PSI FEUILLE D EXERCICES DE SCIENCES PHYSIQUES N 11 19/12/2018 2018/2019 Thème : Machines synchrone et à courant continu APPLICATIONS DIRECTES 1. Vitesse de rotation d une machine synchrone Comment peut-on expliquer qu un grand nombre de machines tournantes ait en Europe une vitesse égale à 3000 tours par minute, pour 3600 tours par minute en Amérique du Nord? 2. Moteur synchrone de ventilateur à aimant permanent: Un ventilateur électrique est constitué : d un système fixe de bobines (appelé stator), alimenté par des courants alternatifs et produisant un champ magnétique B d intensité constante mais dont la direction tourne à la vitesse angulaire constante ; ce champ «tournant» demeure orthogonal à un axe z z fixe ; 0 d un aimant permanent de moment magnétique M orthogonal à z z, solidaire des aubes du ventilateur qui tourne à la vitesse angulaire autour de l axe z z. a) Représenter le schéma simplifié de ce moteur synchrone. On annotera avec les noms : rotor, stator, entrefer, circuit d induit. Quelle est la nature du circuit inducteur? Que signifie machine à pôles lisses? b) On considère un enroulement statorique, comprenant un pôle Nord et un pôle Sud diamétralement opposés, avec une répartition judicieuse des densités de spires permettant de réaliser, dans l entrefer une variation sinusoïdale du champ avec la position = ki(t).cos, où i(t) est une fonction sinusoïdale du temps de pulsation. Exprimer le champ magnétique dans l entrefer. c) Montrer qu un système de 2 bobines d axes orthogonaux Ox et Oy parcourues par des courants sinusoïdaux de même pulsation, mais en quadrature de phase (système diphasé) peut créer un champ tournant. Donner l expression du vecteur champ magnétique glissant. 3. Energie stockée dans l entrefer d une machine synchrone On considère une machine synchrone comportant des enroulements statoriques et rotoriques créant dans l entrefer des champs de la forme : BS(,t) = BS.cos( t - ) et BR(,t) = BR.cos( t - o). On note = t - o la position angulaire d un des axes de symétrie du rotor, est la vitesse angulaire du moteur. a) Faire un schéma où sont représenté les champs rotoriques et statoriques à l instant t = 0, puis à un instant quelconque, lorsque la machine fonctionne en régime permanent. b) Exprimer l énergie magnétique dans l entrefer UMs si seul le champ statorique est présent. On introduira le rayon R et l épaisseur e de l entrefer, ainsi que la longueur L de la machine. c) Lorsque les deux champs sont présents, faire apparaître une somme de trois termes, dont l un correspond à la présence simultanée des deux champs, terme de couplage. On rappelle que le couple électromécanique s écrit C = U M. A quelle condition ce couple est-il α maximal? d) Retrouver un résultat relatif au dipôle magnétique plongé dans un champ magnétique extérieur. 4. Diagramme de Fresnel équivalent Un moteur synchrone est décrit dans une modélisation simple, sans prise en compte des pertes fer et cuivre et en considérant le milieu magnétique sans fuites. a) En nommant le phénomène concerné, et justifiant sa traduction en dipôle électrocinétique équivalent (impédance complexe, source de tension) proposer un schéma électrique d un des enroulements de l induit. b) En déduire une construction de Fresnel faisant figurer la tension d induit et l intensité dans l enroulement. On se place en convention récepteur.
c) Pour une machine diphasée, quelle relation permet d exprimer le déphasage entre tension d induit et intensité, lorsque le moteur fournit un couple électromécanique C? d) Lorsque la machine synchrone fonctionne en alternateur, reprendre les questions précédentes en adoptant une convention générateur. 5. Bilan de puissance On modélise chaque phase du circuit statorique du moteur synchrone bipolaire diphasé en régime permanent par une inductance, une résistance et une fcém. Déterminer la puissance instantanée consommée par chacun des trois circuits électriques qui compose cette machine. En déduire que la puissance électrique apportée est égale à la puissance perdue par effet Joule et à la puissance absorbée par les fém. Quelle relation a-t-on entre la puissance mécanique founie et la puissance absorbée par les fcém? 6. Stabilité d'un moteur synchrone : On considère une machine synchrone à aimant permanent fonctionnant en moteur. On note 0 l'angle interne entre les champs magnétiques rotorique et statoriques en régime permanent à la vitesse angulaire 0. a) Rappeler l'expression du couple moyen et en déduire les valeurs de 0 acceptables pour un fonctionnement moteur. b) Le rotor est soumis de la part des machines qu'il entraîne et des frottements à un couple résistant C r. Pour quelles valeurs de C r ne peut-on jamais avoir de régime permanent? c) Le couple résistant augmente. Décrire l'évolution de et étudier la stabilité du système en fonction des valeurs de 0. d)le rotor est lancé par une machine à courant continu avec une vitesse angulaire initiale proche mais légèrement différente de Etudier son mouvement ultérieur en fonction de la valeur initiale de l angle interne : * si < 0 ; * si > 0. 7. Alternateur monophasé Soit un alternateur monophasé produisant une tension sinusoïdale U de fréquence f = 50 Hz. Le schéma électrocinétique équivalent simplifié de l induit est composé d une inductance telle que X=L = 1,6 à 50 Hz et d une source de tension E. On néglige la résistance des enroulements. 1. Si le rotor n a qu une seule paire de pôle quelle est sa vitesse de rotation? 2. On montre que si le rotor de l alternateur comporte 4 paires de pôles pour une vitesse de rotation de 750 tr/min, on obtient un courant statorique dont la fréquence est toujours de 50 Hz. Quel est l intérêt de multiplier les paires de pôles? La valeur efficace de la fém de l alternateur est donnée par E(V) = 120i (A) avec i le courant d excitation pour une vitesse de rotation de 750 tr.min -1. 3. A quels autres paramètres est proportionnel E? 4. Représenter le schéma électrique de l alternateur. L alternateur alimente une charge résistive traversée par un courant d intensité efficace I = 30 A. La tension U aux bornes de la résistance a pour valeur efficace U = 110 V 5. Que peut-on en déduire quant au déphasage entre la tension aux bornes de l alternateur et le courant débité? Tracer le diagramme de Fresnel représentant la situation. 6. En déduire la valeur efficace de la fem de l alternateur E. 7. En déduire la valeur de l intensité i du courant d excitation. 8. En déduire la puissance fournie par l alternateur à la charge résistive. 9. Dans les conditions de l essai, les pertes de l alternateur sont évaluées à 450 W. Evaluer la résistance de l alternateur. Calculer le rendement.
10. La vitesse de rotation de l alternateur passe à 500 tr/min sans modification du courant d excitation. Déterminer f, E, X, U et I les nouvelles valeurs de f, E, X, U et I. 8. Modélisation d un moteur à courant continu Un véhicule électrique est équipé d un moteur à courant continu à excitation séparée de courant iexc dont le schéma est donné ci-contre. 1. Donner les légendes des flèches. 2. On suppose que le matériau ferromagnétique du rotor et du stator sont parfaits, doux, de perméabilité relative infinie. Tracer quelques lignes du champ magnétique du circuit statorique. Exprimer la valeur du champ magnétique dans l entrefer en fonction de iexc. 3. Quelle est la direction moyenne du champ magnétique statorique dans l entrefer? 4. Pourquoi le champ créé par le rotor est-il toujours perpendiculaire à celui du stator? On peut représenter le rotor en régime permanent par l association en série d une force électromotrice e et d une résistance, tel que U = Ri e, avec e = - où = kiexc, k étant caractéristique du moteur. Cette relation est valable lorsque iexc < iexc,max. 5. Quelle est l unité de? Tracer l allure des variations de en fonction de iexc. Quel phénomène observe-t-on lorsque iexc > iexc,max? 9. Moteur à courant continu : L'induit d'un moteur à courant continu à aimant permanent est alimenté par une tension constante U = 100 V. On relève les caractéristiques suivantes de l'induit : R = 0,8 ; I 0 = 1 A (courant à vide) ; I = 25 A (courant en charge pour une vitesse de rotation = 1000 tr/min). a) Rappeler les relations entre la fém E et la vitesse de rotation le couple électromagnétique (ou couple de Laplace) C et l'intensité du courant I, les équations mécanique et électrique du moteur en régime stationnaire. b) Calculer la fém E lorsque la machine est en charge. En déduire la constante du moteur et le couple moteur ou couple de Laplace c) Lorsque le moteur tourne à vide déterminer la valeur du couple de frottement Cfrott. Calculer sa fém Eo à vide, en déduire la vitesse de rotation 0. d) Calculer le couple de charge, lorsque le moteur est chargé, en supposant le couple de frottement identique à vide et en charge. e) Evaluer à vide puis en charge : la puissance électrique reçue par le moteur Pmot, la puissance dissipée par effet Joule PJ, la puissance de Laplace ou puissance utile Pu, la puissance dissipée par frottement Pfrott, la puissance dissipée par la charge Pch. Quels liens a-t-on entre toutes ces puissances? 10. Démarrage d un moteur à courant continu Soit la constante électromécanique d un moteur à courant continu à aimants permanents et r sa résistance d induit, on néglige l inductance d induit. On suppose que la charge entrainée présente un couple résistant défini par Cr = c + f où c et f sont des constantes positives. Partant d un état d immobilité de l ensemble, on suppose que la tension d induit du moteur prend la valeur U, qui reste constante pendant toute la phase de démarrage. a) Représenter, en régime permanent, la caractéristique couple vitesse d une machine à courant continu à excitation séparée soumise à une tension d induit fixée. b) Sur le même graphe représenter l allure de la caractéristique définissant le couple résistant. On suppose U > rc. c) Ecrire l équation mécanique du moteur. Décrire qualitativement l évolution de la vitesse angulaire en s appuyant sur le graphe précédent.
stable? d) Au bout d un temps suffisamment long, le dispositif tend-il vers un fonctionnement EXERCICES I. Machine synchrone fonctionnant en alternateur puis en moteur Soit une machine synchrone bipolaire et diphasée à rotor bobiné. On considère une des phases (bobines) du stator et l on note et (supposés indépendants de la phase choisie) respectivement le déphasage retard de la fém e(t) et du courant i(t) par rapport à la tension appliquée u(t). Soit R et L la résistance et l inductance de chacun des enroulements du stator avec R = 0,9 Essai à vide à la vitesse de rotation : tension efficace UV = 220 V ; Courant d excitation IEV = 4,0 A Essai en court-circuit à la vitesse de rotation : courant d excitation IECC = 1,0 A ; courant en ligne efficace ICC = 3,5 A. 1. La machine fonctionne en alternateur. Que signifie essai à vide et essai en court-circuit? A quels courants correspondent les appellations courant de ligne et courant d excitation? Montrer que la fcém induite dans une bobine du stator s écrit e(t) = E 2sin( t) avec E = KIE Avec l essai à vide, déterminer le produit K Avec l essai en court-circuit, calculer la réactance L Montrer que R << L, ce que l on fera pour la suite. 2. La machine fonctionne en moteur. En régime nominal chaque phase fonctionne sous une tension de valeur efficace U = 190 V et de fréquence 50 Hz ; le stator absorbe une puissance P = 1,0 kw avec un facteur de puissance cos = 0,87. On néglige les frottements mécaniques. Calculer l intensité efficace en ligne I. En faisant un bilan de puissance, calculer le moment du couple électromagnétique appliqué à l arbre moteur. Tracer le diagramme de Fresnels lorsque > 0. Déterminer la valeur efficace de la fcem, notée E Etablir la relation U cos = E cos où est le déphasage entre i(t) et e(t) II. Caractéristique d un alternateur On a relevé la caractéristique à vide de l alternateur, à vitesse constante, nominale : I e (A) 0 20 35 50 75 100 E s (V) 0 1550 2500 3100 3500 3750 Ie est le courant d excitation qui alimente le rotor, ES est la fém mesurée aux bornes d une phase de l induit, à vide. On néglige la résistance de l induit. 1. Représenter le modèle électrique d une phase statorique de l alternateur. Lors d un essai sur une phase statorique en court-circuit, on a relevé IS = 775 A et I e = 20 A. 2. Déterminer la réactance de la phase statorique. On désire un fonctionnement à tension constante U = 2500 V, à 50 Hz. 3. Déterminer la valeur de la fém ES de l induit, puis celle du courant d excitation I e lorsque l alternateur alimente une charge inductive de facteur de puissance de 0,800 pour des courants IS valant 250, 500, 750, 1000 A. 4. La résistance apparente entre bornes, au stator, est R stat = 0, 04 et celle de l inducteur, r = 2 ; les pertes constantes valent 200 kw. Calculer le rendement pour ces quatre valeurs de I. III - Autopilotage de la machine synchrone Le principe de l autopilotage de l une machine synchrone diphasée consiste à mesurer, à l aide d un capteur de position angulaire, appelé résolveur, la position du rotor de la machine. On alimente alors le stator de la machine par un onduleur (ou alimentation à fréquence variable) qui délivre deux
courants diphasés : i1(t) et i2(t) de pulsation S. Ces courants sont asservis en fréquence de sorte que s = vitesse de rotation du rotor, et que l angle entre les champs magnétiques statoriques et rotoriques soit toujours de, afin d obtenir un fonctionnement intrinsèquement stable de la machine 2 et un couple maximum. La machine tourne à une vitesse angulaire = e Z = d e Z. Compte tenu de dt l inertie de la machine et des échelles de temps considérées ici, sera supposée constante. [0, max], max est la vitesse maximale de rotation de la machine. (t) = t + 0 où 0 est la position du rotor à l instant initial. Le résolveur s insère autour de l arbre reliant la machine et sa charge. Il est composé d une partie tournante, solidaire de l arbre de la machine, appelée roue polaire, et de deux autres bobines B1 et B2 fixes dans le référentiel (O, x, y, z) lié au stator de la machine. On définit le référentiel (O, u, v, z) lié à l arbre de la machine et qui se déduit du référentiel (O, x, y, z) par la rotation autour de l axe Oz. La roue polaire, solidaire de l arbre de la machine, est assimilable à une bobine B0 parcourue par un courant j. Cette bobine crée à l intérieur du résolveur un champ magnétique B, dont l intensité est proportionnelle au courant j et dont le sens et la direction dépendent de la position de l arbre. On pose B =.j.u où est un coefficient de proportionnalité connu et u est le vecteur unitaire de l axe Ou du référentiel (O, u, v, z) lié à l arbre de la machine, en rotation à la vitesse angulaire par rapport au référentiel fixe (O, x, y, z) lié au stator. On a = ( e X, u ). Les deux autres bobines B1 et B2 sont fixes, identiques et ont pour axe principal respectif Ox et Oy. Les spires de ces bobines ont pour vecteur normal respectif e X et e Y. Elles ne sont parcourues par aucun courant. Elles possèdent chacune n spires de surface. 1) La bobine B0 est ici alimentée par un courant continu j = J0. Déterminer en fonction de, J0,, n et les expressions des tensions V1(t) et V2(t) aux bornes des bobines B1 et B2. Ces deux tensions permettent-elles toujours de déterminer la position du rotor? 2) On alimente maintenant la bobine B0 par un courant sinusoïdal de fréquence fp ou de pulsation p. On a j(t) = J0mcos( pt). Dans le cas où la pulsation p est très grande devant, montrer que V1(t) = -n... p.j0m.sin( pt).cos (t). Puis, déterminer l expression de la tension V2(t). 3) Tracer les deux graphes représentant l allure des tensions V1(t) et V2(t) lorsque la machine est à l arrêt. 4) Reprendre ces graphes lorsque la machine tourne à vitesse constante. On donnera la valeur numérique de l amplitude de ces tensions. On prendra = 4T / A, J0m = 200mA, n = 10, = 0,1 cm 3 et fp = 10 khz. 5) Montrer comment une détection synchrone permet à partir de V1(t) d obtenir une tension proportionnelle à cos Pourquoi peut-on alors détecter sans ambiguïté la position du rotor?
IV. Principe d un actionneur électromécanique linéaire synchrone Ce type d actionneur qui s affranchit de tout dispositif de transmission mécanique classique est utilisé en robotique. Il est aussi particulièrement bien adapté aux trains à sustentation magnétique comme le SCMaglev japonais qui peut atteindre des vitesses de l ordre de 600 km/h. L actionneur linéaire synchrone (figure 5) est constitué : - d une partie statique, qui crée une onde magnétique sinusoïdale progressive : B( x, t) = B0 cos( St kx) ey - d une partie mobile assimilable : d un point de vue électrique, à une spire rectangulaire orientée, parcourue par un courant électrique permanent I, imposé par un dispositif extérieur. Elle a pour longueur L = 2a suivant l axe des x et pour largeur 2b suivant l axe des z, d un point de vue magnétique, à un dipôle de moment M = 2LbI ey Cette spire est en mouvement supposé rectiligne et considéré comme uniforme à la vitesse v = v ex. On note x0 la position initiale du centre de la spire qui a donc pour abscisse, à la date t, x(t) = x0 + vt. 1. La force qui s exerce sur la spire, à la date t, est de la forme F( t) = F ( t) e B On admettra que : Fx ( t) = M. x centre du dipôle Exprimer Fx () t en fonction de b, L, I, B0, S, k, v, x0 et t. 2. Que vaut la valeur moyenne de cette force dans le cas général? A quelle condition sur S k et v Fx(t) est-elle indépendante du temps? En déduire alors l expression de la valeur de la force Ft () maintenant notée F, en fonction de b, L, I, B0, k, et x0. Exprimer en fonction de k, la valeur de x0 pour laquelle la composante F x de cette force est maximale. x x V. Caractéristiques d un moteur à courant continu Un moteur à courant continu à aimants permanents a pour valeurs nominales : tension d induit : U N = 12 V ; intensité du courant d induit : I N = 2,5 A ; fréquence de rotation : N = 100 tr s ; on mesure une résistance d induit R = 0, 4. Dans cet exercice, on néglige toutes les pertes autres que par effet Joule. a) Fonctionnement en régime nominal, calculer en fonctionnement nominal :
la force électromotrice ; la puissance absorbée, la puissance utile et le rendement défini par le rapport de la puissance utile sur la puissance absorbée ; le moment du couple utile. b) Fonctionnement sous tension réduite. On souhaite que le moteur fournisse sa valeur nominale de couple à la vitesse de rotation de 60 tr s. Déterminer le courant d induit, la force électromotrice, la tension d alimentation et le rendement du moteur. c) Démarrage du moteur. On fait démarrer le moteur sous une intensité égale à 1,5 fois sa valeur nominale. Calculer le couple utile et la tension aux bornes du moteur au moment du démarrage (vitesse de rotation nulle). VI. Etude d une machine à courant continu On étudie successivement la réponse à vide et en charge d un moteur à courant continu, de résistance R, d inductance L, de moment d inertie J. On note U la tension d alimentation de l induit et (t) la vitesse de rotation instantanée de l arbre. Le constructeur fournit les données suivantes : R = 1, J = 5.10-2 kg.m 2, = 0,5 Wb et max = 100 rad.s -1. 1. Fonctionnement à vide a. Etablir les équations de fonctionnement du moteur. On négligera tout couple résistant. ( p) b. En déduire la fonction de transfert H ( p) = du moteur. De quel type de filtre s agit-il? U ( p) Comment se simplifie classiquement H(p)? On justifiera sa réponse en donnant un ordre de grandeur pour L. On conservera l expression simplifiée pour la suite de l exercice. c. Le moteur initialement à l arrêt, est soumis à un échelon de tension, d amplitude Uo = 15 V. Déterminer (t). En déduire la valeur o de (t) en régime permanent. 2. Fonctionnement en charge Le moteur tournant en régime établi (déterminé précédemment) on charge brutalement le moteur en lui appliquant un couple résistant Cr. Déterminer la nouvelle vitesse de rotation o du moteur en régime permanent. AN : Cr = 20 N.m. Conclusion?