I. Expressions algébriques, équations a) Développement factorisation Développer Développer un produit, c est l écrire sous forme d une somme. Réduire une somme, c est l écrire avec le moins de termes possibles. Exemple : Développer et réduire l expression A(x) = 4 5 x 1 2 (x 2) A(x) = 4 5 x² -2x x 2 + 1 = 4 5 x² - 5x 2 + 1 = 4 5 x²- 2x + 4 5 Factoriser Factoriser une expression, c est l écrire sous forme d un produit. Exemple : Factoriser l expression B(x) = (3x 1)(2x + 4) (x 5)(3x 1) B(x) = (3x 1)(2x + 4 x + 5) = (3x 1)(x + 9) Identités remarquables on développe (a + b)² = a² + 2ab + b² (a b)² = a² 2ab + b² (a b)(a + b) = a² b² on factorise Exemples : 1. Développer à l aide d une identité remarquable : Développer C(x) = (2x + 4)² (4x 6)(4x + 6). C(x) = 4x² + 16x + 16 16x² + 36 = - 12x² + 16x + 52 2. Factoriser à l aide d une identité remarquable : Factoriser D(x) = (x 1)² 9 puis E(x) = 2x² + 8x + 8 D(x) = (x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4) E(x) = 2(x²+4x+4)=2(x+2)² 1
3. Ecrire sous la forme d'un quotient : F(x) = x + 3 x - 1 x + 1 x + 2 On réduit les fractions au même dénominateur : un dénominateur commun à (x - 1) et (x + 2) est (x 1) (x + 2). (x + 3) (x + 2) (x + 1)(x 1) Donc F(x) = - (x 1)(x + 2) (x + 2)(x 1) x² + 2x + 3x + 6 x² - 1 F(x) = - (x - 1)(x + 2) (x + 2)(x 1) F(x) = F(x) = x² + 5x + 6 x² + 1 (x 1)(x + 2) 5x + 7 (x 1)(x + 2) b) Equations Egalité Une égalité est une affirmation utilisant le signe «=» et qui ne peut être que vrai ou fausse. Les identités remarquables sont des égalités. Equation Une équation est une égalité où figure un nombre inconnu. Résoudre une équation, c est trouver toutes les valeurs possibles de l inconnue telles que l égalité soit vraie. On détermine ainsi l ensemble des solutions. Exemple : 6 est solution de l équation 2 + x = 8 car l égalité 2 + 6 = 8 est vraie. Résolution algébrique d une équation Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l un des facteurs est nul : A B = 0 A = 0 ou B = 0 Règle du quotient nul : Un quotient est nul si, et seulement si, le numérateur est nul, mais pas le dénominateur : N D = 0 N = 0 et D 0 2
Exemples : Résoudre (x + 4)(5-7x) = 0 x + 4 = 0 ou 5 7x = 0 x = -4 ou x = 5 7 S = -4; 5 7 Résoudre 4x + 1 x + 2 = 0 4x + 1 = 0 et x + 2 0 x = - 1 4 et x = -2 S = - 1 4 Résolution d une équation du premier degré Règles Lorsqu on ajoute ou que l on retranche un même réel aux deux membres d une équation, on obtient une autre équation qui a exactement les mêmes solutions. Lorsqu on multiplie ou que l on divise chaque membre d une équation par un même réel différent de 0, on obtient une autre équation qui a exactement les mêmes solutions. Exemple : Résoudre l équation : 3x 4(3 + x) + 5(2x 1) = 5 x 3x -12 4x + 10x 5 = 5 x 9x 17 = 5 x 9x + x = 5 + 17 10x = 22 x = 2,2 3
II Définir une fonction a) Ensemble et intervalles L'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée est appelée l'ensemble des nombres réels. On note l'ensemble de tous ces nombres. Remarques : On note l'ensemble des nombres entiers naturels (positifs). On note l'ensemble des nombres entiers relatifs (positifs ou négatifs). Certaines parties de sont appelées des intervalles; on les note en utilisant des crochets. a et b sont deux réels tels que a < b. Le tableau ci-dessous résume les différents types d intervalles. L intervalle noté est l ensemble des réels x tels que [a ; b] a x b Représentation de cet intervalle sur une droite graduée ]a ; b[ a < x < b ]a ; b] a < x b [a ; b[ a x <b [a ; + [ a x ]a ; + [ a < x ]- ; b] ]- ; b[ x b x > b Vocabulaire: [a ; b], ]a ; b[,]a ; b] et [a ; b[ sont des intervalles d extrémités a et b (a < b). Le centre de l intervalle est le nombre a + b, et sa longueur est b a. 2 Remarques : - (moins l infini) et + (plus l infini) ne sont pas des nombres, ce sont des symboles. Du côté de - et de +, le crochet est toujours ouvert, par convention. L ensemble des réels se note aussi ]- ; + [. [a ;a] = {a} ]a ;a[ = (ensemble vide) 4
Réunion et intersection d intervalles L intersection de deux intervalles est l ensemble des nombres réels appartenant à la fois aux deux intervalles. Le symbole utilisé pour l'intersection de deux intervalles est. L'intersection des intervalles A et B se note A B (on lit "A inter B"). La réunion de deux intervalles est l ensemble des nombres réels appartenant à l un ou l autre de ces intervalles (les éléments de l intersection appartiennent aussi à la réunion). Le symbole utilisé pour la réunion de deux intervalles est. La réunion des intervalles A et B se note A B (on lit "A union B"). x A B x A et x B x A B x A ou x B Exemples : [2 ; 5] [4 ; 6] = [4 ; 5] et [2 ; 5] [4 ; 6] = [2 ; 6]. ]- ; 2] [-1 ; + [ = [-1 ; 2] et ]- ; 2] [-1 ; + [ = ]- ; + [ = 3 b) Vocabulaire des fonctions D est une partie de l ensemble des réels. Lorsque, à chaque réel x de D on associe un seul réel y, on définit une fonction sur l ensemble D. Vocabulaire et notation : o D est l ensemble de définition de la fonction f. o x est la variable. o L image d un réel x de D est notée f(x) (lire «f de x»). o x est un antécédent de y Exemple : f est la fonction définie sur Y par f(x) = x² - 3 o 5 a pour image f(5) = 25 3 = 22 o -3 a pour image f(-3) = 9 3 = 6 5
Exemple 1 : Une fonction f définie par un graphique L'ensemble de définition de f est l'intervalle [-3;2]. Le nombre -3 a pour image -1, donc f(-3) = -1. Exemple 2 : Une fonction g définie par un tableau Nombre x -4-1 0 2 3 Image g(x) 5 4 1 2 4 L'ensemble de définition de g est D = {-4;-1;0;2;3}. Le nombre 0 a une seule image 0. g(-1) = 4 et g(3) = 4 donc les antécédents de 4 par g sont -1 et 3. Exemple 3 : Une fonction h définie par une formule La fonction h associe à un nombre réel x quelconque, le nombre h(x) = 2x² - 3. L'ensemble de définition de h est. On peut aussi écrire : h : x 2x² - 3. Pour calculer l'image de -5, on remplace x par -5 dans l'expression de h(x) : h(-5) = 2 (-5)² - 3 = 47. III Courbes et résolutions graphiques a) Courbe représentative d'une fonction f est une fonction définie sur D. Dans un repère, la courbe représentative de la fonction f est l ensemble des points M(x ;y) tels que : o L abscisse x décrit l ensemble de définition D. o et l ordonnée y est l image de x par f. Autrement dit, x D et y = f(x) Vocabulaire : On dit que la courbe C a pour équation y = f(x) dans le repère choisi. 6
Exemple 1 : f est la fonction définie par f(x) = -x² + 3x Voici sa courbe P représentée dans un repère. Le point A(2;2) appartient à P car f(2) = -2² + 3 2 = 2 Le point B(-1;-6) n'appartient pas à P. car f(-1) = -(-1)² + 3 (-1) = -1 4 = -5 Exemple 2 : g est la fonction définie sur par f(x) = k où k est un nombre donné. Cette fonction affine est dite constante. Sa courbe est la droite d'équation y = k représentée cicontre. k b) Résolution graphique d'équations C f et C g sont les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère. Equation f(x) = k (avec k réel) Equation f(x) = g(x) Les solutions sont les abscisses des points d intersection de C f avec la droite d équation y = k. Les solutions sont les abscisses des points d intersection des deux courbes C f et C g. 7