Manuel d Utilisateur - Logiciel ModAFi Jonathan ANJOU - Maud EYZAT - Kévin NAVARRO Grenoble, 12 juin 2012
Table des matières 1 Introduction 3 2 Modèles supportés 3 2.1 Les diérents modèles supportés pour la simulation................ 4 2.2 Les diérents modèles supportés pour le pricing.................. 7 3 Fenêtre Principale du logiciel 9 4 Ajouter, modier, supprimer un taux 12 5 Ajouter, modier ou supprimer un sous-jacent 13 6 Ajouter, modier ou supprimer un produit dérivé 15 7 Simulation 17 8 Exporter 19 9 Enregistrer, ouvrir un chier, nouvel univers 19 10 Corrélation 20 11 Raccourcis clavier 21 Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 2/21
1 Introduction ModAFI est un logiciel permettant de simuler des cours d'actifs nanciers suivant diérents modèles mathématiques. Il permet d'éditer des actifs simples, des taux, et des produits dérivés portant sur des actifs simples ou des taux, et également d'évaluer le prix de certains actifs (tels que les swap, les obligations couponnées et les spot sur le marché Forex). ModAFi a pour but de devenir un module d'une plateforme de trading modélisant un marché nancier. A l'heure actuelle, les diérents types de modèle implémentés pour la simulation sont : le mouvement brownien standard le mouvement brownien avec dérive le mouvement brownien géométrique (pour des actifs simples, ou versant des dividendes xes ou proportionnels) le modèle de Vasicek le processus de Poisson le modèle de merton le modèle de Kou & Wang les options vanilles dans le modèle de Black Scholes les options portants sur des actifs simples versant des dividendes (xes ou proportionnels) les zéros-coupons dans un modèle de taux de Vasicek les taux actuariels dans un modèle de taux de Vasicek Les produits pouvant être évalués sont : les obligations versant des coupons les swap de taux les basis swap les swap de devises les variations de marge sur le marché Forex au comptant Les résultats des simulations peuvent être visualisés sur des graphiques et des tableaux tandis que les résultats d'évaluation des prix peuvent être uniquement visualisés dans les tableaux de la page d'accueil. Les résultats des simulations peuvent être enregistrés sous forme d'image (EMF,PNG, GIF,JPEG, TIFF ou Bitmap) et être exportés au format CSV et XML, alors que les résultats des évaluations peuvent seulement être exportés au format XML.. Ce logiciel peut être déployé sur Microsoft Windows XP, Microsoft Windows Vista et Microsoft Windows Seven. Il fonctionne sur des systèmes 32-bits et 64-bits. 2 Modèles supportés On liste dans la suite les formules utilisées par l'application ainsi que leurs paramètres tels qu'ils sont demandés dans l'interface. Pour simuler les cours selon les probabilités historiques ou risque neutre, il faut ajuster ces paramètres en conséquence. Il est donc supposé une certaine connaissance des modèles du logiciel de la part de l'utilisateur an de ne pas rentrer des paramètres erronés pouvant donner des résultats abérrants. Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 3/21
2.1 Les diérents modèles supportés pour la simulation Le mouvement brownien standard : S t = S 0 + W t S 0 est le spot W t est un mouvement brownien standard Le mouvement brownien avec dérive : S t = S 0 + µ t + σ W t S 0 est le spot µ est la tendance σ est la volatilité W t est un mouvement brownien standard Le mouvement brownien géométrique : σ2 (µ S t = S 0 e 2 )Wt+µ t S 0 est le spot µ est la tendance σ est la volatilité W t est un mouvement brownien standard Le mouvement brownien géométrique avec dividende proportionnels : S t = S 0 (1 p) n(t) e σwt+µt W t est un mouvement brownien géométrique n(t) représente le nombre de dividendes versés depuis l'instant 0 à l'instant t, ainsi, dans notre modélisation, n(t) vaut f loor(t/t ) Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 4/21
Le mouvement brownien géométrique avec dividendes constants σ2 (µ S t = S 0 e 2 )Wt+µ t n(t) D W t est un mouvement brownien n(t) représente le nombre de dividendes versés depuis l'instant 0 à l'instant t, ainsi, dans notre modélisation, n(t) vaut f loor(t/t ) Le modèle de Vasicek : σ2 (ν S t = S 0 e 2 )t+σwt S 0 est le spot en zéro σ est la volatilité a et b sont les paramètres du modèle de Vasicek W t est un mouvement brownien Le processus de Poisson : S t = S 0 + k 1 1 T k t S 0 est le spot en zéro (T k T k 1 suit une loi Exp(λ) Le modèle de Merton S t = S 0 exp((ν σ2 2 )t + σw t + N t i=1 (ln(1 + Y i)) S 0 est le spot en zéro σ est la volatilité ν est la tendance ln(1 + Y i ) suit N(ln(1 + m) α 2 /2, α 2 ) m :moyenne des sauts, α : variance, Le modèle de Kou et Wang : S t = S 0 exp((ν σ2 2 )t + σw t + N t i=1 (ln(1 + Y i)) Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 5/21
S 0 est le spot en zéro σ est la volatilité ν est la tendance ln(1 + Y i ) suit p exp(λ 1 ) + (1 p) exp(λ 2 ) p, λ 1, λ 2 sont à fournir Call et Put dans le modèle de Black Scholes (le sous jacent suit un mouvement brownien géométrique) Le prix d'un call est : C(t) = S 0 N(d 1 (T t), S t e r(t t), K) K e r(t t) N(d 2 (T t, S t e r(t t), K)) Le prix d'un put est : P (t) = S 0 N(d 1 (T t), S t e r(t t), K) + K e r(t t) N(d 2 (T t, S t e r(t t), K)) S est le prix du sous jacent à l'instant considéré K est le prix d'exercice de l'option (strike) r est le taux d'intérêt du marché, supposé constant T est la maturité de l'option à l'instant considéré d 1 (t, S, K) = 1 ln( S ) σ σt 1/2 K 2 t1/2 d 2 (t, S, K) = d 1 (t, S, K) + σt 1/2 Cette formule est également utilisée dans le cas de versement de dividendes xes ou proportionnels, seul le cours du sous jacent est modié. Le zéro coupon (modèle de Vasicek) 1 exp( a(t t)) S t = exp( (R (T t) (R r t ) + σ2 (1 exp( a(t t))) 2 ) a 4a 3 T est la maturité a : a du sous jacent σ volatilité du sous jacent R = b σ2 2a 2 Taux actuariel (modèle de Vasicek) 1 exp( a(t t)) S t = R (T t) (R r t ) + σ2 (1 exp( at )) 2 ) at 4a 3 T est la maturité Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 6/21
a : a du sous jacent σ volatilité du sous jacent R = b σ2 2a 2 2.2 Les diérents modèles supportés pour l'évaluation des prix Les obligations couponnées S t = m j>t ( pv (1+tauxZC(j)) j t ) + V (1+tauxZC(m)) m t tauxzc(j) représente le taux zéro coupon au moment du versement du coupon j V est la valeur de l'emprunt m est la maturité de l'obligation p est la proportion de la valeur de l'emprunt versée sous forme de coupons Les swap Swap de taux d'intérêt Détermination du taux xe : T F = 1 e r f t f i ((T F.N(i))e r i t i) T F le taux xe annuel N(i) la fraction d'année entre les paiements du taux xe r i le taux zéro coupon aux temps de paiement t i le temps des paiements (en fraction d'année) Détermination de la valeur du swap : V swap = B fix B var B fix = i (K F e r i t i ) + L.e r f t f B var = (L + K V )e r t Basis swap V swap = B var1 B var2 Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 7/21
B var1 représente la valeur de l'obligation variable indexée sur le premier taux variable B var2 représente la valeur de l'obligation variable indexée sur le deuxième taux variable Les valeurs de B var1 et B var2 sont données par la même formule que B var Swap de devises V swap = B D S 0.B E B D = i (K D e m D t i ) + L.e m D t f B E = i (K E e m E t i ) + L.e m E t f avec i représentant les diérents instants de paiement de la jambe domestique, K D = L D T F D N le paiement de la jambe domestique, L D le nominal du contrat swap en devise domestique, T F D le taux xe annuel concernant l'obligation domestique, N la fraction d'annee séparant deux paiements de la jambe domestique, m D le taux de marché du pays dont la devise est la devise domestique et t i le temps des paiements de la jambe domestique (en fraction d'année) Les variations de marge sur le marché Forex P rix pip = pip tauxinvest V tauxconvert pip est la plus petite variation possible du taux tauxinvest est le taux de change dans lequel on a investi tauxconvert est le taux de change de la devise dans laquelle on a investi en la devise du compte V est la valeur investie Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 8/21
3 Fenêtre Principale du logiciel Ecran d'accueil de ModAFi L'écran principal comporte un univers composé de taux, de sous jacents simples (divisé en deux catégories : ceux simulés, et les obligations qui sont pricées), de produits dérivés (divisé également en deux catégories, les options qui sont simulées et les swap et spot forex qui sont pricés), d'une interface de simulation où l'on peut entrer les paramètres de la simulation, et d'un graphique pour acher les résultats des simulations. Les résultats de l'évaluation sont mis dans les tableaux. Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 9/21
Ecran d'accueil détaillé Dans la capture d'écran précédente, les parties entouré en rouge représentent les actifs simulés, celles en vert les actifs pricés. Les parties entourées en jaune correspondent au pricing. Les onglets Graphique de simulation et Tableau permettent de visualiser les résultats de la simulation dans un graphique plus grand et dans un tableau de données. Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 10/21
Graphique de simulation en plein écran Tableau de simulation Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 11/21
L'onglet Taux du marché permet d'acher les taux que nous avons utilisé pour nos diérentes évaluations. Courbes de taux du marché 4 Ajouter, modier, supprimer un taux Pour créer un taux, cliquez sur Nouveau taux dans l'onglet Univers. Un formulaire s'ouvre alors : sélectionnez le type de taux à simuler, ainsi que le modèle mathématique pour celui-ci, et remplissez les paramètres demandés. Deux actifs quelconques ne peuvent avoir le même nom. Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 12/21
Formulaire création de taux Une fois créé, le nouveau taux s'ache dans le tableau des taux. Taux ajouté à l'univers Vous pouvez modier ses paramètres ou le supprimer en double cliquant sur sa ligne dans le tableau. 5 Ajouter, modier ou supprimer un sous-jacent Pour créer un sous-jacent, cliquez sur Nouveau sous-jacent dans l'onglet Univers. Un formulaire s'ouvre alors : sélectionnez le type de sous-jacent à simuler, ainsi que le modèle mathématique pour celui-ci, et remplissez les paramètres demandés. Deux actifs quelconques ne peuvent avoir le même nom. Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 13/21
Formulaire création de sous-jacent Si il s'agit d'un zéro coupon et que le taux sur lequel repose celui ci n'a pas été préalablement créé, cliquez sur Créer un taux. Un formulaire apparaît alors pour créer ce taux, qui sera ajouté à l'univers. Une fois créé, le nouveau sous-jacent s'ache dans le tableau des sous-jacents. Si il s'agit d'une obligation couponnée, il s'ache dans le tableau des obligations couponnées, avec dans la dernière colonne son prix à l'instant présent. Sous-jacent ajouté à l'univers Vous pouvez modier ses paramètres ou le supprimer en double cliquant sur sa ligne dans le tableau. Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 14/21
L'ajout d'une obligation couponnée se fait de même, il faut juste rajouter la date d'émission de l'obligation. Formulaire création d'obligation couponnée De même, une fois l'obligation couponnée ajoutée à l'univers, on peut la modier en double cliquant sur sa ligne. Obligation couponnée ajoutée à l'univers 6 Ajouter, modier ou supprimer un produit dérivé Pour créer un produit dérivé, cliquez sur Nouveau produit dérivé dans la section Produit dérivé. Un formulaire s'ouvre alors : sélectionnez le type de l'actif, remplissez les paramètres demandés Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 15/21
et choisissez son sous-jacent (si il n'a pas était préalablement créé, cliquez sur Créer un sousjacent). Un formulaire apparaît pour créer ce sous-jacent qui sera ajouté automatiquement à l'univers. Les compatibilités entre le produit dérivé et les sous-jacents utilisables sont automatiquement vériées. Formulaire de création de produit dérivé Une fois créé, le nouveau produit dérivé s'ache dans le tableau des produits dérivés. Si il s'agit d'un swap ou d'un spot forex, il s'ache dans le tableau des swap et spot forex, avec dans la dernière colonne son prix à l'instant présent ou, pour le spot Forex, la variation du compte de marge. Produit dérivé type option ajouté à l'univers Vous pouvez modier ses paramètres ou le supprimer en double cliquant sur sa ligne dans le tableau. Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 16/21
L'ajout de swap se fait de même, il faut juste rajouter une date d'émission du swap. Formulaire création de swap De même, une fois le swap ajouté à l'univers, on peut le modier en double cliquant sur sa ligne. Swap ajoutée à l'univers 7 Simulation Pour lancer une simulation, il faut préalablement dénir la grille sur laquelle les cours seront simulés. Il faut dénir la durée de la simulation (en années) et le nombre de simulations à effectuer par unité de temps. Par exemple, mettre Nombre de simulation par unité de temps à 10 Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 17/21
et Nombre d'unités de temps à 20 simulera les cours sur 20 ans, chaque année étant découpée en 10. La simulation portera sur 200 instants au total. Une fois la grille de temps dénie, sélectionnez les taux, sous-jacents simples et les produits dérivés à simuler en cochant la première case dans les tableaux. Pour simuler un produit dérivé, il n'est pas nécessaire de sélectionner son sous-jacent, celui-ci sera automatiquement simulé. Simulation d'un sous-jacent Par défaut, les actifs ne sont pas corrélés. Il est possible de tout corréler à 100% en cochant la case Tout corréler avant la simulation. Une fois la simulation terminée, le graphique correspondant s'ache dans la partie inférieure de la fenêtre. Le graphique s'ache également dans l'onglet Graphique de la simulation en plein écran. Le clic droit sur le graphique permet d'acher les options du graphique (dézoomer, acher les coordonnées des points, copier et enregistrer l'image). Pour zoomer sur une zone, pressez le bouton gauche de la souris, délimitez la zone et relâchez. Un double-clic sur le graphe de l'onglet Univers bascule sur celui de l'onglet Graphique de la simulation. Les cours sont fournis avec une précision de 10 6, en cas de débordements arithmétiques, les cours peuvent devenir incohérents. Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 18/21
Les cours simulés peuvent également être consultés sous forme de tableaux. Chaque colonne correspond à un actif, la première colonne représentant l'instant simulé. Pour accéder au tableau, cliquez sur l'onglet Tableau de simulation. 8 Exporter Après avoir lancé une simulation, ou créé un actif pricé, le bouton Exporter la simulation permet d'exporter les cours simulés aux formats CSV et XML. Le format CSV est un format simple de stockage de données (compatible entre autre avec Microsoft Excel, Oracle Writer, Gnumeric...). L'architecture du document XML produit est détaillée dans la documentation de l'api. De même, le bouton Exporter les évaluations permet d'exporter les évaluations des prix au format XML. Exportation 9 Enregistrer, ouvrir un chier, nouvel univers Vous pouvez à tout moment enregistrer les actifs dénis en sélectionnant Enregistrer ou Enregistrer sous dans l'onglet Fichier de la barre de menu. Les actifs sont enregistrés dans des Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 19/21
chiers au format XML. Nouvel Univers eace tous les actifs créés et mets l'univers dans son état initial. Sauvegarder ou nouvel univers 10 Corrélation L'application ore la possibilité de corréler les sous-jacents entre eux. Cependant, éditer les corrélations est un travail fastidieux, il n'est donc pas possible d'éditer les corrélations à partir de l'interface. Un moyen de le faire est de dénir les corrélations directement dans le chier de sauvegarde. On utilise ensuite l'interface pour charger ce chier, la matrice de corrélation étant alors prise en compte dans l'univers. Cependant, an de garantir la cohérence des corrélations entre les actifs, rajouter un sous-jacent supprime automatiquement les corrélations. Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 20/21
Corréler les sous-jacents 11 Raccourcis clavier Ctr+N : nouveau Ctr+O : ouvrir Ctr+S : enregistrer Ctr+E : enregistrer sous Ctr+X : exporter la simulation Ctr+T : exporter les évaluations Alt+F4 : quitter Jonathan Anjou, Maud Eyzat, Kévin Navarro page 21/21