CONCOURS DE CONTRÔLEUR DE LA CONCURRENCE, DE LA CONSOMMATION ET DE LA RÉPRESSION DES FRAUDES DES 24 ET 25 MARS 2014 Concours externe à dominante scientifique et technologique EPREUVE N 2 : options (durée 3 heures - coefficient 4) Le candidat choisira une option parmi les trois proposées et indiquera son choix sur sa copie Option A) - résolution d un ou plusieurs exercices de mathématiques pages 2 à 4 Option B) - résolution d un ou plusieurs exercices de physique-chimie pages 5 à 11 Option C) - composition sur un ou plusieurs sujets donnés et/ou cas pratiques de sciences et technologies de l agronomie et du vivant. page 12 L UTILISATION D UNE CALCULATRICE EST AUTORISEE. IL EST RAPPELE QUE LES TELEPHONES PORTABLES DOIVENT RESTER ETEINTS DURANT TOUTE L EPREUVE.
Option A) - résolution d un ou plusieurs exercices de mathématiques Le sujet comporte quatre exercices indépendants les uns des autres. N.B. Toute réponse devra être justifiée. Exercice 1 Exercice 1 Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante Une usine fabrique en grande quantité deux types de pièces métalliques pour l industrie : des pièces triangulaires et des pièces carrées. Partie A. On admet que 40% des pièces de la production sont triangulaires. Parmi les pièces triangulaires, 70% ont une masse égale à 30 grammes. Parmi les pièces carrées, 80% ont une masse égale à 30 grammes. On prélève au hasard une pièce dans la production d une journée de ces deux types de pièces. On considère les événements suivants : T : «la pièce prélevée est triangulaire» ; M : «la pièce prélevée a une masse égale à 30 grammes». 1. Déduire des informations figurant dans l énoncé : P(T ), PT (M) et P T (M). 2. Montrer que P(M) = 0,76. 3. Calculer, à 10-2 près, la probabilité qu une pièce soit carrée sachant que sa masse est égale à 30 grammes. Partie B. Les pièces sont susceptibles de présenter deux défauts appelés «défaut 1» et «défaut 2». On prélève une pièce au hasard dans un lot important. On note D1 l événement : «la pièce présente le défaut 1» ; On note D2 l événement : «la pièce présente le défaut 2». On admet que les probabilités des événements D1 et D2 sont : P (D1) = 0,01 et P (D2) = 0,02. On suppose de plus que les deux événements D1 et D2 sont indépendants. 1. Calculer la probabilité qu une pièce prélevée au hasard dans le lot présente les deux défauts. 2. Une pièce est jugée défectueuse si elle présente au moins l un des deux défauts. Calculer la probabilité qu une pièce prélevée au hasard dans le lot soit défectueuse. Partie C. On note E l événement : «une pièce prélevée au hasard dans un stock important de pièces est triangulaire». On suppose que la probabilité de E est 0,40. On prélève au hasard 60 pièces dans le stock. Le stock est suffisamment important pour que l on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 60 pièces. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 60 pièces, associe le nombre de pièces triangulaires de ce prélèvement. 1. Expliquer pourquoi la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de la variable X. - 2 -
Exercice 2 Partie A. Soit f la fonction définie sur l intervalle [0 ; + [ par f (x) = (2x 2 + 3x) e x. 1. Calculer la limite en + de f(x). Interpréter graphiquement le résultat. 2. a. Démontrer que, pour tout x de l intervalle [0 ; + [, on a : f '(x) = (-2x + 3)(x + 1) e x. b. Étudier le signe de f '(x) sur [0 ; + [. c. Établir le tableau de variation complet de f sur [0 ; + [. On y fera figurer la valeur approchée arrondie à 10-2 du maximum de la fonction f. 3. a. Compléter, après l avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à 10-2. x 0 1 2 3 4 5 6 f (x) b. Construire la courbe représentative C de f dans un repère orthogonal (O ; i, j ). On prendra pour unités graphiques : 2 cm pour 1 sur l axe des abscisses et 4 cm pour 1 sur l axe des ordonnées. c. Résoudre graphiquement dans [0 ; + [ l équation f (x) = 1. Faire apparaître sur la figure les constructions utiles. Partie B 1. Soit F la fonction définie sur l intervalle [0 ; + [ par : F(x) = (-2x 2 7x 7) e x. Démontrer que F est une primitive de f sur [0 ; + [. 2. Calculer la valeur exacte de I = f (x)dx. 6 0 Partie C. Une société extrait du gravier pour la construction d autoroutes. Elle envisage l ouverture d un nouveau site d extraction. On admet, qu au bout de x centaines de jours d exploitation, la production journalière sur ce site, exprimée en milliers de tonnes, est f (x), où f est la fonction qui a été définie au début de la partie A. 1. Déterminer au bout de combien de jours après l ouverture du site, la production journalière sera maximale. Quelle est cette production maximale en milliers de tonnes? 2. Déterminer au bout de combien de jours après l ouverture du site la production journalière après avoir atteint son maximum sera revenue à 1 000 tonnes. 3. Calculer la production moyenne journalière durant les 600 premiers jours d'exploitation. Arrondir le résultat à 10-3. - 3 -
Exercice 3 1. Soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ par : x a 1 x. Soit n un entier naturel non nul. a. Encadrer f(x) pour x appartenant à [n ; n + 1]. 1 n +1 b. Prouver que ln 1 n + 2. En déduire un encadrement de ln. n +1 n n n +1 2. Soit (Un) la suite définie pour n > 0 par : un = 1 1 + 1 2 + 1 3 +...+ 1 n ln(n). Soit (Vn) la suite définie pour n > 0 par : vn = 1 1 + 1 2 + 1 3 +...+ 1 n a. Montrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes. b. Que peut-on en déduire pour ces deux suites? ln(n + 1). Exercice 4 Dans le plan muni d'un repère orthonormé d'unité le centimètre, on considère les points A(3 ; 5); B (-1 ; 3) et C(1 ; - 4). k et k' désignent deux réels. Dans chacun des cas suivants, caractériser géométriquement l'ensemble des points M du plan qui vérifient la relation donnée : a. MA + k MB = 0, k ]0 ; + [ ; b. MA + k MC = 0, k ]- ; -1[ ; c. MA + k MB + MC = 0, k ]-2 ; 0[. - 4 -
Option B) - résolution d un ou plusieurs exercices de physique-chimie La numérotation des questions doit être respectée. Les 4 exercices sont indépendants. CHIMIE EXERCICE 1 : Fonctionnement d une pile On donne le schéma d une pile en ANNEXE 1, à rendre avec la copie. Le pont salin est constitué de nitrate d ammonium NH4 +, NO3 - Après fonctionnement, on constate un dépôt de cuivre métallique sur la lame de cuivre. 1) Ecrire la demi-équation qui a lieu sur l électrode de cuivre. Quel type de réaction est-ce? 2) En déduire le nom de cette électrode puis sa polarité. 3) En déduire la demi-équation ayant lieu sur l autre électrode, puis la réaction globale. 4) Quel est le rôle des ions du pont salin? 5) Indiquer le sens des électrons et des autres porteurs de charges sur le schéma (ANNEXE 1). 6) Sur le schéma (ANNEXE 1) placer les bornes de l ampèremètre pour mesurer une intensité positive. 7) Calculer la masse de Cuivre formé au bout de 1h avec un courant de 50 ma. Données : le Faraday F = 9,65 10 4 C.mol -1 M(Cu) = 63,5 g.mol -1-5 -
EXERCICE 2 : Réactions à partir de composants du pétrole Le pétrole est composé de multiples hydrocarbures ayant de 1 à 50 atomes de Carbone. Le tableau suivant donne quelques produits courants issus du pétrole et leur composition : Produit Alcanes présents Téb ( C) sous 1 bar Gaz naturel C1 : méthane -162 Gaz de pétrole liquéfié (GPL), propane, C3 et C4-42 à 0 butane Ether de pétrole (solvant) C5 à C7 30 à 98 Essence C5 à C10 36 à 175 Kérosène C10 à C18 175 à 275 Gazole C12 à C20 190 à 330 Fioul domestique C14 à C22 230 à 360 Tfus ( C) sous 1 bar Paraffine C25 à C50 50 à 65 1) Comment évolue la température d ébullition avec le nombre de C? 2) Comment sépare-t-on les différentes espèces qui composent le pétrole? On effectue la réaction de craquage de l hexane qui forme du propane + l espèce A. 3) Ecrire l équation du craquage et nommer l espèce A. 4) Le composé A obtenu précédemment subit une hydratation (en présence d eau et d un acide fort) et forme soit le composé B (majoritaire) soit le composé C. 4.a) Quel type de réaction est-ce? 4.b) Ecrire l équation de la réaction donnant le produit B. 4.c) Nommer les 2 composés B et C. Quelle est la relation entre les 2 espèces B et C? 4.d) Citer la règle permettant de savoir lequel des 2 est majoritaire. 4.e) On oxyde les composés B et C par du permanganate de potassium en milieu acide : donner les formules semi-développées et les noms des 2 composés D et E obtenus. 5) Le benzène C6H6 est également issu du pétrole. 5.a) Représenter sa formule semi-developpée et sa formule topologique. 5.b) De quelle famille fait-il partie? 5.c) On effectue une réaction entre le benzène et le dibrome, en présence de FeBr3. Cela donne le composé F et HBr. i. Écrire l équation-bilan et nommer le composé F. ii. Quel type de réaction est-ce? iii. Représenter le schéma de Lewis du composé F. 6) L acide benzoïque est un dérivé du benzène. Il peut réagir avec l éthanol. 6.a) Donner le nom de cette réaction et des produits formés. 6.b) Définir sa constante d équilibre. 6.c) Définir son rendement. 6.d) Ce rendement est relativement faible : proposer 2 méthodes pour l augmenter. - 6 -
PHYSIQUE EXERCICE 1 : MOTEUR A EXPLOSION A) Description des 4 temps d un cycle du moteur Le fonctionnement du moteur à explosion à 4 temps est rappelé sur le schéma suivant : vilebrequin A.1) Combien de tours sont effectués par le vilebrequin lors des 4 temps d un cycle? A.2) Quels sont le ou les temps moteurs? B) Cycle de Beau de Rochas Le moteur à explosion peut être modélisé par le cycle théorique de Beau de Rochas, représenté dans le diagramme de Clapeyron ci-dessous : P D C E A Vmin B V max V Les différentes étapes de ce cycle sont les suivantes : AB : admission du mélange gazeux air-essence à la pression constante p0. En B, il y a fermeture de la soupape d admission. Le volume est Vmax. BC : compression adiabatique réversible du mélange jusqu à Vmin. - 7 -
CD : explosion qui provoque un échauffement isochore du gaz. DE : détente adiabatique réversible du gaz jusqu à Vmax. EB : refroidissement isochore du gaz. BA : refoulement des gaz vers l extérieur, à la pression p0. 1) A quelles étapes de ce cycle correspondent les 4 temps cités au A)? Le système étudié est le mélange air-essence. On admet pour simplifier qu'au cours du cycle BCDEB, ce mélange est assimilable à un gaz parfait dont le nombre de moles reste constant au cours des transformations (combustion comprise). On rappelle que pour un gaz parfait la capacité thermique molaire à volume constant est cpm, constante, elle est notée cv,m. On donne le coefficient adiabatique γ = = 1,33 dans ce c cas. La constante des gaz parfaits vaut R = 8,31 J.K -1.mol -1. Les températures notées T sont des températures absolues, en K. v, m 2) Exprimer la quantité de chaleur QCD échangée dans l étape CD en fonction de n, cv,m, TC et TD. Préciser son signe. 3) Exprimer QEB en fonction de n, cv,m, TB et TE. Préciser son signe. 4) Etablir l expression du travail total W échangé au cours du cycle BCDEB, en fonction des quantités de chaleur. Préciser son signe. 5) Définir le rendement η du moteur. 6) Exprimer η en fonction des températures TB, TC, TD et TE. 7) En déduire que l efficacité peut se mettre sous la forme : η = 1 - τ 1-γ, τ étant le taux de compression τ = Vmax / Vmin 8) Calculer le rendement η sachant que τ = 8. 9) La cylindrée est définie par Cy = Vmax Vmin pour un cylindre. Elle vaut 3 litres. Le mélange air-essence est admis à une température TB = 323 K et sous la pression pb = 1,00.10 5 Pa. La proportion de carburant dans le mélange est de 1 pour 50 (en moles) a. Calculer les valeurs de Vmax et Vmin. b. Calculer la quantité de carburant consommée par cycle, ncarb (en mol). 10) Le moteur tourne à 3000 tr.min -1. Calculer la puissance mécanique correspondante en admettant que Wcycle = 3200 J. - 8 -
EXERCICE 2 : OPTIQUE GEOMETRIQUE A) Lentille convergente 1) Donner la définition du foyer image F, de la distance focale f, de la vergence C. 2) Construire l image de l objet AB par la lentille L sur le schéma en ANNEXE 2. 3) Donner les caractéristiques de l image A B : sens, taille, nature. 4) Rappeler la définition du grandissement γ et calculer sa valeur d après la construction graphique. 5) Démontrer que pour toute lentille convergente A' B' AB OA' = OA 6) Rappeler la formule de conjugaison liant OA ', OA et f. 7) A partir des données du schéma en annexe 2, retrouver par calculs la position de l image puis sa taille. 8) On positionne un diaphragme devant la lentille, réduisant de moitié la surface de celle-ci, quels sont les effets sur l image? Justifier. B) Focométrie : détermination de la distance focale d une lentille convergente inconnue 1) Méthode de Silbermann : établir la relation entre OA et f pour avoir une image réelle renversée de même taille que l objet. 2) Méthode de Bessel : a) Montrer que pour une distance D fixe entre l objet et la lentille, il existe deux positions de la lentille (notées O1 et O2, voir schéma ci-dessous) pour former l image sur l écran à condition que D > 4f. On posera pour cela x = AO. - 9 -
d Écran B O 1 O 2 D b) En déduire l expression de f en fonction de D et d = O1O2. C) Microscope Un microscope est constitué de 2 systèmes optiques : - un objectif : lentille convergente 1, de distance focale f1 - un oculaire : lentille convergente 2, de distance focale f2 > f1 Objet AB Lentille 1 1 Image A1B1 lentille 2 Image A B à l infini 1) Pourquoi l image A B doit-elle être à l infini? 2) Ou doit donc se former l image intermédiaire A1B1? 3) Faire la construction géométrique des images A1B1 et A B sur l ANNEXE 3. 4) On appelle «diamètre apparent» de l objet AB, l angle α sous lequel on le perçoit à l œil nu, à la distance de 25 cm. On appelle «diamètre apparent» de l image A B, l angle α sous lequel on la perçoit à travers l instrument. On appelle «grossissement standard» le rapport G = α / α Dans le cas de l objet du schéma de l annexe 3, calculer α et α (on placera α sur le schéma ANNEXE 3) puis G. - 10 -
ANNEXE 1 : ANNEXES A RENDRE AVEC LA COPIE ANNEXE 2 : ANNEXE 3 : - 11 -
Option C) - composition sur un ou plusieurs sujets donnés et/ou cas pratiques de sciences et technologies de l agronomie et du vivant Sur une boite de maïs BIO, il est indiqué : «Ce maïs doux est sans OGM» «Informations nutritionnelles moyennes : Energie pour 100 g : xxx KJ, xxx Kcal» 1- Indiquer ce que signifient KJ et Kcal. Comment obtient-on ces valeurs? 2- Décriver le process de fabrication de ces boites de conserve et proposer un schéma de fabrication 3- Qu est ce que la stérilisation? 4- Qu est ce qu un autoclave? 5- HACCP a. Qu est-ce que la méthode HACCP? b. Quels sont les points critiques qui peuvent être identifiés dans le cadre du process de fabrication décrit précédemment? 6- Mentions valorisantes a) Que signifie la mention «bio»? b) Que signifie la mention «SANS OGM»? c) Quels type de contrôles peut on mettre en place pour vérifier la véracité de ces allégations? - 12 -