Ecriture formelle Système de numération : les principes de groupement et de position Ce qu est un système de numération Sur le plan de la REPRESENTATION des nombres, on s est vite rendu compte de la difficulté 1 d associer à chaque nombre un symbole 0 1 2.etc ou a l inverse, de répéter un signe unique pour représenter un nombre I II III IIII IIIII. 2 de leur donner un nom Ces obstacles ont obligé les diverses civilisations d autrefois à combiner les nombres et les symboles pour désigner des nombres supérieurs Exemple chez les Romains : XXIV =X +X+(V-I )=24 Règle : Un petit chiffre précédant un plus grand que lui est soustrait en priorité, ensuite tout chiffre est additionné au suivant UN SYSTEME DE NUMERATION EST UN ENSEMBLE DE SYMBOLES ET DE REGLES PERMETTANT D ECRIRE ET DE NOMMER LES NOMBRES Pour des raisons d économie de noms et de symboles, les systèmes les plus efficaces sont ceux qui reposent sur des REGROUPEMENTS en un certain nombre d éléments, toujours le même. Ce nombre est appelé BASE de numération. Les chiffres qui indiquent le nombre de différents groupements obtenus sont placés les uns à côté des autres dans un ordre bien précis Ce mode de regroupement où chaque chiffre prend une valeur différente selon la place qu il occupe s appelle SYSTEME DE NUMERATION DE POSITION Tous les systèmes de numération ne se valent pas. Chantal Marchal Chargée d exercices 1
Il y en a de plus pratiques et de moins pratiques. remarque Une petite incursion dans le système japonais de numération nous apprend qu ils écrivent : 327 trois cent deux dix sept. 3027 trois mille deux dix sept Leur système nécessite des symboles inexistants chez nous pour désigner les puissances de dix La différence essentielle avec notre système de numération est l absence du zéro Il leur est impossible de distinguer 327 et 3027 sans les signes «dix» «cent» et «mille» Le ZERO symbolise l absence d un rang et constitue une caractéristique importante dans un système de numération de POSITION Système décimal Notre système de numération en base dix repose sur deux mécanismes élémentaires : 1 le mécanisme de groupement 2 le mécanisme de position Le mécanisme de groupement veut dire que 10 unités d un rang sont toujours regroupées en une unité du rang supérieur. Le mécanisme de position veut, lui, que ce soit la place d un chiffre dans un nombre qui lui confère sa valeur. NB : Le rang occupé par un chiffre dans la représentation d un nombre naturel est la place, comptée à partir de la droite, occupée par ce chiffre dans la série des puissances successives de 10. Exemple : 8352, le chiffre 5 occupe le second rang. 3027=(3x10 3 )+ (0x10 2 ) + (2x10 1 ) + (7x10 0 ) Système binaire Est le système de numération en base deux Il ne comprend que les chiffres 0 et1,indiquant l absence ou la présence d une unité à un RANG Commentaires La richesse d un système de numération positionnel avec base c est de permettre de : 1 décoder un nombre 108 signifie en base dix, un groupement de dix au carré et huit unités. Le zéro est important car il indique qu il n y a pas d unité au rang des bases :108 18 2 comparer deux nombres 201 > 189 car le premier possède deux groupements de cent tandis que le second n en a qu un. Chantal Marchal Chargée d exercices 2
3 Intercaler des nombres non entiers : entre 920 et921 par exemple on a : 920,1 (un dixième d unité en plus) 920,02 (deux centième d unités en plus) Remarque Le système romain ne permet pas, lui, d intercaler des nombres entre XIV et XV par exemple, ou encore rend difficile les opérations ( il suffit pour s en convaincre d essayer de résoudre par écrit XVII x XXIV ) D autres systèmes de numération ont étés utilisés jadis. Voici du plus ancien au plus récent : Le système babylonien Le système égyptien Le système phénicien Le système grec Le système hébreux Le système romain ; vers la même époque, les Celtes utilisent un système de numération qui repose sur la base vingt. Ce système influence encore les noms des nombres(quatre-vingttrois) Ce n est qu au 6 ième siècle après J.-C. que l on trouve dans un traité hindou,écrit en sanscrit, les premières traces d un système de numération en tout point semblable au nôtre, c est à - dire qui repose sur l existence d une base unique, la base dix, ainsi que sur le principe de position grâce notamment à l emploi du chiffre zéro. C est ce système qui est considéré comme le précurseur de notre système de numération. Le système des mayas Le système des arabes de Bagdad On peut se poser la question suivante : Quelles sont les raisons qui ont poussé au choix d une base dix, et non d une base deux ou d une base trente par exemple? L inconvénient d une petite base, c est un très grand nombre de regroupements, ce qui simplifie le système mais alourdit l écriture Par exemple, 1110010110111 représente en base deux le nombre 7351 Par contre, une grande base nécessite un grand nombre de symboles(trente en base trente) La base dix l a probablement emporté en raison du nombre de doigts des deux mains! Exercices de calcul dans le système binaire : Exercice 1 : Les nombres peuvent être convertis d une base à l autre. Voyons le cas où l une des bases est la base dix. Deux méthodes : a) L expression de nombre comme somme des puissances de la base employée. b) La réduction. Chantal Marchal Chargée d exercices 3
Exemple : a) 23 = 16 + 7 = 16 + 4 + 3 = 16 + 4 + 2 + 1 donc 23 (base dix) = 10111 (base deux) b) Pour transformer 234 (base dix) en un nombre de base sept : diviser par 7 (nouvelle base) jusqu à ce que le quotient soit zéro et le nombre recherché (base sept) est donné par les restes successifs lus en remontant. Cela donne 234 0 33 3 4 5 0 4 Ensuite lecture de bas en haut, ce qui donne 453 Donc 234 (base dix) c est 453 (base sept). NB : Pour revenir au système décimal, on peut employer le procédé inverse de l une à l autre méthode. Exercice 2 : Donner l écriture en binaire du nombre 170 (base dix). Réponse : 170 0 85 1 42 0 21 1 10 0 5 1 2 0 1 1 Ensuite, lecture de bas en haut d où 10101010 Exercice 3 : Exercice d addition en système binaire : NB : Même principe qu en système décimal mais avec un report à 2. Exemple : 1100 (12) + 1110 (6) 10010 (18) Exercice 4 : a) Donner l écriture binaire de 12 : réponse : 1100 de 13 : réponse : 1101 b) Si en binaire le nombre est 110, donner son écriture en décimal. Réponse : 0x2 0 + 1x2 1 + 1x2 2 = 0 + 2 + 4 = 6 Chantal Marchal Chargée d exercices 4
c) Quelle est la particularité des nombres pairs dans le système binaire? Réponse : ils se terminent par un zéro. d) Comment multiplie t- on par 2 dans le système binaire? Réponse : on ajoute un zéro à droite (car chaque puissance de 2 est multipliée par 2 d où on décale tout d un rang vers la gauche). Nombre pair/nombre impair/nombre premier Un nombre entier quelconque est dit PAIR ssi on peut l exprimer sous la forme 2n «n» étant un nombre entier quelconque Un nombre entier qui ne remplit pas la condition voulue pour être pair est IMPAIR Remarque : un nombre entier est impair ssi on peut l exprimer sous la forme 2n+1 Voyons : 7=2.3 + 1 11=2.5 + 1 tout nombre impair est un nombre entier supérieur exactement d une unité, à un nombre entier pair. Exercices : Si a est pair alors a 2 est pair En effet : Soit a=2x a 2 =(2x) 2 = 4x 2 =2(2x 2 ) =2y Si a est impair alors a 2 est impair En effet : Soit a=2x+1 a 2 = (2x+1) 2 = 4x 2 + 4x + 1 =2 (2x 2 +2x ) + 1 =2 z + 1 indice suite : u 1,u 2,,u n-1, u n,u n+1,.. succession illimitée de nombres l indice n indique le rang du nombre u n dans cette suite le terme x n est appelé le n-ième terme ou encore le terme général x n-1 désigne son précédent tandis que x n+1 désigne son suivant une suite peut se définir par son terme général par exemple, la suite dont le terme général est «n/n+1» est la suite 1/2, 2/3,3/4, 4/5, 5/6 Chantal Marchal Chargée d exercices 5
Suites particulières : Suite arithmétique / Suite géométrique Suite arithmétique :chaque terme est obtenu à partir du précédent par addition d un nombre constant appelé raison de la suite ( r ) Suite géométrique : chaque terme est obtenu à partir du précédent par multiplication par un nombre constant appelé raison de la suite ( q ) NB : dans les deux, il y a donc un élément initial ( a ) NOTATION du terme général : Suite arithmétique : u n = a + n. r Suite géométrique : u n = a. q n-1 Exercices Ecrire le 5 ième terme, le 75 ième terme, le terme de rang k, le terme de rang (k+1), le terme de rang (k+6) d une suite Ecrire des suites dont le terme de rang n est : 4n 5n 2n-1 n(n+1) Les différentes catégories de nombres En particulier. 9 Les fractions Les rationnels Fractions équivalentes a Une fraction est un symbole --- a, b et b 0 b 4/6 2/3 6/9 8/12 constituent des symboles différents MAIS sont EQUIVALENTES 4/6 représente 4 des 6 parts égales d un objet quelconque 4/6 = 2/3. 2/2 on divise chacune des trois parts égales en deux et on en prend deux fois plus 6/9 = 2/3. 3/3 8/12 = 2/3. 4/4 théorème : a/b et c/d sont équivalentes ssi a.d = b.c Chantal Marchal Chargée d exercices 6
ex : 20/24 et 30/36 sont équivalentes car NB : 20/24. 3/3 = 60/72 30/36. 2/2 = 60/72 réduction au même dénominateur 20x36 = 24x30 Factorielle On appelle «factorielle m», dont le symbole est «m!», le produit de m par tous les nombres entiers qui lui sont inférieurs. Exercices : 6! = 6.5.4.3.2.1 9! = 9. 8! 9! = 9. 8. 7! Jouons avec les indices : n! = n. (n-1)! (n+1)! = (n+1). n! Chantal Marchal Chargée d exercices 7