I Arbres binaires. Lycée Faidherbe Rappels Définition Dénombrements Parcours... 3

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1 I Arbres binaires Table des matières 1 Rappels Définition Dénombrements Parcours Arbres binaires de recherche Types de données abstraits Définitions Recherche Insertion aux feuilles Insertion à la racine Suppression Exercices Arbres parfaits Longueur de cheminement Utilisation des parcours Caractérisation des A.B.R Tri avec A.B.R Parcours de recherche Fusion Successeurs et prédécesseurs Nombre de constructions Vérification Complexité moyenne d une recherche Rang et rang local

2 Option informatique, deuxième année 1 Rappels 1.1 Définition Arbres binaires homogènes Nous allons utiliser une définition simplifiée d arbres binaires homogènes. Définition. Un arbre binaire est soit l arbre vide soit l assemblage d une racine et de deux arbres. Ces deux arbres sont ordonnés : il y a le fils gauche et le fils droit. La définition et la décomposition d un arbre suivent ce schéma récursif : type n arbre_bin = Vide Noeud of ( n arbre_bin* n * n arbre_bin);; let filsg = function Noeud (g,_,_) -> g;; let filsd = function Noeud (_,_,d) -> d;; let racine = function Noeud (_,n,_) -> n;; Notons que les racines des fils deviennent alors des nœuds de l arbre. Les nœuds dont les deux fils sont vides sont des nœuds terminaux. Nous n envisagerons que des arbres finis, c est-à-dire que l on construit par un ensemble fini d assemblages. L ensemble des arbres finis de type n est le plus petit ensemble contenant l arbre vide et stable par la construction d assemblage ordonné d un élément de n et de deux arbres. 1.2 Dénombrements La taille d un arbre est le nombre de nœuds : let rec taille = function Vide -> 0 Noeud (g,_,d) -> 1 + taille g + taille d;; On a vu que la taille (c est-à-dire le nombre de nœuds internes) est égal au nombre de feuilles (les sous-arbres vides) augmenté de 1. La profondeur d un nœud est le nombre total de relations de parenté entre la racine et lui. La racine est à une profondeur de 0, ses fils ont une profondeur de 1. La profondeur des fils d un nœud est égale à la profondeur du père augmentée de 1. La hauteur d un arbre est la profondeur de nœud maximale. Elle est atteinte pour une nœud terminal. Par convention la hauteur de l arbre vide est -1. let rec hauteur = function Vide -> -1 Noeud (g,_,d) -> 1 + max (hauteur g) (hauteur d);; 2 I Arbres binaires

3 Option informatique, deuxième année Lien entre hauteur et taille Théorème. La taille n et la hauteur h d un arbre binaire vérifient h + 1 n 2 h+1 1 log 2 (n + 1) 1 h n 1 Descendre dans une branche d arbre demande au plus h recherche de fils : le fait que h puisse être de l ordre de log 2 (n) est la source de nombreuses applications des arbres. Démonstrations Le théorème précédent comme beaucoup de démonstrations concernant les arbres peut se faire par récurrence, sur h ou sur n puisque les sous-arbres droit et gauche ont des hauteurs et tailles strictement inférieures par induction structurelle : 1. si une propriété est vraie pour les arbres vides 2. si, lorsqu elle est vraie pour deux arbres a1 et a2, alors elle est vraie pour Noeud k a1 a2 3. on peut conclure qu elle est vraie pour tous les arbres. 1.3 Parcours Parcourir un arbre (binaire) consiste à énumérer ses éléments : cela revient à transformer la structure bidimensionnelle de l arbre en une liste linéaire. Les parcours classiques traitent entièrement le fils gauche avant le fils droit à chaque hauteur. Il y a trois possibilités de traitement de la racine Ordre préfixe : on traite la racine puis les fils. C est l écriture des composées de fonctions de deux variables. Ordre infixe : on traite le fils gauche puis la racine puis le fils droit. C est l écriture des expressions arithmétiques. Ordre postfixe (ou suffixe) : on traite les fils puis la racine. Exemple let infixe a = let rec infx = function Vide -> print_string "-" Noeud (Vide,n,Vide) -> print_int n Noeud (g,n,d) -> print_string "("; infx g; print_string ","; print_int n; print_string ","; infx d; print_string ")" in infx a; print_newline;; I Arbres binaires 3

4 Option informatique, deuxième année 2 Arbres binaires de recherche 2.1 Types de données abstraits Nous avons parfois besoin de structure de données définies abstraitement qui doivent remplir un cahier des charges : elles manipulent des données d un certain type les opérations sont définies à l avance avec leur ensemble de définition et les axiomes qu elles doivent vérifier. On peut alors traduire ces contraintes par plusieurs moyens, en général on essaiera de faire en sorte que les opérations importantes aient une complexité faible. La structure effective employée n est pas signifiante. Type Ensemble On souhaite définir une structure d ensemble d éléments (par exemple des entiers) avec les fonctions vide qui crée un ensemble vide estvide e qui teste si un ensemblee vide ajoute x e qui ajoute l élément x à l ensemble e retire x e qui enlève x de e appartient x e qui teste si x appartient à e Il faudrait définir les fonctions plus précisément, par exemple, définir ce qui ce passe si on enlève un élément à un ensemble qui ne le contient pas mais nous allons laisser la liberté ici. Exemples d implémentation : : une liste : l ajout se fait en temps constant mais le retrait et l appartenance vont demander un temps linéaire en la taille de l ensemble. un tableau ordonné : l appartenance est en temps logarithmique mais l ajout et le retrait sont en temps linéaire. De plus la taille maximale est fixée à l avance (sauf en Python). Nous allons présenter une structure à base d arbres binaire pour laquelle les opérations se feront en temps O(h) où h est la hauteur de l arbre dont on espère (ou on impose) qu elle soit de l ordre de log 2 (n). 2.2 Définitions Définition. Un arbre binaire de recherche est un arbre binaire tel que, tout nœud contient un champ, noté cle ou étiquette, dont les valeurs sont entières (ou décrivent un ensemble ordonné) pour tout nœud x de clé n les clés des éléments du fils gauche de x sont inférieures ou égales à n et les clés des éléments du fils droit de x sont supérieures ou égales à n. Exemple I Arbres binaires

5 Option informatique, deuxième année Implémentation La déclaration du type et les fonctions de construction et déconstruction sont les mêmes que dans le cas d un arbre binaire classique. Si on veut les employer il faut vérifier soi même que les clés sont dans le bon ordre. Dans toute la suite on va supposer que les clés sont distinctes. type n abr = Vide Noeud of ( n abr* n * n abr);; let filsg = function Noeud (g,_,_) -> g;; let filsd = function Noeud (_,_,d) -> d;; let racine = function Noeud (_,n,_) -> n;; 2.3 Recherche La recherche est simple : on descend dans l arbre en choisissant le fils gauche ou le fils droit selon que la valeur à chercher est inférieure ou supérieure à la clé du nœud. C est le principe de la recherche par dichotomie. On parcourt ainsi (partiellement) une branche de l arbre. La complexité maximale est la hauteur de l arbre. let rec chercher x = function Noeud(g,n,d) as arbre -> if (n = x) then arbre else if (x < n) then chercher x g else chercher x d;; 2.4 Insertion aux feuilles On peut ajouter un nouvel enregistrement à une feuille de l arbre : on recherche l élément et une recherche infructueuse arrive à un sous arbre Vide. On peut alors y placer l élément. Si la recherche donne un résultat on ne change rien car on s interdit les clés multiples. Ici encore la complexité est proportionnelle au nombre d appels récursifs effectués donc est de la forme O(h) où h est la hauteur de l arbre. Exemple : on ajoute 25 à l exemple initial : I Arbres binaires 5

6 Option informatique, deuxième année let rec ajouter x = function Vide -> Noeud(Vide,x,Vide) Noeud(g,n,d) as arbre -> if (n = x) then arbre else if (x < n) then Noeud((ajouter x g),n,d) else Noeud(g,n,(ajouter x d));; 2.5 Insertion à la racine On peut aussi choisir d insérer un nouveau nœud à la racine. Pour cela il faut couper l arbre en deux parties regroupant les nœuds inférieurs à la nouvelle clé et ceux qui sont supérieurs. De plus on va essayer de le faire avec un coût minimum c est à dire fonction de la hauteur et non de la taille. Le dernier arbre construit : est coupé par 17 en 6 I Arbres binaires

7 Option informatique, deuxième année on reconstruit deux arbres : puis on ajoute Algorithme de coupure On obtient les parties gauche et droite récursivement Si la clé de coupure est inférieure à la clé de la racine alors la partie gauche est la partie gauche du découpage du fils gauche (il n y a aucune clé inférieure dans le fils droit). Sinon la partie gauche est l arbre obtenu en remplaçant le fils droit de l arbre initial par la partie gauche du découpage du fils droit. De même pour la partie droite let rec decouper x = function Vide -> (Vide,Vide) Noeud(g,n,d) -> if (n = x) then (g,d) I Arbres binaires 7

8 Option informatique, deuxième année else if (x < n) then let (gg,gd) = decouper x g in (gg,noeud(gd,n,d)) else let (dg,dd) = decouper x d in (Noeud(g,n,dg),dd);; Reconstruction let ajouter_racine x a = let (g,d)= decouper x a in Noeud(g,x,d);; On a conservé la possibilité d ajouter une clé déjà existante, elle est alors éliminée des arbres gauche et droite. Cela aura comme effet de déplacer cette clé à la racine. 2.6 Suppression La suppression d un nœud demande de conserver la structure ordonnée. Il est relativement facile d imaginer comment supprimer une feuille : on la remplace par l arbre vide. Le cas d un nœud interne n est plus délicat. On se ramène au cas de la racine car il suffira de remplacer le sous arbre dont n est la racine par l arbre diminué. Choix d une racine Si on ôte la racine d un sous arbre il faut choisir un nœud à placer à la racine. Pour le faire sans trop de modification on va choisir un nœud du fils gauche et la placer à la racine. La valeur de sa clé sera inférieure à toutes les clés du fils droit et pour majorer les clés du fils gauche il faut choisir le maximum dans le fils gauche. On peut aussi choisir le minimum du fils droit. On va donc opérer en 3 étapes calculer la clé maximale du fils gauche, on cherche récursivement le fils droit sans fils droit enlever le nœud correspondant si T est le sous arbre du fils gauche dont la clé est maximale alors il n a pas de fils droit (qui, sinon, aurait des clés supérieures) ; le fils gauche de T remplace T reconstruire l arbre. Si la racine n avait pas de fils gauche le nouvel arbre serait simplement le fils droit I Arbres binaires

9 Option informatique, deuxième année let rec max = function Noeud(_,n,Vide) -> n Noeud(_,_,d) -> max d;; let rec supprmax = function Noeud(g,n,Vide) -> g Noeud(g,n,d) -> Noeud(g,n,supprMax d);; let enleverracine = function Vide -> Vide Noeud(g,n,Vide) -> g Noeud(g,n,d) -> let r = max g in Noeud(supprimerMax g,r,d);; I Arbres binaires 9

10 Option informatique, deuxième année On peut donc maintenant écrire la suppression d un nœud. let rec enlever x = function Vide -> Vide Noeud(g,n,d) as arbre -> if (n = x) then enleverracine arbre else if (x < n) then Noeud((enlever x g),n,d) else Noeud(g,n,(enlever x d));; 3 Exercices 3.1 Arbres parfaits Un arbre binaire est parfait s il est vide ou si, pour tout nœud, les hauteurs des sous arbres droit et gauche sont égales. Prouver que les arbres parfaits sont les arbres tels que n = 2 h+1 1 où h est la hauteur et n la taille. Prouver que les arbres parfaits sont les arbres pour lesquels tous les nœuds terminaux sont à la même profondeur. 3.2 Longueur de cheminement La longueur de cheminement d un arbre est la somme des hauteurs de tous les nœuds. Déterminer une fonction récursive qui calcule la longueur de cheminement d un arbre. Prouver que les arbres de taille n qui minimisent la longueur de cheminement sont ceux qui ont 2 k nœuds de profondeur k pour tout k < log 2 (n + 1). En déduire que, si LC est la longueur de cheminement d un arbre de taille n, on a 3.3 Utilisation des parcours n log 2 (k) LC k=1 n(n 1) 2 Prouver que le nœud a et un descendant du nœud b dans un arbre si et seulement si b est avant a dans le parcours préfixe et a est avant b dans le parcours postfixe. Montrer que si on connait le parcours préfixe (ou postfixe) et le parcours infixe d un arbre alors on peut reconstituer l arbre. Prouver que la liste des éléments d un arbre binaire de recherche lu en parcours préfixe permet de reconstruire l arbre. Écrire une fonction qui reconstruit l arbre à partir de deux parcours. Montrer que les nœuds terminaux sont dans le même ordre dans les parcours préfixe, infixe et postfixe. 3.4 Caractérisation des A.B.R. Prouver qu un arbre binaire est un arbre binaire de recherche si et seulement si le parcours infixe des clés de l arbre donne une suite croissante. 3.5 Tri avec A.B.R. Expliquer comment on peut utiliser les arbres binaires de recherche pour effectuer un tri. Si on admet que la hauteur moyenne d un arbre binaire de recherche de taille n est un O ( ln(n) ) déterminer la complexité, en moyenne, de ce tri. 10 I Arbres binaires

11 Option informatique, deuxième année 3.6 Parcours de recherche On suppose que tous les nombres de 1 à 800 sont les clés d un arbre binaire de recherche. Parmi le suites suivantes lesquelles ne peuvent pas être les clés d un parcours de recherche de 417? 2, 457, 1, 217, , 215, 333, 401, 4, , 403, 555, 408, 523, 411, 466, , 403, 555, 408, 563, 411, 466, , 403, 555, 411, 466, Fusion écrire une fonction Fusion a b qui joint deux arbres binaires de recherche ; on pourra utiliser les fonctions de coupure d un arbre binaire de recherche. 3.8 Successeurs et prédécesseurs Le successeur (resp. prédécesseur) d un nœud de clé k est le nœud de l arbre dont la clé suit (resp. précéde) k dans le parcours infixe. Montrer que si un nœud d un arbre binaire de recherche a deux fils alors son prédécesseur n a pas de fils droit et son successeur n a pas de fils gauche. Montrer que si n est le successeur de p dans le parcours croissant d un ABR alors soit n est le plus petit élément du fils droit de p soit p est le plus grand élément du fils gauche de n. 3.9 Nombre de constructions Déterminer tous les ordres possibles d insertion de clés à partir de l arbre vide qui donnent l arbre suivant par adjonction aux feuilles Plus généralement montrer que le nombre de permutations des clés d un arbre T, de taille n, qui engendrent l arbre par adjonctions successives aux feuilles est n! divisé par le produit des tailles de tous les sous arbres (y compris T ) de T Vérification Écrire une fonction qui teste si l arbre binaire passé en paramètre est un arbre binaire de recherche Complexité moyenne d une recherche On considère les arbres binaires de recherche construits en ajoutant à l arbre vide les nœuds de clé 1 à n dans le désordre. On suppose que les n! ordres d insertion sont équiprobables. On cherche la complexité moyenne, en nombre de comparaisons, de la recherche d une clé dans l arbre : a n. I Arbres binaires 11

12 Option informatique, deuxième année Montrer que la probabilité que la clé de la racine soit i est 1 n. On note a i,n la complexité moyenne, en nombre de comparaisons, de la recherche d une clé dans un arbre dont la racine a la clé i. Prouver que a i,n = (a i 1 + 1) i 1 n + 1 n + (a n i + 1) n i n. En déduire que a n = n 1 n 2 ia i i=1 puis que a n = 1 n 2 ( (n 2 1)a n 1 + 2n 1 ) (On pourra calculer n 2 a n (n 1) 2 a n 1 ). Prouver que a n = O ( log 2 (n) ) (On pourra poser u n = n n+1 a n) Rang et rang local Les arbres binaires de recherche considérés sont étiquetés par des entiers distincts. On appelle rang d un nœud de clé k, le nombre de nœuds de clé inférieure ou égale à k, et rang local d un nœud son rang dans le sous-arbre dont il est racine. On définit des arbres binaires en Caml par : type ab = Vide N of int * int * ab * ab;; Dans N(e, r, g, d), e est l étiquette, r est son rang local et g et d sont les deux sous-arbres gauche et droit. On suppose qu un arbre binaire est construit, mais que les champs r de chaque nœud contiennent 0. Écrire une fonction Caml qui prend l arbre en paramètre et renvoie le même arbre mais avec les champs r remplis correctement. On suppose maintenant que r est bien le rang local. Donner un algorithme qui, à un entier k contenu dans l arbre associe le rang du nœud de clé k. L algorithme doit être en O(h) où h est la hauteur de l arbre. Soit n la taille de l arbre, et m un entier compris entre 1 et n. Donner un algorithme qui renvoie la clé du nœud de rang m. 12 I Arbres binaires