Feuille TD 1 : Probabilités discrètes, dénombrement

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1 Université de Nice-Sophia Antipolis -L2 MASS - Probabilités Feuille TD 1 : Probabilités discrètes, dénombrement Exercice 1 : 1. On doit choisir 2 représentants dans une classe de 40 élèves. Quel est le nombre de choix possibles? Les représentants jouent le même rôle, ils ne sont pas "ordonnés" : C On doit choisir un président et un vice-président dans un groupe de 40 personnes. Quel est le nombre de choix possibles? Il faut choisir 2 éléments parmi 40 et les ordonner :40 39 Exercice 2 : Un chef d'entreprise doit choisir 4 employés (les 4 postes sont similaires) parmi 16 candidats (9 femmes et 7 hommes). 1. Quel est le nombre de choix possibles? Choix de 4 parmi 16, non ordonnés : C Quel est le nombre de choix possibles si le chef d'entreprise veut : a) deux hommes et deux femmes. On choisit 2H parmi 7 et 2 F parmi 9 : C7C b) au moins un homme et au moins une femme. Possibilité 1 : 1H et 3F C7C ; possibilité 2 : 2H et 2F C7C ; possibilité 3 : 3H et 1F C3 7C9 1. On fait la somme des 3, la réponse est donc C7C C7C C7C Exercice 3 : 1. Lors d'une conférence de l'onu, des auditeurs de même nationalité s'assoient les uns à côté des autres; de combien de façon 3 français, 2 italiens, 6 américains et 2 chinois peuvent-ils prendre place sur une rangée de sièges? Il y a 4 nationalités à ordonner : 4! 2. Un acheteur doit faire immatriculer sa voiture. Les plaques d'immatriculation contiennent deux lettres distinctes suivies de trois chires et de deux lettres distinctes. Combien de plaques diérentes peut-on avoir? Exercice 4 Combien existe-t-il de mains diérentes au poker (donne de 5 cartes parmi 32) comportant : 1. Un brelan d'as (3 As). On doit choisir 3 as parmi 4, puis 2 cartes parmi les 28 restantes (la main contient un brelan d'as, mais pas un carré) : C 3 4C Un carré d'as (4 As). On prend les 4 as : une possibilité, puis 1 carte parmi les 28 restantes : Une paire d'as et une paire de rois. On choisit 2 roi parmi 4, puis 2 as parmi 4, puis 1 carte parmi les 24 restantes : C 2 4C Une suite A, R, D, V, 10 quelles que soient les couleurs. On a 4 choix pour chaque carte : Un carré. On choisit la valeur du carré : 8 choix; puis une carte parmi les 28 restantes : Au moins deux As. On choisit 2 as parmi 4; puis 3 cartes parmi les 30 cartes restantes (cette fois-ci, on garde les 2 as non choisis au début parmi les choix possibles, puisqu'on accepte les mains avec 3 ou 4 as) : C 2 4 C 3 30.

2 Boite 1 Boite 2 Boite 3 Boite 12 Boite 13 Figure 1: Ici p = 13 et n = 13, et la séquence du nombre de boules par boîte est 0, 1, 0, 3, 2, 2, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 0. Il y a n 1 segments verticaux. Exercice 5 De combien de façon peut-on ranger p boules (indiscernables) dans n cases numérotées? (Avec p n.) Question dicile. Représentons les p boules sur une droite, et notons les séparations entre boîtes avec des segments verticaux, voir gure. Chaque rangement de boules dans les cases correspond à une conguration de boules et de segments verticaux. Il faut donc compter le nombre de façon de disposer p boules et n 1 segments verticaux; autrement dit, il faut compter le nombre de façon de disposer n 1 segments parmi n+p 1 emplacements. Il y a donc C n 1 n+p 1 possibilités. Vérication avec 2 cases et 2 boules : il y a 3 possibilités (2 0, 1 1, 0 2), et C n 1 n+p 1 = C 1 3 = 3. Même question avec des boules numérotées. Si les boules sont numérotées, elles sont discernables; la boule 1 a donc n possibilités, la boule 2 aussi, etc... Tous ces rangements seront diférents. Il y a donc p n possibilités. Exercice 6 Etant donnés deux entiers n et k positifs, k n 1, montrer la relation du triangle de Pascal (on essaiera de donner deux preuves diérentes) : C k n + C k+1 n = C k+1 n+1. Preuve combinatoire : on isole un élément parmi les n + 1, noté a. Pour choisir k + 1 éléments parmi les n+1, on peut : prendre a, et choisir k éléments parmi les n restants Cn k possibilités; ou ne pas prendre a, et choisir k + 1 éléments parmi les n restants Cn k+1 possibilités. D'où la relation. Preuve calculatoire : on écrit les factorielles... Que peut-on dire si k = n? Cn k+1 = 0 dans ce cas. Pour k n, montrer la relation d'absorption kcn k = nc k 1 nc k 1 n 1 = En déduire la valeur de n k=0 kck n. n 1. n(n 1)! (n k)!(k 1)! = k n! (n k)!k! = kck n kcn k = n k=0 k=1 C k 1 n 1 = n2 n 1 Exercice 7 Quelle est la probabilité qu'en jetant six dés équilibrés et discernables (par exemple par la couleur), toutes les faces exhibent un chire diérent?

3 Tous les résultats sont équiprobables. Nombre de cas favorables : 6!; nombre de cas possibles : 6 6. Donc la réponse est 6!/6 6. Exercice 8 Quelles sont les probabilités que, parmi les familles de n enfants, n 2, une famille (i) soit constituée d'enfants des deux sexes (événement A)? (ii) soit constituée de garçons et d'au plus une lle (événement B)?. Calculer la probabilité de A B. Nombre de congurations familiales possibles : 2 n (chaque enfant est garcon ou lle); nombre de congurations unisexes : 2 (que des garcons, ou que des lles). nombre de congurations correspondant à A : 2 n 2. Donc P(A) = n 1 Nombre de congurations correspondant à B : 1 (que des garcons) + n (1 lle et n 1 garcons; il faut choisir le rang de la lle dans la fratrie) = n + 1. Donc P(B) = n n Nombre de congurations correspondant à A B =n (1 lle et n 1 garcons). Donc P(A B) = n 2 n Exercice 9 Une urne contient M jetons numérotés de 1 à M. On tire successivement n jetons en remettant chaque fois le jeton tiré et en brassant bien. Donner la probabilité qu'aucun jeton ne soit tiré plus d'une fois. Il y a M n tirages possibles (M possibilité pour chacun des n tirages). On compte le nombre de tirages où aucun jeton n'est tiré plus d'une fois : c'est le nombre de choix de n éléments ordonnés parmi M. Donc la proba cherchée est p M,n = M(M 1)... (M n + 1) M n Application : un groupe de n étudiants sont réunis dans une même salle. Quelle est la probabilité qu'au moins deux étudiants aient leur anniversaire le même jour (On suppose qu'aucun n'est né le 29 février et que n est inférieur à 365). C'est la situation précédente avec M = 365 et n jetons tirés. La proba cherchée est donc 1 p M,n Exercice 10 Des tickets au nombre de M sont édités et numérotés de 1 à M. Pour simplier, on suppose que les n premiers (avec 2n M) sont gagnants. (Naturellement, les acheteurs ne le savent pas.) Quelle est la probabilité que n billets pris au hasard en contiennent au moins un gagnant? On va calculer la proba que les n billets pris au hasard sont tous perdants. Le nombre de tirages possibles de ces billets est le nombre de choix de n éléments parmi M n (il y a M n billets perdants) : CM n n. Le nombre total de tirages possibles est le nombre de choix de n éléments parmi M : CM n. Donc la proba pour que les n billets soient tous perdants est (M n)! (M n)!n! (M 2n)!n! M! = [(M n)!]2 M!(M 2n)!

4 Exercice 11 : Démontrer la formule de Poincaré : probabilité ni (Ω, P), ( n P i=1 A i ) = étant donnés n événements A 1,..., A n d'un espace de ( 1) l 1 l=1 1 i 1 < <i l n ( l P j=1 A ij ). Application : un facteur distrait distribue le courrier au hasard dans une rue comptant n numéros. En supposant qu'il dépose exactement une lettre par habitation et que, sur les n distribuées au total, une et une seule soit destinée à une habitation donnée, quelle est la probabilité que personne ne reçoive de lettre lui ayant été explicitement adressée? Exercice dicile Cas n = 2 : la formule sécrit : P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A 1 A 2 ) C'est donc exactement la formule du cours pour la proba d'une union. Cas n = 3 : on peut faire une gure avec des "patates" pour les ensembles; on écrit A 1 A 2 A 3 = (A 1 A 2 ) A 3, et on utilise la formule pour n = 2 : P((A 1 A 2 ) A 3 ) = P(A 1 A 2 ) + P(A 3 ) P((A 1 A 2 ) A 3 ) On utilise encore la formule pour n = 2 pour le premier terme, et pour le 3e on remarque que (A 1 A 2 ) A 3 = (A 1 A 3 ) (A 2 A 3 ) (faire une gure si besoin) : P((A 1 A 2 ) A 3 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A 1 A 2 ) + P(A 3 ) P((A 1 A 3 ) (A 2 A 3 )) On utilise encore une fois la formule pour n = 2 pour ce dernier terme : P((A 1 A 2 ) A 3 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A 1 A 2 ) + P(A 3 ) P(A 1 A 3 ) P(A 2 A 3 ) +P(A 1 A 2 A 3 ) C'est la formule cherchée. Cas général : on procède par récurrence... Application : on note A i l'événement "la maison i reçoit sa lettre". Nombre de distributions possibles = nombre de permutations à n éléments : n!; nombre de distributions favorables = nombre de façons de distribuer n lettres, en distribuant la lettre i à la maison i; donc il reste n 1 lettre à répartir dans les n 1 autres maisons, on obtient (n 1)!. Donc P(A i ) = (n 1)!/n! = 1/n. De même, pour A i1... A ik, le nombre de distributions favorables est le nombre de façons de distribuer n lettres, en distribuant la lettre i 1 à la maison i 1,..., la lettre i k à la maison i k ; donc il reste n k lettre à répartir dans les n k autres maisons, on obtient (n k)!. Donc P(A i1... A ik ) = (n k)!/n!. L'événement A 1... A n est l'événement "au moins une maison reçoit sa lettre. Donc la proba de l'événement "aucune maison ne reçoit sa lettre est 1 P(A 1... A n )

5 Or par la formule de Poincaré P(A 1... A n ) = i P(A i ) i<j P(A i A j ) + i<j<k P(A i A j A k )... Le nombre de termes dans la première somme est n; dans la 2e somme, c'est le nombre de paires d'indices possibles, donc c'est Cn 2 ; dans la 3e somme, c'est C3 n, et ainsi de suite. Donc P(A 1... A n ) = Cn 1 1 n (n 2)! C2 n + C 3 (n 3)! n n! n! = 1 1 2! + 1 3!... Notons que cette quantité tend vers 1 1/e quand n tend vers l'inni. La proba qu'aucune maison ne reçoive sa lettre tend donc vers 1/e.