Fonctions Exercice : Liban mai 6 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre propositions est exacte.. La représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d abscisses et. C f -7-6 - - - - - x - - - a. f () = b. f ( ) = c. f ( ) = d. f ( ) =. On note g la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par : g(x) = (x+)ln(x). a. g (x) = x b. g (x) = +ln(x) c. g (x) = x d. g (x) = + x +ln(x). On considère la fonction h définie sur [; 7] et représentée par la courbe ci-dessous : 9 C h 8 7 6 6 7 8 x a. h(x)dx = h() h() b. < h(x)dx < c. < h(x)dx < d. h(x)dx = /7 juin 8
. Onatracéci-dessouslareprésentationgraphiquedeladérivéesecondek d unefonctionk définiesur[; + [. C k - a. k est concave sur l intervalle [; ]. b. k est convexe sur l intervalle [; ]. c. k est convexe sur [ ; + [. d. k est concave sur [ ; + [. Exercice : Pondichér mai 8 Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. On considère la fonction f définie sur l intervalle [,; ] par : f(x) = +lnx. x Sa représentation graphique est la courbe C donnée ci-dessous dans un repère d origine O. On admet que le point A placé sur le graphique est le seul point d inflexion de la courbe C sur l intervalle [,; ]. On note B le point de cette courbe d abscisse e. On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur cet intervalle. On rappelle que f désigne la fonction dérivée de la fonction f et f sa fonction dérivée seconde. 6 A B C O e x On admet que pour tout x de l intervalle [,; ] on a : f (x) = lnx. La fonction f est : (a) positive ou nulle sur l intervalle [,; ] (b) négative ou nulle sur l intervalle [; ] (c) négative ou nulle sur l intervalle [,; ]. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point B est égal à : a. e b. c. e e x f (x) = lnx x. /7 juin 8
. La fonction f est : (a) croissante sur l intervalle [,; ] (b) décroissante sur l intervalle [; ] (c) croissante sur l intervalle [; ]. La valeur exacte de l abscisse du point A de la courbe C est égale à : a.,6 b.,6 c. e,. On note A l aire, mesurée en unités d aire, du domaine plan délimité par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équation x = et x =. Cette aire vérifie : a. A b. A c. A 8 Exercice : Pondichér mai 8 Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à, près. On considère la fonction f définie sur l intervalle [; ] par : f(x) = (,6x+,)e,6x,. Partie A On admet que la fonction f est dérivable sur l intervalle [; ] et on note f sa fonction dérivée.. Justifier que pour tout nombre réel x de l intervalle [; ] on a : f (x) = (,6x+,6)e,6x.. (a) Étudier le signe de f (x) sur l intervalle [; ]. (b) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur cet intervalle. On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variation sous forme approchée.. On admet que la fonction F définie par : F(x) = ( 6x )e,6x,x. est une primitive de la fonction f sur l intervalle [; ]. Partie B Calculer la valeur exacte de f(x) dx puis en donner une valeur numérique approchée. On note C f la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [; ]. On considère la fonction g définie par : g(x) = x x+. On note C g la courbe représentative de cette fonction sur l intervalle [;,]. On a tracé ci-dessous les courbes C f et C g dans un repère d origine O et, en pointillés, les courbes obtenues par smétrie de C f et C g par rapport à l axe des abscisses : C f C g O /7 juin 8
. Montrer que, g(x)dx = 6.. On considère le domaine plan délimité par les courbes C f, C g, leurs courbes smétriques (en pointillés) ainsi que la droite d équation x =. Ce domaine apparaît grisé sur la figure ci-dessus. Calculer une valeur approchée de l aire, en unités d aire, de ce domaine. Exercice : Liban mai 6 Soit f la fonction définie sur l intervalle [; ] par f(x) = x+ e x+. Partie A : Étude de la fonction f. Montrer quelafonction dérivéef, dela fonction f, définiepour tout x del intervalle[; ], a pour expression f (x) = ( +e x+).. a) Résoudre dans l intervalle [; ] l inéquation : f (x). b) En déduire le signe de f (x) sur l intervalle [; ] et dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à. c) Calculer l intégrale f(x)dx. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à près. Partie B : Application Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre et. On suppose que toute la production est commercialisée. Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d euros, réalisé pour la production et la vente de x centaines de toboggans est modélisé sur l intervalle [; ] par la fonction f. En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes :. Déterminer le nombre de toboggans que l usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l euro.. Calculer le bénéfice moen pour une production mensuelle comprise entre et toboggans. Arrondir le résultat à l euro. Partie C : Rentabilité Pour être rentable, l usine doit avoir un bénéfice positif. Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l usine doit fabriquer en un mois pour qu elle soit rentable. Justifier la réponse. Exercice : Nouvelle Calédonie novembre 7 La courbe (C ) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et deux fois dérivable sur [ ; ]. On note f la fonction dérivée de f et f la fonction dérivée seconde de f. La courbe (C ) ci-dessous représente, dans le repère orthonormé, la fonction f. Le point A(; ) est situé sur la courbe (C ). Le point B est le point d intersection de (C ) avec l axe des abscisses. Une valeur approchée de l abscisse de B est,7. La tangente à la courbe (C ) au point A est horizontale. /7 juin 8
,,,,,,,,,,,,,, x,,,, (C ) (C ). Par lecture graphique, (a) Donner la valeur de f(). (b) Donner la valeur de f (). (c) Étudier la convexité de f sur [ ; ]. Justifier la réponse.. On admet désormais que la fonction f est définie pour tout réel x dans [ ; ] par : f(x) = ( x)e x +x. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants : f(x) : = ( x) exp(x)+x ( x)e x +x factoriser( dériver(f(x))) x( e x ) primitive (f(x)) x +( x+)e x (a) Vérifier le résultat trouvé par le logiciel pour le calcul de f (x). (b) Étudier le signe de f (x) puis dresser le tableau de variation de la fonction f sur [ ; ].. (a) Justifier que l équation f(x) = possède une unique solution α dans [ ; ]. (b) Déterminer un encadrement de α d amplitude,.. Déterminer une équation de la tangente à (C ) au point d abscisse.. (a) Justifier la ligne du tableau de calcul formel. (b) On admet que la fonction f est positive sur [ ; ]. En déduire l aire exacte, en unités d aire, du domaine compris entre la courbe (C ), l axe des abscisses et les droites d équation x = et x =, puis en donner une valeur arrondie au dixième. /7 juin 8
Exercice 6 : Polnésie Juin 7 Soit f une fonction définie sur l intervalle [ ; ] par f(x) = (ax )e x, où a est un nombre réel. On admet dans tout l exercice que la fonction f est deux fois dérivable sur l intervalle [ ; ]. La courbe représentative C de la fonction f est donnée ci-dessous dans un repère d origine O. D C - x6 - - A - Les courbes C et D passent toutes les deux par le point A( ; ). La droite D est tangente à la courbe C au point A et admet pour équation = x. On rappelle que f désigne la fonction dérivée de la fonction f.. Donner, à l aide des informations ci-dessus et sans justifier les valeurs de f() et de f ().. (a) Montrer que pour tout réel x de l intervalle [ ; ] on a : f (x) = ( ax+a+)e x. (b) Déduire des questions précédentes que a = 8. (c) Donner l expression de f (x).. (a) Préciser le signe de f (x) sur l intervalle [ ; ]. On pourra faire un tableau. (b) En déduire le tableau des variations de la fonction f sur ce même intervalle. (c) Résoudre sur l intervalle [ ; ] l équation f(x) =.. À l aide d un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants : En utilisant ces résultats : g(x) := ( 8 x+) exp( x) g(x) := ( 8x+)e x Dériver [g(x), x] (8 x 8) exp( x) Résoudre [(8 x 8) exp( x) >,x] x > 9/ (a) Donner l expression de f, fonction dérivée seconde de la fonction f. (b) Justifier que la courbe C admet un point d inflexion dont on donnera la valeur exacte de l abscisse.. Une entreprise fabrique des grille-pains. Après avoir fait une étude, son directeur constate que si l entreprise fabrique chaque jour x milliers de grille-pains (où x est un nombre réel de l intervalle [ ; ]), alors le bénéfice quotidien est donné, en centaine de milliers d euros, par la fonction f définie par : f(x) = (8x )e x. (a) Quelle quantité de grille-pains l entreprise doit-elle fabriquer afin de réaliser un bénéfice maximal? 6/7 juin 8
(b) Quel est alors la valeur de ce bénéfice maximal? On donnera une valeur approchée du résultat à l euro près. Exercice 7 : Antilles-Guane Juin 7 On considère la fonction f définie sur l intervalle [ ; ] par f(x) = +e x. On a tracé dans le repère orthogonal ci-dessous la courbe C représentative de la fonction f dans un repère du plan. Le domaine D hachuré sur la figure est le domaine délimité par la courbe C, par l axe des abscisses, l axe des ordonnées et la droite d équation x =. On veut partager le domaine hachuré en deux domaines de même aire par une droite d équation = a, parallèle à l axe des abscisses, selon l exemple donné ci-dessous. 6 C a = a. Justifier que la valeur a = ne convient pas.. Déterminer à, près une valeur de a qui convienne. 7/7 juin 8