : (RST) = 1 a h. Objectifs onjecturer l existence d une relation de proportionnalité entre la longueur du cercle et le diamètre. onnaître et utiliser la formule donnant la longueur d un cercle. a. 17 dam = m. b. 0,4 hm = 4 00 m. c. 7 dm =,7 m. d cm = 0,77 m. a. 7,8 m = 0,78 dam. b. 0,00 km = 000 m. c. 877,4 mm = 8,774 cm. d. 0,049 7 hm = dm. 4 a. = 49 cm. b. = 8 cm. a. = 8 cm. b. = cm. 6 a. = 17, cm. b. = 177, cm a. 18,8 cm. b. 1,6 cm. a. 94, cm. b. 7,7 cm. a. (4 ) + ( ) = 16 donc l aire de cette figure est égale à 16 cm. b. Le périmètre de cette figure est égal à 18 cm. a. = 9, cm. b. (O) = cm et (O) = 9 cm. c. (D) = 8 cm.

88 On obtient : cm ;,9 cm et, cm. 11 ires : < 1 < 4 <. Périmètres : 4 < < et = ôté du carré (cm) ire du carré (cm ) Périmètre du carré (en cm) 8, , , es deux figures n ont pas le même périmètre. ire du carré : 16 carreaux. ire de la figure orange : 9 + (4 : ) + ( : ) + (8 : ) = 16 carreaux. Les deux figures ont donc la même aire = u.a. = 14 u.a. = 9 u.a.. L aire de la figure bleue est égale à 8 unités d aire. 1 1 = 6 cm. = 16 cm. = 10, cm a. = 14 cm. b. c =, cm. D =,8 cm. 18 a. 0,71 km = m. b. 0,004 hm = 4, m. c. 87 mm = 0, m. d. 4,4 dm = 44 m. 19 a. 788 dm = 7,88 m. b. 00 hm = km. c. 0,7 m = 7 0 cm. d cm = 8,7 m. 0 a. 8,7 ha = m. b. 0,087 a = 8,7 m. c. 0,0 4 ha =,4 m. d. 7,809 a = 780,9 m. 1 a. 47,04 dam = 47,04 a = 0,47 04 ha. b dam = a = 17 ha. c cm = 0,047 a = 0, ha. d. 47, hm = 47, ha = 4 70 a. e. 0,00 88 km = 0,88 ha = 8,8 a. f dm = 91,4 a = 0,914 ha. 91,8 km = ha. La plus grande des deux îles est Saint-Martin. a. Le côté de ce carré mesure 6 cm. b. La longueur de ce rectangle est égale à 9 cm. 4 Fig. 1 : 1 = cm. Fig. : =, cm , cm.. a. 1, cm soit environ,1 m. b. 0,4 cm soit environ,0 m. 8 La circonférence de ce cratère de lune est environ égale à 8 km. 9 Rayon du disque (en cm) 0 1 Périmètre du disque (en cm) ire du disque (en cm ) 18,8 8, 4, 8, 6, , L = π = 10 π.. a. L 1 = π. b. L =, π. a. = π,, donc = 0, π. b. 9 cm. a. L = 4 π (en cm). b. Le diamètre de ce disque est égal à 7 u.l. a. Le rayon de ce disque est égal à 8 u.l. b. Le rayon de ce disque est égal à u.l. 4 ire de la figure bleue : 0 + π,6 cm. ire de la figure jaune : 6 + ( ) : = 6, cm. ire du triangle IFG : cm. ire du losange EFGH : 0 cm , +,8 + 1,8 + (π,8) : 19,. Le périmètre du bassin est environ égal à 19, m. Thème de convergence 7 a. Ordre de grandeur de la surface d un panneau : m. b. 18 : = 6 donc on utilisera 6 panneaux pour couvrir 18 m. À l oral 8 a.,8 m = 80 dm. b. 80 cm = 8, dm. c. 0,01 dam =,1 m. d mm = 14 cm. hapitre 1 Périmètres et aires 89

89 9 On obtient 8 u.a. 40 On obtient 10, cm. 41 a. Faux : le cm est une unité d aire. b. Vrai. c. Faux, il est égal à 16 cm. d. Faux :,7 dm = 70 cm. e. Vrai a. (E) = 48 cm. (DE) = 4 cm. b. (D) = (E) + (DE) = 10 cm.. a. (E) = cm. (DE) = 6 cm. b. Non : le segment commun [E] est à l intérieur de la figure. c. (D) = 44 cm. a. Le périmètre de ce carré est égal à 4 cm. b. La largeur de ce rectangle est égale à 4 cm. 8 L équateur mesure environ km. 48 a. Faux : deux figures peuvent avoir la même aire sans être superposables. Par exemple, un carré de côté 6 cm et un rectangle de longueur 9 cm et de largeur 4 cm. b. Faux :,14 est une valeur approchée de π. c. Faux : le cm est une unité de longueur et non une unité d aire. d. Faux : par exemple, un carré de côté 4 cm et un rectangle de longueur cm et de largeur cm ont le même périmètre, mais pas la même aire. e. Faux : elle en est le quadruple = u.a. = 0 u.a. = u.a. 0 ( 1 π 4 ) (π ) = π 4. 1 L aire de la figure colorée est donc égale à 4 π, soit environ 1,6 cm. a. 68 : 4 = 17. Le côté de ce carré mesure 17 cm. b. Le côté de ce carré mesure 9 cm. a. Le côté de ce carré mesure 6 m et son périmètre est égal à 4 m. b. 4,4 : 4 = 10,6. Le côté de ce carré mesure 10,6 cm, et son aire est égale à 11,6 cm. 9 La figure jaune est constituée de 4 quarts de cercle de même rayon. Sa longueur est celle d un cercle de rayon cm. On obtient 1,6 cm environ. L aire de cette figure s obtient par soustraction entre l aire du carré rouge, et l aire d un disque de rayon cm : 16 (π ). On obtient,4 cm environ = π 1 + (0 ), donc : 10 cm (soit 1,0 m). a. Le contour de la figure correspond à deux cercles de diamètre 4 cm, donc : = (π 4). Le périmètre de cette figure est environ égal à,1 cm. b. Les parties supérieure et inférieure peuvent être comblées par les demi-disques gauche et droit, pour former un carré de côté 4 cm, dont l aire est égale à 16 cm. On additionne les longueurs des demi-cercles : = 1 π. On obtient : 7,7 cm. La longueur du demi-cercle noir est toujours égale à la somme des longueurs des demi-cercles bleus (orange dans le manuel). 4 a. : 7 =. La largeur de ce rectangle est égale à cm. b. 8 : 8, = 10. La longueur de ce rectangle est égale à 10 m. Trois couples (longueur ; largeur) possibles : (100 ; 1) ; (80 ; 1,) et (0 ; ). r d a. (4 6) + 1 (π 1 1),6 donc :,6 cm². b. (6 ) (1 ) + (π 1) 1,1 donc : 1,1 cm et exercice permet de mettre en évidence que l aire d une figure composée peut être obtenue par addition des aires des figures qui la composent. En effet : L (demi-cercle noir) = π r. L (demi-cercles bleus) = π r (c est la longueur d un cercle de diamètre r). 64 1re figure : a. = 4, 4 = 18 u.a. b. = (6 6) (4 4,) = 18 u.a. e figure : a. = 4 + (1 4) = 8 u.a. b. = (6 6) 8 = 8 u.a b.. c.. b.

90 Thème de convergence 66 a ha. b m. 70 Il faut penser à encadrer le triangle comme le montre le dessin. On obtient : = = 7 (carreaux). rgumenter et débattre 67 a. Faux : l aire d un disque de rayon 6 cm est le quadruple de celle d un disque de rayon cm. b. Vrai : sa partie décimale n est pas finie. c. Vrai es trois aires sont égales à ( D) :. Dans la figure 1, les triangles rectangles de même couleur forment les rectangles jaune et orange de la figure. Dans chaque figure, l «aire bleue» est obtenue en soustrayant des aires égales à l aire du même grand carré. 71 Pour les curieux haque silhouette a pour aire la somme des aires des pièces du jeu ; donc les deux silhouettes ont la même aire. Mais elles n ont pas le même périmètre. 7 onjecture : de tous les rectangles de périmètre 0 cm, celui qui a la plus grande aire est celui dont la longueur et la largeur sont égales à 1, cm, c est-à-dire le carré de côté 1, cm. 74 onjecture : de tous les rectangles d aire 6 cm, celui qui a le plus petit périmètre est celui dont la longueur et la largeur sont égales à 6 cm, c est-à-dire le carré de côté 6 cm. hapitre 1 Périmètres et aires 91

91 EXTRITS DU.O. SPEIL N 6 DU 8 OÛT 008 onnaissances apacités ommentaires. Symétrie orthogonale par rapport à une droite (symétrie axiale) onstruire le symétrique d un point, d une droite, d un segment, d un cercle (que l axe de symétrie coupe ou non la figure). onstruire ou compléter la figure symétrique d une figure donnée ou de figures possédant un axe de symétrie à l aide de la règle (graduée ou non), de l équerre, du compas, *du rapporteur. Effectuer les tracés de l image d une figure par symétrie axiale à l aide des instruments usuels (règle, équerre, compas). L élève peut utiliser la méthode de son choix. Dans la continuité du travail entrepris à l école élémentaire, les activités s appuient encore sur un travail expérimental (pliage, papier calque) permettant d obtenir un inventaire abondant de figures simples, à partir desquelles sont dégagées les propriétés de «conservation» de la symétrie axiale (conservation des distances, de l alignement, des angles et des aires). * Le rôle de la médiatrice comme axe de symétrie d un segment est mis en évidence. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. Je révise 1 : : : 1. a. U (d 1 ) ctivités 9 Objectifs Réinvestir la notion de symétrie axiale par le pliage. Découvrir que «Deux points distincts et sont symétriques par rapport à une droite (d)» signifie que «(d) est la médiatrice de [ ].» 1. a., b. et c. Réalisation de la figure à l aide d une feuille de papier calque.. b. Les droites (d) et ( ) sont perpendiculaires. Le point I est le milieu du segment [ ]. La droite (d) est donc la médiatrice du segment [ ]. c. «Si deux points distincts et sont symétriques par rapport à une droite (d), alors la droite (d) est la médiatrice du segment [ ].». a. On constate que les points et se superposent : ils sont symétriques par rapport à la droite (d). b. «Si une droite est la médiatrice d un segment [ ], alors les points et sont symétriques par rapport à cette droite.» Objectifs onstruire le symétrique d un point par rapport à une droite avec une équerre, une règle et un compas ou seulement avec un compas. Découvrir que les points de la droite sont invariants. b. Le point U est son propre symétrique par rapport à la droite (d 1 ).. I J (d ) Objectifs onstruire le symétrique d une figure sur quadrillage. Pour la deuxième construction, la droite (d) n est plus verticale : on vérifiera que les élèves ne tracent pas le symétrique de la figure en imaginant (d) verticale ou en effectuant une translation. Pour la troisième construction, la droite (d) coupe la figure : on vérifiera que les élèves ne tracent pas qu une partie de la figure symétrique, en considérant un seul «côté» de l axe. onstruire le symétrique d une figure sans quadrillage (les instruments de géométrie sont laissés au choix).

92 1. a. b. (d) Objectif Visualiser un axe de symétrie d une figure. 1. b. Le symétrique de la figure 1 par rapport à la droite (d) est elle-même. c. (d) est un axe de symétrie de la figure 1.. Figure : axe de symétrie (OO ). Figure 4 : axes de symétrie (EG) et (FH). Figure : axes de symétrie (E), (G), (F) et (DH). (d) c. (d) Exercices 1 1. et sont symétriques.. Points symétriques : et ; D et D.. a 1, cm 1. et. cm 0, cm cm (d) (d) b. (). appartient à la droite (d), donc est son propre symétrique par rapport à la droite (d). ( ) O 1, cm O () a. b. (d) (d) (d) ( ) c. D (d) c. d. (d) (d) E 40 cm F cm F E 4 a. Un axe. b. Zéro axe. c. Deux axes. d. Deux axes. hapitre 1 Symétrie axiale 9

93 9 a. (d) a. b. Pas d axe de symétrie. b. (d) c. d. 6 À l échelle 1. 4, cm cm b. (d) cm 7 I E E F J (d) et. D (d) F. Les droites (EE ) et (FF ) sont parallèles. Justification : les points E et E, ainsi que les points F et F, sont symétriques par rapport à (d), donc (d) est la médiatrice de [EE ] et [FF ]. insi les droites (EE ) et (FF ) sont perpendiculaires à (d). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc les droites (EE ) et (FF ) sont parallèles. 8 a. (d) D 11 a. (d) b. (d) 94 () // (d)

94 1 1. et. U V (d) U V (d ) 16 Le symétrique de la droite (RT) par rapport à la droite (d) est la droite (R T ). S appartient à (RT), mais S n appartient pas à (R T ). omme la symétrie axiale conserve l alignement, S ne peut pas être le symétrique de S par rapport à (d). Le symétrique de la droite (d ) par rapport à la droite (d) est elle-même a. et b. Les droites (d ) et (d ) sont parallèles. D cm I (d ) cm (d ) // (d) (d) G (d ). On trace la parallèle à la droite (d 1 ) et passant par le point. (d 1 ) 18 À l échelle 1. L (d) (d 1 ) // (d) T E et. À l échelle 1. cm ( 1 ) 19 I Le segment [EF] est le symétrique du segment [D] par rapport à la droite (d) et D =,4 cm. Or, la symétrie axiale conserve les distances, donc : EF = D =,4 cm. ( 1 ) cm 0 1. U S 1 1. et. () (d ) R cm O cm T À l échelle 1. O ( ). Le symétrique du cercle () par rapport à la droite (d ) est lui-même. (d 1 ). RU = RT = cm. La symétrie axiale conserve les distances.. SRU = SRT =. La symétrie axiale conserve les angles. 4. La demi-droite [RS) partage l angle TRU en deux angles adjacents de même mesure, donc [RS) est la bissectrice de l angle TRU. hapitre 1 Symétrie axiale 9

95 1 1. et. À l échelle À l oral E I 0 4 cm I M M 7 cm 4, cm (d) Les points et D sont symétriques par rapport à la droite (d) car la droite (d) est la médiatrice de [D] (elle est perpendiculaire à [D] et passe par le milieu de [D]).. Points symétriques : E et K ; G et I ; L et M ; F et J. a. «Si deux points U et V sont symétriques par rapport à une droite (d), alors la droite (d) est la médiatrice du segment [UV].» b. «Si la droite () est la médiatrice du segment [EF], alors le symétrique du point E par rapport à la droite () est le point F.» c. «Si un point appartient à une droite (d) alors son symétrique par rapport à la droite (d) est lui-même.» , H, M, O, T, U, V, W, X.. (si les deux parties du sont identiques),, D, E, H, I K, O.. OIE ; ODE.. (d) (d) 9 0 Figure 1 : La droite (d) est perpendiculaire à (MM ), mais on ne sait pas qu elle passe par le milieu du segment [MM ] : M et M ne sont pas symétriques par rapport à (d). Figure : La droite (d) est perpendiculaire à (MM ) et passe par le milieu de [MM ], c est donc la médiatrice du segment [MM ] : M et M sont symétriques par rapport à (d). Figure : La droite (d) n est pas perpendiculaire à (MM ) : M et M ne sont pas symétriques par rapport à (d). La figure orange et la figure verte sont symétriques par rapport à la droite (d) dans le cas d. a. La figure verte se déduit de la figure orange par une translation. b. La figure orange est «plus près» de la droite (d) que la figure verte. c. Les deux figures n ont pas les mêmes dimensions. 1.,. et. ( ) U 4 cm V (d) Thème de convergence cm cm 6 96 b, d, f et i : zéro axe. a, c, e et g : un axe. h : trois axes. ( 1 )

96 4. U = U = cm et V = V = cm. Si un point est équidistant des deux extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Donc U et V appartiennent à la médiatrice du segment []. La médiatrice de [] étant la droite (UV), on peut dire que les points et sont symétriques par rapport à la droite (UV) 9 40 La droite () coupe la droite (d) en et est son propre symétrique par rapport à la droite (d). La droite (DE) coupe la droite (d) en un point distinct de, donc () et (DE) ne peuvent pas être symétriques par rapport à la droite (d). 1. et. 6 M L 110 O N, cm 4, cm cm L E (d) 7 1. et. D M O. On sait que le triangle est isocèle en donc : =. On sait que D est le symétrique de par rapport à la droite (). Or, la symétrie axiale conserve les distances. Donc : D = et D =. omme =, on en déduit que : = D = D =. D a ses quatre côtés de même longueur, c est donc un losange. N (d) a. On sait que la droite (d) est la médiatrice du segment [], donc les points et sont symétriques par rapport à la droite (d). b. Dans la symétrie d axe (d) : le symétrique du segment [] est le segment [] ; le symétrique du segment [] est le segment [E] ; le symétrique du segment [] est le segment [E]. Or, le symétrique d un segment est un segment de même longueur, donc : E = = cm et E = = 4, cm. c. Périmètre du triangle E, en cm = + E + E =, + + 4, = 10 E, cm cm D, cm F 8 Le symétrique de la droite (d 1 ) par rapport à (d) est la droite ( ). Justification : La droite (d) est perpendiculaire à ( ) et passe par le milieu de [ ], donc (d) est la médiatrice de [ ]. insi est symétrique de par rapport à (d). Le point appartient à (d), donc est son propre symétrique par rapport à (d). Les points et de la droite (d 1 ) ont pour symétriques par rapport à (d) les points et. ( ) est donc le symétrique de (d 1 ) par rapport à (d).. Dans la symétrie par rapport à la droite (EF) : le symétrique du segment [ED] est le segment [EG] ; le symétrique du segment [DF] est le segment [GF]. Or, le symétrique d un segment est un segment de même longueur, donc : ED = EG =, cm et DF = GF =, cm. Périmètre de DEGF, en cm = ED + DF + FG + GE =, +, +, +, = 1. G hapitre 1 Symétrie axiale 97

97 4 À l échelle 1. J L 4 ( 1 ) (d) cm (d) ( ) J ( 1 ) 4 I cm. b. Le triangle FIL est rectangle en F, donc (FI) et (FL) sont perpendiculaires. (d) est la médiatrice de [FL], donc (d) et (FL) sont perpendiculaires. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc les droites (d) et (FI) sont parallèles.. b. Le symétrique du triangle FIL par rapport à la droite (d) est le triangle FJL. La symétrie axiale conserve les aires, donc les triangles FIL et FJL ont la même aire : FIL = FJL = 1. à 4. À l échelle 1. FI FL = U, cm 60 F cm (d) = 7, cm.. Dans la symétrie par rapport à la droite (d) : le symétrique de R est R, le symétrique de U est U et le symétrique de T est T. Donc le symétrique de l angle RUT est l angle RU T. La symétrie axiale conserve les angles donc RU T = RUT. omme [UR) est la bissectrice de l angle TUV et TUV = 60 alors RUT = 60 = 0. insi RU T = 0. T R V T U et. À l échelle 1. () cm cm J ( ) O O. OO est un losange. Justification : et appartiennent au cercle de centre O et de rayon cm, donc : O = O = cm. les segments [O ] et [O ] sont les symétriques respectifs des segments [O] et [O]. La symétrie axiale conserve les distances. Donc : O = O = cm et O = O = cm. OO a ses quatre côtés de même longueur, c est donc un losange Programme de construction possible : onstruire un triangle DEF rectangle en E tel que : DE = 4 cm et EDF = 40. onstruire la bissectrice [Dx) de l angle EDF. Placer le point G sur [Dx) tel que le triangle DFG est isocèle en F.. F D 0 4 cm E. F GD = 0. F G x J 60. Les angles I et sont symétriques par rapport à la droite (). La symétrie axiale conserve les angles donc : I = = 60. Les angles J et sont symétriques par rapport à la droite () donc : J = = 60.. IJ = I + + J = = 180. IJ est un angle plat donc les points I, et J sont alignés. I

98 rgumenter et débattre Vrai.. Vrai (la symétrie axiale conserve les distances). 0 Marius place le point d intersection I des droites (d 1 ) et (d) en prolongeant les droites. I est son propre symétrique par rapport à la droite (d) et est le symétrique de par rapport à la droite (d). Le symétrique de (d 1 ) par rapport à (d) est la droite (I ). 49. Faux [] et [D] ne sont pas symétriques par rapport à une droite. 4. Vrai (la médiatrice du segment et son support).. Vrai ((d) est la médiatrice de []). 6. Faux ((d) n est pas perpendiculaire à (D)). 7. Faux ([I) et [ID) ne sont pas symétriques par rapport à (d)). 1. OS = OI, donc le triangle OSI est isocèle en O. (d) est la médiatrice de [IJ], donc I et J sont symétriques par rapport à la droite (d).. I et J sont symétriques par rapport à (d) et O est son propre symétrique par rapport à (d), donc les segments [OI] et [OJ] sont symétriques par rapport à (d). La symétrie axiale conserve les distances, donc OI = OJ. omme OS = OI, on en déduit que OS = OJ. Le triangle OSJ est donc isocèle en O. D 1 Deux. ïcha trace un arc de cercle de centre qui coupe la droite (d) en deux points et. Sans changer d écartement de compas, elle trace l arc de cercle de centre, puis l arc de cercle de centre. es deux arcs de cercle se coupent en un point, symétrique de par rapport à (d). Pour les curieux (d) La symétrie n est pas exacte ni pour la figure ni pour la figure (statues différentes par exemple). hapitre 1 Symétrie axiale 99

99 EXTRITS DU.O. SPEIL N 6 DU 8 OÛT 008 onnaissances apacités ommentaires *Médiatrice d un segment. *onnaître et utiliser la définition de la médiatrice ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété d équidistance. *issectrice d un angle. Propriétés et construction des triangles usuels. *onnaître et utiliser la définition de la bissectrice. Utiliser différentes méthodes pour tracer : la médiatrice d un segment ; la bissectrice d un angle. onnaître les propriétés relatives aux côtés et aux *angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle. Utiliser ces propriétés pour reproduire ou construire des figures simples. onstruire une figure simple à l aide d un logiciel de géométrie dynamique. *La bissectrice d un angle est définie en sixième comme la demi-droite qui partage l angle en deux angles adjacents de même mesure. La justification de la construction de la bissectrice à la règle et au compas est reliée à la symétrie axiale. On travaillera à la fois les constructions sur papier par les outils de dessin traditionnels et les constructions sur écran à l aide d un logiciel de géométrie. Propriétés des quadrilatères usuels. onnaître les propriétés relatives aux côtés, aux angles, aux diagonales pour le rectangle, le carré et le losange. * La symétrie axiale est mise en jeu pour mettre en évidence certaines propriétés. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. 100 Je révise 1 : : : 4 : : Objectifs ctivités Mettre en évidence l axe de symétrie d un triangle isocèle et en déduire des égalités d angles. Mettre en évidence les trois axes de symétrie d un triangle équilatéral et en déduire des égalités d angles. 1. a. La droite (I) est la médiatrice du segment []. Justification : Le point I est le milieu de [], donc I appartient à la médiatrice de []. Le triangle est isocèle en, donc est équidistant des points et. insi appartient à la médiatrice du segment []. La droite (I) est donc la médiatrice de []. b. Les symétriques respectifs des points, et par rapport à la droite (I) sont, et. c. Le triangle est ainsi son propre symétrique par rapport à la droite (I). d. La droite (I) est donc axe de symétrie du triangle.. a. Dans la symétrie d axe (I), le symétrique de I est I. b. omme la symétrie axiale conserve les angles, on en déduit que : I = I c. [I) partage l angle en deux angles I et I adjacents de même mesure, donc [I) est la bissectrice de l angle.. a. Dans la symétrie d axe (I), le symétrique de est. b. omme la symétrie axiale conserve les angles, on en déduit que : =. c. «Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base ont la même mesure». 4. a. et b. E F EFG étant équilatéral, EF = FG = GE. EF = GE : EFG est isocèle en E. EF = FG : EFG est isocèle en F. FG = GE : EFG est isocèle en G. EFG a trois axes de symétrie. G

100 c. IJK est isocèle en I et en J donc IJK = IKJ et JIK = IKJ. insi : IJK = IKJ = JIK. Les trois angles d un triangle équilatéral ont la même mesure. Objectif Mettre en évidence les deux axes de symétrie d un losange et faire énoncer les propriétés relatives aux diagonales et aux angles. 1. E G Objectifs Mettre en évidence les deux axes de symétrie d un rectangle. Relier les propriétés des diagonales du rectangle à celles de la symétrie axiale Les plis n 1 et n représentent des axes de symétrie pour le rectangle.. Le pli n n est pas un axe de symétrie pour le rectangle.. 1. et. (d 1 ) L. a. EGL est un losange donc : EG = EL = G = L. omme EG = EL, alors E appartient à la médiatrice de [GL]. omme G = L, alors appartient à la médiatrice de [GL]. insi (E) est la médiatrice de [GL]. b. Dans la symétrie d axe (E), les symétriques respectifs des points E, G, et L sont E, L, et G. insi le losange EGL est son propre symétrique par rapport à la droite (E). c. (E) est donc axe de symétrie du losange EGL.. omme EG = G et EL = L, alors L et G appartiennent à la médiatrice de [E]. insi (GL) est la médiatrice de [E]. Dans la symétrie d axe (GL), les symétriques respectifs des points E, G, et L sont, G, E et L. insi le losange EGL est son propre symétrique par rapport à la droite (GL). (GL) est donc axe de symétrie du losange EGL. 4. a. Les diagonales du losange EGL sont axes de symétrie. Elles sont perpendiculaires et ont le même milieu. b. Dans la symétrie d axe (GL), le symétrique de GEL est GL. Dans la symétrie d axe (E), le symétrique de EG est EL. omme la symétrie axiale conserve les angles, on en déduit que : GEL = GL et EG = EL. insi, les angles opposés du losange EGL ont la même mesure. c. (E) est la bissectrice des angles GEL et GL. d. (GL) est la bissectrice des angles EG et EL.. E L cm G cm D O cm (d ). Dans la symétrie d axe (d 1 ), le symétrique du segment [] est le segment [D]. La symétrie axiale conservant les distances, on en déduit que = D.. a. On constate que les diagonales [] et [D] se coupent en O. b. Dans la symétrie d axe (d 1 ) : le symétrique du segment [O] est le segment [O], donc : O = O ; le symétrique du segment [OD] est le segment [O], donc : OD = O. c. Dans la symétrie d axe (d ) : le symétrique du segment [O] est le segment [OD], donc : O = OD ; le symétrique du segment [O] est le segment [O], donc : O = O. d. D après b. et c. : O = O = O = OD. Et comme O est le point d intersection des diagonales [] et [D], on en déduit que O est le milieu des diagonales [] et [D]. e. «Les diagonales d un rectangle ont la même longueur et le même milieu». Objectif Mettre en évidence les quatre axes de symétrie du carré et en déduire des égalités de longueurs et d angles. 1. et 4. onstruction d un carré et de ses axes de symétrie.. Un carré a ses quatre côtés de même longueur, c est donc un losange. Un carré a ses quatre angles droits, c est donc un rectangle. Un carré est donc à la fois un losange et un rectangle.. Un carré a quatre axes de symétrie (les deux d un losange et les deux d un rectangle). hapitre 14 Symétrie axiale et figures usuelles 101

101 . Les diagonales d un carré sont perpendiculaires, ont le même milieu et ont la même longueur. 6. E F 6 1. I cm O 1 4 H Exercices 1. =, donc le triangle est isocèle en.. Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base ont la même mesure. Donc : =. et onstruction d un triangle isocèle connaissant la longueur de sa base et la mesure d un angle à la base. 1. Tracer un segment [D] tel que : D = cm. Tracer la demi-droite [Dx) telle que : Dx = 7. Tracer l arc de cercle de centre et de rayon cm qui coupe la demi-droite [Dx) en E.. D cm G 7 L 4 cm. E = LI = cm. OL = OI = O = OE = E =, cm. Justification : IEL est un rectangle et ses diagonales se coupent en O, donc ses diagonales ont le même milieu O et la même longueur.. OIE est un triangle isocèle en O et OLE est un triangle isocèle en O. Justification : OI = OE et OL = OE. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en mettant des croix dans les bonnes cases pour indiquer que le quadrilatère (losange, rectangle ou carré) vérifie la propriété. ôtés opposés de même longueur ngles opposés de même mesure Losange Rectangle arré E 7 Diagonales perpendiculaires Diagonales de même longueur E. Le triangle DE est isocèle en, donc ses angles à la base ont la même mesure. Diagonales de même milieu insi : ED = DE = O = = cm ; O = D = cm. Justification : D est un losange et ses diagonales se coupent en O, donc ses diagonales ont le même milieu O.. est un triangle isocèle en Justification : D est un losange donc ses côtés ont la même longueur. insi : = et est isocèle en. O est un triangle rectangle en O. Justification : D est un losange et ses diagonales se coupent en O, donc ses diagonales sont perpendiculaires en O. insi : O = 90 et O est rectangle en O

102 9 Les élèves s aideront du savoir-faire 1 page et. À l échelle 1. O (LI) est la médiatrice du segment [MN] et l axe de symétrie du triangle LMN.. On place le milieu I de [RT]. (SI) est l axe de symétrie du triangle RST. cm 16 L 0 T J cm I cm K P I et. À l échelle 1. 6 cm 70 1 E. On constate que les bissectrices des angles EPI et ELI sont parallèles. De même, on constate que les bissectrices des angles PIL et PEL sont parallèles. 1. et. a. L E. Les triangles XU et EU sont rectangles en U. 4. (U) est l axe de symétrie du triangle XE isocèle en et la bissectrice de l angle XU. omme XE = 70, on a : XU = XE =. 18 U X J 0 cm U (d) E 1. b. On constate que les trois bissectrices se coupent en un même point. D 19 (d) O I O 0 cm 0 E hapitre 14 Symétrie axiale et figures usuelles 10

103 0 1. Le triangle OL a deux angles OL et LO de même mesure, donc OL est isocèle en O.. Le triangle OL est isocèle en O, donc les segments [OL] et [O] ont la même longueur. 1. et. À l échelle 1. cm D (d 1 ) 1 1,6 : = 4,. haque côté du triangle équilatéral mesure 4, cm. 6 À l échelle 1. R 6 cm 4 cm S T 4 cm U 7 1. et. À l échelle À l échelle 1. F 4 cm E 4 cm F,8 cm R 110 I H G. FIER est un losange, donc ses diagonales sont les bissectrices de ses angles. insi [IR) est la bissectrice de l angle FIE. omme FIE = 110, on a : FIR = FIE =.. Les angles opposés d un losange ont la même mesure, donc : FRE = FIE = O E IN = PO = 6 cm. Propriété : si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont le même milieu et la même longueur.. JO = JP = JI = JN = PO = cm. Propriété : si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont le même milieu et la même longueur. 1. et. T () R R O (d) E (d ) 104 S (d 1 ) E (d ). Le cercle () passe par les points E, et T. Justification : RET est un rectangle, donc ses diagonales [TE] et [R] ont le même milieu O et ont la même longueur. insi : OR = OE = O = OT.

104 0 1. et. À l échelle 1. Thème de convergence 4 Le triangle étant équilatéral, ses côtés ont la même longueur. insi, les trois éléments (combustible, comburant, source de chaleur) ont la même importance. À l oral 1 1. À l échelle L axe de symétrie d un angle est la bissectrice de cet angle.. La médiatrice d un segment est un axe de symétrie de ce segment. F cm I O 6 1. Un triangle isocèle a un seul axe de symétrie : la médiatrice de sa base.. Les angles à la base d un triangle isocèle ont la même mesure.. Un triangle équilatéral à trois axes de symétrie. R. FOUR est un carré, donc ses diagonales ont le même milieu, la même longueur et sont perpendiculaires. Donc : IO = IF et FIO = 90. insi le triangle FID est rectangle et isocèle en I.. FOUR est un carré donc FOU = 90. omme [OI) est la bissectrice de FOU, on en déduit que : FOI = FOU = et. 1. D = D = 4 (la moitié de l angle droit d un petit carré).. = D + D = = 90.. =. 4. = = D = D, donc D est un losange. = D = D = 90, donc D est un rectangle. D, étant à la fois un losange et un rectangle, est un carré. U Un losange a deux axes de symétrie : ses diagonales.. Un rectangle a deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés. : triangle isocèle en. KLN : triangle isocèle en K. DEF : triangle équilatéral. RST : triangle rectangle et isocèle en S. 1. On sait que O = O et =. Si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Donc O et appartiennent à la médiatrice de []. insi (O) est la médiatrice de [] ; le symétrique de par rapport à (O) est le point.. a. Le symétrique de l angle O par rapport à (O) est l angle O. b. La symétrie axiale conserve les angles donc O = O. c. La demi-droite [O) partage l angle xoy en deux angles adjacents de même mesure, donc [O) est la bissectrice de l angle xoy. z u x 14 hapitre 14 Symétrie axiale et figures usuelles 10 O y v

105 4 [Oy) est la bissectrice de l angle xov, donc : xoy = xov = 14 = 6. xou = uov xov. xou = xou = 6. [Oz) est la bissectrice de l angle xou, donc : xoz = xou = 6 = 8. insi : yoz = xoy + xoz. yoz = yoz = 90. L angle yoz est donc droit. [IS] est une corde du cercle de centre O donc : OI = OS. insi le triangle OIS est isocèle en O. Or, si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base ont la même mesure. On en déduit que : OIS = ISO. 46 est isocèle en, donc ses angles à la base ont la même mesure : ED = = 0. ED = ED = 0. Or, si un triangle a deux angles de même mesure, alors ce triangle est isocèle. Donc le triangle ED est isocèle en E est isocèle en, donc : = = 0.., et D sont alignés dans cet ordre donc : D = 180. D = + D. 180 = 0 + D. insi : D = = 10.. (I) est perpendiculaire à (D) et passe par le milieu I de [D]. (I) est l axe de symétrie du triangle D. insi : I = D = 10 = D = D. Si un triangle a deux angles de même mesure, alors ce triangle est isocèle. Donc D est isocèle en D. D est isocèle en D, donc D = D.. D = D et =. Or, si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. insi, les points et D appartiennent à la médiatrice du segment []. On en déduit que la droite (D) est la médiatrice du segment [] et que c est un axe de symétrie pour le quadrilatère D. 0 b. Le triangle RE étant isocèle en E, on en déduit que : E = ER.. FR = F et E = ER. On en déduit que (EF) est la médiatrice du segment [R] et un axe de symétrie pour le quadrilatère ERF. 4. À l échelle, R 40 0 F 6 cm E Les points et L appartiennent au cercle de centre et de rayon cm, donc : L = = cm. Le triangle L a deux côtés [] et [L] de même longueur, donc L est isocèle en. Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base ont la même mesure. L = L = 0.. EL = E L = 90 0 = 60. EL = EL L = 90 0 = EL = EL = 60. Si un triangle a deux angles de même mesure, alors ce triangle est isocèle. Donc EL est isocèle en E. On en déduit que E = EL À l échelle 1. ( 1 ) cm J I cm ( ). I et J appartiennent au cercle ( 1 ) de centre et de rayon cm, donc : I = J = cm. I et J appartiennent au cercle ( ) de centre et de rayon cm, donc : I = J = cm. I = J = I = J = cm. IJ a ses quatre côtés de même longueur, donc c est un losange. Les diagonales d un losange sont perpendiculaires, donc les droites () et (IJ) sont perpendiculaires. 1. E FE = FR + RE. 90 = 40 + RE. insi : RE = = 0.. a. RE = RE = 0. Si un triangle a deux angles de même mesure, alors ce triangle est isocèle. Donc le triangle RE est isocèle en E. 106 D

106 . On sait que D est un losange. Or si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires. Donc : () (D). On sait que : () (D) et (E) // (D) Or si deux droites sont parallèles et qu une troisième droite est perpendiculaire à l une, alors elle est aussi perpendiculaire à l autre. Donc les droites (E) et () sont perpendiculaires = et 9 =. donc : FL = cm et FO = cm.. et. F 1. a. et b. () L cm cm O O (d). et appartiennent au cercle () de centre O, donc O = O. appartient à la médiatrice (d) du segment [O], donc O =. insi : O = O =. Le triangle O est équilatéral. On en déduit donc que les angles du triangle O ont la même mesure et. (D) et () sont parallèles.. D n a pas d axe de symétrie. E D 7 U 4. ire de FLO, en cm : FL LO ire de FLUO, en cm : = 6. = =. 1. O = D DO = 90 0 = 40.. D est un rectangle et O est le point d intersection de ses diagonales, donc : O = O. insi le triangle O est isocèle en O.. O étant isocèle en O, alors ses angles à la base O et O ont la même mesure : O = O = 40. [I) est la bissectrice de l angle O, donc : I = O = 40 = 0. [I) est la bissectrice de l angle O, donc : I = O = 40 = I = I = 0, donc le triangle I est isocèle en I. 1. a. et. a. I J rgumenter et débattre M O 8 1. Faux.. Vrai.. Faux. 4. Vrai.. Faux. 6. Faux. 7. Faux. 8. Faux. L K 1. b. IJKL est un rectangle et ses diagonales se coupent en O. Or, si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont le même milieu et la même longueur. Donc OI = OL.. b. M est le symétrique de O par rapport à la droite (IL) donc : MI = OI et ML = OL. omme OI = OL, on en déduit que : OI = OL = MI = ML. Le quadrilatère IOLM ayant ses quatre côtés de même longueur, on en déduit que IOLM est un losange. 9 Pour les curieux 1. lason de la principauté de Monaco : triangles isocèles, triangles rectangles et losanges. lason de l ancien duché de avière : losanges. rmoiries du pape Grégoire XII : triangles rectangles et isocèles ; carrés. lason de la ville de arcelone : triangles rectangles et isocèles ; carré.. Le blason de la ville de Monaco et les armoiries du pape Grégoire XII. hapitre 14 Symétrie axiale et figures usuelles 107

107 EXTRITS DU.O. SPEIL N 6 DU 8 OÛT 008 onnaissances apacités ommentaires. Géométrie. Parallélépipède rectangle : patrons, représentation en perspective Fabriquer un parallélépipède rectangle de dimensions données, à partir de la donnée du dessin de l un de ses patrons. Reconnaître un parallélépipède rectangle de dimensions données à partir - du dessin d un de ses patrons, - d un dessin le représentant en perspective cavalière. Reconnaître dans une représentation en perspective cavalière du parallélépipède rectangle les arêtes de même longueur, les angles droits, les arêtes, les faces parallèles ou perpendiculaires. Dessiner ou compléter un patron d un parallélépipède rectangle. 4. Grandeurs et mesures 4.4 Volumes Déterminer le volume d un parallélépipède rectangle en se rapportant à un dénombrement d unités, *en utilisant une formule. onnaître et utiliser les unités de volume et les relier aux unités de contenance. Savoir que 1 L = 1 dm. Effectuer pour les volumes des changements d unités de mesure. À l école élémentaire les élèves ont déjà travaillé sur des solides droits de l espace (description, construction, patron). ette étude est poursuivie en 6 e en mettant l accent sur un aspect nouveau : la représentation en perspective cavalière, dont certaines caractéristiques sont précisées aux élèves. L usage d outils informatiques permet une visualisation de différentes représentations d un même objet de l espace. Même si les compétences attendues ne concernent que le parallélépipède rectangle, les travaux portent sur différents objets de l espace et s appuient sur l étude de solides amenant à passer de l objet à ses représentations et inversement. omme pour les longueurs et les aires, l utilisation des équivalences entre diverses unités est préférée à celle systématique d un tableau de conversion. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. 108 Je révise 1 : : : 4 : Objectifs ctivités Savoir interpréter une représentation en perspective cavalière. onnaître les principales règles de la perspective cavalière. onnaître le sens des mots «sommet», «arête» et «face». pproche intuitive des notons de parallélisme et de perpendicularité dans l espace à partir de l observation d un cube. Savoir compléter une représentation en perspective cavalière. 1. a. Les arêtes en pointillés sont les arêtes cachées. b. haque face d un cube est un carré. c. Les arêtes parallèles à l arête [E] dans la réalité sont : [DH], [G] et [F]. Elles sont aussi parallèles à l arête [E] sur la figure. d. Les arêtes perpendiculaires à l arête [E] dans la réalité sont : [EH], [EF], [D] et []. Seules les arêtes [EF] et [] sont aussi perpendiculaires à l arête [E] sur la figure. e. Les arêtes [EF], [HG], [D], [],[E], [DH], [G], [F] ont la même longueur sur la figure. Les quatre autres arêtes ont la même longueur sur la figure mais sont représentées par des segments plus petits que les autres arêtes.. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 1)

108 Objectif Savoir qu un parallélépipède rectangle est composé de six faces rectangulaires parallèles et superposables deux à deux. 1. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE ) Nature Nombre Noms Sommet Point 8 ; ; ; D ; E ; F ; G ; H rête Segment 1 Face Rectangle 6 [] ; [] ; [D] ; [D] ; [EF] ; [FG] ; [GH] ; [EH] ; [E] ; [F] ; [G] ; [DH] D ; EFGH ; GF ; DHE ; FE ; DGH. a. Les arêtes parallèles à l arête [] sont : [D], [HG] et [EF]. b. Les arêtes perpendiculaires à l arête [] sont : [E], [F], [D] et []. c. Les arêtes perpendiculaires à la face D sont : [E], [DH], [G] et [F]. Objectif Savoir relier une représentation en perspective cavalière d un parallélépipède rectangle avec un de ses patrons. 1. c. Les arêtes qui coïncident sont : [] et [MN], [] et [N], [MD] et [DE], [EF] et [J], [GF] et [GL], [KL] et [IJ], [HK] et [HI].. E H H E G F D H G Le volume d un cube d arête 1 mm est égal à 1 mm. Le volume d un cube d arête 1 dam est égal à 1 dam. Le volume d un cube d arête 1 hm est égal à 1 hm. Le volume d un cube d arête 1 km est égal à 1 km.. a. Le volume du grand cube est égal à 1 m. Le volume d un petit cube est égal à 1 dm. b. Il faut 100 petits cubes pour recouvrir le fond du grand cube. Il faut 10 «couches» de 100 petits cubes pour remplir le grand cube. Il faut donc petits cubes pour remplir le grand cube. c. 1 m = dm.. a. Il faut petits cubes d arête 1 cm pour remplir un grand cube d arête 1 dm. b. Il faut petits cubes d arête 1 mm pour remplir un grand cube d arête 1 cm. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE ) 4. a. 1 m = dm b. 1 cm = mm c. 1 dm = cm d. 1 dm = 0,001 m e. 1 mm = 0,001 cm f. 1 cm = 0,001 dm. a. m = 000 dm b., m = 00 dm c. 0,14 dm = 14 cm d. 4 cm = 0,004 dm 1000 : 1000 e. 78 cm = 0,78 dm f. 91 mm = 0,091 cm 6. : 1000 : 1000 m dm cm mm Dans la première figure, la face blanche doit être coloriée en violet. Dans la deuxième figure, la face blanche doit être coloriée en jaune. Dans la troisième figure, la face blanche doit être coloriée en marron. Dans la quatrième figure, la face blanche doit être coloriée en violet. Objectif Découvrir les unités de volume et les équivalences entre les multiples et sous-multiples du mètre cube. F 1. Le volume d un cube d arête 1 dm est égal à 1 dm. Le volume d un cube d arête 1 cm est égal à 1 cm. G Objectif Découvrir la formule permettant de calculer le volume d un parallélépipède rectangle à partir de ses trois dimensions. 1. Il faut 7, soit 1 cubes d arête 1 cm pour recouvrir le fond du parallélépipède rectangle.. Il y a cinq «couches» de 1 petits cubes. Il faut donc 1, soit 10 cubes d arête 1 cm pour remplir le parallélépipède rectangle. Le volume d un cube d arête 1 cm est égal à 1 cm, donc le volume du parallélépipède est égal à 10 cm.. a. Il faut 0, soit 700 cubes d arête 1 mm pour recouvrir le fond du parallélépipède rectangle. Il y a 40 «couches» de 700 petits cubes. Il faut donc , soit cubes d arête 1 mm pour remplir le parallélépipède rectangle. hapitre 1 Parallélépipède rectangle Volume 109

109 b. Le volume d un cube d arête 1 mm est égal à 1 mm, donc le volume du parallélépipède est égal à mm, soit 8 cm. c., 4 = Le volume d un parallélépipède rectangle s obtient en multipliant ses trois dimensions exprimées dans la même unité. Objectif Découvrir l équivalence entre les unités de contenance et les unités de volume. 1. Les dimensions d une boîte de lait de 1 L sont environ :,8 cm, 19,6 cm et 9 cm.. =,8 19,6 9 = 1 0,1 cm. D où : cm.. 1 L = cm = 1 dm. Exercices 4. bleu orange 6, cm, cm jaune 4 cm a. 9 cl = 0,9 L b. 18 L = 180 dl c. 7,0 L = 7 00 ml d. 9,1 L =,91 dal a. 4 L = 4 dm b. ml = cm c. 8, cm = 8, ml d. 11 dm = 11 L 6 a. 10 dm = 10 L b. 8,74 dm = 874 cl c. 147, dm = ml d cm = 7,41 L 1 1. a. Le point F est une extrémité des arêtes [FE], [FG] et [F]. b. Les arêtes parallèles à l arête [HD] sont les arêtes [E], [F] et [G]. c. Les arêtes perpendiculaires à l arête [] sont les arêtes [], [F], [D] et [G]. d. Les arêtes perpendiculaires à la face DHE sont les arêtes [], [D], [HG] et [EF].. a. L arête [FG] est un côté des faces EFGH et FG. b. Les faces FE, GF, DHG et DHE sont une arête en commun avec la face D. c. Les faces D, DGH et DHE ont le sommet D en commun. d. La face DHE est parallèle à la face GF. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 4) petits cubes d arête 1 cm composent le parallélépipède rectangle.. Le volume d un cube d arête 1 cm est égal à 1 cm.. Le volume du parallélépipède rectangle est égal à 84 cm. La face EFGH est un rectangle tel que : EF = 7 cm et FG = cm. La face DHE est un rectangle tel que : D = cm et DH = cm. La face HDG est un rectangle tel que : HD = cm et D = 7 cm. L R 9 DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE ) K G D Deux faces de même couleur sont parallèles.. Les faces orange sont des rectangles de dimensions 6, cm et 4 cm. Les faces bleues sont des rectangles de dimensions 6, cm et, cm. Les faces jaunes sont des rectangles de dimensions, cm et 4 cm.

110 10. cm cm cm 6 cm 4 cm cm 11 DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 6) H G 6 cm 4 cm cm F E 1 DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 7) 1 DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 8) 1 H 7 cm G cm violet H D G H cm E vert F jaune E E F Voir «Pour les curieux» page 6. 4 cm 4 cm hapitre 1 Parallélépipède rectangle Volume 111

111 16 DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 9) 4 1 cm = 0,1 m = 00 0,1 = 10 Le volume de gravier est donc égal à 10 m. = 1, = 97,. Le volume d eau est donc égal à 97, m ou L ou 9 7 hl. Thème de convergence a. 7,4 cl = 74, ml b. 0,68 hl = 680 cl c. 0,00 L = ml d. 78,6 cl = 0,786 L 18 a. 8,7 cm = 8 70 mm b. 14 m =,14 dam c. 0,01 dm = mm d. 1,1 m = 1 10 dm 19 a. 81,6 L = 81,6 dm b dl = cm c. 70 ml = mm d. 0, hl = 0,0 m 0 a. 61 dm = 61 L b. 7,0 dm = 7 0 cl c. 86 dm = 8,6 hl d. 0,6 m = 60 L 1 a. 98 cm = 0,98 dm, d où : 98 cm < 0,40 dm. b mm = 0,97 dm, d où : mm < 0,91 dm. c. 8,17 dal = 81,7 L, d où : 8,17 dal < 64 L. d. 0,07 hl = ml, d où : 0,07 hl > 6 ml. 1. Le volume d un petit cube d arête 1 cm est égal à 1 cm.. Sophie a utilisé 14 petits cubes pour sa construction (9 pour la première couche, 4 pour la seconde couche et 1 pour la dernière couche).. Le volume de la construction est donc égal à 14 cm. 4. Il faut ajouter 1 petits cubes pour obtenir un cube d arête cm.. Le volume du grand cube est égal à 7 cm. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 10) a (en cm) b (en cm) c (en cm) (en cm ) , 6 4 7, , cm = 0,01 m. = 1 8 0,01 = 1,8. Le volume d eau est donc égal à 1,8 m ou L. À l oral a. 41 cm = 0,41 dm. b. 68, m = dm. c. 87 dm = 0,87 m. d. 0,74 m = cm. 9 a.,1 L = 0,0 1 m. b. 700 dl = 70 dm. c. 49, L = 0,049 m. d. 0,0 hl = 00 cm. 0 a. = 10 = 10 cm. b. = 4, = 7 cm. c. = 8 0, 4 = 16 cm. d. = 1, = 1 cm. 7 8 DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 1) Dans la réalité Sur le dessin = HG vrai vrai D = E vrai faux EH = vrai vrai = FG vrai faux EG = D vrai faux GD = 90 vrai vrai EFG = 90 vrai faux ED = F vrai vrai FEH = FG vrai faux a. 4 petits cubes ont une seule face orange (quatre cubes par face). b. 4 petits cubes ont exactement deux faces orange (deux cubes par «arête»).

112 c. 8 petits cubes ont exactement trois faces orange (un cube par sommet). d. 8 petits cubes n ont aucune face orange (e sont tous les autres petits cubes situés à l intérieur du grand cube, soit ). 1. La construction a. est composée de 11 cubes d arête 1 cm. La construction b. est composée de 1 cubes d arête 1 cm.. Un cube d arête cm est composé de 7 cubes d arête 1 cm. Il n y a que 6 cubes, donc il manquera un cube d arête 1 cm pour reconstituer un cube d arête cm. DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 1) a. b. Le patron peut être celui des cubes 1, ou = Donc la quantité de pétrole transportée en une année est égale à m, soit hl : 00 = La quantité de pétrole transportée en une année permettra donc de remplir camions de 00 hl. 44 8, L = 8 00 cm =. La hauteur d eau dans l aquarium est égale à cm dm de neige donnent 1 L d eau, donc 1 dm de neige donneront 1 L d eau soit 0,8 L d eau. 1. Pour obtenir 1 hl, soit 100 L d eau, il faut 1 00 dm de neige, soit 1 00 L de neige. Il faudra donc remplir de neige 10 seaux de 10 L Le volume d un cube d arête mm est égal à 1 mm.. Le nombre total de petits cubes composant la construction est égal à : 64 8, soit = Donc le volume de la construction est égale à mm, soit 7 cm. 1. (18 0 ) + (1 0 ) + (18 1) = 0. Donc l aire de la surface à vernir est égale à 0 cm². 1 ml de vernis permet de recouvrir cm², donc pour recouvrir 0 cm², il faudra 0 ml de vernis, soit 40 ml de vernis = Donc la contenance du vase est égale à cm, soit 8,1 L.. 10 cm = 0,1 L ,1 = 8,1 > 8,1. Donc en mettant les fleurs dans le vase, l eau débordera. 1,1 m = 11 cm. = (1 11 7) + ( ) + (1 11 4) + (1 11 0) + (1 11 1) = Donc le volume de rangement est égal à 88 1 cm, soit 88,1 dm. = 4, 0 = 400. Donc le volume des vingt glaçons est égal à 400 cm. 1 L d eau donne 1,09 dm de glace, soit cm donc pour obtenir 400 cm de glace, il faut 400 L d eau, soit 0,67 L ou 67 ml Le nombre de petits cubes à ajouter pour compléter le grand cube est égal à , soit La figure n est pas représentée en perspective cavalière car les segments parallèles dans la réalité ne sont pas représentés par des segments parallèles. Thème de convergence 1 0 cm = 0, L = cl. 4 = 600. Donc la quantité d eau écoulée en une journée est égale à 600 cl = 8. On pourrait ainsi remplir huit bouteilles de 7 cl avec l eau écoulée du robinet qui fuit en une journée. hapitre 1 Parallélépipède rectangle Volume 11

113 rgumenter et débattre Pour les curieux 1. a. Vrai. b. Vrai. c. Faux. Le quadrilatère EG est un rectangle. d. Vrai. e. Vrai. f. Faux. Le triangle DF est rectangle en. g. Vrai. Ses côtés ont la même longueur, égale à la longueur de la diagonale d une face carrée.. Faux. Un cube d arête 10 cm a un volume de cm.. Faux. Un cube d arête m a un volume de 8 m et un cube d arête 1 m a un volume de 1 m, donc le volume d un cube d arête m est huit fois plus grand que le volume d un cube d arête 1 m. 4. Faux. 70 L = 70 dm = 0,07 m.. Faux. 14 dm = 14 L = 1 40 dl. 6. Vrai. Le volume d un cube d arête 10 cm est égal à cm, soit cm, soit 1 dm, donc 1 L. 7. Faux. Le volume d un cube d arête 0 cm est égal à cm, soit cm, soit 8 L. 4 DOUMENT À PHOTOOPIER (NNEXE 14) Patron en croix latine : utres patrons : 1. 1 = = Donc le volume de la boîte est égal à 1 10 cm. = 1 1,, =,. Donc le volume d un morceau de sucre est égal à, cm. En exprimant 1 et en mm on obtient : = 0. Une valeur approchée par défaut à l unité de ce quotient est 1, donc harlotte dit qu elle peut mettre 1 morceaux de sucre dans cette boîte.. On suppose que tous les sucres sont rangés dans le même sens. Sur la longueur de 16 cm on peut mettre 4 sucres de longueur, cm et sur la largeur de 10 cm, on peut mettre 6 sucres de largeur 1, cm. On obtient ainsi une couche de 4 sucres. Sur la hauteur de 7 cm, on peut mettre 7 sucres de hauteur 1 cm. Il y a donc 7 couches de 4 sucres, soit 168 sucres dans la boîte. En positionnant les sucres «verticalement», on peut mettre 10 sucres sur le côté de 10 cm (10 1 cm) et 10 sucres sur le côté de 16 cm (10 1, = 1 cm). On obtient ainsi une couche de 100 sucres. Sur la hauteur de 7 cm, on peut donc avoir deux couches de 100 sucres, soit 00 sucres. Donc Élodie a raison. u maximum, on pourra ranger 00 sucres dans cette boîte (dans la même position) Le coefficient d ouverture correspond à une ouverture du cube plus ou moins grande. Le patron est donné par le plus grand coefficient d ouverture, à savoir 1.

114 nnexe 1 nnexe 1 E H F G D Nature Nombre Noms Sommet Point 8 ; ; ; D ; E ; F ; G ; H rête Face nnexe 4 a. 1 m = dm b. 1 cm = c = cm d. 1 dm = m e. 1 mm = 0, f = 0,001 dm a. m = dm b., m = dm c. 0,14 dm = cm d. 4 cm = dm e. 78 cm = dm f. 91 mm = cm :... :... :... hapitre 1 Parallélépipède rectangle Volume 11

115 nnexe 6 m dm cm mm nnexe 4 G D nnexe 9 116

116 nnexe 6 11 G H F E 1 nnexe 7 1 nnexe 8 hapitre 1 Parallélépipède rectangle Volume 117

117 16 nnexe 9 nnexe 10 a (en cm) b (en cm) c (en cm) (en cm ) 6 7, 6 4 7, 6 nnexe 11 7 nnexe 1 H G = HG Dans la réalité Sur le dessin E F D = E EH = D = FG EG = D GD = 90 EFG = ED = F FEH = FG

118 nnexe 1 40 a. b. 4 nnexe 14 hapitre 1 Parallélépipède rectangle Volume 119

119 1 hapitre 1 1. a.. b. 7. c.. d. 8. e. 9. f. 0.. a. Nombres ayant pour chiffre des dizaines : 6,1 ; 4,9. b. Nombre ayant pour chiffre de centaines : 69,4 ; 04,6.. a. Le point violet représente le chiffre des dix-millièmes. b. 1,4 : 4 est le chiffre des centièmes.,46 : 4 est le chiffre des dixièmes. 9,06 4 : 4 est le chiffre des dix-millièmes. 7,74 : 4 est le chiffre des millièmes. a. Il y a 100 centièmes dans une unité. b. Il y a 00 centièmes dans cinq unités. c. Il y a 8 centièmes dans le nombre,8. d. Il y a 80 millièmes dans le nombre,8. e.,8 = = a. 6,7 < 6,79 < 6,8. b. 11,9 < 11,94 < 1,0. c. 4,4 < 4,418 < 4,. d. 0,9 < 0,9 < 1,0. e. 99,8 < 99,81 < 99,9. f. 10,8 < 10,846 < 10,9. a b c. 7,4. d. 74. e. 74. f g.,6. h.,6. i.,6. j. 0,6. k. 0,6. l. 0, : décamètres. 7 : mètres. : décimètres. 8 : centimètres.. a. 47,8 m = 4 dam + 7 m + dm + 8 cm. b. 47,8 m = 47 m + 8 cm. c. 47,8 m = 4,78 dam = 47,8 dm = 4 78 cm. a. 1,4 dam = 14, m ;,4 km = 40 m ; 1,6 dm = 1,6 m ; hm = 00 m. b. 46 cm =,46 m ; 8 dm =,8 m ; 7 hm = 700 m ; 0,4 km = 400 m. a. 6. b c d e.. f a. 9 dal = 90 L ; 14 hl = L ; 14, dl = 1,4 L ; 7,6 cl = 0,076 L. b. 4,6 hl = 460 L ; 7 dl = 0,7 L ; 1,1 ml = 0,01 1 L ; 0,4 dal = 04 L. 4 a. 0,4. b. 4,6. c.,8. d. 0,01. e. 0,0. f. 7,48. a. (16,7) ; (1,9). b. (16,4) ; D (16,1). c. E (16,4) ; F (17,) ; G (1,6). d. H (16,) ; I (16,7). 1 a. 8 dl = 80 cl. b. 14 ml = 1,4 dl. c. 0,7 dal = 70 L. d. 0,1 L = 1, dl. e. 47 cl =,47 dal. f. 4,6 hl = dl. hapitre a. 6,47 < 6,6. b. 1,7 < 1,71. c. 9,67 < 9,7. d. 6,76 > 6,749. e. 1,4 < 1,48. f.,01 >,01. a. : 0, 1, ou. b. : 0, 1,,, 4, ou 6. c. : 8 ou 9. d. : 4,, 6, 7, 8 ou a. 6 < 6,79 < 7. b. 11 < 11,94 < 1. c. 4 < 4,418 <. d. 0 < 0,9 < 1. e. 99 < 99,81 < 100. f. 10 < 10,846 < a. 10,7. b. 4,476. c. 1,9 7. d. 74,64. a b c. 00. d. 10. e. 10. f. 00. g a b. 7,. c. 0,48. d. 76,8. a b. 40. c. 0. d e. 44. f. 78. g. 0. a b. 00. c d a. 6. b.,. c. 1. d. 4. a. 8 h 07 min. b. 1 h 49 min.

120 8 9,1 + 1, =,4 et,4 = 0,4 ; donc il manque 0,40 euros à aptiste. h 0 min h 40 min = h 0 min. Il reste donc h 0 min de voyage = 14 et 7 = 161, d où : 7 < 18 < 7.. Le quotient de 18 par 7 est égal à. Remarque : 18 (7 ) = 4, donc le reste est égal à = 8 ; la maman de Gaëlle a donc 8 ans = 7 ; la maman de Gaëlle aura donc 4 ans dans 7 années = 19 (ou bien on traduit que la différence d âge reste la même : 4 = 6 donc = 4 6 = 19) ; Gaëlle aura alors 19 ans. hapitre a. multiplication. b. facteurs. a. 1 et 1,. b. 8 et 1. c. 1 et,. d. 4 et 6. e. 0 et 7. f. 40 et 60. g. 00 et 70. h et a.. b c. 7,6. d. 408,7. e. 8,67. f. 60,117. a. (0,1 10) ( 0,) = 1 1 = 1. b. (1 8) (0,01 100) = = c. (4 0,) (00 0,01) = 1 =. d. ( ,001) (0, ) ( 4) = = 100. a. 4. b. 11. c d e f. 00. a b c d e f = 7 ; le grand-père de Sonia a 7 ans.., 4 = 10, ; urélie paiera 10,0 euros.. 4,,9 = 17,86 : l aire de ce rectangle est égale à 17,86 m. 4. 4, 1,4 = 6, ; Xavier paiera 6,0 euros.. 19,4 0, = 4,8 ; il paiera 4,8 euros. 4 a. 6 6 b c d (6 4) + 4 = + 4 = 6. (8 ) + 0 = = 184. (1 48) + 8 = = 84. (4 17) + 9 = = a. Un nombre entier est divisible par si son chiffre des unités est 0 ou ou 4 ou 6 ou 8. Un nombre entier est divisible par si son chiffre des unités est 0 ou. Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0. b. Un nombre entier est divisible par si la somme de ses chiffres est divisible par. Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. c. Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.. Divisible par Nombre hapitre 4 1. Le dividende de la division euclidienne est : 9. Le diviseur de la division euclidienne est : 67. Le quotient de la division euclidienne est : 4. Le reste de la division euclidienne est :.. 9 = (67 4) +.. Dans la division euclidienne d un nombre par 67, les restes possibles sont tous les nombres entiers de 0 à 66 (inclus). 1. Le chiffre des unités de 7 n est ni ni 0, donc 7 n est pas divisible par. Le pépiniériste ne pourra pas regrouper les oignons de tulipes par sachets de.. Le nombre formé par les deux derniers chiffres de 7 est qui est un nombre divisible par 4. Donc 7 est aussi divisible par 4. Le pépiniériste pourra regrouper les oignons de tulipes par sachets de 4. Remarque : 7 = 4 18, donc le pépiniériste pourra obtenir 18 sachets de 4 oignons. Soutien 11

121 6 a. 0 1, , b , , a. = 67 : 8 = 8,7. b. = 6, : = 0,. c. = 6 1 = 7. d. =,1 7 = 1, = (6 ) +. Il faut donc au minimum boîtes de six œufs pour ranger 19 œufs ( boîtes pleines et une boîte ne contenant que trois œufs).. 8 = (7 8) +. On peut acheter huit livres à 7 avec 8. Il restera.. 4,14 : = 1,8. vec 4,14, on a acheté 1,8 kg de pommes à le kg = (7 4) +. vec 80 roses, le fleuriste pourra confectionner 4 bouquets de sept roses et il restera deux roses. c. 9, , hapitre 1. La figure a été partagée en 1 petits rectangles identiques.. inq parts ont été coloriées.. La surface coloriée correspond à de la surface du grand rectangle. 1 1 d. 6, , e , , f. 9 1, , Fig. 1 La surface coloriée correspond à 4 du disque. 6 Fig. D La longueur D représente de la longueur La fraction dont le dénominateur est 1 et dont le numérateur est 7 est Une fraction égale au quotient de 19 par 11 est 19 8 ou 11 ou. a. La fraction 8 n est pas égale à un nombre décimal (on n obtient jamais un reste nul en divisant 8 par ). b. La fraction 7 n est pas égale à un nombre 11 décimal (on n obtient jamais un reste nul en divisant 7 par 11).

122 c. La fraction 19 est égale au nombre décimal 16 1,187. d. La fraction n est pas égale à un nombre 9 décimal (on n obtient jamais un reste nul en divisant par 9). e. La fraction 1 est égale au nombre décimal 8 6,7. 4 a. 17 c. 8 1 e = 4,. b ,. d ,. f ,. = 17,. 68, a. = =. b. 7 1 = c = =. d = e. 6 1 = a = 1, 18 = 16,. b. 7 = 7 = 9 = 18. c. 7 = 7 = 1 = d. 9 7 =, 7 = 1, 7. 4 e , 4 4 4, = = = f. 4 14, 7 14, 7 = 4 = 4 1, = 8, a. 1 9 =. b. 4 = c. 8 = 8. d =. 9 9 e =. f =. 9 a. =. b. 4 = c =. d. 1 = Le nombre de chocolats au lait est égal à : = 168. La boîte contient 168 chocolats au lait.. a =. La boîte contient chocolats noirs. b = = = = des chocolats contenus dans la boîte sont des chocolats noirs. 1. Le nombre de longueurs nagées en brasse est égal à : 0. Le nombre de longueurs nagées en crawl est égal à : = 0 = 4 = 8. Léo a nagé huit longueurs en brasse. 0 0 = = = Léo a nagé six longueurs en crawl = 6. Léo a nagé six longueurs en dos.. 6 = Léo a nagé trois dixièmes des longueurs en dos. hapitre ,9 + 1, =,4 ; on paiera donc,40 euros pour 8 petits pains. 1, = ; on paiera donc,00 euros pour 10 petits pains.. Nombre de petits pains achetés 8 10 Prix payé (en euros) 0,90 1,0,40,00 On obtient les masses en multipliant les volumes par le même nombre 0,8 (coefficient de proportionnalité). 1.,8 = 14 et 14 1 donc le prix des DVD proposé dans cette offre n est pas proportionnel au nombre de DVD achetés (ou bien 1 =,4 et,4,8 donc le prix à l unité n est pas le même).. 1 = 4 et 4 > 0 donc cette offre est plus avantageuse que la précédente (ou bien : d une part 1 0 =,4 ; d autre part =. Un 10 DVD revient moins cher avec la deuxième offre). Soutien 1

123 4 Distance mesurée sur le plan (en cm) Distance réelle (en m) er tableau : On obtient les prix en multipliant les masses par le même nombre,6 donc ce tableau représente une situation de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est égal à,6. e tableau : 1,1 =, mais 4 1,1 4 donc ce tableau ne représente pas une situation de proportionnalité. e tableau : On obtient les distances en multipliant les durées par le même nombre donc ce tableau représente une situation de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est égal à. 6 a. 1. b. 10. c. 1. d. 60. e. 48. f La fréquence cardiaque relevée lors d un exercice d intensité modérée est 10 battements par minute.. Une fréquence cardiaque de 170 battements par minute correspond à un exercice de forte intensité. Fréquence cardiaque (en battements par min) Repos Faible Modérée Forte Intensité de l exercice = 1 donc le montant de la réduction 100 est 1 euros = donc habitants 100 de cette commune y sont nés. hapitre Moins de 18 ans : couleur bleue. Entre 18 et 4 ans : couleur violette. Entre 46 et 7 ans : couleur jaune ( ) =. Donc % des habitants ont plus de 7 ans. hapitre Le nombre 6 représente le nombre de garçons de ce collège qui sont en e. Le nombre 74 représente le nombre total de filles dans ce collège = 6. Il y a donc 6 garçons dans ce collège.. 6 ( ) = = 6. Il y a donc 6 garçons qui sont en e dans ce collège e e 4 e e Total Filles Garçons Total a. [] désigne un segment, car il y a deux crochets. b. () désigne une droite, car il y a deux parenthèses. c. [) désigne une demi-droite, car il y a un crochet et une parenthèse.. a. (IJ). b. [KL]. c. [MN). E bleu rouge G F vert Les nombres marqués sur l axe des abscisses représentent les âges du bébé, en mois ; ceux marqués sur l axe des ordonnées représentent les masses du bébé, en kg.. Le point marqué d une croix verte sur le graphique indique qu à l âge de mois, le bébé pesait 6, kg.. a. À la naissance, le bébé pesait, kg. b. À l âge de mois, le bébé pesait 6 kg. c. À l âge de mois, le bébé pesait 7, kg. 4. Le bébé pesait 7 kg à l âge de 4 mois.. La masse du bébé a augmenté de 1, kg entre ces deux dates. 1.,. et. R S G U T F

124 4 a. (d 1 ) b. (d ) c. (d ) d. [D] e. D () f. D [) 1. (d 1) (d ) hapitre 9 Les figures ne sont pas toujours représentées avec les mesures données dans les énoncés G E. (d ) (d 4 ). (d ) (d 6 ) F D I J. = D. EF =. D = IJ. GH =. EF = 8 IJ. 4 D = EF. H 4. (d 7 ) (d 8 ) Tous les segments ayant la même longueur sont : 1. [F], [FE], [ED], [D] et [].. [F] et [E].. [] et [D]. a. 7,8 m. b. m. c.,9 m. d. 0, m. e. 0,7 m. 6 a., b. et c. 4 I est le milieu de [], F est le milieu de [EG] et G est le milieu de [FH]. (d) 1. J I K 7 a. et b. (d) 6. J est le milieu de [I].. K est le milieu de [I]. Rayons : [O], [O], [O], [OD] et [OE]. Diamètres : [] et [D] On sait que : (d 1 ) (d ) et (d ) (d ).. Les droites (d 1 ) et (d ) sont parallèles. Propriété utilisée : «Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.» 9 1. (d 4 ) // (d ) et (d 4 ) (d 6 ).. On sait que : (d 4 ) // (d ) et (d 4 ) (d 6 ). Or, si deux droites sont parallèles et qu une troisième droite est perpendiculaire à l une, alors elle est aussi perpendiculaire à l autre. Donc (d ) (d 6 ). 7 () G E H O I J ( ) F Soutien 1

125 1. c. La distance de G au centre du cercle () est égale à son rayon donc, par définition, le point G appartient à ce cercle. d. La distance de H au centre du cercle () n est pas égale à son rayon donc, par définition, le point H n appartient pas à ce cercle.. b. I et J appartiennent à un même cercle de centre E. Or, tous les points qui appartiennent à un même cercle sont situés à la même distance de son centre. Donc : EI = EJ. De même : I et J appartiennent à un même cercle de centre O donc : OI = OJ. c. E est équidistant de I et J. Or, si un point est situé à la même distance des extrémités d un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. Donc E appartient à la médiatrice de [IJ]. De même : O est équidistant de I et J donc E appartient à la médiatrice de [IJ]. La droite (OE) définit la médiatrice de [IJ]. 4 6 b. La mesure d un angle aigu est comprise entre 0 et 90. La mesure d un angle obtus est comprise entre 90 et Le centre du rapporteur doit être placé sur le sommet de l angle. Le zéro du rapporteur doit être placé sur un des côtés de l angle.. a.. b.. c. 7. d.. xoy 14 ; zt 0 ; uv 7 ; GDH 0 ; EF 10 ; JIK Deux angles sont adjacents lorsque : ils ont le même sommet ; ils ont un côté commun ; ils sont situés de part et d autre de ce côté commun.. 8 E F E est équidistant de et. Or, si un point est situé à la même distance des extrémités d un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. Donc E appartient à la médiatrice de []. De même : F est équidistant de et donc F appartient à la médiatrice de []. La droite (EF) définit la médiatrice de []. hapitre a. E b. L c.. a. [R) et [T) b. [IP) et [IE) c. [N) et [NE) 8 L M cm 80 1 : D : D : D 4 : D : D a. 1, 4 et 6 b., et. a. angle droit : 90 ; angle plat : cm E 6 cm R

126 9 1. La bissectrice d un angle est la demi-droite, ou le droite, qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.. x cm 40 P 6 cm 8 O 8 y N. E M 10 RSU = RST + TSU = + = 7. xoy = xoz + zoy, donc : xoz = xoy zoy = 90 6 = 64. cm 4 cm uov = uow + wov, donc : uow = uov wov = = 46. hapitre 11 F 4 cm D 1 1. a. Un triangle qui a deux côtés de même longueur est un triangle isocèle. b. Un triangle qui a trois côtés de même longueur est un triangle équilatéral. c. Un triangle qui a un angle droit est un triangle rectangle.. a. Un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur est un losange. b. Un quadrilatère qui a quatre angles droits est un rectangle. c. Un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur et ses quatre angles droits est un carré. L cm M N Triangle DEF GHI JKL Nature Isocèle en Rectangle en E Rectangle et isocèle en G Équilatéral Sommet principal ase [] Hypoténuse [DF] G [HI] [HI] cm 8 cm 1. R 8 cm S 0 Le quadrilatère D a ses quatre côtés de même longueur et ses quatre angles droits, donc D est un carré. Le quadrilatère DEFG a ses quatre côtés de même longueur, donc DEFG est un losange. Le quadrilatère GHID a trois angles droits, donc GHID est un rectangle. U T Soutien 17

127 . D 4 cm E cm G F. M 6 cm 6 cm N On sait que les points K et L appartiennent aussi au cercle de centre J et de rayon 4 cm. Donc : JK = JL = 4 cm. Le quadrilatère IJKL a donc ses quatre côtés de même longueur. Or, par définition, si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, alors c est un losange. Donc le quadrilatère IJKL est un losange (d) 6 cm L 60 6 cm 4 cm 6 cm (d ) P D 4. cm. Par construction, le quadrilatère D a trois angles droits. Or, si un quadrilatère a trois angles droits, alors c est un rectangle. Donc, le quadrilatère D est un rectangle. cm 6 1. I 4 cm cm 4 cm 8 cm 6 cm K 1 cm D 4 cm J 8 1. D est un rectangle, donc l angle est droit. Le triangle est donc rectangle en.. EFGH est un losange, donc ses côtés [EF] et [FG] ont la même longueur. Le triangle EFG est donc isocèle en F.. IJKL est un carré, donc le triangle IJK est rectangle et isocèle en J. 4. On sait que le point M appartient à la médiatrice du segment [RS]. a. Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est situé à la même distance des extrémités de ce segment. Donc : MR = MS. Donc le triangle RMS est isocèle en M. b. La médiatrice d un segment est la droite passant perpendiculairement par le milieu de ce segment. Donc les angles MIR et MIS sont droits. Les triangles MIR et MIS sont donc rectangles en I. 4 cm hapitre 1 18 L. On sait que les points K et L appartiennent au cercle 1 de centre I et de rayon 4 cm. Donc : IK = IL = 4 cm. «u.a.» signifie «unités d aire» et «u.l.» signifie «unités de longueur» (figure jaune) = 7 unités d aire.. (figure violette) = 19 unités d aire.

128 1. = ( ) + + donc : = 8 cm.. = [( 4) : ] + (6 4) + ( ) donc : = 4 cm. 1. H = 4 cm.. H = 10 cm.. = donc : = 14 cm. 4 a. = 1, cm et = 14 cm. b. = 6 cm et = cm. a. 17 m. b cm. c. 87, m. d. 870 dam La droite (d) est la médiatrice du segment [ ] et du segment [ ]. Figure 1 : et ne sont pas symétriques par rapport à la droite (d). est seulement l image de par translation. Figures et 4 : et sont symétriques par rapport à la droite (d) car elles se superposent par pliage suivant la droite (d). Figure : et ne sont pas symétriques par rapport à la droite (d). n a pas les mêmes dimensions que celles de. 1. et (4 + 0) + (60 + ) = 760 donc il faudra 760 m de fil. Le périmètre du champ est donc égal à 760 m.. (0 ) + (6 60) = donc l aire du champ est égale à m, soit,8 ha. 7 = (7 7) + ( π ) ; on obtient : = 61,6 cm. D 80 1 cm, cm cm a. L = π 4, ; on obtient : L 14,1 cm. b. = L ; on obtient : L 8, cm.. a. = π 8 ; on obtient : 0, cm. b. d = 1 cm. D I (d) 1 hapitre 1 1. a. La droite (d) est la médiatrice du segment [RS]. b. Les points R et S se superposent par pliage suivant la droite (d). c. Les points R et S sont symétriques par rapport à la droite (d). d. Le symétrique du point U par rapport à la droite (d) est lui-même.. Les points E et E sont symétriques par rapport à la droite (d) pour les figures a. et d.. D = D =, cm. Propriété utilisée : «La symétrie axiale conserve les distances.» 4. D = D = 70. Propriété utilisée : «La symétrie axiale conserve les angles.» 1.,. et. 1 (d) 1 (d) Soutien 19

129 hapitre 14. D 1 11 E I F 1. Le triangle a deux angles et de même mesure, donc est isocèle en.. Le triangle GHI a deux côtés [GI] et [GH] de même longueur, donc GHI est isocèle en G.. La droite (DJ) est perpendiculaire à (EF) et passe par le milieu J de [EF], donc (DJ) est la médiatrice de [EF]. omme chaque point de la médiatrice d un segment est équidistant des extrémités de ce segment, on en déduit que : DE = DF. insi, le triangle DEF est isocèle en D. 1.,. et. a. 1. et. b. Z E 70. a. L axe de symétrie du triangle ZEN est la bissectrice de l angle EZN. 6 a. Droites perpendiculaires : () et (D). b. Triangles rectangles : O, O, OD et OD. c. Triangles isocèles :, D, D et D. d. xes de symétrie de D : () et (D) N cm 0. b. On constate que le bissectrices des angles sont confondues avec les médiatrices des côtés. es droites sont les axes de symétrie du triangle D cm 0. a. L angle opposé à l angle est l angle D. b. D mesure 0. Propriété utilisée : «Si un quadrilatère est un losange, alors ses angles opposés ont la même mesure.»

130 8 1. R S H G G H D G I F E F E F U. a. Triangles rectangles : RSU, RST, STU et TUR. b. Longueurs égales : RS = UT ; RU = ST ; RT = SU ; RI = IT = IS = IU. c. Triangles isocèles : RIU, RIS, SIT et TIU. T 4 La face opposée à la face orange est la face bleu foncé I J O 1 L. Le triangle KOL est rectangle et isocèle en O. Justification : On sait que IJKL est un carré, donc ses diagonales ont le même milieu, la même longueur et sont perpendiculaires. insi : OL = OK et (OL) (OK). Par conséquent, KOL est rectangle et isocèle en O. hapitre 1 EFGH est un rectangle tel que : EF = 7, cm et FG = cm. GF est un rectangle tel que : = cm et G = 4 cm. HGD est un rectangle tel que : HG = 7, cm et G = 4 cm. K 6 a. 1 km = hm. b. 1 dam = m. c. 1 dm = 0,001 m. d. 1 kl = 10 hl. e. 1 cl = 0,1 dl. f. 1 ml = 0,1 cl ,4 dl = 140 ml..,9 cm = 0,00 9 dm = 90 mm.. 108,1 dl = 10,81 L = 10,81 dm cl = 19 L = 19 dm cm = 0,74 dm = 0,74 L. 6, m = 6 0 dm = 6 0 L. = = Le bac contient cm, soit 9 dm ou encore 9 L de terre. 0 cm cm 8 cm = 8 0 = L aquarium contient 7 10 cm, soit 7,1 dm ou encore 7,1 L d eau. Soutien 11