Validation des modèles statistiques dans l analyse de données longitudinales

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1 Validation des modèles statistiques dans l analyse de données longitudinales C. Lopez (Institut de l Elevage) Service Biométrie (CL) 1

2 Quels modèles? Service Biométrie (CL) 2

3 Les outils diagnostics (modèles à effets fixes) Service Biométrie (CL) 3

4 ( 2 ) Y = X β + ε ε N 0, σ I ( ) ( ) ( ) 2 2 var I H I X X' X X' r r i = = ε ˆ = σ = σ * i 2 i 2 ˆ (1 h ii) σ εˆ i σˆ εˆ Résidus studentisés ti Résidus studentisés externe Résidus de Pearson (résidus de Cholesky) Service Biométrie (CL) 4

5 Mesure de l influence des observations analyse avec et sans l observation i et on compare Service Biométrie (CL) 5

6 Influence globale ( ) 2 i ˆ ( i) PRESS = y y Influence sur l estimation de β Cook D = r 2 i i 1 h ii ( ) ( ii) rang X 1 h DFFITS i = t i h ii 1 h ii Autres statistiques Service Biométrie (CL) 6

7 Influence sur la précision des estimations de β cov ratio ( ) β = ˆ var ˆ var ˆ ( i) β βˆ Service Biométrie (CL) 7

8 Les outils diagnostics (modèles mixtes) Service Biométrie (CL) 8

9 Y = Xβ + Zγ + ε Var(γ) = G var(ε) =R Y γ N Xβ + Z γ ; R Y N X β ; ZGZ'+R Deux types de résidus Service Biométrie (CL) 9

10 rc = Y Xβˆ Zγˆ Résidus conditionnels = βˆ rm Y X Résidus marginaux sorties différentes pour les deux types de résidus Service Biométrie (CL) 10

11 La structure de variance-covariance influe sur les estimations des effets fixes 1- modélisation de la structure de variance-covariance 2- modélisation des effets fixes Analyse de l influence des observations plus complexe Service Biométrie (CL) 11

12 Mesure de l influence des observations Dans le cas de l analyse de données longitudinales on s intéresse à l influence des individus clusters plutôt qu à l influence d observations isolées Service Biométrie (CL) 12

13 Mêmes statistiques d influence que dans le cas du modèle à effets fixes (1) Appliquées aux paramètres β et aux paramètres de variance-covariance G et R (1) + «Likelihood displacement (Cook (1986))» Service Biométrie (CL) 13

14 ESSAI 'SYSTEME' CRECOM Comparaison de 2 conduites alimentaires en station expérimentale 2 systèmes fourragers : 25% Maïs (Trait=1 ; n=23) vs 50% Maïs (Trait=2 ; n=31) 3 périodes de vêlage : été (sais=1 ; n=19), hiver (sais=2 ; n=24), printemps (sais=3 ; n=11) Rang de lactation : primipares (Parite= P ; n=23), multipares (Parite= M ; n=31) Critère : la production laitière [kg/j] 54 vaches Prim'Holstein 36 productions quotidiennes moyennes/semaine Service Biométrie (CL) 14

15 Les données Service Biométrie (CL) 15

16 Année (Trait 1) Lait [kg/j] semaine Service Biométrie (CL) 16

17 Année (Trait 2) Lait [kg/j] semaine Service Biométrie (CL) 17

18 Année (saison 1) Lait [kg/j] semaine Service Biométrie (CL) 18

19 Année (saison 2) Lait [kg/j] semaine Service Biométrie (CL) 19

20 Année (saison 3) Lait [kg/j] semaine Service Biométrie (CL) 20

21 Année (primipares) Lait [kg/j] semaine Service Biométrie (CL) 21

22 Année (multipares) Lait [kg/j] semaine Service Biométrie (CL) 22

23 Réponse : profil de mesures hebdomadaires. Analyse sur variables résumées de la lactation Modèle de WOOD (1967) β δ*t yt = α * t * e 0 < α, β, δ < 1 Service Biométrie (CL) 23

24 Modèle de Wood α Production initiale LB ( β+ 1) δ chute t (semaines) β/δ stade du pic Service Biométrie (CL) 24

25 Le modèle statistique Service Biométrie (CL) 25

26 z = Log (y ) = α % + β Log (t) δ t t e t * e * Z ijku (t) i : régime alimentaire j : parité (primipares / multipares) k : saison(1, 2, 3)) u : vache (ijk) Modèle à coefficients aléatoires z (t) = α % + β Log (t) δ t Xβ ijku ijk ijk * e ijk * +α % + β Log (t) δ t Zγ u(ijk) u(ijk) * e u(ijk) * +ε (t) ε ijku Service Biométrie (CL) 26

27 La structure de variance-covariance α δ u(ijk) ( ) γ u(ijk) = βu(ijk) u(ijk) i.i.d. N 0 ; G u(ijk) G : type = UN ε(1) ijku (2) ijku ε ε ijku =... i.i.d. N(0 ; R) u(ijk) ε(36) ijku R : type = AR(1) Service Biométrie (CL) 27

28 1- Modélisation de la structure de variance-covariance (modèle saturé en Xβ) 2- Modélisation de la partie fixe du modèle Service Biométrie (CL) 28

29 1- Modélisation de la structure de variance-covariance (modèle saturé en Xβ) Test de différentes structures de matrices R 2LL_RES Khi-Deux ν p ARH(1) 4364,5 AR(1) 4148,4 216,1 35 5,8583E-28 VC 3177,5 970,9 1 3,7988E-213 Service Biométrie (CL) 29

30 variances résiduelles(t) 0,035 0,030 0,025 0,020 0,015 0,014 0,010 0, var_arh(1) var_ar Service Biométrie (CL) 30

31 Estimation de la matrice G (modèle saturé en Xβ) paramètres estimés variance-covariance Erreur Parm cov Estimation type Valeur Z Pr Z UN(1,1) σ2(α) UN(2,1) σ(αβ) UN(2,2) σ2(β) UN(3,1) σ(αδ) UN(3,2) σ(βδ) UN(3,3) σ2(δ) AR(1) ρ <.0001 Residual ε <.0001 Service Biométrie (CL) 31

32 Test de différentes structures de matrices G (simplification du modèle) Modélisation de la structure de variance-covariance 2LL_RES Khi-Deux ν p UN(α,β,δ) 4131,4 UN(α,δ) 4122,9 8,5 3 0,037 UN(α,β) 4116,2 15,2 3 0,002 Service Biométrie (CL) 32

33 2. Tests des effets fixes Service Biométrie (CL) 33

34 α β δ Type 3 Tests des effets fixes Effet Num DF Den DDL F Value Pr > F t <.0001 L_t <.0001 TRAIT parite <.0001 SAIS TRAIT*parite TRAIT*SAIS parite*sais L_t*TRAIT L_t*parite L_t*SAIS L_t*TRAIT*parite L_t*TRAIT*SAIS L_t*parite*SAIS t*trait t*parite t*sais t*trait*parite t*trait*sais t*parite*sais Service Biométrie (CL) 34

35 Statistiques sur les paramètres-résumés des courbes TRAIT 1 TRAIT 2 est S est S α_est [kg/j] 22,4 0,8 23,5 0,6 stade_pic [sem] 8,8 0,6 8,0 0,5 chute 1,3% 2,7% 1,4% 2,7% Service Biométrie (CL) 35

36 Lactations observées et prédites(traitement) 40,0 35,0 30,0 Lait [kg/j] 25,0 20,0 15,0 10, semaine Service Biométrie (CL) 36

37 Lactations observées et prédites(saisons) 40,0 35,0 30,0 Lait [kg/j] 25,0 20,0 15,0 10, semaine Service Biométrie (CL) 37

38 Lactations observées et prédites(parité) 40,0 35,0 30,0 Lait [kg/j] 25,0 20,0 15,0 10, semaine Service Biométrie (CL) 38

39 Validation du modèle Service Biométrie (CL) 39

40 Service Biométrie (CL) 40

41 Quelques courbes «influentes» Service Biométrie (CL) 41

42 vache 402(1, P, été ; n=5) 45,0 40,0 35,0 30,0 25,0 20,0 15,0 10, : Distance REML = 4,192 ; D Cook = 0,073 ; COVRATIO = 0,283 (min) Service Biométrie (CL) 42

43 vache 7(2, P, été ; n=7) 45,0 40,0 35,0 30,0 25,0 20,0 15,0 10, : Distance REML = 2,227 ;PRESS = 2,282 ; COVRATIO = 0,383 Service Biométrie (CL) 43

44 vache 351(1, M, été ; n=3) 45,0 40,0 35,0 30,0 25,0 20,0 15,0 10, : Distance REML = 6,025 ; D Cook = 0,124 ; COVRATIO = 0,426 Service Biométrie (CL) 44

45 vache 16(1, P, hiver ; n=1) 45,0 40,0 35,0 30,0 25,0 20,0 15,0 10, : Distance REML = 8,687 (max) ; PRESS = 2,147 ; D Cook = 0,248 (max) Service Biométrie (CL) 45

46 vache 367, 365 et 316 (1, M, hiver ; n=9) 55,0 50,0 45,0 40,0 35,0 30,0 25,0 20,0 15,0 10, : PRESS = 3,204 ; COVRATIO = 0, : PRESS = 4,685 (max) ; COVRATIO = 0, : Distance REML = 0,068 ; PRESS = 0,234 ; D Cook = 0,000 ; COVRATIO =2,914 Service Biométrie (CL) 46

47 vaches 11 et 13 (1, P, printemps ; 4) 45,0 40,0 35,0 30,0 25,0 20,0 15,0 10, : PRESS = 3, : Distance REML = 3,163 ; D Cook = 0,078 ; COVRATIO = 0,554 Service Biométrie (CL) 47

48 L influence sur les paramètres des effets fixes Service Biométrie (CL) 48

49 Service Biométrie (CL) 49

50 Éléments de bibliographie - Cook, R.D. (1986) : Assessement of local influence, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 48, Verbeke, G. et Molenberghs, G. (2000) : Linear mixed models for Longitudinal data. New-York: Springer - Fitzmaurice, G. M., Laird, N. M., Ware, J.H., (2004) : Applied longitudinal analysis. John Wiley & Sons. New-York Service Biométrie (CL) 50