CH. PIV.1 : INTRODUCTION A L OPTIQUE GEOMETRIQUE LOIS DE DESCARTES ET FORMATION DES IMAGES

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1 CH. PIV.1 : INTRODUCTION A L OPTIQUE GEOMETRIQUE LOIS DE DESCARTES ET FORMATION DES IMAGES QUESTIONS DE COURS VERS LA COLLE 1. Applications 1 ; 2 et 3 2. Lois de Descartes. 3. Réfraction limite et réflexion totale. 4. Images et objets réels et virtuels, images et objets à l infini. 5. Stigmatisme et aplanétisme rigoureux et approchés ; relations de conjugaison. Cas du miroir plan. ERREURS CLASSIQUES ET CONSEILS UTILES 1. Les angles de réfaction et de réflexion sont toujours définis par rapport à la normale au dioptre. Lire attentivement l énoncé pour définir le dioptre (un dioptre eau-air est différent d un dioptre air-eau). 2. Les angles sont, sauf rares indications contraires, des angles orientés ; orientation parfois précisée dans l énoncé qu il faut alors respecter. Si aucune directive n est donnée, il faut définir une convention d orientation. 3. Faire SYSTEMATIQUEMENT un SCHEMA pour débuter l exercice, notamment pour introduire le dioptre intervenant, les angles, l orientation. 4. Attention à bien simplifier les calculs, en particulier en utilisant la relation 1 = sin 2 + cos 2. A SAVOIR FAIRE Application 1 : Figures de diffraction en TP * ou ** 1) De manière générale, quand dit-on qu il y a diffraction? 2) Une fente fine de TP de hauteur b 2 cm, de largeur a 0,1 mm, est éclairée sous incidence nulle par un faisceau lumineux de longueur d onde 0,5 µm. Faire un dessin et expliquer le phénomène observé. Dans quelle direction angulaire 0 est essentiellement envoyée la lumière? Quelle est alors la largeur de la tâche de diffraction sur un écran placé à une distance D = 1 m du plan de la fente? 3) On reprend l expérience avec une ouverture circulaire de diamètre d ; qu observe-t-on? Dans quelle direction angulaire 0 est essentiellement envoyée la lumière? Quelle est l importance pratique des ouvertures circulaires? 4) On s intéresse à présent à un laser He-Ne ( = 632,8 nm) qui éclaire une fente fine de largeur a variable. a) Pour quelle valeur de a la tâche centrale de diffraction observée sur un écran placé à la distance D = 1,50 m de la fente vaut-elle 100a, critère pour une diffraction importante et bien visible? Comparer alors a à. b) Expliquer qualitativement pourquoi un cheveu et une fente donnent la même figure de diffraction. c) Un cheveu placé dans le même faisceau donne, toujours à D = 1,50 m, une tâche centrale de largeur x = 3,8 cm ; que peut-on en déduire? Application 2 : Comme un poisson dans l eau * ou ** Un bassin cylindrique d un rayon de 2 m et de profondeur 1 m est totalement rempli d eau. Au fond et au centre du bassin se trouve un petit poisson rouge. En se plaçant à la verticale du poisson, sa vision du monde extérieur se fait dans un disque lumineux. Expliquer l existence de ce disque et établir son rayon. Application 3 : utilisation d un prisme * ou ** Dans de nombreux instruments d optique, on utilise des prismes de verre dans le but de dévier des faisceaux lumineux. Montrer que l on peut réaliser un renvoi à 90 par réflexion totale avec le prisme isocèle PIV : Optique Chapitre 1 : Lois de Descartes et formation des images Sonia Najid Lycée Corneille MPSI

2 ci-contre. A.N. : n = 1,50. EXERCICES I) Vrai ou Faux? * 1) Le spectre de la lumière du Soleil est continu. 2) Le Soleil est une source primaire de lumière. 3) La lumière du Soleil et celle d un laser peuvent être considérées comme monochromatiques. 4) Une lumière monochromatique de longueur d onde dans le vide = 5 mm est visible par l œil humain. 5) L indice optique d un MHTI dépend de la fréquence de la lumière qui le traverse. 6) Lors du phénomène de réflexion, la direction du rayon réfléchi dépend de la longueur d onde de la lumière. 7) Lorsque la lumière se propage vers un milieu plus réfringent, le rayon réfracté s écarte de la normale au dioptre. 8) Un objet se trouve au fond d une piscine. Tous les rayons lumineux qu il diffuse sont visibles par un observateur situé au bord de la piscine. 9) Un miroir plan est un système optique rigoureusement stigmatique. 10) Le foyer principal image F d un système optique centré est l image par ce système du foyer principal objet F. 1) Vrai. 2) Vrai. 3) Faux, celle du laser est polychromatique! il s agit à l inverse d une source de lumière dans laquelle sont présentes l ensemble des longueurs d onde du visible. 4) Faux : domaine des longueurs d onde visibles : environ 400 à 800 nm. 5) Vrai : l indice optique dépend a priori de la longueur d onde, donc de la fréquence, et ce de manière plus ou moins marquée selon que le milieu est plus ou moins dispersif. Les MHTI vérifient généralement la loi de Cauchy. 6) Faux : selon la 1 ère loi de Descartes, l angle du rayon réfléchi est égal en valeur absolue à l angle du rayon incident, et ce quelle que soit la longueur d onde ou l indice optique. 7) Faux : il se rapproche de la normale au dioptre, et s en écarte au passage dans un milieu moins réfringent. 8) Faux : il peut y avoir un phénomène de réflexion totale, car il s agit du passage de la lumière d un milieu réfringent à un milieu moins réfringent. 9) Vrai. 10) Faux : F est l image par le système d un objet situé à l infini, sur l axe optique. II) Loi de Cauchy * On donne les valeurs de l indice n d un milieu pour différentes valeurs de λ 0, longueur d onde dans le vide : λ 0 (nm) 404,7 435,8 546,1 632,8 Indice n 1,546 1,542 1,533 1,529 La loi de Cauchy est une loi empirique qui relie les valeurs de n et de λ 0 : n = A + B λ ) Donner la dimension des 2 coefficients A et B. 2) Montrer graphiquement que les valeurs du tableau vérifient la loi de Cauchy. 3) Déterminer alors les coefficients correspondants. 4) Rechercher la couleur correspondant à chacune des longueurs d onde du tableau. III) Méthode de Poggendorff de mesure des petits angles * Soit un système mécanique dont on veut déterminer le mouvement, auquel est accolé un miroir plan solidaire de ses mouvements. Le miroir est éclairé par une source de lumière telle que les rayons lumineux arrivent perpendiculairement au miroir. Considérons que ce miroir subisse une rotation d un petit angle. De que angle s écarte alors le rayon de sa position initiale? Simulation : IV) Le prisme (d après véto 2004) * ou ** Simulation : PIV : Optique Chapitre 1 : Lois de Descartes et formation des images Sonia Najid Lycée Corneille MPSI

3 Un prisme est constitué de 2 dioptres non parallèles. On note A l angle entre ces 2 dioptres (souvent de l ordre de 60 ), et n l indice du prisme (placé dans l air en général) ; n est de l ordre de 1,5 à 1,8. On étudie une radiation monochromatique, se propageant dans le plan normal au prisme. Son angle d incidence est i, le 1 er angle de réflexion est r, l angle d incidence sur la 2 ème face r et l angle d émergence i. Tous ces angles sont définis dans l intervalle [0, 90 ]. 1) Montrer que les lois de la réfraction impliquent : sini = n sinr et sini = nsinr. 2) Montrer que la géométrie du prisme impose : A = r + r et D = i + i A (D est l angle dont a été dévié le rayon incident lors du passage par le prisme). 3) Montrer que D passe par un minimum D m lorsque i varie entre 0 et π/2. 4) a) Quel principe de l optique géométrique permet de montrer que le minimum de déviation est obtenu pour i m = i m? expliciter clairement le raisonnement tenu. b) En déduire l expression littérale de r m uniquement en fonction de A, r m étant la valeur de r obtenue lorsque la déviation D est minimale. c) Montrer en fin que pour la déviation minimale D m on a : À la déviation minimale, le rayon interne est parallèle à la base du prisme, et l émergent est symétrique de l incident par rapport au plan de symétrie du prisme. Notons que D m augmente lorsque diminue (d après la loi de Cauchy-Rayleigh) : un prisme peut donc servir de spectroscope. V) Observation d une épingle dans l eau * ou ** Un bouchon de liège, de forme cylindrique, de rayon R et d épaisseur très faible flotte sur l eau. Une épingle de longueur a, enfoncée au centre du bouchon, est immergée dans l eau. 1) Quelle est la longueur minimale a 0 pour que la tête de l épingle soit visible par un observateur placé dans l air? 2) On suppose a > a 0. Montrer que les rayons diffusés par la tête de l épingle et sortant de l eau ont une inclinaison dans l air comprise entre deux valeurs que l on déterminera. Données : n(eau) = 1,33 ; R = 10 cm et a = 10 cm. Dm A sin A Dm A r r ; i i et n A sin 2 VI) Apparition ** ou *** Essayez cette expérience par vous-même : Prenez deux tasses opaques identiques et placez au fond de chacune d entre elles une pièce de monnaie en leur centre (les positions des pièces doivent être identiques!). Remplissez l une des deux tasses d eau, et observez l ensemble sous un angle tel que la pièce placée dans la tasse vide ne soit plus visible. Justifier l observation et donner un ordre de grandeur du rapport hauteur/diamètre pour réaliser ce tour de magie. VII) Arc en ciel *** Un rayon lumineux monochromatique de longueur d onde pénètre dans une goutte d eau de forme sphérique, de centre O et d indice n. Le rayon subit une réflexion puis une réfraction avant de ressortir. 1) Calculer la déviation D en fonction de i et r. 2) Montrer que D passe par un extremum D m pour un certain angle i m. A.N.) n = 1,33 ; calculer i m et D m. S agit-il d un minimum ou d un maximum? 3) On suppose que plusieurs rayons parallèles pénètrent la goutte d eau en différents endroits. Expliquer pourquoi un œil recevant les rayons réfractés voit une intensité importante dans la direction correspondant à la déviation D m. PIV : Optique Chapitre 1 : Lois de Descartes et formation des images Sonia Najid Lycée Corneille MPSI

4 4) On admet que D m est une fonction décroissante de la longueur d onde. On considère maintenant que le rayon n est pas monochromatique mais qu il contient toutes les longueurs d onde visibles. En tenant compte du phénomène de dispersion par l eau, préciser à l aide d un schéma ce que verra l observateur. Rép. : 2) im = 59,6 et Dm = 138 VIII) Lame à faces parallèles ** ou *** Une lame à faces parallèles a une épaisseur e et un indice optique n, ses deux faces étant baignées par l air. Un objet ponctuel situé en A donne à travers la lame une image A dans les conditions de Gauss. Exprimer la distance AA en fonction de e et n. Calculer le déplacement latéral, c est à dire la distance entre les rayons incident AI et émergent JV. (rappel : pour i << 1, on a cos i 1 et sin i i). IX) Résolution de problème : Miroir ** Préciser la taille minimale du miroir ainsi que ses conditions d accrochage pour que la personne puisse se voir des pieds à la tête. X) Quelques questions pratiques ** 1) En optique la diffraction des objets de taille macroscopique (lentille, prisme ) est-elle visible? Quelle théorie s applique alors parfaitement? 2) Estimer en minutes d arc la divergence d un faisceau laser, d environ 1 mm de diamètre, liée à la diffraction (l angle d ouverture que fait le faisceau par rapport à son axe) ; commenter. Quelle est la taille de ce faisceau de 1 mm de diamètre au départ de la Terre lorsqu il arrive sur la Lune distante de 3, km? 3) La longueur d onde de la diode laser utilisée dans un lecteur CD ou dans une imprimante laser est comprise entre 770 et 810 nm ; à quelle «couleur» correspond cette plage de fréquences? Quel est l avantage des diodes bleues utilisées dans les blu ray sur les diodes rouges usuelles quant à la lecture d informations contenues sur des DVD? A SAVOIR L essentiel 1. Quels sont les rayons visibles correspondant aux plus petites longueurs d onde? aux plus petits indices optiques? 2. Citer différentes sources de lumière en indiquant la nature de leur spectre. 3. Définir un milieu homogène transparent isotrope (MHTI). 4. Définir l indice optique d un milieu MHTI. Un milieu peut-il avoir un indice n < 1? n < 0? n > 1? qu est-ce qu un milieu non dispersif? Que valent les indices optiques de l air, de l eau, du verre? Qu est-ce qu un milieu plus réfringent qu un autre? 5. Enoncer les différentes approximations et lois fondamentales utilisées dans le cadre de l optique géométrique. 6. Énoncer les lois de la propagation dans un MHTI. De quel principe peuvent-elles se déduire? 7. Définir les notions de dioptre, plan d incidence, rayons réfléchis et réfractés. 8. Enoncer les lois de Descartes pour la réflexion et la réfraction à la surface d un dioptre entre 2 milieux d indices n1 et n2. 9. Expliquer les phénomènes de réfraction limite et de réflexion totale en indiquant les conditions dans lesquelles ils se produisent. Citer des applications de ces phénomènes. 10. Définir et reconnaitre des objets et images réels et virtuels, un objet à l infini. Comment caractériser la taille d un objet? 11. Citer quelques récepteurs de lumière ; à quelle grandeur sont-ils sensibles? 12. Qu est-ce qu un système optique centré? Conséquences? 13. Qu appelle-t-on stigmatisme et aplanétisme pour un système optique? Dans quelles conditions (conditions de Gauss) un système est-il stigmatique et aplanétique de façon approchée? Qu est-ce qu une relation de conjugaison? 14. Connaître la relation de conjugaison du miroir plan. 15. Connaître l énoncé, la mise en pratique et les conséquences de l approximation de Gauss pour l optique géométrique. 16. Savoir définir les notions de foyers et de plans focaux objet et image. Le reste PIV : Optique Chapitre 1 : Lois de Descartes et formation des images Sonia Najid Lycée Corneille MPSI

5 17. Donner la loi de Cauchy-Rayleigh. 18. Savoir déterminer qualitativement la marche d un rayon lumineux se propageant dans un milieu d indice variable. PIV : Optique Chapitre 1 : Lois de Descartes et formation des images Sonia Najid Lycée Corneille MPSI