OSCILLATIONS ÉLECTRIQUES LIBRES DANS UN CIRCUIT RLC SÉRIE

Transcription

1 HAPITRE P9 OSILLATIONS ÉLETRIQUES LIBRES DANS UN IRUIT RL SÉRIE Introduction I) OSILLATIONS LIBRES AMORTIES : DIPÔLE RL I.1. Montage I.2. Résultats expérimentaux I.2.a. Pseudooscillations et pseudopériode I.2.b. Influence de R sur l amortissement des oscillations I.2.c. Influence de L et de sur la pseudopériode I.3. Interprétation I.3.a. Analogie mécanique I.3.b. Échange d énergie entre le condensateur et la bobine II) OSILLATIONS LIBRES NON AMORTIES : DIPÔLE L II.1. Étude théorique II.1.a. ircuit II.1.b. Équation différentielle du dipôle L II.1.c. Solution de l équation différentielle II.1.d. Équation i=g(t) II.2.Aspect énergétique Introduction : On a vu précédemment : qu un condensateur emmagasine, au cours de sa charge, de l énergie électrique, qu il restitue au cours de sa décharge qu une bobine parcourue par un courant emmagasine de l énergie qu elle restitue à l ouverture du circuit. Que se passetil quand on associe en série un condensateur et une bobine? hap. P9 1/5

2 I) OSILLATIONS LIBRES AMORTIES : DIPÔLE RL I.1. Montage i GBF f = 100 Hz L = 22 mh et = 5 nf 0 R 10 kω R critique = 2. L 4 kω boite de résistances boite d inductances Y A 1 V.div 1 50 µs.div 1 boite de condensateur s I.2. Résultats expérimentaux I.2.a. Pseudooscillations et pseudopériode O scillations pse udopé riodique s amortie s L = 22 mh = 5 nf R = 100 ² t ( µ s ) T 60 µs Dans un circuit RL série, on observe des oscillations libres pseudopériodiques amorties : la charge et la décharge du condensateur sont oscillantes. L amplitude des oscillations diminue Les oscillations sont dites pseudopériodiques On définit alors une pseudopériode T I.2.b. Influence de R sur l amortissement des oscillations Influence de R sur l'amortissement D é charge apé riodique 6,0 0 5,0 0 L = 2 2 m H = 5 n F R = o h m s 6,0 0 5,0 0 L = 2 2 m H = 5 n F R = o h m s 4,0 0 4,0 0 3,0 0 2,0 0 3,0 0 1,0 0 0,0 0 1, ,0 0 1,0 0 t ( µ s ) 2,0 0 3,0 0 0, L amortissement des oscillations augmente quand la résistance augmente. Mais la pseudopériode n est pas modifiée tant que R n est pas trop grande. Si R est très grande, il n y a plus d oscillation : la décharge du condensateur est apériodique. hap. P9 2/5

3 I.2.c. Influence de L et de sur la pseudopériode Influe nce de L sur la pse udopé riode u c ( v ) L = 6 8 m H = 5 n F R = o h m s Influence de sur la pseudopériode u c ( V ) L = 2 2 m H = 1 0 n F R = o h m s La pseudopériode des oscillations est proportionnelle à L T = k L L et n ont aucune influence sur l amortissement. et I.3. Interprétation I.3.a. Analogie mécanique On a vu l année dernière en mécanique que pour un système isolé, l énergie mécanique est conservée. On a vu qu il y avait, pour un système isolé, un échange d énergie entre l énergie potentielle de pesanteur et l énergie cinétique. Dans le cas où le système n est pas isolé (à cause des frottements par exemple), l énergie mécanique du système diminue (et l énergie de l extérieur augmente). I.3.b. Échange d énergie dans un circuit RL Échange d énergie entre le condensateur et la bobine : il y a des pertes d énergie par effet Joule dans R donc les oscillations s amortissent. Régime apériodique si R est trop grande, les pertes d énergie par effet Joule sont très grandes et le système n oscille même plus. Régime périodique si la résistance du circuit est nulle, les pertes par effet Joule sont nulles, et le circuit oscille sans amortissement alors les oscillations sont périodiques sinusoïdales. Pour réaliser cela, il faut un dispositif d entretien des oscillations, qui compense les pertes par effet Joule dans R. hap. P9 3/5

4 II) OSILLATIONS LIBRES NON AMORTIES : DIPÔLE L II.1. Étude théorique du dipôle L II.1.a. ircuit Un condensateur est chargé sous la tension U max. Il se décharge alors dans une bobine d inductance L et de résistance r = 0. onditions initiales : à t = 0, (u ) t = 0 = U max et i 0 =0 i u L u L II.1.b. Équation différentielle À chaque instant t, la loi d additivité des tensions dans le circuit série s écrit : (1) expressions des tensions : u =. et u L = ( r = 0 ) dq Or : i = dt donc di d²q = = q && et q && = u && dt d où u L =.. dt² Alors l équation (1) implique. soit : 1 ü. u =0 L équation différentielle du 2 ème ordre II.1.c. Solution de l équation différentielle Équation de la forme : y" ω 2 0 y = 0 avec ω2 0 = 1 L Solution de la forme : u (t) = U max cos ( ω 0 t ϕ ) avec : U max = ( u ) t=0 ω 0 = pulsation propre (en rad.s 1 ) ϕ = phase initiale (en rad) U max et ϕ sont des constantes définies par les conditions initiales ette solution correspond à des oscillations sinusoïdales non amorties de période 2 π propre T 0 avec T 0 = = 2 π L., T 0 en seconde, L en henry et en farad ω0 Analyse dimensionnelle de T 0 : pour le dipôle R : τ = R donc [ ] = pour le dipôle RL : τ = L donc [ L ] =.. R donc pour la période des oscillations : [ T 0 ] 2 = [ L ]. [ ] = conclusion : T 0 a bien les dimensions d un temps. hap. P9 4/5

5 Exercice : L = 22 mh = 5 nf U max = E = 4V et à t = 0, u 0 = 4 V = U max alculer T 0 et donner l expression de u ( t ) i(t) = dq dt =. II.1.d. Équation i = g(t) du dt donc i(t) =.U max.ω 0.sin(ω 0 t ϕ) ou encore i(t) = q max. ω 0.sin(ω 0 t ϕ) II.2. Aspect énergétique Si R r = 0, alors E = ½ u 2 ½ L i 2 et E est constante À t = 0, i = 0 donc E = ½ U² max Quand u = 0, alors i=i max et E = ½ Li² max Étant donné que E est constante, on en déduit que ½ Li² max = ½ U² max Il y a transfert d énergie entre la bobine et le condensateur, sans perte d énergie. hap. P9 5/5