Formation Interuniversitaire de Physique Option de L3 Ecole Normale Supérieure de Paris Astrophysique Patrick Hennebelle François Levrier Septième TD - Corrigé 5 avril 16 I - Quelques propriétés des étoiles à neutrons 1. La masse volumique moyenne de l étoile à neutrons est donnée par ρ = 3M 4πR 3 3 3 1 3 4 3.14159 (1 4 ) 3 7.5 117 kg.m 3 On rappelle les valeurs pour le Soleil ρ 1.4 1 3 kg.m 3 et pour la naine blanche du TD correspondant ρ NB 4 1 9 kg.m 3. L étoile à neutrons est près d un milliard de fois plus dense. Pour se faire une idée, on obtient une densité comparable si l on prend la population humaine entière M 5 6 1 9 = 3 1 11 kg et qu on la fait tenir dans un morceau de sucre V 1 cm 3 = 1 6 m 3.. L impulsion de Fermi pour un système de fermions à température nulle est ( ) 6π N p F = s+1 V En introduisant la masse volumique moyenne de l étoile assimilée à un gaz de neutrons N V = M m n V = ρ m n et le paramètre x n = p F /(m n c), on a, puisque s = 1/, Numériquement, on a ( ) 3π p F = ρ et x n = p F m n m n c = ( ) 3π c m 4 ρ n ] x n 1 34 3 (3.14159) 3 1 8 (1.67 1 7 7.5 117 1 ] 3 (3.14159) ) 4 3 1.67 4.75.5 Les neutrons sont donc relativistes (sans être ultrarelativistes). La température de Fermi correspondante est p T F = F c +m n c4 m n c = m nc ( ) 1+x k B k n 1 B
Numériquement T F 1.67 1 7 (3 1 8 ) ( ) 1+(.5) 1.38 1 3 1 (5/3) 9.1 1 1 1 1 K 7/5 L approximation de température nulle est donc justifiée puisque T T F. 3. L énergie gravitationnelle et l énergie de masse sont respectivement de l ordre de et E g GM R (/3) 1 1 (3 1 3 ) 1 4 6 1 46 J E M Mc 3 1 3 (3 1 8 ).7 1 47 J En faisant le rapport, on obtient le paramètre de relativité Ξ = E g E M = GM Rc. Le fait que Ξ ne soit pas très petit devant 1 montre que les effets de relativité générale ne peuvent être ignorés, du fait du champ gravitationnel très intense. En comparaison, on a pour le Soleil et la naine blanche du TD correspondant (R NB = 5 km) Ξ 3 1 1 1 3 7 1 8 (3 1 8 ) 1 6 et Ξ NB = Ξ R R NB.8 1 4 II - Pulsars 1. Si l astre tournait trop vite sur lui-même les forces centrifuges à l équateur deviendraient plus importantes que la gravité. L étoile perdrait alors de la matière. On doit donc avoir, pour une particule de masse µ située à la surface de l étoile et à l équateur, µω R GµM R Ω = π P GM R 3 P π R 3 Inversement, si l on observe un signal périodique de période P qu on attribue à la rotation, on en déduit une limite inférieure à la densité moyenne de l étoile Numériquement, pour le pulsar du Crabe, ρ ρ = M V = 3M 4πR 3 3 Ω 4π G = 3π GP 3 3.14159 (/3) 1 1 (3.3 1 ) 3 114 = 1.5 1 14 kg.m 3 Cette densité est trop grande pour qu on puisse penser à une naine blanche. L hypothèse d une étoile à neutrons en rotation est bien plus plausible. Il faut voir que cette limite GM
inférieure est très conservatrice car une étoile en rotation rapide est nettement aplatie aux pôles et élargie à l équateur, de sorte que la force centrifuge y est plus élevée et la gravitation plus faible. Autrement dit, avec une densité moyenne donnée, l étoile doit tourner plus lentement que prévu par ce calcul simpliste pour rester stable, et inversement, si elle tourne aussi vite, c est qu elle doit être plus dense.. L évolution du moment magnétique dipolaire avec le temps est donnée par dm = Ω M = Ω M dm = et dm = Ω M d où l équation d évolution d M La puissance rayonnée est alors P rad = µ 6πc 3 soit finalement d M = µ Ω 4 = Ω dm = Ω (Ω M ) = Ω M 6πc 3 M = µ Ω 4 6πc 3 (Msinα) = µ 6πc 3 P rad = (π)5 (BR 3 sinα) 3µ c 3 P 4 3. L énergie cinétique de rotation est donnée par ( π µ BR 3 sinα ) ( π P E r = 1 IΩ = 1 ( ) π 5 MR car I = P 5 MR pour une sphère homogène. Numériquement E r 1 ( ) 3.14159 5 3 13 (1 4 ) 3.3 1 1.8 1 4 J Cette énergie diminue et sa dérivée par rapport au temps est de r = d ( 4π MR ) = 4π MR 5P 5 ( ) d 1 P = 8π MR P 5P 3 On observe effectivement des dérives P >, ce qu on traduit par le fait que le rayonnement dipolaire extrait de l énergie cinétique de rotation du système ) 4 Numériquement de r = P rad P rad = 8π MR P 5P 3 P rad = 8 (3.14159) 3 1 3 (1 4 ) 1 1.4 5 (3.3 1 ) 3 5.1 1 31 W 1.3 1 5 L
Cette puissance est de l ordre de la luminosité globale de la Galaxie dans le domaine radio. Il s agit donc d une énergie colossale qui est émise à très basse fréquence (3 Hz) et absorbée par l environnement immédiat du pulsar. Il ne faut pas confondre cette puissance avec celle reçue dans les pulses radio, qui sont observés à beaucoup plus haute fréquence(la découverte des pulsars a eu lieu au cours d un relevé à 81 MHz) et dont la puissance moyenne est près de 1 9 fois plus faible. La mesure de P et de P permet alors d obtenir une limite inférieure au champ magnétique à la surface de l étoile. En effet P rad = (π)5 3µ c 3 (BR 3 sinα) P 4 B = 3µ c 3 P rad P 4 (π) 5 (R 3 sinα) en fonction de la dérive P cela devient B 3µ c 3 P 4 = (π) 5 R 6 sin α 8π MR P 5P 3 = 6µ c 3 P PM 5(π) 3 R 4 sin α On a donc une limite inférieure pour B (correspondant à sinα = 1) 6µ c B 3 PPM 5(π) 3 R 4 = B min Numériquement 4. On a ( 6 1.5 1 6 (3 1 8 ) 3 3.3 1 1 1.4 3 1 3 ) 1/ B min = 5 ( 3.14159) 3 (1 4 ) 4 4 1 8 T. On peut donc intégrer directement P P = 5(π)3 R 4 6µ c 3 M (Bsinα) = a = C te P P = a(t t ) Si l on suppose que la période initiale est P P, on a alors P = a(t t ) et l âge du pulsar est simplement donné par Numériquement, pour le pulsar du Crabe τ c τ c = t t = P a = P P 3.3 1 1 1.4 4.1 11 s 13 ans C est le bon ordre de grandeur de l âge réel (96 ans). 5. On a les relations suivantes : τ c P P P rad P P 3 B min P P
donc dansun diagramme(logp,log P), les courbes d égal âge caractéristique sont des droites de pente 1, les courbes d égale puissance radiative sont des droites de pente 3 et les courbes d égal champ minimal sont des droites de pente -1. III - Propagation de l émission des pulsars 1. On a k = 1 ( ω c ωp ) donc la vitesse de phase est v φ = ω k = c 1 ω p ω
et la vitesse de groupe se calcule en remarquant que c kdk = ωdω v g = dω dk = c = c 1 ω p v φ ω. La fréquence plasma est ν p = ω p π = 1 n e e π ǫ m e et on trouve numériquement (n e =.3cm 3 = 31 4 m 3 ) 1 314 (1.61 ν p = 19 ) 3.14159 8.8541871 1 1.5 khz. 9.191 31 Seules les fréquences supérieures à la fréquence plasma peuvent se propager. Dans le cas contraire, l indice du milieu est imaginaire et on a des ondes évanescentes. 3. La vitesse de propagation de l énergie du paquet d onde qu est le pulse radio est la vitesse de groupe. On a donc l écart par rapport au temps de parcours classique d/c ( ) d ds δt(ν) = d v g c avec s la coordonnée le long de la ligne de visée. On en déduit δt(ν) = Or on a ω p ( khz) ω ( GHz) donc δt(ν) ω p 1 c 1 e 1 cωds = cǫ m e On a donc bien la forme demandée, avec A = ω 1 1 ω p ω n e ds = e 8π cǫ m e et DM = 1 ds e 8π cǫ m e 1 ν n e ds n e ds On peut obtenir la mesure de dispersion en comparant les temps d arrivée des pulses à différentes fréquences. 4. Pour une onde polarisée linéairement dans la direction Ox et se propageant dans la direction Oz, on peut écrire le champ électrique en z = (position du pulsar) sous la forme complexe suivante E = E e iωt e x
De plus, les vecteurs unitaires portant les polarisations circulaires droite et gauche sont donnés par e ± = e x ie y donc en z =, le champ électrique est donné par E = E e iωt e + +e ] Si la relation de dispersion k(ω) était indépendante de la polarisation, on aurait alors, pour toute position z, la forme ] E = E e ik(ω)z ωt] e + +e ] = E e ik(ω)z ωt] e + +e ik(ω)z ωt] e Dans le cas présent, où le nombre d onde dépend de la polarisation circulaire droite ou gauche, on généralise cette expression directement : ] E = E e ik+(ω)z ωt] e + +e ik (ω)z ωt] e qu on peut réécrire en fonction des vecteurs unitaires e x et e y ( ) ( )] E = E e ik+(ω)z ωt] ex ie y +e ik (ω)z ωt] ex +ie y et donc E = E e ik+(ω)z ωt] +e ik (ω)z ωt]] e x + ie e ik+(ω)z ωt] +e ik (ω)z ωt]] e y d où l on peut extraire la dépendance en temps pour obtenir les amplitudes complexes sur Ox et Oy { E E = e ik+(ω)z +e ik (ω)z] e x + ie e ik+(ω)z +e ik (ω)z] } e y e iωt 5. Les nombres d onde des composantes droite et gauche, k + et k, sont solutions de leurs relations de dispersion respectives, soit k± = 1 ω (ω p/ω) ] c 1±(ω c /ω) Dans la limite ω ω p et ω ω c, on a k + = ω 1 (ω p/ω) ] 1/ ω 1 ω ( p c 1+(ω c /ω) c ω 1 ω ) ] 1/ c ω soit k + ω c ( 1 ω p ω + ω cωp ω 3 ) = k + k
avec k = ω c ( 1 ω p ω ) et k = ω cω p cω De la même manière, on obtient k k k (il suffit de noter que le passage de k + à k se fait formellement en changeant le signe de ω c ). Les amplitudes complexes des composantes du champ électrique sur e x et e y sont alors et E x = E E y = i E Le vecteur champ électrique est alors e i(k+ k)z +e i(k k)z] = E e ikz cos( kz) e i(k+ k)z +e i(k k)z] = E e ikz sin( kz) E = E e ikz e iωt cos( kz)e x +sin( kz)e y ] ce qui montre que la polarisation est linéaire, mais avec un angle de polarisation qui n est plus nul mais vaut ψ(z) = kz = 1 1 eb z n e e cω z = 1 e 3 m e ǫ m e ω cǫ m n e b z z e Ce calcul fait l hypothèse que le plasma est homogène. Lorsque le rayonnement radio polarisé issu du pulsar traverse un milieu ionisé de densité électronique n e a priori variable, sur une distance d, l angle de polarisation tourne de ψ = e 3 8π cǫ m e 1 ν n e b z ds L intégrale de n e b z le long de la ligne de visée est appelée mesure de rotation (RM). 6. On voit donc que l angle de rotation de la polarisation dépend de la fréquence, en ν. L angle de polarisation intrinsèque est inconnu, mais on peut obtenir la mesure de rotation en comparant les angles de polarisation observés à différentes fréquences. En faisant la même chosepourlestemps d arrivéesdes pulses,onobtient lamesurededispersion,et onen déduit une estimation du champ magnétique moyen le long de la ligne de visée comme b z = RM DM.