Corrigé Exercice 1 : PASSERELLE TÉLESCOPIQUE D'AÉROPORT.

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1 TD 5 corrié - PFS (modélisation par des torseurs écrits en colonne) Pae / Corrié xercice : PASSR TÉSCOPIQU D'AÉROPORT. Question : Réaliser le raphe de structure, puis compléter-le en vue d une étude de statique. Rpes Sphérique de centre A 4 (3) Glissière de direction (5) Sphère-clindre de centre B et de direction x () (5) Rpes ( Cz, ) 3 ( z, ) (5) () Sphère-plan de point de contact D et de normale z Question : Par quel(s) isolement(s) peut-on commencer? Isolement à ne pas faire : - Ne jamais prendre le bâti dans un isolement. - Ne jamais prendre un isolement qui a plus de 6 inconnues de liaison (exemple {} où on a inconnues) car le PFS nous donne dans l'espace que 6 équations. - Ne pas prendre un isolement qui n'inclue pas les données du sujet (ici Rpes et Rpes ) dans son calcul (exemple {3}). On peut donc débuter par : Isoler {,, 3} Isoler {,, 3, 4} Question 3 : Parmi ces isolements, lequel donnera moins de calcul? Isoler {,, 3, 4} 4 AM : AM 4, AM 3, AMpes et AMpes A B Isoler {,, 3} 5 AM : AM4, AM4, AM 3, AMpes et AMpes Ainsi, pour effectuer moins de calcul, il est préférable d'isoler le sstème qui comporte le moins d'am, c'està-dire ici {,, 3, 4}. Question 4 : Donner la suite d isolement à effectuer pour pouvoir déterminer complètement toutes les actions transmissibles dans les liaisons. Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : Isoler {,, 3, 4} AM 4 et AM 3 Isoler {4} A B AM 4 et AM 4 Isoler {, 4} AM (NB : pour déterminer cette action, nous aurions pu aussi isoler {, 3}) Isoler {3} AM 3 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël 7/3/

2 TD 5 corrié - PFS (modélisation par des torseurs écrits en colonne) Pae / Question 5 : Résoudre vos différents isolements. ) Isolons {,, 3, 4}. ) Bilan des Actions Mécaniques xtérieures (BAM) sur {,, 3, 4}. - Action mécanique de sur 4 (pivot d axe ( z), ) - Action mécanique de sur 3 (sphère-plan de point de contact D et de normale z ) - Action mécanique de la pesanteur sur - Action mécanique de la pesanteur sur X4 P, 4 4 Y4 MP,4 Z (, ) 4 P z T T 3 Tpes T pes P( G, z) m. Z P( D, z) 3 m. P( G, z) On détermine les moments au point des 3 torseurs à transporter : M,3 MC, 3 C R3 M, pes MG, pes G Rpes M,3 ( h. z. ) ( Z3. z) M, pes ( h. z d. ) ( m.. z) M,3. Z3. x M, pes d. m.. x M, pes MG, pes G Rpes M, pes ( h. z. e. x) ( m.. z) M, pes. m.. x e. m.. Donc :. Z 3 T 3 Tpes T pes Z 3 d. m. m.. m. e. m. m. T Puis, on applique le PFS : SS X4 Y 4 Z4 Z3 m. m., 4. Z3 d. m.. m. M,4 e. m. X4 Y4 Z4 Z3 m. m., 4. Z3 d. m.. m. M,4 e. m. On remarque que l'on ne peut pas tout résoudre car équation a donné = MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël 7/3/

3 TD 5 corrié - PFS (modélisation par des torseurs écrits en colonne) Pae 3/ ) Isolons {4}. ) Bilan des Actions Mécaniques xtérieures (BAM) sur {4}. - Action mécanique de sur 4 (pivot d axe ( z), ) - Action mécanique de sur 4 en A (sphérique de centre A) - Action mécanique de sur 4 en B (sphère-clindre de centre B et de direction x ),4 A A B T 4 e. m. T 4 Y 4 T Z 4 A X 4 A Z 4 A B 4 Y 4 B B Z 4 On détermine les moments au point A des torseurs à transporter : B B B MA, 4 M,4 A R4 MA, 4 MB, 4 AB R 4 B B B MA, 4 (, 4. x e. m.. ) ( a. x h. z) ( Z4. z) A, M (. a. x) ( Y. Z. z) B B B MA, 4, 4. x e. m.. a. Z4. A, M. ay.. z. a. Z. Donc :,4 T 4 e. m. a. Z4 T A Z 4 B B B 4 Y 4. a. Z 4 B B Z 4. ay. A 4 T Puis, on applique le PFS : A X 4 A B Y 4 Y 4 A B Z 4 Z4 Z 4, 4 B e. m.. a. Z4 a. Z4 B. ay. 4 SS A A B X 4 Y 4 Y 4, 4 A B Z 4 Z4 Z 4 B e. m.. a. Z4 a. Z4 On remarque que l'on ne peut pas tout résoudre car il nous manque toujours l inconnue Z 4 de l'isolement précédent. Mais maintenant que l'on connait, 4, nous pouvons reprendre notre er sstème d'équations déterminées à la question précédente : X4 Y4 Z4 Z3 m. m., 4. Z3 d. m.. m. M,4 e. m. X4 Y4, 4 d. m.. m. ( d). m. Z4 m. m. d. m.. m. Z3 M,4 e. m. MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël 7/3/

4 TD 5 corrié - PFS (modélisation par des torseurs écrits en colonne) Pae 4/ Connaisant Z ( d). m. 4, nous pouvons reprendre cette fois-ci notre ème sstème d'équations : A A B X 4 Y 4 Y 4, 4 A B Z 4 Z4 Z 4 B e. m.. a. Z4 a. Z4 A A B X 4 Y 4 Y 4, 4 A ( d). m. B Z4 Z4 B e. m. ( d). m. Z 4. a. A A B X 4 Y 4 Y 4, 4 A ( d). m. B Z4 Z4 B e. m. ( d). m. Z 4. a. A A B X 4 Y 4 Y 4, 4 A ( d). m. e. m. ( d). m. Z 4. a. B e. m. ( d). m. Z 4. a. A A B X 4 Y 4 Y 4, 4 A e. m. ( d). m. Z 4. a. B e. m. ( d). m. Z 4. a. ) Isolons {, 4}. ) Bilan des Actions Mécaniques xtérieures (BAM) sur {, 4}. - Action mécanique de sur 4 (pivot d axe ( z), ) - Action mécanique de sur (lissière de direction ) - Action mécanique de la pesanteur sur 4 e. m. ( d). m. P, T T MP, T pes P X Z N P, ( x,, z ) m. P( G, z) On détermine les moments au point M des torseurs à transporter : MM,4 M,4 M R4 MM, pes MG, pes MG Rpes ( d). m. MM,4 ( e. m.. ) ( l. h. z) (. z) MM, pes ( l d). ( m.. z) ( d). m. MM,4 e. m.. l.. x MM, pes ( l d). m.. x MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël 7/3/

5 TD 5 corrié - PFS (modélisation par des torseurs écrits en colonne) Pae 5/ Donc : ( d). m. l. ( l d). m. T 4 e. m. T pes ( d). m. m. M M T Puis, on applique le PFS : SS X ( d). m. Z m. ( d). m. M, l. ( l d). m. MM, e. m. NM, X d. m. Z d. m. d.( l). m. M, l. d. m. MM, e. m. NM, ) Isolons {3}. ) Bilan des Actions Mécaniques xtérieures (BAM) sur {3}. - Action mécanique de sur 3 (pivot d axe ( Cz, ) ) - Action mécanique de sur 3 (sphère-plan de point de contact D et de normale z ) X 3 P,3 T 3 Y3 MP,3 T 3 Z P( C, z) 3 d. m.. m. P( D, z) es torseurs sont déjà écrits au point C. T Donc, on applique le PFS : SS X3 Y 3 d. m.. m. Z3 C,3 MC, 3 X3 Y 3 d. m.. m. Z3 C,3 MC, 3 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël 7/3/

6 TD 5 corrié - PFS (modélisation par des torseurs écrits en colonne) Pae 6/ Ainsi, en récapitulant tous les résultats, les actions mécaniques au niveau des liaisons sont modélisables par : A T 4 T 4 e. m. T 3 A e. m. ( d). m.. a. ( d). m. B T 4 T e. m. T 3 B e. m. ( d). m.. a. d.( l). m. d. m. M d. m.. m. C d. m.. m. P( D, z) Question 6 : Faire l application numérique. A T 4 T 4 5 T 3 A B T 4 T 5 T 3 B 85 M C 875 P( D, z) Corrié xercice : BRID HYDRAUIQU. Question : Repérer et colorier chaque classe d équivalence cinématique (CC) : MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël 7/3/

7 TD 5 corrié - PFS (modélisation par des torseurs écrits en colonne) Pae 7/ Question : Réaliser le raphe de structure, puis compléter le en vue d une étude de statique. Pièce (F=4N) Sphère-plan de point de contact I et de normale 7, 8, 9 () 4 ( z, ) (5),, (, ) (5),, 6, 3, 4, 5 Pivot lissant d axe ( I, ) (4) Fluide () Ressort 5 (connu) NB : Rioureusement, il ne faudrait pas faire ce raphe dans la position particulière du dessin. Ainsi les sphères-plans en I et J ne seraient plus suivant Question 3 : Donner la suite d isolement à effectuer pour pouvoir déterminer la pression p d alimentation du vérin de la bride hdraulique. Isoler {7, 8, 9} AM4 7 et AM 7 Isoler {4} AM 4 et AMfluide 4 Question 4 : Résoudre vos différents isolements, et exprimer p en fonction de l effort presseur F, de la ) Isolons {7, 8, 9}. raideur k et des dimensions du sstème. ) Bilan des Actions Mécaniques xtérieures (BAM) sur {7, 8, 9}. - Action mécanique de la pièce sur 8 (sphère-plan de point de contact J et de normale ) - Action mécanique de sur 7 (pivot d axe ( z, ) ) - Action mécanique de 4 sur 7 (sphère-plan de point de contact I et de normale ) pièce8 F P( J, ) 7 P, 7 T T 7 Y 7 MP, 7 T X Z P(, z) 7 Y P( I, ) On détermine les moments au point des torseurs à transporter : M, pièce8 MJ, pièce8 J Rpièce8 M,47 MI,47 I R47 M, pièce8 ( a. x?. ) F. M,47 ( b. x?. ) Y47. M, pièce8 a. F. z M,47 by. 47. z MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël 7/3/

8 TD 5 corrié - PFS (modélisation par des torseurs écrits en colonne) Pae 8/ Donc : 7,7 Tpièce8 F T7 Y7 M,7 T af. T Puis, on applique le PFS : X7 F Y 7 Y47 Z7, 7 M, 7 a. F by. 47 SS X Z 7 X7 Z7,7 M,7 af. Y4 7 b af. ( a b) Y7 F. F b b Y by ) Isolons {4}. ) Bilan des Actions Mécaniques xtérieures (BAM) sur {4}. - Action mécanique du fluide sur 4 - Action mécanique du ressort sur 4 - Action mécanique de sur 4 (pivot lissant d axe ( I, ) ) - Action mécanique de 7 sur 4 (sphère-plan de point de contact I et de normale ) T fluide4 ps. T ressort P( I, ) X 4 I,4 T 4 T 74 Z P( I, ) 4 I,4 N k.( ) 4 P( I, ) af. b P( I, ) On peut appliquer directement le PFS : point I. X4 af. p. S k.( ) b Z4 I,4 NI,4 T car les torseurs sont déjà tous écrits au même SS X4 Z4 I, 4 NI,4 af. k.( ) p b S Question 5 : n déduire la valeur minimale de la pression p permettant le respect du critère de la fonction FP. 3.4.( 6) 33 p,4 N / mm,4 MPa 4 bar.3 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël 7/3/

9 TD 5 corrié - PFS (modélisation par des torseurs écrits en colonne) Pae 9/ Corrié xercice 3 : BRID HYDRAUIQU AVC HYPOTHÈS PROBÈM PAN. Question : Réaliser le raphe de structure, puis compléter le en vue d une étude de statique. Pièce (F=4N) Sphère-plan de point de contact I et de normale ( z, ) () 7, 8, 9 4 (),, (, ) (),, 6, 3, 4, 5 Pivot lissant d axe ( I, ) () Fluide () Ressort 5 (connu) NB : Rioureusement, il ne faudrait pas faire ce raphe dans la position particulière du dessin. Ainsi les ponctuelles en I et J ne seraient plus suivant. Question 3 : Donner la suite d isolement à effectuer pour pouvoir déterminer la pression p d alimentation du vérin de la bride hdraulique. Isoler {7, 8, 9} AM4 7 et AM 7 Isoler {4} AM 4 et AMfluide 4 Question 4 : Résoudre vos différents isolements, et exprimer p en fonction de l effort presseur F, de la ) Isolons {7, 8, 9}. raideur k et des dimensions du sstème. ) Bilan des Actions Mécaniques xtérieures (BAM) sur {7, 8, 9}. - Action mécanique de la pièce sur 8 (sphère-plan de point de contact J et de normale ) - Action mécanique de sur 7 (pivot d axe ( z, ) ) - Action mécanique de 4 sur 7 (sphère-plan de point de contact I et de normale ) 3) Modélisables avec l hpothèse problème plan ( x, ) par : _ 7 Tpièce8 F _ T7 Y7 _ T _ P( J, ) X P(, z) _ Y P( I, ) On détermine les moments au point des torseurs à transporter : M, pièce8 MJ, pièce8 J Rpièce8 M,47 MI,47 I R47 M, pièce8 ( a. x?. ) F. M,47 ( b. x?. ) Y47. M, pièce8 a. F. z M,47 by. 47. z MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël 7/3/

10 TD 5 corrié - PFS (modélisation par des torseurs écrits en colonne) Pae / Donc : 7 Tpièce8 F _ T7 Y7 _ T af. T Puis, on applique le PFS : SS X X X7 7 af. F Y7 Y47 Y4 7 b a. F by. 47 af. ( a b) Y 7 F. F b b _ Y by ) Isolons {4}. ) Bilan des Actions Mécaniques xtérieures (BAM) sur {4}. - Action mécanique du fluide sur 4 - Action mécanique du ressort sur 4 - Action mécanique de sur 4 (pivot lissant d axe ( I, ) ) - Action mécanique de 7 sur 4 (sphère-plan de point de contact I et de normale ) 3) Modélisables avec l hpothèse problème plan ( x, ) par : _ T fluide4 ps. _ T ressort _ P( I, ) X 4 T 4 _ T 74 _ N P( I, ) I,4 k.( ) 4 P( I, ) _ af. _ b _ P( I, ) On peut appliquer directement le PFS : T car les torseurs sont déjà tous écrits au même SS point I. X4 X4 N I,4 af. p. S k.( ) af. k.( b ) p b NI,4 S Question 5 : Faire l application numérique. 3.4.( 6) 33 p,4 N / mm,4 MPa 4 bar.3 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Inénieur S. Génouël 7/3/