Information numérique Chapitre I : Représentation de l information Dans la vie courante on utilise des systèmes analogiques pour représenter l information alors que dans l informatique on utilise plutôt des systèmes numériques. I. Système de numérotation 1) Représentation des nombres Dans la vie courante, on utilise la base décimale (base 10) pour représenter les nombres ( 10 symboles de 0 à 9). Ex. : 2008 = 2.10 3 + 0.10 2 + 0.10 1 + 8.10 0 En informatique on utilise la base 2 qui est définie par 2 symboles : 0 et 1. Ex. : 101,01 = 1 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 Forme polynomiale (an+1 + an + + a1 + a0 + ) = an+1 n-1 + an n-2 + + a1 1 + a0 0 Ex. : ase 8 (octale) est composée de 8 symboles de 0 à 7 ase 16 (hexadécimale) est composée de 16 symboles de 0 à 9 plus A,, C, D, E et F 2) Conversion d un système de numérotation à un autre a) D une base vers une base 10 (10111,11)2 = 1 x 2 4 + 0 x 2 3 + 1 x 2 2 + 1 x 2 1 + 1 x 2 0 + 1 x 2-1 + 1 x 2-2 = 23, 75 (A3D)16 = 10 x 16 2 + 3 x 16 1 + 13 x 16 0 = 2621
b) D une base 10 vers une base 1 ère méthode On divise par la partie entière du nombre autant de fois qu il est nécessaire pour obtenir un quotient nul. On écrit les restes dans l ordre inverse où ils ont été obtenus. Ex. : 363 2 363 = (101101011)2 1 181 2 1 90 2 0 45 2 1 22 2 11 2 1 5 2 1 2 2 0 1 2 1 0 363 16 363 = (16)16 11 22 16 6 1 16 1 0 Quand il y a une partie fractionnaire, on la convertie par multiplications successives par autant de fois que cela est nécessaire pour obtenir la précision voulue pour que la conversion tombe juste. Ex. : 0, 3 0, 3 x 2 = 0,6 0, 3 = (0, 0100)2 0, 6 x 2 = 1, 2 (1, 2 1) 0, 2 x 2 = 0, 4 0, 4 x 2 = 0, 8
Précision : 0, 3 => 1 chiffre après la virgule (0, 1 près) la virgule. 2-3 < 0, 1 < 2-4, le nombre en base 2 doit donc avoir 4 chiffres après Ex. : 0, 75 en base 2 12, 34 en base 2 0, 75 x 2 = 1, 5 (12)10 = (1100)2 (1, 5 1) (0, 34)10 = (0, 0101011)2 0, 5 x 2 = 1 donc (0,75)10 = (0, 11)2 donc (12, 34)10 = (1100, 0101011)2 2 ème méthode On soustrait successivement la plus grande puissance de. Ex. : 363 = 256 + 107 = 2 8 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = (101101011)2 c) Conversion d une base 2 n vers une base 2 et inversement 8 = 2 3 16 = 2 4 Pour passer de la base 8 à la base 2 on convertie chaque chiffre en base 8 par 3 chiffres en base 2. Ex. : (714)8 = (111 001 100)2 Pour la base 16 on convertie par 4 chiffres. Ex. : (A4)16 = (1010 0100 1011)2 A = (10)10 = (1010)2, 4 = 0100 et = 1011
Pour passer de la base 2 à la base 8 on convertie chaque groupe de 3 chiffres de la base 2 (en commençant par la virgule) par un chiffre en base 8. Pour le base 16 on convertie 4 chiffres de base 2 en un chiffre de base 16. Ex. : (01011011, 01011)2 = (133, 26)8 = (5, 58)16 II. Arithmétique binaire Les «mots» ont une longueur fixe suivant leur plate-forme. Ainsi, 1011 sur 8 bits donne 00001011. Overflow : dépassement de capacité si les valeurs sont trop grandes pour le format des circuits. 1) Opérations d addition et de multiplication 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 Ex. : 01101101 + 00111100 10101001 2) Les nombres négatifs a) Représentation valeur absolue + signe + => 0 L élément le plus à gauche représente le signe. - => 1 Ex. :. 35 = 100011. sur 8 bits, +35 = 00100011 signe + -35 = 10100011 signe -
b) Représentation en complément à 2 Ex. : sur 3 bits, 010 + 111 = 2 + (2 3 1) = 1, puisque 2 3 = 0 sur 3 bits 010 + 111 001 On appelle le complément d un nombre, le nombre obtenu en remplaçant les 0 par des 1 et les 1 par des 0. Il est noté x Ex. : x = 0100 donc x = 1011 x + x = 1111 = 2 4 1 = -1 (car on est sur 4 bits) ó -x = x + 1 Complément à 2 = complément + 1 Ex. : sur 8 bits, x = 13 1 1 1 1 1 1 1 x = 00001101 0000 1101 x = 11110010 + 1 1 1 1 0011 C2(x) = x + 1 = 11110011 0000 0000 Remarque : sur 8 bits (ou un octet), on a n = 8, on peut représenter des nombres entre -128 (0111 1111) et +127 (1000 0000). -2 n-1 2 n 2 n-1 1 c) Soustraction Ex. : 24 62 24 = 00011000 et 62 = 00111110 d où C 2(62) = 11000010 24 62 = 24 + (-62) = 00011000 + 11000010 = 11011010 Vérification : C2(x) = 11011010 ó x = -38
Chapitre II : Algèbre de oole I. Algèbre binaire 1) Fonctions de base L algèbre binaire est basée sur 3 fonctions de base : E = {0, 1} Fonction complément (NON) : x -> x x x 0 1 1 0 Fonction ET : f = A. Interprétation électrique A f=a. 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A Fonction OU : S = A + Interprétation électrique A S=A+ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 2) Propriétés et théorèmes Elément neutre : A + 0 = A A. 1 = A Commutativité : A ou = ou A A et = et A
Associativité : A + ( + C) = (A + ) + C = A + + C A.(.C) = (A.).C = A..C Distributivité : A.( + C) = A. + A.C A + (.C) = (A + ).(A + C) Idempotence : A.A = A A + A = A A.A.A..A = A A + A + + A = A Complément : A + A = 1 A.A = 0 A = A Théorème de Morgan A. = A + i Ai = i Ai A + = A. i Ai = i Ai Théorème d absorption a + a. b = a a. (a + b) = a car a+a.b = a(1+b) = a.1 = a car a.(a+b) = a.a + a.b = a+a.b = a Théorème d absorption des compléments a + a. b = a + b a. (a + b) = a. b Théorème des consensus a.b + a.c + b.c = a.b + a.c Ex. : S = (A+).(A+).(A+) = (A.A + A. +.A +.).(A + ) = (A. +.A).(A + ) = A..A + A.. +.A.A +.A. =.A + A. =.A
P = ( (a + b).(b + c).(b + a) ) = (a + b) + (b + c) + (b + a) = (a + b) + (b.c) + (b.a) = a + b + b.c + b.a = a + b.(1 + c + a) = a + b II. Fonctions logiques 1) Définition Une fonction logique se présente comme une association de sommes et produits logique. Si l expression est une somme de produits, la forme est dite disjonctive. Si l expression est un produit de sommes, la forme est dite conjonctive. Une fonction est dite sous forme normale ou canonique si chaque terme contient toutes les variables. Ex. : Forme disjonctive : F1(x,y,z) = xy+xz+zy Forme conjonctive : F2(x,y,z) = (x+y).(x+z).(z+y) Forme canonique disjonctive : F3(x,y,z)=xyz+xyz+xyz conjonctive : F4(x,y,z)=(x+y+z).(x+y+z).(x+y+z) 2) Représentation des fonctions logiques Table de vérité La table de vérité est une table qui donne l état O ou 1 d une fonction pour chacune des combinaisons des états des variables d entrée. Ex. : Soit f(a,b,c) = 1 pour un nombre impair de 1 a b C f 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Lecture sur les 1 Lecture sur les 0 a.b.c a.b.c a.b.c a.b.c a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c
Lecture sur les 1 : forme canonique disjonctive f(a,b,c) = a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c Lecture sur les 0 : forme canonique conjonctive f(a,b,c) = (a+b+c).(a+b+c).(a+b+c).(a+b+c) 3) Expression numérique A C f 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Lecture sur les 1 f(a,,c) = (1,2,4,7) = AC + AC + AC + AC Lecture sur les 0 f(a,,c) = (0,3,5,6) = (A++C)(A++C)(A++C)(A++C) III. Opérateurs élémentaires 1) Convention logique On dit qu on est en logique positive quand le niveau le plus bas correspond à 0 (0V) et le niveau le plus haut correspond à 1 (5V par exemple). En logique négative, le niveau le plus bas (0) correspond à 5V et le plus haut (1) à 0V. 2) Opérateurs logiques élémentaires Norme américaine Norme Européenne Fonction NON : A -> A A A A 1 A Fonction ET : f(a,) = A. A A. A A. Fonction OU : f(a,) = A+ A A+ A A+ Ex. :
3) Autres opérateurs utiles Opérateur NAND : f(a,) = A. = A\ A A. 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Norme américaine Norme Européenne A A. A A. Propriétés : commutativité Théorème de Morgan A.1 = A.A = A pas associatif : A..C = A..C = A..C Opérateur NOR : f(a,) = A+ = A A A+ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Norme américaine Norme Européenne A A+ A A+ Propriétés: commutativité théorème de Morgan A+0 = A+A = A pas associatif Opérateur XOR (ou exclusif) : f(a,) = A + = A. + A. A A+ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Norme américaine Norme Européenne A A + A A +
Propriétés : commutativité associativité élément neutre : A + 0 = A comparateur de différences : A + = 1 si A= détecteur d imparité : A + = 1 si nb impair de 1 Opérateur XNOR (non ou exclusif) : f(a,) = A + = A. A A+ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Norme américaine Norme Européenne A A + A A + Propriétés : commutativité associativité élément neutre : A + 1 = A comparateur de différences : A + = 1 si A= détecteur d imparité : A + = 1 si nb pair de 1 IV. Simplification des fonctions logiques 1) Principe Deux termes sont dits adjacents quand ils diffèrent l un de l autre que d une seule variable. Ex. : A..C et A..C La méthode de Karnaugh consiste à mettre en évidence graphiquement le regroupement de termes adjacents. Ex. : AC. AC = AC(+) 2) Construction des tableaux Pour n variables, on a 2 n cases
Code Gray Exemple à 3 variables 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 A 0 1 C 00 01 11 10 3) Représentation d une fonction logique dans un tableau de Karnaugh Dans chaque cas du tableau, on inscrit la valeur de la fonction (très souvent, on n inscrit pas la valeur 0 de la fonction). Ex. : f(a,,c) = AC + AC + AC (100) (010) (110) A C 00 01 11 10 0 1 1 1 1 Ex. : f(a,,c,d) = (0,4,6,7,11,12) A CD 00 01 11 10 00 1 01 1 1 1 11 1 10 1 4) Règles de simplification Deux termes voisins sont adjacents. On ne peut regrouper qu un nombre de cases correspondant à une puissance de 2 exacte.
Le groupement de 2 n cases doit être en ligne, en colonne, en carré ou en rectangle. La taille du groupement et le nombre de variables de son expression sont liés. Pour un groupement de 2 k cases correspond à un terme de n-k variables, n étant le nombre de variables au départ. Il faut utiliser tous les 1 au moins une fois dans les groupements, le résultat est donné par la réunion des différents groupements. Pour obtenir une expression simplifiée minimale, il faut simultanément rechercher les groupements les plus grands (nombre de variables minimum) et rechercher les groupements commençant par les cases qui n ont qu une seule façon de se grouper. Ex. : f(a,,c) = AC + AC + AC + AC 000 011 1 1 1 100 A C 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 f(a,,c) = C + C Ex. : f(a,,c,d) = (0,2,4,5,8,10,12,13) A CD 00 01 11 10 00 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 f(a,,c,d)=c+d 5) Combinaisons indéfinies Pratiquement, certaines combinaisons de variables ne peuvent jamais existées. Ces combinaisons indéfinies ou interdites sont notées 0 (ou x) dans un tableau de Karnaugh. Elles peuvent être utilisées pour simplifier la fonction car quelque soit la valeur donnée à la fonction, le résultat ne sera pas modifié puisqu il ne se produira pas.
Ex. : Soit un chiffre décimal N traduit en binaire par 4 variables A,, C et D. La sortie S du système prend la valeur 1 si N 6. N ACD S 0 0000 1 1 0001 1 2 0010 1 3 0011 1 4 0100 1 5 0101 1 6 0110 1 7 0111 0 8 1000 0 9 1001 0 10 1010 x 11 1011 x 12 1100 x 13 1101 x 14 1110 x 15 1111 x CD A S = A + AC + CD 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 1 0 1 11 x x x x 10 0 0 x x 6) Tableaux à 5 variables