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1 Année universitaire Diplôme de D.A.E.U Option A 1 ère session Juin 2014 Intitulé de la matière : Nom de l enseignant : Mathématiques Mme Baulon Date de l épreuve : Mercredi 11 juin Matériel autorisé : Calculatrice électronique de poche, y compris calculatrices programmables, alphanumériques ou à écran graphique, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu il ne soit pas fait usage d imprimante. Nature de l épreuve : Epreuve écrite Le sujet est composé de 6 pages dont une annexe à rendre avec la copie. Formulaire Probabilité conditionnelle : Si P(A) 0, la probabilité conditionnelle de l événement B sachant que l événement A p(a B) est réalisé, notée p A (B) ou p(b/a), est définie par p(b/a) =. p(a) L événement contraire de l événement A est noté A. Loi binomiale : Dans un schéma de n épreuves de Bernoulli de paramètre p, la variable aléatoire X qui prend pour valeur le nombre de succès obtenus a pour loi de probabilité : P(X = k) = n k pk (1 p) n k pour tout entier k tel que 0 k n Suites géométriques : (u n ) est une suite géométrique de premier terme u 0 IR et de raison q IR*, pour tout n IN, u n + 1 = qu n et u n = q n u 0. Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction e u est dérivable sur I et (e u ) = u e u. Page 1 sur 6

2 Exercice 1 (5 points) La courbe C ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur ]O ; + [. On note f la fonction dérivée de f. La courbe C passe par les points A(e ; 0) et B(1 ; -1). La courbe C admet une tangente parallèle à l axe des abscisses au point d abscisse 1 et la tangente au point d abscisse e passe par le point D(0 ; - e). 1. Déterminer une équation de la droite (DA). Aucune justification n est exigée pour les réponses à la question Par lectures graphiques : a. Déterminer f(1) et f (1). b. Dresser le tableau de signe de f sur ]0 ; 5]. c. Dresser le tableau de signe de f sur ]0 ; 5]. d. Soit F une primitive de f sur ]0 ; + [. Déterminer les variations de F sur ]0 ; 5] e. Encadrer par deux entiers consécutifs l aire (en unités d aire) du domaine délimité par l axe des abscisses, la courbe C et les droites d équation x = 4 et x = 5. Page 2 sur 6

3 Exercice 2 (5 points) L opérateur téléphonique Boomtel propose à ses abonnés deux types d accès internet à haut débit : Un accès internet sur ligne fixe ; Un accès 3G sur téléphone portable. Aujourd hui, l entreprise fait les constats suivants sur l accès internet à haut débit de ses abonnés : 58% des abonnés ont un accès internet sur ligne fixe. Parmi ceux-là, 24% ont également un accès 3G sur téléphone portable ; Parmi les abonnés qui n ont pas d accès internet sur ligne fixe, 13% ont un accès 3G sur téléphone portable. Pour une enquête de satisfaction, la fiche d un abonné est prélevée au hasard. Dans cet exercice, on note : F l événement : «la fiche est celle d un abonné qui a un accès internet sur ligne fixe» ; G l événement : «la fiche est celle d un abonné qui a un accès 3G sur téléphone portable». 1. En utilisant les données de l énoncé, préciser les valeurs de p(f), de p(g/f) et de p(g/ F ). 2. Construire un arbre de probabilité traduisant la situation. 3. Calculer p(f G ). Interpréter ce résultat. 4. (a) Vérifier que la probabilité que la fiche prélevée soit celle d un abonné qui n a pas d accès 3G sur téléphone portable est de 0,8062. (b) Peut-on affirmer qu au moins 25% des abonnés ont un accès 3G sur téléphone portable? 5. On prélève successivement les fiches de dix abonnés. On admet que le nombre de fiches est suffisamment grand pour qu on puisse assimiler le tirage à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de fiches correspondant à un abonné ayant un accès 3 G sur téléphone portable. (a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. (b) Calculer la probabilité qu exactement cinq des fiches tirées soient celles d un abonné qui a un accès 3G sur téléphone portable (on donnera le résultat sous forme décimale arrondie aux dix-millièmes). Page 3 sur 6

4 Exercice 3 (5 points) On s intéresse à la production mensuelle d une certaine catégorie d articles par une entreprise E. On sait que le nombre d articles produits par mois est compris entre 0 et 500. On suppose que le coût total, exprimé en milliers d euros, peut être modélisé par la fonction C T définie sur l intervalle [ 0 ; 5 ] par : C T (x) = 2x 2 +x e -2x+3 où x représente le nombre de centaines d articles fabriqués. 1. On sait que la fonction coût marginal, notée C, est la dérivée de la fonction C T sur [0 ; 5]. Justifier que C(x) = 4x + (1-2x) e -2x La fonction coût moyen, notée C M est la fonction définie sur ] 0 ; 5 ] par : C M (x) = C T(x) x Donner une expression de C M (x) en fonction de x. 3. a. Déterminer C M (x), où C M désigne la fonction dérivée de C M. b. Résoudre dans IR l équation : 1- e -2x+3 = 0. c. Résoudre dans IR l inéquation : 1- e -2x+3 > 0. d. En déduire le sens de variations de C M sur ] 0 ; 5 ]. 4. Pour quelle production l entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût en euros? 5. Chaque centaine d articles est vendue La recette totale pour x centaines d articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par R T (x) = 7x en milliers d euros. Le bénéfice est donc défini par B(x) = R T (x) - C T (x). a. En annexe, sont représentées les fonctions C T et R T. Par lecture graphique, déterminer : l intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu il y ait un bénéfice positif de l entreprise E, la production pour laquelle le bénéfice est maximal. On fera apparaître les constructions nécessaires. b. Avec l aide de votre calculatrice, affiner l intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production x pour qu il y ait un bénéfice positif de l entreprise E. Page 4 sur 6

5 Exercice 4 (5 points) Soit (u n ) la suite numérique définie par u 0 = 300 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,75 u n Utiliser les droites d'équations y = x et y = 0,75 x pour construire les quatre premiers termes de la suite (u n ). Cette construction est à faire sur le graphique de l'annexe. Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite (u n )? 2. Soit (v n ) la suite définie, pour tout entier naturel n par v n = u n 800. a. Démontrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b. Exprimer alors v n, en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = ,75 n. c. La suite (u n ) est-elle convergente? 3. Une salle de spectacle propose un abonnement pour l'année. En 2010, il y avait 300 abonnés. On estime que chaque année, il y a 200 nouveaux abonnés et que d'une année sur l'autre, 75 % des abonnés renouvellent leur abonnement. On note un le nombre d'abonnés pour l'année n. On a donc u 0 = 300 et u n + 1 = 0,75 u n a. À partir de quelle année, le nombre d'abonnés sera supérieur à 790? b. Dans ces conditions, est-il possible pour le gérant de la salle de spectacle d'espérer abonnés? Page 5 sur 6

6 Annexe (à rendre avec la copie) Exercice 3 35 y Courbe Ct Courbe Rt x Exercice 4 Page 6 sur 6