Écoulements internes et calcule de h et de température

Objectifs Écoulements internes et calcule de h et de température Objectifs Mettre en évidence les différences entre écoulements externes et internes Calcul de h local et moyen Calcul de température locale et moyenne Calcul de concentration de masse locale et moyenne Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 1 / 28

Écoulements interns Écoulements interns Écoulement interne - écoulement confiné par des surfaces Écoulement dans des tubes cylindriques, conduits, canal fermé. À l encontre d écoulement externes, les écoulements internes se différencient par : Le développement de la couche limite est assujetti aux surfaces délimitant l espace de l écoulement. Les grandeurs caractéristiques : vitesse/température/concentration sont des grandeurs moyennes, vitesse moyenne u m/ température moyenne T m/ concentration moyenne C A,m. Il ne s agit pas alors de U, T, C A,. Dans la région d entrée (0 < x l e) : les profils de u, T, C A sans dimensions, varient avec x. Pour l écoulement établi : les profils sans dimensions ne varient plus avec x. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 2 / 28

Écoulements interns Les couches limites Les écoulement internes conduisent aux couches limites différentes Trois couches limites : 1. Couche limite hydrodynamique. 2. Couche limite thermique. 3. Couche limite de concentration. Chaque couche limite se distingue par une longueur d entrée, l e. Comportements différents de l écoulement, transfert thermique et de transfert de masse pour les couches limites en développement ou dans l état entièrement établi. Ils existent des corrélations différentes pour la région d entrée et pour la région d état entièrement établi. Vérifiez donc la zone dans laquelle le problème est à résoudre. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 3 / 28

Écoulements interns Longueur d entrée hydrodynamique Longueur d entrée hydrodynamique, l e - (I), pensez aux couches limites! On se réfère à la longueur d entrée dès qu il y a une région de couche limite en développement : on a besoin de l e pour déterminer la corrélation à utiliser. l e dépend du régime de l écoulement : laminaire ou turbulent. Le nombre critique de Reynolds pour la transition à la turbulence pour un conduit cylindrique de section circulaire : Re D,c 2300 Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 4 / 28

Écoulements interns Longueur d entrée hydrodynamique Longueur d entrée hydrodynamique, l e - (II) Longueur d entrée laminaire avec une vitesse uniforme à l entrée : l e = 0, 05D Re D. Longueur d entrée turbulente : l e = 10D. Il s agit d une longueur approximativement indépendante de Re. Le pré - facteur varie effectivement de 10 à 60, mais ici nous l avons posé égale 10. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 5 / 28

Écoulements interns Paramètres de calcul paramètres importantes intervenant dans le calcul Le nombre de Reynolds : Re D = umd ν Z Débit massique : ṁ = ρu(r, x)da c = ρumd µ Débit massique (incompressible) : Z ṁ = ρu(r, x)da c = ρu ma c Rappel : on utilise le symbole n pour le débit massique en transfert de masse Vitesse moyenne : u m = ṁ = 1 Z ρa c A c u(r, x)da c Remarque : Pour des écoulements en régime permanent avec des sections droites (A c ) uniformes, la vitesse moyenne u m ne dépend plus des x, ni pour les écoulements en développement ni pour les écoulements établis. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 6 / 28

Écoulements interns Paramètres de calcul Calcul de la vitesse moyenne Il nous faut les grandeurs A c, da c et u(r, m). Pour des tubes de section circulaires Sections droites : da c = 2π rdr, A c = πd 2 /4. (c est évident mon cher Watson) Profil de vitesse ( toujours écoulement établi) : En considérant le bilan de la quantité de mouvement dans un volume élémentaire de contrôle En considérant les équations de Navier-Stokes pour d écoulements unidirectionnels. Le calcul s avère difficile pour l écoulement dans les régions de la longueur d entrée. On peut se référer aux livres spécialisés ou effectuer le calcul numérique par des logiciels appropriés. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 7 / 28

Écoulements interns Profil de vitesse Profil de vitesse en écoulements entièrement établis Tubes circulaires : Vitesse moyenne : u m = r 2 o dp 8µ dx, (voir notes de cours de dynamiques des fluides réels) Vitesse moyenne calculée à partir de débit massique : quelque soit la forme de la section droite (A c ), on peut déterminer u m sans connaissant le gradient de pression : " Profil de vitesse : u(r) «# r 2 = 2 1 u m r o u m = ṁ ρa c Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 8 / 28

Écoulements interns Perte de charge Gradient de pression, frottement pariétal et perte de charge Écoulement visqueux = frottement visqueux = perte de charge. Pour choisir une pompe/un ventilateur ou un compresseur approprié dans une application industrielle, on doit déterminer/estimer d abord (dp/dx). Pour déterminer la perte de charge, déterminer le coefficient de frottement C f (ou le coefficient de Darcy ou de Moody f ) : f (dp/dx)d 1 2 ρu2 m = 4C f. Chercher f du diagramme de Moody. Ou le calculer de corrélations : Écoulement laminaire : f ( = 64/Re D f = 0, 316Re 1/4 Écoulement turbulent : D Re D 2 10 4 f = 0, 184Re 1/5 D Re D 2 10 4 Z p2 Z Alors, la perte de charge : p = dp = f ρu2 x2 m dx = f ρu2 m p 1 2D x 1 2D (x 2 x 1 ) où f est obtenu des formules précédentes ou du digramme de Moody. Puissance requise de pompe : P = p débit volumique = p (ṁ/ρ) Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 9 / 28

Écoulements interns Perte de charge Remarque important sur le calcul de u m Dans le cas d écoulement turbulent où u m n est pas connue à priori, le calcul de la perte charge requiert un procédure itératif (ou de calcul de racines sous scilab) car f dépend de u m. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 10 / 28

Écoulements interns Diagramme du Moody Diagramme du Moody Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 11 / 28

Couche limite thermique Couche limite thermique Conditions à la surface ϕ s l e,t Figure (couche limite dans un conduit circulaire) basée sur T paroi > T fluide entrant avec : T Ts(x) T (x, r) = T s(x) T m(x) T varie avec x même dans la région entièrement établie, T fluide tend toujours d approcher T paroi À l encontre de T, la température sans dimension (T ) reste constante dans la région entièrement établie. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 12 / 28

Couche limite thermique La longueur d entrée thermique Longueur d entrée thermique, l e,t - (I), pensez aux couches limites thermiques! Les corrélations sont différentes pour la région d entrée et pour les régions entièrement établies. Déterminer la corrélation requiert la longueur d entrée l e,t. l e,t dépend du régime de l écoulement : laminaire ou turbulent. Le nombre critique de Reynolds pour la transition à la turbulence est : Re D,c 2300 Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 13 / 28

Couche limite thermique La longueur d entrée thermique La longueur d entrée thermique - (II) Longueur d entrée laminaire : en admettant une vitesse uniforme à l entrée, l on obtient : l e,t = 0, 05D Re D Pr. Longueur d entrée turbulente : l e,t = 10D. Il s agit d une longueur indépendante de Re et Pr. On obtient la même longueur que pour la couche limite hydrodynamique. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 14 / 28

Couche limite thermique Flux thermique local et température Flux thermique local et température moyenne Le flux thermique local est une fonction des x : Température moyenne est obtenue de : T m = 1 Z ṁc p ρu c p T da c ϕ(x) = h (T s(x) T m(x)) j u et T sont des vitesse et températures locales La surface élémentaire da c de section droite est obtenue de la géométrie du problème. calcul de T m requiert u(x, r) et T (x, r) Comment calculer T : Soit par un bilan d énergie dans un volume élémentaire de contrôle sous forme d un anneau. Soit par la résolution de l équation d énergie. Ces deux méthodes sont difficiles dans la région d entrée. Mais conduisent à une solution analytique dans la région entièrement établie. Remarque : Pour calculer T m il est suffisant d effectuer un bilan d énergie à travers une section droite toute entière. Remarque : Comment calculer T m est présenté dans l annexe suivant Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 15 / 28

Couche limite thermique Flux thermique local et température Bilan d énergie sur une section toute entière - seule la valeur moyenne T m est relevant Hypothèses - écoulement presque incompressible dφconv = dφparoi Bilan de l énergie applique au vol. de contrôle Premier principe appliqué au volume de contrôle : d(ṁe)(x + dx) d(ṁe)(x) = +dφ paroi {z } variation de l énergie interne Dissipation et génération interne de l énergie sont tous les deux négligeables. Conduction thermique axiale au sein de fluide est négligeable par rapport à l advection thermique - une hypothèse justifiée pour un grand nombre de Peclet, Pe D = u md/α. Pas de forces extérieures. Fluide incompressible, c v = c p. Propriétés constantes (moyennées). Énergie interne massique : e Il vient : d(ṁe) dx = dφ paroi = dφ conv dx Soit : ṁ de dx = dφconv dx Ou : dφ conv = ϕ(x)pdx = ṁc pdt m Pour tout le tube : Φ conv = ṁc p (T m,s T m,e). Loi de Newton appliquée localement : dφ conv = h(pdx) (T s(x) T m(x)) D où : dtm dx = P h (T s(x) T m(x)) ṁc p P : périmètre du conduit. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 16 / 28

Couche limite thermique Calcul de Tm Calcul de T m Uniforme température de surface, T s constante Rappel de l équation de T m(x) : dtm dx = P ṁc p h (T s(x) T m(x)) h est la valeur locale de coefficient de transfert thermique par convection. Il vient en intégrant l éq. de T m :» T m(x) = T s (T s T m,e) exp Px h ṁc p La valeur moyenne h sur l intervalle [0, x] est donnée par : h = 1 Z x hdx x 0 Uniforme flux à la surface, ϕ conv = ϕ s = constant Rappel de l équation de T m(x) : dtm dx = P h (T s(x) T m(x)) = P ϕ s ṁc p ṁc p Il vient en intégrant l éq. de T m : T m(x) = T m,e + Pϕs ṁc p x Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 17 / 28

Couche limite thermique Calcul de Tm Variation de la température moyenne Région d entrée Région entièrement établie T Ts(x) Ts(x) Ts (Ts(x) Tm(x)) Tm(x) Te = Ts,e Tm,e (Ts(x) Tm(x)) Tm(x) Flux ϕs constant Ts constante Tm(x) = Tm,e + P ϕs x ṁcp O [ Tm(x) = Ts (Ts Tm,e) exp P x ] h ṁcp x Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 18 / 28

Région thermiquement établie Région entièrement établie thermiquement Pour le problème hydrodynamique (en région établie) u(r, x) u(r). Pour le problème thermique, l échange de chaleur est présent le long du conduit ce qui implique que T = T (r, x) Mais un profil relatif de température ne changeant pas avec x peut être obtenu :» Ts(x) T (r, x) = 0, ree,t région entièrement établie thermiquement ( ) x T s(x) T m(x) ree,t Une telle condition peut se réaliser soit pour un flux uniforme, ϕ s, ou soit pour une température uniforme à la surface, T s. Dérivatives du ce rapport de températures par rapport à r est aussi indépendant de x : Ts(x) T (r, x) r T s(x) T «= T / r r=r o m(x) r=r o T s(x) T f (x) m(x) Loi de Fourrier : ϕ s = λ T = λ T y y=0 r r=ro Loi de Newton de refroidissement : ϕ s = h(t s T m) Alors, l éq. (*) implique : h λ f (x) Conclusion : dans une région d écoulement entièrement établie, avec propriétés constantes, le coefficient local de transfert thermique est constant, c-à-d, indépendant des x. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 19 / 28

Région thermiquement établie Variation le long du tube de coefficient de transfert thermique h h ree,t O O x ree,t x h est constant dans la région entièrement établie thermiquement. Le nombre de Nusselt est aussi constant, Nu = hd λ. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 20 / 28

Correlations Corrélation dans la région d entrée Corrélations - région d entrée Écoulement laminaire, température constante à la surface La corrélation de Hausen : Nu D = hd λ = 3, 66 + 0, 0668(D/L)Re D Pr 1 + 0, 04 [(D/L)Re D Pr] 2/3 présuppose une longueur d entrée ce qui rendre son application non pratique. Cette difficulté est surmontée par la corrélation de Sieder et Tate : 2 3 «ReD Pr 1/3 «T s = constante µ 0,14 Nu D = 1, 86, 6 0, 48 < Pr < 1.67 10 4 «7 L/D µ s 4 µ 5 0, 0044 < < 9, 75 µ s «ReD Pr 1/3 «µ 0,14 Elle est recommandée par Whitaker pour 2. L/D µ s Pour des valeurs inférieures à cette limite, on utilise Nu D = 3, 66 T s = constante valable dans la région entièrement établie thermiquement. Toutes les propriétés, sauf µ s, sont à évaluer à la température moyenne T m = 1 (Tm,e + Tm,s) 2 Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 21 / 28

Correlations Corrélation dans la région d entrée Corrélations (I) - Écoulement turbulent dans des tubes circulaires Corrélation de Dittus Boelter : Nu D = 0, 023Re 4/5 D Pr n, 2 6 4 n = 0, 4 si T s > T m n = 0, 3 si T s < T m 0, 7 Pr 160 Re D 10 4 L D 10 3 7 5 Corrélations - Écoulement turbulent dans des tubes circulaires Corrélation à utiliser pour une différence de température (T s T m) modérément petite. Corrélation de Sieder et Tate (recommandée) : Nu D = 0, 027Re 4/5 D Pr 1/3 µ µ s «0,14, Toutes les propriétés, sauf µ s, sont à évaluer à la température T m. 2 6 4 0, 7 < Pr < 1.67 10 4 Re D 10 4 L D 10 Les deux précédentes corrélations s appliquent pour des conditions de constante température de surface T s et constant flux thermique ϕ s. 3 7 5 Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 22 / 28

Correlations Corrélation dans la région d entrée Corrélations (II) - Écoulement turbulent dans des tubes circulaire Corrélation plus récentes Corrélation de Petukhov, Kirilov, et Popov : Nu D = (f /8)Re D Pr 1, 07 + 12, 7(f /8) 1/2 `Pr 2/3 1,» 0, 5 < Pr < 2000 10 4 < Re D < 5 10 6 Le facteur de frottement f est déterminé du diagramme de Moody, ou pour des tubes lisses de : f = (1, 82 log 10 Re D 1, 64) 2 Corrélation de Gnielinski : Nu D = (f /8) (Re D 1000) Pr 1 + 12, 7(f /8) 1/2 `Pr 2/3 1,» 0, 5 < Pr < 2000 2300 < Re D < 5 10 6 Pour des tubes lisses, utiliser : f = (0, 79 ln Re D 1, 64) 2 Toutes les propriétés sont à évaluer à la température T m. Les deux précédentes corrélations s appliquent pour des conditions de constante température de surface T s et constant flux thermique ϕ s. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 23 / 28

Correlations Métals liquides Corrélations (III) - Metals liquides en écoulements turbulent entièrement établi Flux constant ϕ s, corrélation de Skupinski, : 2 Nu D = 4, 82 + 0, 0185Pe 0,827 D, 4 ϕ s = constant, Pe = RePr 3, 6 10 3 < Re D < 9, 05 10 5 10 2 < Pe D < 10 4 3 5 Température constante à la surface T s, corrélation de Seban et Shimazki : Nu D = 5, 0 + 0, 025Pe 0,8 D, Ts = constante, Pe D > 100 Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 24 / 28

Correlations Tubes non circulaires Tubes non circulaires, diamètre hydraulique D h = 4A c/p Le nombre de Nusselt pour des tubes non circulaires, écoulement laminaire entièrement établi (Flux uniforme, ϕs) (Température uniforme, Ts) Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 25 / 28

Correlations Tube annulus Espace annulaire entre des tubes concentriques : Anneux Échange thermique entre deux fluides Nombres de Nusselt différents Nu i h i D h λ Nu o hod h λ Avec, le diamètre hydraulique : D h = 4 ˆ(π/4) `D 2 o D2 i = D o D i πd i + πd o Nombres de Nusselt Nu i et Nu o, pour un écoulement laminaire entièrement établi dans l anneux avec l une des surfaces isolée adiabatiquement et l autre à une température constante. Surface intérieure : ϕ s = h i (T s,i T m) Surface extérieure : ϕ s = h o (T s,o T m) Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 26 / 28

Correlations Tube annulus Écoulement laminaire entièrement établi avec flux thermiques Nu ii Nu i = 1 (ϕ o/ϕ i )θi Nu oo Nu o = 1 (ϕ i /ϕ o)θo Coefficients d influence (Nu ii, Nu oo, θ i, θ o ) pour un écoulement entièrement établi dans l espace du tube anneux circulaire avec flux thermiques uniformes aux surfaces intérieure et extérieure Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 27 / 28

Correlations Transfert de masse Transfert de masse dans des tubes circulaires De la même manière utilisant la température moyenne T m, on utilise ici la masse volumique moyenne : ρ A,m = 2 Z ro u mro 2 uρ A rdr 0 Par analogie, couche limite de concentration entièrement établie existe quand» ρa,s (x) ρ A (r, x) = 0 x ρ A,s (x) ρ A,m (x) ree,c Le flux de masse de l espèce A : n A,s = hm `ρa,s ρ A,m La valeur de h m est obtenue de corrélation appropriée faisant intervenir le nombre de Sherwood Sh D, défini par Sh D = hmd D AB En utilisant l analogie entre le transfert de chaleur et le transfert de masse, la corrélation appropriée peut être déduite simplement en remplaçant Nu D par Sh D et Pr par Sc. Adil Ridha (Université de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 28 / 28