CH17 La bobine à noyau de fer alimentée en sinusoïdal

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1 BTS électrotechnique 1 ère année - Sciences physiques appliquées CH17 La bobine à noyau de fer alimentée en sinusoïdal Dimensionnement des circuits magnétiques Problématique : Après avoir construit une bobine à noyau de fer, on s aperçoit qu alimentée en sinusoïdal elle absorbe un courant non sinusoïdal. Pourquoi cette bobine est-elle non linéaire? Et comment faire pour palier à ce défaut lors de la conception? Enjeu : A1. ÉLECTRICITÉ GÉNÉRALE Rapport au programme : A1.2. Circuits en régime sinusoïdal (permanent, monophasé) Circuits magnétiques (bobine à noyau de fer : modèle équivalent) Objectifs : A l issue de la leçon, l étudiant doit : 17.1 Savoir donner la signification physique des éléments du schéma équivalent de la bobine à noyau de fer 17.2 Savoir donner la condition sur son circuit magnétique pour qu une bobine à noyau de fer soit linéaire Travail à effectuer : 1. En utilisant l annexe, réaliser la fiche résumée du chapitre. 2. Réponse à la problématique : On cherche à déterminer les caractéristiques permettant la construction d une inductance linéaire de 50mH faite pour fonctionner en alternatif sinusoïdal à la fréquence f=50hz et pouvant supporter un courant maximal de valeur efficace 10A. On négligera la résistance r de cette bobine (le modèle équivalent est une inductance pure) Cette inductance sera réalisée avec le circuit magnétique ci-dessus, dont la courbe d aimantation ne sature pas tant que le champ magnétique reste inférieur à 1,2T. La perméabilité du matériau relative dans lequel il est fabriqué vaut µ r =1500. On souhaite également ne pas dépasser 60 spires. 2.1 Qu implique le fait que la bobine doit être linéaire? Comment doit être la valeur du champ magnétique pour cela? 2.2 Calculer, la valeur efficace de la tension correspondant au maximum de courant efficace en considérant la bobine comme idéale (on se place au régime sinusoïdal) 2.3 En utilisant la relation V=4,44.N.B max.s.f, calculer la valeur minimale que doit prendre le produit NS. 2.4 En déduire la valeur minimale que doit prendre la valeur de la section du circuit magnétique.

2 2.5 Calculer la reluctance du circuit magnétique 2.6 En déduire la longueur de la ligne de champ moyenne du circuit magnétique 2.7 Calculer le volume du circuit magnétique ainsi constitué (V = l S). 2.8 Sachant que l acier utilisé (MOH) a une masse volumique ρ=5000kg/m 3 et qu il souffre de 0,5W/kg de pertes fer à 50Hz et à 1,2T, calculer la valeur des pertes fer maximale du circuit magnétique.

3 BTS électrotechnique 1 ère année - Sciences physiques appliquées Annexe du CH17 : La bobine à noyau de fer alimentée en sinusoïdal 1. Qu est-ce qu une bobine à noyau de fer? Une bobine à noyau de fer est un enroulement bobiné sur un circuit magnétique feuilleté (afin de réduire les pertes par courants de Foucault). Un transformateur à vide peut donc être vu comme une bobine à noyau de fer. e 2. Qu est-ce que la loi de Faraday? Lorsqu un circuit électrique est soumis à une variation de flux φ (que l on note avec une minuscule lorsqu il est variable), il apparaît une f.e.m. induite (tension) notée e aux bornes de celui-ci telle que : Une variation de flux peut apparaître lorsque le champ magnétique varie (transformateur), lorsqu un bobinage se déplace (machine à courant continu) ou lorsque le circuit est déformé. 3. Qu implique la loi de Lenz pour la bobine à noyau de fer? Si la bobine est alimentée par une tension sinusoïdale (donc variable) alors, selon la loi de Lenz, chaque spire de la bobine est le siège d une fem induite telle que (en convention générateur) : e spire = dφ(t) Remarque : comme pour les grandeurs électriques, on utilise la majuscule Φ pour le flux lorsqu il est constant (continu) et une minuscule φ lorsqu il est variable. La bobine comprenant N spires identiques est donc le siège d une fem induite totale e telle que : 4. Le champ magnétique est-il sinusoïdal? e = dφ e = N e spire = N dφ(t) Si on néglige la résistance r de la bobine, la loi des mailles s écrit : v(t) + e(t) = 0 (voir schéma cidessus) On obtient l expression de v(t) : v(t) = e = N dφ(t) On en déduit l expression de b(t) : v = N dφ(t) = N db(t)s Si la section S du circuit magnétique est constante, on peut la sortir de la dérivée : v(t) = NS db(t) On obtient : db(t) = 1 NS v(t)

4 On en déduit que b(t) est proportionnel à la primitive de u(t). Or u(t) = V 2sin (ωt) donc : b(t) = V 2 V 2 cos(ωt) = NSω NSω sin (ωt π 2 ) Le champ magnétique est donc sinusoïdal et sa valeur maximale vaut B max = V 2 généralement sous la forme : V = 4.44 N B max S f NS2πf que l on retient Cette dernière relation est très utilisée pour la conception des circuits magnétiques. En effet, à fréquence d utilisation constante et connue, c est un moyen très simple de calculer la section d un circuit magnétique nécessaire à l utilisation voulue, ou encore pour déterminer rapidement si un circuit magnétique est susceptible de saturer. 5. Le courant absorbé est-il sinusoïdal? Le théorème d Ampère nous donne : i(t) = h(t) l N Il faut distinguer le cas où le circuit magnétique est saturé de celui où il ne l est pas. Cas d un circuit magnétique linéaire (non saturé) : Ce sera le cas notamment si le circuit magnétique comprend un entrefer important. L excitation magnétique est alors proportionnelle au champ magnétique. Comme b(t) est sinusoïdal, h(t) et donc i(t) sont donc sinusoïdaux. On peut faire intervenir l inductance L constante de l enroulement tel que φ T = Li(t). v = N dφ(t) = dnφ(t) On retrouve l équation électrique d une bobine idéale : = dφ T(t) v(t) = L di(t) = dli(t)

5 Cas d un circuit magnétique saturé : b(t) et h(t) ne sont plus proportionnels. Pour connaître la forme d onde du courant il suffit de tracer h(t) (auquel i(t) est proportionnel) à partir de la forme d onde du champ magnétique est du cycle d hystérésis du matériau : Le courant i(t) est donc non sinusoïdal. Il est constitué d harmoniques impairs (symétrie de glissement) dont un important harmonique Quelle est la condition pour qu une bobine soit linéaire? Une bobine ne pourra être linéaire que si son circuit magnétique ne sature pas. 7. Comment déterminer un modèle équivalent sinusoïdal de la bobine à noyau de fer? Le courant dans la bobine étant non sinusoïdal, la représentation de Fresnel et la notation complexe ne sont pas utilisables. Pour simplifier les calculs on a élaboré un schéma équivalent de la bobine où tous les courants sont sinusoïdaux. Le courant sinusoïdal fictif absorbé est appelé courant sinusoïdal équivalent. Ce courant sinusoïdal équivalent vérifie les propriétés suivantes : La valeur efficace est égale à la valeur efficace du courant réel Le déphasage de i par rapport à u rend compte de l ensemble des pertes Joule dans la bobine et des pertes fer dans le circuit magnétique (par hystérésis et par courant de Foucault). Sur ce modèle on peut également prendre en compte les fuites magnétiques. En effet le matériau d un circuit magnétique ne canalise jamais l intégralité des lignes de champ (le circuit magnétique parfait n existe pas) : Une partie des lignes de champs est entièrement canalisée par le circuit magnétique : elle correspond au flux Φ m (flux magnétisant) L autre partie, correspondant au flux Φ f (flux de fuite) présente un trajet partiellement en dehors du circuit magnétique.

6 Le modèle linéaire équivalent de la bobine à noyau de fer est alors : V I eq R L f R f L m Avec : R : résistance équivalente aux pertes joules L f : inductance de fuite R f : résistance équivalente à l ensemble des pertes fer L m : inductance magnétisante

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