Programmer une expérience en statistiques En casse de seconde, simuation d une expérience aéatoire. On peut utiiser a cacuatrice pour simuer e ancer simutané de deux dés. Puis faire un programme pour que a cacuatrice répète cette expérience un grand nombre de fois et mémorise es résutats dans un tabeau. On va utiiser e menu RUN, e menu PROG pour a programmation de expérience puis e menu STAT pour visuaiser es résutats. Exercice : L expérience consiste à ancer deux dés simutanément et à noter e résutat correspondant à a somme de ces deux dés. 1) Ques sont es résutats possibes? 2) Quee est a commande à utiiser sur a cacuatrice pour simuer e ancer de deux dés et effectuer eur somme? 3) Ecrire un programme qui réaise N fois expérience, qui mémorise es résutats dans un tabeau donnant effectif pour chaque résutat possibe et qui cacue ensuite a fréquence d apparition de chaque vaeur. Dans e programme, on demandera d entrer e nombre N de ancers que on veut faire. 4) Exécuter e programme pour 500 ancers de deux dés. 5) Quee est e résutat qui apparaît e pus souvent? Pouvait-on prévoir ce résutat et estimer es vaeurs obtenues pour es fréquences sur un grand nombre d expériences? 1) Les résutats possibes de cette expérience, appeés aussi «issues de cette expérience aéatoire» sont 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 ;12. En effet a pus petite somme possibe à obtenir est 2 ( es résutats des deux dés vaent 1), a pus grande est 12( es résutats des deux dés vaent 6). Toutes es vaeurs intermédiaires sont des résutats possibes. 2) Commande à utiiser pour simuer e ancer simutané de deux dés : I faut que a cacuatrice génère deux nombres entiers aéatoires compris entre 1 et 6, ce qui se fait à aide de a fonction RandInt# (1,6,2). Ces deux vaeurs sont mises dans une variabe LISTANS (iste de derniers résutats) et pour avoir a somme de cette iste i suffit de faire action SUM. 1
p On choisit q, ce menu correspond au choix 1 i u (>) e (PROB) r (RAND) w (INT) 1,6,2 chaque appui sur a touche génère une iste de deux nombres entiers compris entre 1 et 6, e dernier résutat est mémorisé dans a variabe LISTANS Pour effectuer a somme des deux dernières vaeurs tirées qui sont dans LISTANS on peut effectuer iq (LIST) uu ( > >) q (SUM) L1 (List) Ln (Ans) 2
3) Ecriture d un programme pour simuer N ancers de deux dés à a cacuatrice. Voici agorithme, dans ce programme nous aons rempir a ist1 avec es effectifs des différentes issues. A a fin du dérouement du programme, a ist2 contiendra e tabeau des effectifs et a ist3 e tabeau des fréquences correspondantes. L utiisateur devra aer dans e menu stat pour voir e résutat de son programme. Variabes : N : e nombre de ancers de deux dés à faire S : a somme des deux dés List1,ist2,ist3 : istes contenant respectivement es issues, es effectifs et es fréquences. I : e compteur de a bouce. Initiaisations : Initiaiser a ist1 contenant es issues de expérience avec es vaeurs possibes {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} => ist1 Initiaiser a ist2 contenant es effectifs à 0. Initiaiser a ist3 contenant es fréquences à 0. Entrées Entrer a vaeur du nombre N de ancers. Traitement : Pour i variant de 1 à N Simuer e Lancer des deux dés Faire eur somme S. Incrémenter de 1 effectif correspondant à S :ist2(s-1) = ist2(s-1)+1 Fin pour. Cacuer es fréquences et mettre e résutat en ist3 : ist3 = ist2/n Fin. Ecriture du programme en angage casio : p On choisit S, ce menu correspond au choix 9 3
Dans e cas présent,i n y a aucun programme dans a cacuatrice, ee e signae. Nous aons créer un nouveau programme par appui sur a touche e ( NEW) écriture d'un nouveau programme s'appeant som2des: m97a2lahjm Nous aons maintenant pouvoir saisir es différentes instructions du programme dans éditeur du programme : Initiaisation des trois istes à 0 en précisant qu'ees sont de dimension 11 : 11biqe(DIM)q(LIST)1 11be(DIM)q(LIST)2 11be(DIM)q(LIST)3 initiaisation de a ist1 avec es différentes issues possibes: Lm2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12 LMbq1 4
Nettoyage de 'écran et affichage de a question demandant e nombre de ancers à faire: Louq(Cr)q(Text) On boque e mode aphanumérique La pour écrire e texte: zj8m6j0.bj.897 g6jz zhj.bf8g6jm.f. kfj6jz e programme reste en attente de a vaeur de N, et affecte a vaeur entrée à a variabe N: Lor(?)ba8(N) Bouce pour réaiser N fois es instructions correspondant aux ancers des deux dés, à eur somme, met a somme dans a variabe S puis augmente de 1 a vaeur de rang (S-1) dans e ist2. quq(for)1baj(i)w(to)a8(n) iuerw(ranint)1,6,2k iquuq(sum)uq(list)ln(ans) bam q2l+am-1l- +1bq2L+am- 1aL- Loqur(Next) Cacu des fréquences : L1(List)2Ma8(N)bL1(List)3 Le programme est donc terminé, i reste à exécuter d d d Pour exécuter ce programme : q (EXE) 5
On entre par exempe 500. Pendant exécution du programme un petit carré indique que a cacuatrice «travaie» Le programme est terminé quand e texte «Done» apparaît à écran. On peut aors aer voir es istes contenant es résutats dans e menu STAT. p2 NNNNNN NNNN 6
5) En observant ces résutats, on s aperçoit que e 7 est sorti e pus souvent. Lors de cette simuation de 500 ancers nous avons e tabeau suivant donnant es fréquences d apparition des vaeurs : vaeur 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 effectif 18 34 34 41 69 89 66 64 47 27 11 fréquence 0,0 0,068 0,068 0,082 0,138 0,178 0,132 0,128 0,094 0,054 0,022 Pour expiquer ces fréquences observées, on peut effectuer une étude de probabiités. On réaise un tabeau à doube entrées donnant toutes es possibiités obtenues avec deux dés Les sommes sont notés dans es cases du tabeau: Dé1 Dé2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Chaque case correspond à une issue possibe de expérience aéatoire et toutes es cases ont a même probabiité d être obtenues, nous voyons donc que a probabiité d obtenir un sept est de 6 = 1 6 Aors que cee d obtenir un 5 est de 5 Le tabeau donnant es probabiités de chaque résutat et donc eur fréquence théorique d apparition est e suivant : vaeur 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 probabiité 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Fréquence théorique 0,028 0,056 0,083 0,111 0,139 0,167 0,139 0,111 0,083 0,056 0,028 Nous voyons que sur 500 ancers es fréquences obtenues à a simuation sont assez proches des fréquences théoriques. En augmentant encore e nombre de ancers nous pourrions nous rapprocher encore de ces fréquences. C est ce que on appee a oi des grands nombres en statistiques. 7