ÉRIE : MOYENNEM OYENNE, ÉTENDUE ET MÉDIANE Extrait de brevet Pour commercialiser des tomates, une coopérative les calibre en fonction du diamètre. On a relevé, ci-dessous, le diamètre de tomates (en mm). 9 5 59 57 5 55 5 5 9 8 58 9 5 5 5 5 9 5 55 5 5 5 57 5 5 9 5 55 5 59 b. Compléter le tableau suivant. Diamètres [8 ; 5[ [5 ; 5[ [5 ; 57[ [57 ; [ 8 8 9 5 Centre des classes 9,5 5,5 55,5 58,5 c. A partir de ce tableau des effectifs, vérifier que le diamètre moyen d'une tomate, arrondi à l'unité, est 5 mm. (8 9,5 + 8 5,5 + 9 55,5 + 5 58,5) = 5, Le diamètre moyen d'une tomate est bien de 5 mm (arrondi à l'unité). Extrait de brevet Voici les résultats au lancer de javelot lors d un championnat d athlétisme. Les longueurs sont exprimées en mètres. 7 8 9 5 7 9 7 8 e. Compléter le tableau suivant : Longueur l du lancer (en mètres) Nombre de sportifs l 5 5 l l 5 5 l 5 Total 7 5 5 8 Extrait de brevet L histogramme ci-dessous illustre une enquête faite sur l âge des adhérents d un club de badminton mais le rectangle correspondant aux adhérents de ans a été effacé. 5 5 5 7 Âge a. Calculer le nombre d adhérents ayant ans. (7 + + ) = = 7 7 adhérents ont ans. b. Quel est le pourcentage du nombre d adhérents ayant 5 ans? adhérents sur ont 5 ans. =,= % des adhérents ont 5 ans. c. Quel est l âge moyen des adhérents du club? Donner la valeur arrondie au dixième. 7 + 5+ 7 + 7 5,7 L'âge moyen des adhérents du club est 5,7 ans (arrondi au dixième). d. Compléter le tableau ci-dessous pour réaliser un diagramme semi-circulaire représentant la répartition des adhérents selon leur âge (on prendra un rayon de cm). Ne pas oublier de compléter la légende. Âge Nombre d adhérents Mesure de l angle (en degrés) ans 5 ans ans 7 ans Total 7 7 8 Fréquence,,8,8, Valeur centrale,5 7,5,5 7,5 f. En utilisant les valeurs centrales, calculer la longueur moyenne d un lancer.,,5 +,8 7,5 +,8,5 +, 7,5 =,7 La longueur moyenne d'un lancer est de,7 m. g. Quel est le pourcentage de sportifs ayant lancé au moins à mètres?,8 +, =,8 8% des sportifs ont lancé au moins à m. Adhérents de ans Adhérents de 5 ans Adhérents de ans Adhérents de 7 ans STATISTIQUES ET PROBABILITÉS : CHAPITRE D
ÉRIE : MOYENNEM OYENNE, ÉTENDUE ET MÉDIANE 5 Extrait de brevet Durant une compétition d'athlétisme, les 7 concurrents ont couru les m avec les temps suivants (en secondes) :,5 ;, ;,8 ;,9 ;,9 ;,9 et,8. f. Quelle est l'étendue de cette série?,9 s,9 s =, s L'étendue de cette série est de, s. g. Quelle est la moyenne de cette série (arrondie au centième)? (,5 +, +,8 +,9 +,9 +,9 +,8) 7, Le temps moyen des 7 athlètes est de, s (arrondi au centième). h. Quelle est la médiane de cette série? Rangeons les 7 temps dans l'ordre croissant :,9 <, <,9 <,5 <,8 <,8 <,9 Le temps médian est le ème temps, c'est-à-dire,5 s. i. Quelle est la vitesse moyenne de l'athlète classé premier, en mètres par seconde (m/s) arrondie au millième? m 9,955 m/s,9 s Extrait de brevet Lors d'un contrôle, une classe de e a obtenu les notes suivantes : 8 7 8 7 8 9 5 5 7 8 9 9 5 k. Complète le tableau suivant en rangeant toutes les notes par ordre croissant. Notes 5 7 8 9 s Notes 5 7 8 9 s l. Quel est l'effectif total de ce groupe? + + + + + + + + + + + + + + = 8 L'effectif total de ce groupe est de 8 élèves. m. Quelle est la moyenne des notes de cette classe? Arrondir le résultat à, près. ( + + 5 + + 7 + 8 + 9 + + + + + 5 + 7 + 8 + 9) 8, La moyenne des note de la classe est de, (arrondie à, près). n. Donne la médiane de ces notes. Il y a 8 notes rangées dans l'ordre croissants. La note médiane est donc située entre la ème et la 5 ème note, c'est-à-dire entre et. La médiane de ces notes est donc,5. o. On choisit au hasard une copie. Quelle est la probabilité pour que la note de cette copie soit supérieure ou égale à? Il y a 5 copies sur 8 dont la note est supérieure ou égale à. La probabilité de choisir au hasard une telle copie est donc 5 8. Le tableau concerne le nombre de sports pratiqués par les 8 élèves d'une classe. Nombre de sports pratiqués s 9 q. Détermine le nombre moyen M de sports pratiqués par les élèves de cette classe. + 9 + + + M = 8 En moyenne, les élèves de cette classe pratiquent sports. r. Complète le tableau. Nombre de sports pratiqués s cumulés croissants 5 8 s. Détermine une médiane de cette série. Il y a 8 valeurs (de à ) rangées dans l'ordre croissant. La médiane de cette série est donc située entre la ème et la 5 ème valeurs, c'est-àdire. Il y a donc autant d'élèves qui pratiquent moins de sports que d'élèves qui pratiquent plus de sports. CHAPITRE D : STATISTIQUES ET PROBABILITÉS
ÉRIE : MOYENNEM OYENNE, ÉTENDUE ET MÉDIANE On a relevé, chaque mois, le nombre de jours de pluie (jours où les précipitations ont été supérieures à, mm) dans une ville pendant une année. Nombre de jours 8 J F M A M J J A S O N D u. Quel est le nombre total de jours de pluie dans cette ville durant cette année? 8 + + + + + + + + + + + 5 = 98 Il y a eu au total 98 jours de pluie dans cette ville durant cette année. v. Quelle est l'étendue de cette série statistique? = L'étendue de cette série statistique est jours. w. Calcule le nombre moyen M de jours de pluie par mois dans cette ville durant cette année. Donne le résultat arrondi à l'unité. 5 Lors d'un sondage, on a demandé aux élèves combien de fois par semaine ils utilisent Mathenpoche. Le tableau indique les réponses. Nombre d'utilisations 5 Total s Angles 9 9 9 8 z. Construis le diagramme en barres de cette série statistique. 7 5 5 Nombre d'utilisations aa. Complète le tableau ci-dessus puis construis le diagramme circulaire associé à cette série. M = 98 8, Il y a eu en moyenne 8, jours de pluie par mois dans cette ville durant cette année. x. Détermine un nombre médian m de jours de pluie. Rangeons les nombres de jours de pluie dans l'ordre croissant : 5 8 Il y a nombres de jours de pluie dans l'ordre croissant. Le nombre médian m est donc compris entre le ème et le 7 ème nombre, c'est-à-dire entre 8 et. Donc m = 9. Il y a autant de mois avec moins de 9 jours de pluie que de mois avec plus de 9 jours de pluie. ab. Sur quel graphique peux-tu déterminer simplement (tu donneras les valeurs demandées) : l'étendue? Grâce au graphique, on peut calculer l'étendue : =. l'effectif le plus grand? Grâce au graphique, on voit que la plus haute barre est celle qui correspond à utilisations par semaine pour élèves. la médiane de cette série? Grâce au graphique, on voit que la médiane de cette série est utilisations par semaine (en traçant le diamètre en pointillés). STATISTIQUES ET PROBABILITÉS : CHAPITRE D
: QUARTILES Cet histogramme donne la répartition, selon l'âge, des 7 enfants inscrits à un centre de loisirs. 8 8 9 Âge en années a. Calcule l'âge moyen d'un enfant de ce centre. 8,5 9,5,5 9,5 8,5 9,5 7 =,5. L'âge moyen d'un enfant de ce centre est de ans et demi. b. Dans quelle classe est situé l'âge médian? Que signifie-t-il? Il y a 7 âges rangés dans l'ordre croissant. L'âge médian m est donc le 9 ème âge, qui est situé dans la classe [ ; [. Cela signifie que dans ce centre, il y a autant d'enfants qui ont moins de m années que d'enfants qui ont plus de m années. c. Dans quelles classes se situent les premiers et troisième quartile? Pour le premier quartile : 7 = 9,5 Le premier quartile Q est donc le ème âge, qui est situé dans la classe [ ; [. Pour le troisième quartile : (7 ) = 7,75 Le troisième quartile Q est donc le 8 ème âge, qui est situé dans la classe [ ; [. Une enquête a été réalisée dans 8 restaurants d'une même agglomération pour connaître l'effectif de leur personnel salarié. a. Complète le tableau des effectifs cumulés croissants. Nombre de salariés Nombre de restaurants s cumulés 5 7 8 5 7 7 5 7 8 b. Détermine la valeur Q du premier quartile de cette série statistique. 8 =, donc le premier quartile Q est la ème valeur, c'est-à-dire salariés. Q = salariés c. Détermine la valeur Q du troisième quartile de cette série statistique. (8 ) =, donc le troisième quartile Q est la ème valeur, c'est-à-dire salariés. Q = salariés d. Donne la signification des valeurs Q et Q. Q = salariés signifie qu'au moins un quart des restaurants a au plus salariés. Q = signifie qu'au moins trois quarts des restaurants ont au plus salariés. Voici le diagramme en bâtons des notes obtenues par une classe de Troisième de 5 élèves au dernier devoir de mathématiques. s 8 9 5 7 Notes Détermine les valeurs Q et Q du premier et troisième quartile de cette série statistique. Construisons le tableau des effectifs cumulés croissants : Notes 8 9 s cumulés croissants 5 9 Notes 5 7 s cumulés croissants 8 9 5 5 =,5 et (5 ) = 8,75 Q est donc la 7 ème valeur de la série, c'est-à-dire et Q est la 9 ème valeur de la série, c'est-à-dire. Q = et Q = CHAPITRE D : STATISTIQUES ET PROBABILITÉS
: QUARTILES On a relevé le nombre d'enfants dans chacune des familles d'un immeuble. e. Complète le tableau. Nombre d'enfants s 9 5 s cumulés 9 9 5 f. Détermine la médiane et les valeurs des premier et troisième quartiles de cette série et donne la signification de chaque valeur. Médiane : Il y a nombres (d'enfants) rangés dans l'ordre croissant. Le nombre d'enfants médian est donc le ème, c'est-à-dire. Cela signifie que dans cet immeuble, il y a autant de familles ayant moins d'un enfant que de familles ayant plus d'un enfant. Premier et troisième quartile : = 7,75 et =,5 Le premier quartile est le 8 ème nombre, c'est-àdire. Cela signifie qu'au moins un quart des familles de cet immeuble n'a pas d'enfant. Le troisième quartile est le ème nombre, c'està-dire. Cela signifie qu'au moins trois quarts des familles de cet immeuble a au plus enfants. 7 Un professeur d'e.p.s. a relevé les pulsations cardiaques au repos des élèves de troisième de son collège. Les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous. Nombre de pulsations par minute Centre s cumulés croissants [5 ; 58[ 5 5 5 [58 ; [ [ ; [ 7 [ ; 7[ 5 8 [7 ; 7[ 5 7 [7 ; 78[ 7 a. Complète le tableau. b. Construis l'histogramme représentant cette série. 5 5 5 5 5 58 7 7 78 Nombre de pulsations par minute c. Calcule le nombre de pulsations moyen par minute. (5 5 + + + 8 5 + 7 5 + 7 ) d. 5 pulsations par minute peut-il être considéré comme une médiane de cette série? Justifie. Les élèves étant rangés dans l'ordre croissant de leur nombre de pulsations par minute, le nombre de pulsations médian est celui du 7 ème élève. Ce dernier a un nombre de pulsations par minute compris entre et. 5 peut bien être considéré comme une médiane de cette série. e. Détermine les premier et troisième quartiles de cette série, donne une signification. = 5,5 et = 5,75. Le premier quartile est le nombre de pulsations par minute du ème élève, c'est-à-dire. Cela signifie qu'au moins 5% des élèves de troisième ont au plus pulsations cardiaques par minute au repos. Le troisième quartile est le nombre de pulsations par minute du ème élève, c'est-à-dire 8 pulsations par minute. Cela signifie qu'au moins 75% des élèves de troisième ont au plus 8 pulsations cardiaques par minute au repos. STATISTIQUES ET PROBABILITÉS : CHAPITRE D
: QUARTILES 8 Extrait de brevet Dans un collège, une enquête a été menée sur «le poids des cartables des élèves». Pour cela, on a pesé le cartable de 8 élèves du collège. Les résultats de cette enquête sont inscrits dans le tableau ci-dessous : 9 Monsieur J et Monsieur K sont tous les deux professeurs de Mathématiques et ont tous les deux une classe de troisième ayant élèves. Ils comparent les notes obtenues par leurs élèves au dernier devoir commun. Notes de Monsieur J Notes de Monsieur K Poids en kg 5 7 8 9 s 5 8 8 7 8 8 5 8 5 8 9 8 7 5 8 8 9 8 5 7 9 8 9 a. Calcule l'étendue de cette série statistique. kg kg = 9 kg L'étendue de cette série statistique est de 9 kg. b. Détermine la médiane de cette série statistique. Calculons les effectifs cumulés de cette série : Poids en kg 5 7 8 9 s 5 8 8 s cumulés 7 9 5 8 Les 8 poids étant rangés dans l'ordre croissant, le poids médian est donc compris entre le ème et le 5 ème poids, c'est-à-dire kg. Il y a donc autant d'élèves ayant un cartable de moins de kg que d'élèves ayant un cartable de plus de kg. c. Détermine les valeurs du premier quartile et du troisième quartile de la série. 8 = et 8 = Le premier quartile de cette série est la ème valeur, c'est-à-dire 5 kg. Le troisième quartile de cette série est la ème valeur, c'est-à-dire 8 kg. d. Une personne affirme : «Plus des trois-quarts des 8 élèves viennent en cours avec un cartable qui pèse 5 kg ou plus.» A-t-elle raison? Justifier votre réponse. Nombre d'élèves ayant un cartable de 5 kg ou plus : 5 + + 8 + 8 + + = 9 9 >, donc plus de trois quarts des 8 élèves viennent en cours avec un cartable qui pèse 5 kg a. Construis, dans le repère ci-dessous, les diagrammes en bâtons représentant les deux séries de notes. (Utilise deux couleurs différentes.) Les bâtons rouges représentent les notes de M. J et les bâtons bleus les notes de M. K. 5 5 7 8 9 5789 Note b. Calcule la moyenne de chaque série. Moyenne des notes de Monsieur J : ( + 5 + + 7 + 8 + 9 + + + 5 + + 8 + ) =,5 Moyenne des notes de Monsieur K : (7 + 8 + 9 + + + + + + 5) =,5 Les deux classes ont une moyenne de,5. c. Lis l'étendue de chaque série. Etendue des notes de Monsieur J : = 7 Etendue des notes de Monsieur K : 5 7 = 8 d. Détermine une médiane ainsi que les premier et troisième quartiles de chaque série. Série des notes de M. J : Série des notes de M. K: Médiane : 8,5 (entre la ème et la ème note) Premier quartile : (la 5 ème note) Troisième quartile : 5 (la 5 ème note) Médiane : (entre la ème et la ème note) Premier quartile : 8 (la 5 ème note) Troisième quartile : (la 5 ème note) e. Compare ces deux classes en utilisant toutes les réponses données aux questions précédentes. La classe de M. J, plus hétérogène, semble contenir des élèves ayant des résultats assez faibles. La classe de M. K, plus homogène, ne semble pas contenir des élèves ayant d'aussi bons résultats que quelques-uns de la classe de M. K. ou plus. L'affirmation est correcte. CHAPITRE D : STATISTIQUES ET PROBABILITÉS
: QUARTILES Lors d'un sondage, on a demandé à des personnes le temps passé par jour devant la télévision. Le tableau ci-dessous résume les résultats obtenus. Nombre d'heures 5 s 5 5 95 5 95 7 5 a. Parmi les diagrammes en barres ci-dessous, un seul donne la répartition du temps passé devant la télévision par ces personnes. Lequel? Le graphique n Graphique Graphique 5 Nombre d'heures 5 5 Nombre d'heures Graphique Graphique 5 Nombre d'heures 5 Nombre d'heures b. À partir de ce graphique, peux-tu déterminer l'étendue de la série? Si oui, comment? L'étendue s'obtient en soustrayant la plus petite valeur de la plus grande valeur. Sur le graphique, il suffit donc de regarder les plus petite et plus grande abscisses. Ici, on a : h h = h c. Sur ce graphique, peux-tu lire directement la valeur médiane de la série? Pourquoi? On ne peut pas lire directement la valeur médiane de la série car les effectifs ne sont pas représentés de façon cumulée. d. Complète le tableau suivant. Nombre d'heures 5 s cumulés croissants s cumulés décroissants 5 9 85 5 75 5 5 75 5 9 95 5 e. Place dans le repère suivant les points correspondants aux effectifs cumulés croissants. Relie-les en rouge de gauche à droite, par des segments pour obtenir le polygone des effectifs cumulés croissants. s cumulés 5 5 5 5 5 5 5 f. En utilisant ce polygone, détermine la médiane et le troisième quartile de cette série. 5 = 5. Pour déterminer la médiane, il faut donc tracer un segment passant par le point de coordonnées ( ; 5) et parallèle à l'axe des abscisses. Il coupe la courbe rouge en un point dont l'abscisse est comprise entre et. La médiane de cette série statistique est donc h. 5 = 75. Pour déterminer le troisième quartile, il faut donc tracer un segment passant par le point de coordonnées ( ; 75) et parallèle à l'axe des abscisses. Il coupe la courbe rouge en un point dont l'abscisse est comprise entre et. Le troisième quartile de cette série statistique est donc h. g. Trace en bleu sur le graphique précédent le polygone des effectifs cumulés décroissants. h. À quoi correspond l'abscisse du point d'intersection des deux courbes? L'abscisse du point d'intersection des deux courbes correspond à la médiane de la série : h. i. Peux-tu lire sur un des graphiques précédents la moyenne de cette série? Pourquoi? Il est impossible de lire la moyenne de la série en se servant d'un graphique car la moyenne s'obtient par un calcul. j. Calcule la moyenne de la série. ( 5 + 5 + 95 + 5 + 95 + 5 7 + 5) 5 =, Nombre d'heures En moyenne, les personnes interrogées passent, h par jour devant la télévision. STATISTIQUES ET PROBABILITÉS : CHAPITRE D
ÉRIE : PROBABILITÉP ROBABILITÉ, EXERCICES DE BASE On lance un dé non truqué à six faces. Complète le tableau. j. La probabilité de tirer une boule rouge est 5. V Événement " Obtenir un nombre inférieur à six " élémentaire impossible certain non élémentaire X 8 Une urne contient des boules indiscernables au toucher, 5 sont bleues, sont rouges et sont blanches. On tire une boule et on observe sa couleur. a. Propose un événement élémentaire dont la probabilité est. " Obtenir deux " X " Obtenir un multiple de " X " Obtenir un multiple de 7 " X " Obtenir un diviseur de 7 " X " Obtenir un diviseur de " X " Obtenir 7" X Une roue de loterie est partagée en huit secteurs identiques numérotés de à 8. Donne toutes les issues possibles correspondant aux événements suivants. f. «Obtenir un multiple de ou de» Obtenir ou ou ou ou 8. g. «Obtenir un multiple de et de» Obtenir. h. «Obtenir un nombre supérieur à et premier» Obtenir 5 ou 7. i. «Obtenir un nombre supérieur à ou premier» Obtenir ou ou 5 ou ou 7 ou 8. Une urne contient boules rouges et boules vertes, toutes indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Réponds par vrai (V) ou faux (F). d. Il y a autant de chances d'avoir une boule verte qu'une boule rouge. e. Il y a chances sur d'obtenir une boule verte. F f. Si on répète un grand nombre de fois cette expérience, la fréquence d'apparition d'une boule verte devrait être proche de,. g. Il y a chances sur d'obtenir une boule verte. F F V «tirer une boule bleue» b. Propose un événement non élémentaire dont la probabilité est. «tirer une boule rouge ou blanche» c. Propose un événement dont la probabilité est inférieure à. «tirer une boule rouge» 9 On lance trois pièces de monnaies. a. Quelles sont les issues possibles? Les 8 issues sont : «PPP», «PPF», «PFP», «PFF», «FPP», «FPF», «FFP» et «FFF». Quelle est la probabilité d'obtenir b. trois " Pile "? c. au moins un " Pile "? d. exactement deux " Faces " ou deux " Piles "? b. La probabilité d'obtenir trois piles est 8. c. La probabilité d'obtenir au moins un pile est 7 8. d. 8 =. On tire au hasard un jeton parmi les vingt-six jetons marqués d'une lettre de l'alphabet. a. Quelle est la probabilité d'obtenir un Z? La probabilité d'obtenir un Z est. b. Quelle est la probabilité d'obtenir une consonne? La probabilité d'obtenir une consonne est = c. Quelle est la probabilité d'obtenir une lettre du mot " VACANCES "? STATISTIQUES ET PROBABILITÉS : CHAPITRE D
ÉRIE : PROBABILITÉP ROBABILITÉ, EXERCICES DE BASE Il y a lettres distinctes dans le mot «VACANCES» donc la probabilité de tirer une de ces lettres est c'est-à-dire. Extrait de brevet On écrit sur les faces d un dé équilibré à six faces, chacune des lettres du mot : NOTOUS. On lance le dé et on regarde la lettre inscrite sur la face supérieure. a. Quelles sont les issues de cette expérience? Il y a 5 issues : obtenir N ou O ou T ou U ou S. Déterminer la probabilité de chacun des événements : b. E : «On obtient la lettre O». P(E) = = c. Soit E l évènement contraire de E. Décrire E et calculer sa probabilité. E : «On n'obtient pas O»P(E) = = d. E : «On obtient une consonne». P(E) = = e. E : «On obtient une lettre du mot K IWI». P(E) = f. E5 : «On obtient une lettre du mot CAGOUS». P(E5) = = Extrait de brevet Trois personnes, Aline, Bernard et Claude, ont chacune un sac contenant des billes. Chacune tire au hasard une bille de son sac. Le contenu des sacs est le suivant : Sac d'aline : Sac de Bernard : Sac de Claude : 5 billes rouges billes rouges et billes noires billes rouges et billes noires a. Laquelle de ces trois personnes a la plus grande probabilité de tirer une bille rouge? Justifier. C'est Aline car son sac ne contient que des billes rouges. b. On souhaite qu'aline ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge. Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d'aline? La probabilité que Bernard tire une bille rouge est c'est-à-dire. Il faudra donc rajouter 5 billes noires dans le sac d'aline : sa probabilité 5 de tirer une bille rouge sera donc de c'est-àdire. On tire une carte au hasard dans un jeu de cartes. On considère les événements suivants : A : «on obtient un roi» ; B : «on obtient un as» ; C : «on obtient un trèfle». c. Les événements A et B sont-ils compatibles? Et les événements B et C? Justifie tes réponses. Les événement A et B sont incompatibles car une carte ne peut être à la fois un roi et un as. Par contre, les événements B et C sont compatibles car il y a l'as de trèfle. d. Décris par une phrase sans négation l'événement contraire de l'événement C. «On obtient un cœur, un carreau ou un pique» e. Propose un événement D incompatible avec l'événement C. D : «On obtient un carreau» f. Détermine les probabilités des événements A, B, C et D. P(A) = P(C) = = 8 8 = P(B) = P(D) = = 8 8 = g. Quelle est la probabilité de l'événement contraire de l'événement C? P(C) = = Un sac opaque contient des bonbons bleus, rouges ou verts, tous indiscernables au toucher. Quand on tire un bonbon au hasard, on a deux chances sur cinq de prendre un bonbon rouge et une chance sur deux de prendre un bonbon bleu. a. Quelle est la probabilité d'obtenir un bonbon rouge ou un bonbon bleu? Les événements «obtenir un bonbon bleu» et «obtenir un bonbon rouge» sont incompatibles, on peut donc additionner leurs probabilités. 5 + = + 5 = 9 bonbon bleu ou rouge est La probabilité d'obtenir un 9. CHAPITRE D : STATISTIQUES ET PROBABILITÉS
ÉRIE : PROBABILITÉP ROBABILITÉ, EXERCICES DE BASE b. Déduis-en la probabilité d'obtenir un bonbon vert. Justifie ta réponse. L'événement «obtenir un bonbon vert» est le contraire de l'événement «obtenir un bonbon rouge ou bleu» donc sa probabilité est : 9 =. 5 On tire une boule au hasard dans une urne qui contient 7 boules blanches (B), 5 noires (N) et grises (G), toutes indiscernables au toucher. a. Complète ci-dessous l'arbre des probabilités correspondant à cette situation. 7/8 5/8 /8 b. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ou noire? La probabilité de tirer une boule blanche ou noire 7 est 8 + 5 8 = 8 =. c. Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule noire? La probabilité de ne pas tirer une boule noire est 5 8 = 8 (ou 7 8 + 8 = 8 ). Extrait de brevet Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte. Énoncé : Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées : les boules blanches portent les numéros ; ; et et les noires portent les numéros et. Nu mé ro B N G Question Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche? Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro? Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée? Réponse A B C 7 Extrait de brevet A T À un stand du «Heiva», on fait T M tourner la roue de loterie ci-contre. M T On admet que chaque secteur a T M autant de chance d être désigné. On regarde la lettre désignée par la flèche : A, T ou M, et on considère les évènements suivants : A : «on gagne un autocollant» ; T : «on gagne un tee-shirt» ; M : «on gagne un tour de manège». STATISTIQUES ET PROBABILITÉS : CHAPITRE D
ÉRIE : PROBABILITÉP ROBABILITÉ, EXERCICES DE BASE a. Quelle est la probabilité de l évènement A? P(A) = 8 b. Quelle est la probabilité de l évènement T? P(T) = 8 = c. Quelle est la probabilité de l évènement M? P(M) = 8 d. Exprimer à l aide d une phrase ce qu est l évènement non A puis donner sa probabilité. non A : «on ne gagne pas d'autocollant» La probabilité de cet événement est : P(A) = 8 = 7 8. 8 Un tireur tire parfaitement au hasard sur la cible ci-contre, sans jamais la rater. Tous les carrés sont concentriques et leurs côtés ont pour mesure 5 cm, cm, 5 cm et cm. La probabilité relative à une région est proportionnelle à son aire. Quelle est la probabilité (exprimée sous la forme d'une fraction irréductible) pour qu'il gagne a. 5 points? b. points? c. 5 points? L'aire totale de la cible est cm cm= cm 5 5 a. L'aire de la région «5» est : 5cm 5cm=5cm 5 La probabilité est donc soit. b.l'aire de la région est : cm² 5cm =75 cm 75 La probabilité est donc soit. c. L'aire de la région «5» est : 5 cm 5 cm cm cm = 5 cm La probabilité est donc 5 soit 5. d. Détermine, de deux façons différentes, la probabilité pour qu'il gagne point.. L'événement «gagner point» est le contraire de l'événement «gagner 5, ou 5 points». Donc la probabilité qu'il gagne point est : 5 = 9 = 7. L'aire de la région est : cm² 5cm² =75cm La probabilité est donc 75 soit 7. CHAPITRE D : STATISTIQUES ET PROBABILITÉS
ÉRIE : PROBABILITÉP ROBABILITÉ, APPROFONDISSEMENT Extrait de brevet Un dé cubique a faces peintes : une en bleu, une en rouge, une en jaune, une en vert et deux en noir. On jette ce dé cent fois et on note à chaque fois la couleur de la face obtenue. Le schéma cidessous donne la répartition des couleurs obtenues lors de ces cent lancers. Bleu Rouge Jaune Vert Noir b. Déterminer la fréquence d'apparition de la couleur jaune. La fréquence d'apparition de la couleur jaune est ou ou %. 5 c. Déterminer la fréquence d'apparition de la couleur noire. La fréquence d'apparition de la couleur noire est ou ou %. On suppose que le dé est équilibré. d. Quelle est la probabilité d'obtenir la couleur jaune? La probabilité d'obtenir la couleur jaune est. e. Quelle est la probabilité d'obtenir la couleur noire? La probabilité d'obtenir la couleur noire est = f. Expliquer l'écart entre la fréquence obtenue aux questions a. et b. et les probabilités trouvées aux questions c. et d.. Cet écart est dû au fait qu'on a effectué seulement lancers. Il faudrait en faire davantage pour s'approcher des valeurs théoriques. 7 On a partagé un cube en bois dont les six faces sont peintes en coupant toutes les arêtes en trois parties égales. On admet que les petits cubes obtenus sont tous indiscernables au toucher. On place les petits cubes dans un sachet opaque, on tire un cube au hasard et on observe le nombre de faces peintes. h. Quelles sont les issues de cette expérience? «Tirer un cube ayant faces peintes», «tirer un cube ayant faces peintes», «tirer un cube ayant face peinte» ou «tirer un cube n'ayant aucune face peinte». i. Détermine les probabilités de chacune de ces issues. Il y a 7 cubes en tout : 8 ont faces peintes, ont faces peintes, ont face peinte et n'a aucune face peinte. La probabilité de tirer un cube ayant faces 8 peintes est donc, celle de tirer un cube ayant 7 faces peintes est 7 soit celle de tirer un 9, cube ayant face peinte est 7 soit et celle 9 de tirer un cube n'ayant aucune face peinte est 7. Extrait de brevet Une classe de e est constituée de 5 élèves. Certains sont externes, les autres sont demipensionnaires. Le tableau ci-dessous donne la composition de la classe. Garçons Filles Total Externes 5 DP 9 Total 5 k. Compléter le tableau. On choisit au hasard un élève de cette classe. l. Quelle est la probabilité pour que cet élève soit une fille? La probabilité pour que cet élève soit une fille est 5. m. Quelle est la probabilité pour que cet élève soit externe? La probabilité pour que cet élève soit externe est 5 5 soit 5. n. Si cet élève est demi-pensionnaire, quelle est la probabilité que ce soit un garçon? Parmi les demi-pensionnaires, il y a 9 garçons, 9 donc cette probabilité est. CHAPITRE D : STATISTIQUES ET PROBABILITÉS
ÉRIE : PROBABILITÉP ROBABILITÉ, APPROFONDISSEMENT 5 On lance deux dés équilibrés. L'un est cubique et l'autre à la forme d'un tétraèdre. Les patrons sont présentés ci-dessous. L M N P S T p. Complète ce tableau en présentant toutes les issues de cette expérience. M N P S L T A AM AN AP AS AL AT E EM EN EP ES EL ET I IM IN IP IS IL IT O OM ON OP OS OL OT q. Quelle est la probabilité d'obtenir le mot PI? La probabilité d'obtenir PI est. r. Quelle est la probabilité d'obtenir un mot du dictionnaire si on obtient la lettre L sur le dé cubique? Avec la lettre L, les mots du dictionnaire sont LA, O LE et IL. Cette probabilité est donc. A E I Deux urnes On considère l'expérience suivante, qui se déroule en deux étapes : d'abord, on tire une boule dans une urne contenant trois boules blanches et une boule noire. Ensuite, on tire une boule dans une autre urne contenant une boule numérotée, trois boules numérotées et deux boules numérotées. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. Si on tire une boule blanche puis une boule numérotée, on note (B ; ) le résultat obtenu. v. Complète l'arbre ci-dessous en indiquant, sur chaque branche, les probabilités correspondantes. / / B N w. Quelle est la probabilité d'obtenir (B ; )? P(B ; ) = = 8 / / / / / / (B ; ) (B ; ) (N ; ) (N ; ) (N ; ) x. Quelle est la probabilité d'obtenir (N ; )? (B ; ) P(N ; ) = = 8 s. Quelle est la probabilité d'obtenir un mot du dictionnaire si on obtient la lettre O sur le dé tétraèdre? Avec la lettre O, les mots du dictionnaire sont ON, PO (le fleuve) et OS. Cette probabilité est donc soit. y. Quelle est la probabilité d'obtenir un trois? P() = P(B;) + P(N;) = + = 8 = z. Quelle est la probabilité de ne pas obtenir un trois? P() = = t. Quelle est la probabilité de former un pronom possessif avec les deux lettres du tirage? La probabilité de ne pas obtenir un trois est. Les déterminants possessifs possibles sont MA, TA et SA. Cette probabilité est donc soit 8. STATISTIQUES ET PROBABILITÉS : CHAPITRE D
ÉRIE : PROBABILITÉP ROBABILITÉ, APPROFONDISSEMENT Dans ce problème, on lance deux dés de couleurs différentes. Les dés sont équilibrés et les faces sont numérotées de à. On s intéresse à la somme des valeurs obtenues par les dés. Partie : On lance 5 fois les deux dés et on note les valeurs dans un tableur. Les résultats sont représentés dans le tableau ci-contre. La colonne A indique le numéro de l expérience. Les colonnes B et C donnent les valeurs des dés. La somme des deux dés est calculée dans la colonne D. a. La somme peut-elle être égale à? Justifier. Il est impossible que la somme soit égale à car la plus petite valeur que l'on peut obtenir en lançant un dé est. La somme de deux dés est donc au moins égale à. A B C D N dé dé Som me 5 5 5 7 5 8 7 8 7 9 9 8 5 9 5 8 5 9 5 7 5 8 5 7 5 5 7 5 8 7 5 7 9 8 7 9 5 5 5 5 5 7 b. La somme n apparaît pas dans ce tableau. Est-il toutefois possible de l obtenir? Justifier. Oui, il suffit d'obtenir à chaque lancer. c. Pour le e lancer des deux dés, quelle formule a-t-on marquée dans la cellule D pour obtenir le résultat donné par l ordinateur? = B + C d. Dans cette expérience, combien de fois obtient-on la somme 7? En déduire la fréquence de cette somme en pourcentage. On obtient fois la somme 7 sur les 5 expériences. La fréquence de cette somme est donc soit %. 5 e. Quelle est la médiane de cette série de sommes (colonne D)? On classe les 5 sommes dans l'ordre croissant : ---5-5-5----7-7-7-7-7-7-8-8-8-9-9----- La médiane de cette série est la ème somme, c'est-à-dire 7. f. Tracer le diagramme en bâtons de la série des sommes obtenues (colonne D). 5 7 8 9 Partie : On fait une simulation de expériences avec un tableur. Les résultats sont représentés dans le diagramme en bâtons suivant. 8 5 9 des sommes obtenues 5 7 8 9 g. Quelles sont les deux sommes les moins fréquentes? et sont les sommes les moins fréquentes. h. Paul, un élève de troisième joue avec Jacques son petit frère de CM. Chacun choisit une somme à obtenir avec dés. Paul prend la somme 9 et Jacques la somme. Expliquer pourquoi Paul a plus de chances de gagner que son petit frère. Pour obtenir la somme, il n'y a qu'une possibilité : «obtenir et». Par contre, il y a plus de possibilités pour obtenir 9 : «obtenir et» ou «obtenir et 5». Paul a donc plus de chances de gagner. i. Quel est, pour cette simulation, le nombre de lancers qui donnent la somme 7? En déduire la fréquence en pourcentage représentée par ces lancers. 7 lancers sur donnent la somme 7. La fréquence d'obtenir la somme 7 est donc 7 c'est-à-dire 7 %. j. Compléter le tableau et entourer les différentes possibilités d obtenir une somme égale à 7 avec deux dés. Calculer la probabilité d obtenir cette somme. Somme des dés Valeur er dé Valeur e dé 5 5 7 5 7 8 5 7 8 9 5 7 8 9 5 7 8 9 7 8 9 Il y a façons sur d'obtenir la somme 7. La probabilité d'obtenir 7 est donc soit. k. Que peut-on dire de la valeur de la fréquence obtenue à la question i. et de celle de la probabilité obtenue à la question j.? Proposer une explication.,7 La fréquence d'apparition de la somme 7 obtenue à la question i. est donc très proche de la probabilité d'obtenir la somme 7. Cela s'explique par le fait qu'on a effectué un très grand nombre de lancers ( ). Plus le nombre de lancers est grand, plus la fréquence se rapproche de la probabilité. CHAPITRE D : STATISTIQUES ET PROBABILITÉS