Paris 7 QA 421-422 1992 93 THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS EXAMEN, t 0 = mardi 7 septembre 1993, 8h 30 t = 4 heures Il n est pas totalement inutile de lire l énoncé : les questions sont en principe, et parfois en dépit des apparences, rédigées dans l intention de faciliter votre tâche. Mais avant cela, quelques remarques : Conventions typographiques : b, B représentent des (tri)vecteurs, r, S des quadrivecteurs. Si les conséquences d une erreur de calcul, propagées tout au long d une solution, sont éventuellement pardonnables dans la mesure où elles ne heurtent pas le bon sens, toute récidive d une erreur de dimensions constitue par contre une faute aggravée. Songez à toutes les méthodes de vérification de vos résultats : symétries, dimensions, cas particuliers, cas limites, bon sens, patrimoine culturel, etc. Il en sera tenu compte ; faire de la physique c est aussi prévoir un résultat avant tout calcul puis, après celui-ci, corriger ses erreurs. Des blocages moraux quelque peu désuets me rendent particulièrement irascible en cas de suspicion de fraude, et encore plus s il en résulte des inepties. Aidez moi à éviter des sentiments dont j aurais honte! Ne vous affolez pas de la longueur des problèmes proposés. Considérez les comme un hommage à vos capacités et ne les attaquez qu après avoir effectué les exercices* qui suffisent par ailleurs pour vous assurer la moyenne. Bon courage. le G.O. I*. AVANT TOUTE TRANSFORMATION DE LORENTZ Sophie et Socrate, tous deux inertiels depuis leur séparation (événement O), cherchent à tester une hypothétique propriété fondamentale de la nature, à savoir l invariance de la quantité τ 2 = df t 2 r 2 associée à deux événements. Pour cela Sophie émet (événement A) un signal radar que Socrate réfléchit (événement B) et qu elle reçoit (événement C). 1. Représentez cette saynète sur un diagramme d espace-temps de votre choix. 2. En déduire la relation, indépendante de tout système de coordonnées : τ 2 OB = τ OAτ OC. II*. TRANSFORMATION DE LORENTZ Soit v la vitesse de Socrate par rapport à Sophie. 1. Sophie choisit son axe ˆx suivant la vitesse de Socrate. Pour le reste, ils conviennent de systèmes de coordonnées (t, x, y, z pour Sophie et t, x, y, z pour Socrate) en configuration standard. i) Quelles sont les expressions des coordonnées attribuées par Socrate à un événement, en fonction des coordonnées attribuées par Sophie au même événement? ii) En déduire, dans ce cas, le tableau des valeurs des coefficients Λ µ ν de la transformation écrite sous la forme x µ = Λ µ ν x ν. 2. Maintenant, Sophie et Socrate conviennent seulement de repères reliés par une transformation spéciale de Lorentz. Déduire dans ce cas les expresions vectorielles des temps t et position r attribués par Socrate à un événement, en fonctions de t et r attribués par Sophie au même événement.
2 Maîtrise de physique, Paris 7 III*. TRANSFORMATION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE 1. i) Rappelez la définition des composantes F µν du tenseur du champ en fonction des composantes du quadrivecteur potentiel. ii) En déduire les expressions de chacune des composantes F µν en termes des composantes E i et B i des champs électrique et magnétique. 2. En déduire les valeurs de chacune des composantes E i et B i en termes des E i et B i en un événement, pour Socrate et Sophie en configuration standard. 3. En déduire i) les relations vectorielles entre composantes des champs électrique et magnétique parallèles et normales à la vitesse relative ; ii) les expressions vectorielles complètes des champs E et B en termes des champs E et B, en un événement. IV*. GRANDEURS MECANIQUES ASSOCIEES A UNE PARTICULE 1. Rappelez la définition de la quadri-impulsion p d une particule, en expliquant la signification des symboles que vous utilisez. 2. i) En déduire les expressions des composantes p 0 et p en fonction de la masse et de la vitesse de la particule. ii) A quelles identités remarquables obéissent ces composantes? iii) Pourquoi cette définition de la quantité p, et pourquoi son nom? 3. Quelles sont, par extension, les propriétés d une particule dont les composantes de la quadri-impulsion satisfont p 0 = p? 4. Le collisionneur LEP permet de préparer un électron et un positron pour un choc frontal avec une impulsion totale nulle, et une énergie totale E = 110 GeV. Il arrive parfois que l état final soit constitué d une paire de muons µ µ +. Les tables donnent pour le muon une masse m 106MeV et une durée de vie moyenne τ 2, 2 10 6 s. Calculez, dans le laboratoire : i) l énergie de l un des deux muons produits ; ii) son facteur relativiste γ ; iii) sa vitesse, ou plutôt l écart de cette vitesse à l unité ; iv) sa durée de vie moyenne ; v) son parcours moyen dans le laboratoire (et au-delà)? Comparez celui-ci avec la valeur qui serait obtenue en croyant naïvement la durée de vie moyenne indépendante de l observatrice. V*. CHAMPS CREES PAR UNE CHARGE EN MOUVEMENT Une charge positive et ponctuelle se déplace avec une vitesse dont la direction et le module, v = 0, 5, sont constants mais dont une réflexion brutale inverse le sens. 1. Tracez l allure des lignes du champ électrique au moment où la charge s est éloignée d une distance a du point de réflexion. 2. Représentez l allure du champ magnétique au même instant. VI*. RAYONNEMENT D UNE CHARGE A BASSE VITESSE 1. Rappelez l expression du champ électrique rayonné par une charge à basse vitesse, en précisant bien la signification des divers symboles qui apparaissent dans votre formule. 2. En déduire la puissance totale rayonnée par cette charge. Discutez quelques conséquences pratiques de cette formule.
Théorie classique des champs 3 VII. CHAMP DE CONVECTION Les champs électrique et magnétique créés par une charge immobile étant bien connus, le but de ce problème est d en déduire les champs créés par une charge en mouvement. 1. Socrate considère une charge ponctuelle q immobile qu il prend pour origine. Quelles sont les bonnes vieilles expressions des champs électrique E P, et magnétique B P, créés en l événement P (instant t P, position r P ) par cette charge? 2. En déduire, à l aide des transformations vectorielles des champs précédemment établies, la valeur E P du champ électrique (créé par la même charge au même événement) pour Sophie, en fonction de q, r P et v. 3. Reste à exprimer ce champ E P en fonction de l instant t P et de la position r P de l événement du point de vue de Sophie. Pour cela... i) Calculez d abord (à l aide de l expression vectorielle de la transformation spéciale de Lorentz de la position précédemment établie) la quantité (4π/q)r 3 P EP en fonction de t P, r P et v. ii) Calculez, de la même manière, la quantité r 2 P, en faisant réapparaître les vecteurs r P vt P et v r P. iii) En déduire enfin l expression de E P en fonction de q, t P, r P et v. 4. Arrivé là, il n est pas inutile de se demander quel est au juste le mouvement de la charge du point de vue de Sophie. i) Intuitivement, qu en pensez-vous? ii) Quantitativement, connaissant l équation de la trajectoire r q (t ) de la charge pour Socrate, et toujours à l aide de la même expression vectorielle de la transformation spéciale de Lorentz, déterminez l équation r q (t) de la trajectoire pour Sophie. 5. En déduire l expression de E P en fonction de la distance R entre la charge à l instant t P et l événement P, et de l angle θ entre v et R. 6. En calculant de la même manière le champ magnétique B P, montrez que celui-ci est finalement égal à v E P. VIII. ENERGIE RAYONNEE PAR RETRODIFFUSION A BASSE VITESSE Une charge q, masse m, évolue à basse vitesse sous l effet d une force nulle à l infini, dérivant d un potentiel central V (r) répulsif. 1. A l aide de la formule de la puissance rayonnée précédemment établie, calculez l énergie dw rayonnée par la charge pendant la durée dt. 2. On considère le cas d une rétrodiffusion : la charge arrive radialement depuis l infini, est réfléchie dans la même direction par le potentiel, et repart à l infini. Montrez que l énergie rayonnée au cours de ce processus vaut : W = 4 3 q 2 m 4πm 2 dr 2 r min (dv/dr) 2 V (rmin ) V (r), où r min est la distance minimale d approche au centre diffuseur. 3. En déduire l énergie rayonnée au cours d un tel processus subit par un projectile de masse m, charge ze, vitesse initiale v 0, rétrodiffusé par un noyau beaucoup plus lourd, de charge Ze. (Il peut être commode d utiliser en guise de variable d intégration la vitesse v du projectile plutôt que sa position r.)