Concours Centrale-Supélec /12

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1 Problème - type centrale Partie - Couplage des phénomènes de conduction thermique et électrique en régime linéaire. Étude d un réfrigérateur à effet Peltier Le but de cette partie est de montrer que, dans certaines circonstances expérimentales, le passage d un courant électrique (c est-à-dire un flux de charges) peut donner lieu à un flux thermique (sans rapport avec l effet Joule), et qu inversement, l établissement d un gradient de température peut provoquer l apparition d un courant électrique ou d une différence de potentiel : c est ce qu on appelle les effets thermoélectriques. Une application importante d un de ces effets, l effet Peltier, est la réfrigération de circuits électroniques ou optoélectroniques. Les trois sous-parties.a,.b et.c sont très largement indépendantes..a - orces thermodynamiques.a.1) Cas de la conduction thermique pure Soit un barreau cylindrique homogène et isotrope, d axe Ox, de section Σ, parcouru par un flux thermique parallèlement à son axe. On donne la conductivité thermique λ du milieu, supposée constante. On se place en régime stationnaire. On suppose le problème unidimensionnel ; on note T( x) la température en un point du barreau, d abscisse x. Soit jq = j q ( x)e x le vecteur densité de courant thermique au sein du milieu. a) Comment faire expérimentalement pour que le problème soit bien unidimensionnel? Montrer que est uniforme dans le barreau. b) Montrer que l entropie échangée par la tranche comprise entre les sections d abscisses x et x+ dx avec l extérieur entre les instants t et t+ dt vaut : δs e = j q j q Σdt. T( x) T( x+ dx) En déduire que l entropie créée par unité de temps et de volume de matériau s écrit : d σ j q dx T = = j q --- T Quelle est la dimension de σ du signe de σ?? Quel en est le sens physique? Que peut-on dire L entropie créée par unité de temps et de volume σ s écrit donc : σ = jq ϕ q avec ϕ q = 1. T --- j q ϕ q est la «force thermodynamique» de conduction thermique. Concours Centrale-Supélec /12

2 c) Le barreau a pour longueur L = 10 cm, et est constitué de cuivre, de conductivité thermique λ = 400 W. m 1 K 1. Ses extrémités sont maintenues aux températures T( x = 0) = 293K et T( x = L) = 273K. Calculer numériquement au milieu du barreau..a.2) Cas de la conduction électrique pure. Le même barreau est maintenant parcouru par un courant électrique de vecteur densité de courant je = j e ( x)e x supposé uniforme sur une section droite du barreau (comme précédemment, on suppose le problème unidimensionnel). On donne la conductivité électrique γ du milieu supposée uniforme. On se place en régime stationnaire. On note E = E( x)e x le champ électrique dans le conducteur et V( x) le potentiel électrostatique. La température T est supposée uniforme au sein du barreau. a) Montrer que est uniforme dans tout le conducteur. b) Calculer la puissance cédée par le champ E à la tranche de conducteur comprise entre les sections d abscisses x et x+ dx. En déduire l expression de σ, entropie créée par unité de temps et de volume. c) Mettre σ sous la forme σ = je ϕ e où V ϕ e = T est la force thermodynamique de conduction électrique. d) Le barreau conducteur est parcouru par un courant de 100mA ; sa section vaut Σ = 1mm 2. l est constitué de cuivre de conductivité électrique γ = 59, 10 7 Ω 1 m 1. La température du barreau vaut T = 293K. Calculer numériquement σ. j e Lorsque le milieu est simultanément le siège de phénomènes de conduction électrique et de conduction thermique, on admet que l entropie créée par unité de temps et de volume de matériau s écrit : σ j q 1 T --- V = + j e T On parle alors de couplage thermoélectrique. l est à noter que ce résultat est absolument non trivial, contrairement à ce que l on pourrait penser..b - Théorie de la réponse linéaire d Onsager σ À l équilibre thermodynamique, les vecteurs densités de courant jq et je sont nuls ; la température T et le potentiel V sont uniformes et constants dans le temps ; les forces thermodynamiques ϕ q 1 et T --- V = ϕ e = T sont donc nulles à l équilibre. Concours Centrale-Supélec /12

3 Pour qu il y ait transport de chaleur ou de charges, il faut donc être horséquilibre : les forces thermodynamiques ϕ q et ϕ e ne sont alors plus nulles. Si l on n est pas trop loin de l équilibre, les densités de courant jq et je dépendent linéairement des forces thermodynamiques ϕ q et ϕ e selon les relations phénoménologiques : jq = L qq ϕ q + L qe ϕ e et je = L eq ϕ q + L ee ϕ e, avec la relation dite d Onsager L qe = L eq. Les coefficients L qq, L ee, et L qe sont des coefficients phénoménologiques. Ceci constitue la théorie de la réponse linéaire mise au point par le physicien norvégien Lars Onsager en 1931, Prix Nobel de chimie en On se propose dans cette partie de calculer les coefficients d Onsager en fonction des données expérimentales dont on dispose sur le milieu étudié : sa conductivité thermique λ ; sa conductivité électrique γ ; son pouvoir thermoélectrique ε défini à courant électrique nul (c est-à-dire pour je = 0 ) par la relation V = ε T..B.1) Citer et énoncer au moins une loi phénoménologique linéaire figurant à votre programme..b.2) a) En vous plaçant dans le cas d un champ de température uniforme, exprimer L ee en fonction de γ et T. b) En vous plaçant à courant électrique nul, donner une relation entre ε, L qe, L ee, T d une part, et une relation liant ε, λ, L qq, L ee et T, d autre part. c) En déduire l expression de jq et je en fonction de λ, ε, γ, T, T et V. En déduire finalement la relation : jq = λ T + εt je. (4) Commenter. On supposera cette relation valable dans toute la suite. Source froide C 1 C 2 Source chaude T C.B.3) Effet Peltier. On considère un «module à effet Peltier» constitué comme suit (figure 1) : deux barreaux cylindriques semi-conducteurs n et p sont reliés d une part à une source froide de température par l intermédiaire d une plaque métallique (dont la température vaut ), et d autre part à une source chaude de température T C, par l intermédiaire de deux conducteurs dénommés C 1 et C 2 ; les jonctions n et p sont à la température ; les jonctions Concours Centrale-Supélec /12 n igure 1 p

4 C 1 n et p C 2 sont toutes deux à la température T C. Les parois latérales des deux barreaux semi-conducteurs sont supposées adiabatiques. On suppose le problème unidimensionnel au sein de chaque barreau. L ensemble est parcouru par un courant électrique permanent délivré par un générateur. On note ε n et ε p les pouvoirs thermoélectriques des semi-conducteurs n et p. a) On ne s intéresse pour le moment qu au terme εt je de l équation (4). Montrer que la puissance algébriquement reçue par la source froide par l intermédiaire des deux jonctions n et p s écrit : P P = ( ε n ε p ). Le passage du courant du semi-conducteur n au semi-conducteur p, les deux jonctions n et p étant à la même température, provoque donc un transfert thermique : c est l effet Peltier. On appellera P P «puissance thermique Peltier» algébriquement fournie à la source froide. b) On suppose ε n ε p < 0. Quel est le rôle de l élément à effet Peltier précédemment étudié? Que se passe-t-il si l on inverse le sens du courant? Quel cas vous semble le plus intéressant sur le plan pratique?.c - Étude d un réfrigérateur à effet Peltier On souhaite réaliser, à l aide du module à effet Peltier de la figure 1, un réfrigérateur. On suppose négligeable la résistance électrique de la plaque. Les hypothèses de stationnarité et de géométrie unidimensionnelle sont conservées..c.1) On néglige, pour le moment, l effet Joule (conductivité électrique grande) ainsi que les pertes par conduction thermique dans les semi-conducteurs n et p (conductivité thermique faible) ; cela implique notamment la relation : jq = εt je au sein de chaque semi-conducteur, au voisinage des jonctions. a) Calculer la puissance thermique Peltier fournie à la source chaude. En déduire la puissance électrique P e fournie par le générateur au module à effet Peltier en fonction de ε n, ε p,, T C et. b) On donne les valeurs numériques suivantes : ε p = 200µV K 1 ; ε = 190 µv K 1 ; T = 273K ; T = 293K et = 5 A. n C P P P e Calculer numériquement et. c) Montrer que le module à effet Peltier se comporte comme un générateur de tension continue dont on précisera la force électromotrice U ainsi que la résistance interne r ; représenter son schéma électrique équivalent. Calculer numériquement U. P P C Concours Centrale-Supélec /12

5 d) Définir et évaluer l efficacité e de ce réfrigérateur. Comparer e à l efficacité d un réfrigérateur fonctionnant suivant un cycle de Carnot entre les températures et T C. Comment pouvez-vous qualifier le fonctionnement du module dans le cadre du modèle proposé? n p γ γ.c.2) On tient maintenant compte de l effet Joule et de la conduction thermique dans les deux barreaux semi-conducteurs. On note λ n et λ p les conductivités thermiques (supposées indépendantes de la température) des semiconducteurs et ; et leurs conductivités électriques (également indépendantes de la température) ; Σ n p leur section, et L leur longueur. On suppose momentanément que les pouvoirs thermoélectriques ε n et ε p dépendent de la température. a) On considère ici le barreau semi-conducteur de type n. Son axe est l axe Ox ; la jonction C 1 n a pour abscisse x = 0 et la jonction n a pour abscisse x = L. En effectuant un bilan d énergie sur la tranche comprise entre les sections d abscisses x et x+ dx, montrer, en utilisant notamment l équation (4), que la température T( x) au sein dudit barreau vérifie l équation différentielle : b) Dans le domaine des températures envisagées, on peut raisonnablement considérer ε n comme indépendant de la température. Déterminer le champ de température T( x) dans le barreau semi-conducteur de type n. En déduire que la puissance thermique autre que la puissance Peltier fournie à la source froide par l intermédiaire de la jonction n s écrit : λ P n Σ 1 L n = ( T. L C ) γ n Σ c) dentifier chacun des termes de l expression trouvée et en donner le sens physique..c.3) d 2 T λ n dx 2 -- dε n T( x) dt = Σ dt dx γ n Σ 2 2 a) On suppose également le pouvoir thermoélectrique ε p indépendant de la température. Déduire de ce qui précède la puissance totale P fournie à la source froide (puissance Peltier comprise). On pourra poser : L R Σ = et G =. Σ --- ( λ L n + λ p ) γ n γ p b) Que représentent les grandeurs R et G? Commenter les expressions de R et G. c) On donne les valeurs numériques suivantes : γ n = 71, 10 4 Ω 1 m 1 ; Concours Centrale-Supélec /12

6 γ p = 8, Ω 1 m 1 ; λ n = 1, 25W m 1 K 1 ; λ p = 1, 15W m 1 K 1 ; L = 5mm et Σ = 25mm 2. Calculer numériquement R et G. Quelles précautions doit-on prendre concernant les jonctions et les soudures des fils d alimentation? d) Calculer numériquement P pour = 5 A et T C = 293K dans les deux cas suivants : = 273K et = 253K. Commenter. Au vu des valeurs numériques calculées, discuter la validité des deux approximations faites à la question.c.1. e) Déterminer la température minimale min que permet d atteindre le réfrigérateur, en fonction du courant et de la température T C. Application numérique pour = 5 A et T C = 293K..C.4) a) Donner l expression de la puissance totale fournie à la source chaude. En déduire l expression de la puissance électrique fournie par le générateur au module à effet Peltier. Calculer numériquement P e pour T C = 293K, = 273K et = 5 A. b) Que vaut l efficacité e du réfrigérateur à effet Peltier dans les mêmes conditions expérimentales? Comparer les résultats à ceux de la question.c.1-d. Quelles sont ici les causes d irréversibilité dans le fonctionnement du réfrigérateur? c) Donner le schéma électrique équivalent du module à effet Peltier et préciser les valeurs de sa force électromotrice U et de sa résistance interne r. Comparer ces résultats aux valeurs trouvées en.c.1-c..c.5) On souhaite obtenir une puissance de réfrigération de 50W pour = 273K, T C = 293K et = 5 A. Combien de modules faut-il utiliser? Comment doit-on les assembler? Comment qualifieriez-vous le montage du point de vue électrique? du point de vue thermique? N P CPe Concours Centrale-Supélec /12