Optique géométrique 2 Réflexion et réfraction 2.1 Description L angle r de réfraction est donné par : sin i = n 2 sin r (2) Dioptre Un dioptre est l interface qui sépare deux milieux d indices optiques (indices de réfraction) différents. REMRQUE Si le dioptre est un miroir, il n y a pas de rayon réfracté. Lorsqu un rayon (dit incident) arrive sur un dioptre, il donne en général naissance à un rayon réfléchi et rayon réfracté. rayon incident n 2 i r i' rayon réfléchi dioptre 2.3 Principe de Fermat et loi du retour inverse de la lumière Les loi de Snell-Descartes peuvent se justifier à l aide du principe de Fermat. Celui-ci affirme que le trajet suivi par la lumière pour aller d un point à un autre minimise ou maximise la durée de parcours. Une démonstration est faite en correction d un des exercices du TD. Loi du retour inverse de la lumière Le trajet que met la lumière pour aller d un point à un point B est le même que celui suivi pour aller de B à. 2.4 ngle de réfraction maximal / de réflexion totale rayon réfracté FIGURE 1 Réflexion et réfraction d un rayon incident sur un dioptre. REMRQUE Le plan d incidence est le plan formé par le rayon incident et la droite normale (perpendiculaire) au dioptre au point d incidence. 2.2 Lois de Snell-Descartes Le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont dans le plan d incidence. L angle i de réflexion est donné par : i = i (1) FIGURE 2 Réflexion totale. 1
Considérons un rayon provenant d un milieu 1 d indice optique plus élevé que celui du milieu 2 situé au-delà du dioptre : > n 2 (3) lors au-dessus d une certaine valeur i 0 de l angle d incidence, il n y a pas de rayon réfracté : toute la lumière est réfléchie. Cet angle est appelé angle de réflexion totale. Cet angle est donné par r = π 2 soit, d après la loi de Snell-Descartes : sin i 0 = n 2 sin(π/2) = n 2 soit i 0 = arcsin(n 2 / ) (4) La réflexion totale est indispensable pour de nombreuses applications telles que la fibre optique ou le pentaprisme d un appareil photo reflex. FIGURE 4 Image d un réfracté. Elle se construit à l intersection de 2 rayons provenant de l : le premier est le prolongement virtuel du rayon perçu par l œil. Le deuxième est le rayon perpendiculaire au dioptre, qui n est pas dévié. L est virtuelle. n 2 miroir FIGURE 3 Guidage de la lumière par réflextion totale dans un «coeur» d eau entouré d une «gaine» d air. La paroi air/eau présente des irrégularités, qui diffusent la lumière, ce qui permet de voir cell-ci s échapper de la «fibre d eau». virtuelle FIGURE 5 Image virtuelle d un réfléchi par un miroir. 2.5 Image d un réfracté Voir fig. 4. 2.6 Image d un réfléchi Voir fig. 5. 3 Formation des s, conditions de Gauss Le rôle de la plupart des instruments d optique (objectif d appareil photo, microscope, lunette) est de produire l nette d un net. Et ce n est généralement le cas que sur une partie limitée de l ou pour une certaine plage de longueurs d ondes. 2
3.1 Stigmatisme, et réelles et virtuelles 3.1.1 Système optique et stigmatisme Système optique (SO) Un SO est une succession de dioptres et de miroirs. Les dioptres sont le plus souvent les faces de lentilles. La plupart du temps, les SO possèdent un axe de rotation : on l appelle axe optique. Il est orienté dans le sens d incidence des rayons sur le SO. On considère un système optique qui est traversé par des rayons provenant d un (qui est donc ici une source lumineuse, la plupart du temps secondaire). Que deviennent les rayons provenants de ces s? ponctuel ponctuel système optique stigmatique système optique astigmatique ponctuelle ' floue axe optique axe optique FIGURE 6 Haut : système optique stigmatique. Bas : système optique astigmatique : les rayons provenant de ne convergent pas et son est floue. Stigmatisme rigoureux Un SO est rigoureusement stigmatique s il forme une ponctuelle de chaque ponctuel. REMRQUES Si l de chaque ponctuel par un SO rigoureusement stigmatique est ponctuelle, alors l de chaque étendu est nécessairement nette! En effet un étendu n est rien d autre qu un ensemble de points. La réciproque est vraie, ce qui implique que le stigmatisme rigoureux peut être défini de façon équivalente par l ponctuelle de tout ponctuel ou par l nette de tout étendu. L d un ponctuel est aussi appelé son conjugué. Soit un couple de points conjugués (, ). lors si le SO est stigmatique, tout rayon passant par et incident sur le SO passe nécessairement par. Réciproquement, tout rayon passant par et sortant du SO passe par. 3.1.2 Objet et réels et virtuels D après ce qui précède, on peut définir les s comme les points de concours des rayons incidents sur le SO, et les s comme les points de concours des rayons émergents du SO. Sur la figure 6 du haut, l est réel et le SO en forme une qu on peut projeter sur un écran. Mais il existe des situations moins intuitives. C est le cas par exemple lorsque le SO est une lentille divergente. L d un ponctuel réel ne peut pas être projeté sur un écran : elle n est pas à droite de la lentille mais à gauche. On parle d virtuelle. Rayon virtuel, virtuel, virtuelle Les rayons réels sont projetables sur un écran. Les prolongements (non projetables) des rayons réels sont appelés rayons virtuels. Le point de concours de rayons virtuels incidents sur le SO est appelé virtuel. Le point de concours de rayons virtuels émergent du SO est appelé virtuelle. L espace situé en «amont» du SO (en fonction de l orientation de l axe optique) est appelé espace réel ; l espace situé en «aval» du SO est appelé espace réel. 3
réel virtuelle ' les rayons en jeu sont peu inclinés (au maximum de quelques degrés) par rapport à l axe optique ; ces rayons coupent les dioptres au voisinage de leurs centres. Des rayons satisfaisants aux deux conditions ci-dessus sont appelés rayons paraxiaux. Les conditions de Gauss peuvent se résumer au fait que les rayons soient paraxiaux. lentille divergente 3.3 berrations Les aberrations optiques sont très courantes, notamment en photographie. En voici deux types ; il en existe d autres. FIGURE 7 L d un réel par une lentille divergente est virtuelle. REMRQUE D après les définitions ci-dessus, une réelle peut être projetée sur un écran et une virtuelle non. 3.2 Stigmatisme approché, conditions de Gauss Les s assurant un stigmatisme rigoureux pour une position quelconque de l sont rares. C est le cas par exemple des miroirs, mais pas des lentilles. Dans le cas des lentilles, un faisceau issu d un ponctuel quelconque ne reconverge pas exactement en un point mais dans une zone de l espace (sur un écran, on voit une tache) appelée caustique (voir figure 9). Mais l étendue de cette tache peut être suffisamment petite pour que la lentille joue son rôle de façon satisfaisante. Cela dépend des exigences de l utilisateur. On parle alors de stigmatisme approché. Il s agit donc de définir les conditions permettant d obtenir un stigmatisme approché. Les lentilles sont d autant plus astigmatiques que les rayons sont éloignés du centre et qu ils sont inclinés par rapport à l axe optique. Pour assurer un stigmatisme approché, on a donc intérêt à se placer dans les conditions suivantes, appelées conditions de Gauss. Conditions de Gauss Les conditions de stigmatisme approché sont réalisées pour un système optique lorsque : 3.3.1 berration chromatique Le verre a un pouvoir dispersif : l indice de réfraction dépendant de la longueur d onde, l angle de réfraction aussi. Il s ensuit que les rayons de longueurs d ondes différentes ne convergent pas au même endroit. Il s agit de l aberration chromatique (voir fig. 8). Un moyen de la corriger (partiellement) consiste à utiliser des matériaux peu dispersifs. FIGURE 8 Principe de l aberration chromatique : les trois rayons sont de couleurs différentes. 3.3.2 berration géométrique L aberration géométrique se caractérise par une déformation de l liée au fait que les rayons inclinés ne convergent pas au même endroit que les rayons paraxiaux (voir fig. 9). Un moyen d y remédier consiste à se placer dans les conditions de Gauss. 4
4.1.2 Foyers, distance focale, plans focaux FIGURE 9 Principe et illustration de l aberration géométrique. 4 Lentilles minces 4.1 Définitions 4.1.1 Lentilles minces Lentille mince Une lentille est dite mince si la distance entre ses 2 dioptre (faces) est très faible devant leurs rayons de courbure. On peut alors, de façon approchée, les confondre en un seul plan. Il s agit bien sûr d une approximation, d un modèle. On considère qu une lentille mince possède un seul centre appelé sommet qui est souvent noté O. NOTTION Pour une lentille, «convergente» est souvent noté «CV» et «divergente» «DV». Les représentations schématiques suivantes sont utilisées pour les lentilles minces CV et DV. O f'(distance focale ) F' plan focal FIGURE 10 Position du foyer principal F et du plan focal pour une lentille convergente. Supposons qu un ponctuel soit situé à l infini dans l espace, et sur l axe optique d une lentille mince. lors son est sur l axe optique et s appelle le foyer principal de la lentille, noté F. Foyer principal (FPI) Le FPI, noté F, est le conjugué d un ponctuel situé à l infini (dans l espace réel) sur l axe optique. Il peut être réel (lentille CV) ou virtuel (DV). Distance focale (DFI) La DFI est la grandeur algébrique OF, aussi notée f. Si la lentille est CV, f > 0 ; si la lentille est DV, f < 0. schéma d'une lentille convergente schéma d'une lentille divergente On définit de façon similaire le foyer principal de la lentille. Foyer principal (FPO) Le FPO, noté F, est le conjugué d une ponctuelle situé à l infini (dans l espace réel) sur l axe optique. Le FPO peut aussi être réel (lentille CV) ou virtuel (DV). Distance focale (DFO) aussi notée f. La DFO est la grandeur algébrique OF, Résultat important D après le principe du retour inverse de la lumière : OF = OF ou f = f. (5) 5
où n ext est l indice optique du milieu environnant. Le plus souvent c est de l air et n ext 1. La vergence est exprimée en dioptries, de symbole δ, et 1δ = 1 m 1. plan focal F f (distance focale ) O FIGURE 11 Position du foyer principal F et du plan focal pour une lentille convergente. Pour le montrer, il suffit d inverser le sens de l axe optique sur la figure 10. lors le point F n est plus le FPI, renommons-le F pour éviter la confusion. Utilisons le pricipe du retour inverse de la lumière : les rayons convergents vers F en provenance de + sont les mêmes que ceux divergents de F et allant vers +. Donc F = F. REMRQUE Il est courant de parler simplement de la focale d une lentille, pour désigner la distance focale f. Plan focal, plan focal Le plan focal (respectivement ) est le plan perpendiculaire à l axe optique passant par le PFO (resp. le PFI). Résultat important Pour une lentille mince, l d un situé sur le plan focal est nécessairement à l infini. De même, l conjugué d une située dans le plan focal est à l infini. 4.1.3 Vergence, grandissement Vergence d une lentille mince La vergence est la quantité V = n ext f = n ext, (6) f Grandissement (transversal) Soient et B deux points tels que le segment B soit perpendiculaire à l axe optique (voir figure 12), et soient et B leurs s respectives. lors B est aussi perpendiculaire à l axe optique, et le grandissement transversal γ est défini par : Il s agit d une grandeur algébrique. 4.2 Relations de conjugaison γ = B B. (7) Soit un B perpendiculaire à l axe optique, où est sur celui-ci. Soit B son. Le problème posé ici est le suivant : connaissant les positions de et B, comment trouver celles de et B (en fonction des caractéristiques de la lentille : focale ou vergence)? Les relations de conjugaison permettent ça. Elles s écrivent sous deux formes équivalentes : les formules de Descartes et celles de Newton. Elles sont valables quel que soit le type de lentille (convergente ou divergente) et quelles que soient les positions de et B. Mais cela suppose de respecter le caractère algébrique des notations. Dans le cadre du programme de MPSI, elles ne sont pas à apprendre par cœur et seront systématiquement rappelées dans les épreuves écrites ou orales. On pose 4.2.1 Formules de Descartes Positionnement horizontal : Grandissement : p = O et p = O. (8) 1 p 1 p = 1 O 1 O = 1 f (9) γ = B B = p p = O O (10) 6
B F O FIGURE 12 Construction géométrique pour une lentille convergente lorsque l est réel et au-delà de F. 4.2.2 Formules de Newton Positionnement horizontal : Grandissement : F' F F = OF OF = f f = f 2 (11) γ = B B = FO F = F F O ' B' (12) Le rayon provenant de, passant par B et par le foyer F (réellement dans le cas CV, virtuellement ds le cas DV) : il ressort parallèle à l axe optique. Ces 3 rayons convergent en un même point, qui est nécessairement B. D autre part, deux s ponctuels ( et B) situés dans un plan perpendiculaire à l axe optique ont des s ( et B ) par une lentille mince qui sont aussi dans un plan perpendiculaire à l axe optique. La figure 12 représente la construction géométrique de l d un réel situé au-delà du foyer F lorsque la lentille est CV. Il est nécessaire de savoir tracer 5 autres cas : d un réel situé en-deça du foyer F (entre F et O) lorsque la lentille est CV ; d un virtuel lorsque la lentille est CV ; d un réel lorsque la lentille est DV ; d un virtuel situé en-deça du foyer F (entre O et F) lorsque la lentille est DV ; d un virtuel situé au-delà du foyer F lorsque la lentille est DV. 5 Constructions géométriques pour les lentilles 5.1 Image d un à distance finie À coté des expressions algébriques que sont les relations de conjugaison, une deuxième façon de déterminer les positions de et B consiste à trouver celles-ci géométriquement, par tracé de rayons. Pour cela, on utilise trois rayons particuliers (en pratique 2 sur 3 suffisent) : Le rayon provenant de, passant par B et par le sommet O : il n est pas dévié. Le rayon parallèle à l axe optique provenant de, passant par B : il passe par le foyer F (réellement dans le cas d une lentille CV, virtuellement dans le cas d une lentille DV). 7