Exercice n 1 : Coordonnées polaires y' u θ J I u r y M j O i r ϕ θ x x' Dans le repère ( O, i, j ), on définit deux vecteurs unitaires ur et u θ qui constituent la base des coordonnées polaires. 1. Exprimer les vecteurs ( ur, u θ ) en fonction des vecteurs unitaires i et j. dur duθ d ur d u. Calculer :,, et θ dθ dθ dθ dθ dur du 3. Calculer : et θ dt dt 4. Soit un point M repéré par ses coordonnées polaires (r, θ) : OM = r u r Calculer sa vitesse v et son accélération a en coordonnées polaires. 1 N. FOURATI_ENNOURI
Exercice n : Etude d un mouvement à force centrale avec amortissement. Un point P, de masse m, repéréé par ses coordonnées polaires r = OP et θ = ( Ox,OP), se déplace sans frottement sur un plan horizontal. Ce point est lancé dans le plan xoy à partir de P o dans un champ de force F = k OP, ett subit, en outre, une force résistante proportionnelle à sa vitesse : F ' = bv (b et K sont des constantes positives). On suppose qu au point P 0 : r (t= =0) = a Dans toutes les questions on négligera le poids P. 1. Etablir en coordonnées polaires (r, θ) les équations différentielles du mouvement de P.. En déduire, dans le cas où la vitesse angulaire ω est constante : a) l équation horaire r(t) en fonction de a, b, m et t, b) la vitesse angulaire ω en fonction de K, m et b. Exercice n 3 : Etude d'un système avec ressort. Bifurcation. On dispose d un ressort élastique de raideur k, de longueur à vide l o et de masse négligeable. L une des extrémités de ce ressort est reliée à un point A et l autre à un anneau de masse m, coulissant sans frottements sur un axe Ox horizontal dont la distance d au point A peut être réglée à volonté. 1. Déterminer l expression de l énergie potentielle Ep(x). Que pouvez-vous conclure?. Tracer l'énergie potentielle du point matériel Ep(x) dans les cas suivants : a. l 0 d b. l 0 > d. 3. En déduire les positions d'équilibre x eq et leur stabilité. 4. Analyser ce qui se produit lorsque l'on fait décroître d à partir d'une valeur supérieure à l 0. N. FOURATI_ENNOURI
Exercice n 4 : Etude de deux accéléromètres a Les technologies développées dans l'industrie microélectronique ont été transposées avec succès pour fabriquer des microsystèmes électromécaniques, c'est-à-dire des systèmes miniaturisés qui intègrent sur une même puce des parties mécaniques (capteurs d'accélération ou de pression, miroirs, micromoteurs, etc ) et des circuits électroniques associés. Un des premiers microsystèmes à avoir été développé est l'accéléromètre. Il est entre autres utilisé pour déclencher le gonflage des airbags des véhicules en cas de choc brutal. Figure. 1a Partie 1 : l accéléromètre en tant que capteur capacitif b c d c e Figure. 1 (http://www.cea.fr/jeunes/mediatheque/animations-flash/technologies/l-airbag) 3 N. FOURATI_ENNOURI
Dans ce cas, l'accéléromètre est constitué de deux pièces en forme de peignes complémentaires. L'une est fixe et constitue le cadre, l'autre est mobile à l'intérieur de ce cadre suspendue par une lamelle flexible, sans contact entre les deux parties. L'ensemble constitue un condensateur. En cas de choc brutal du véhicule, la partie mobile se déplace par inertie dans le sens opposé au mouvement, comme le passager d'un bus qui est debout et se trouve projeté en avant quand le bus freine (Figure 1b et 1c). Ce changement de distance entre le peigne mobile et le cadre modifie la capacité du condensateur (Figure 1d et 1e). Dès que le circuit intégré détecte ce changement de capacité, il commande le gonflage de l'airbag, avant même que le conducteur et les passagers du véhicule ne soient projetés en avant. Nous allons nous intéresser au principe de fonctionnement de ce dispositif. Le peigne mobile et le cadre constituent un condensateur de capacité C. Il est branché aux bornes d'une pile de résistance interne R et de force électromotrice E. Le circuit est modélisé par le schéma de la figure ci-contre. La mise sous tension de l'accéléromètre revient à fermer l'interrupteur K. Le condensateur est déchargé avant la fermeture de l'interrupteur. A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur (i(t = 0) = I 0 = E/R). Les courbes représentant les variations de la tension aux bornes du condensateur et de l'intensité du courant en fonction du temps sont données sur la figure ci-dessous. 4 N. FOURATI_ENNOURI
1. Sur cette figure, identifier en justifiant, la courbe correspondant à la tension U c (t) et celle correspondant à l'intensité i(t).. Délimiter de façon approximative et qualifier sur cette figure les deux régimes de fonctionnement du circuit. 3. Déterminer graphiquement la valeur de la constante de temps du dipôle RC. Comparer cette valeur à la durée d'un choc de l'ordre de 00ms. 4. Expliquer comment se déclenche l air bag? Partie : l accéléromètre piézoélectrique On considère le capteur schématisé sur la ci-dessus. R est un ressort de raideur K auquel est suspendue une masse M. M subit une force de frottement dont l intensité est proportionnelle à sa vitesse v grâce à l'amortisseur A. D'autre part, M est solidaire d'une structure vibrante et subit i t une force dite "d'excitation" de la forme F= F0 e ω dirigée selon l axe des x. ox. On désignera par ω 0 la pulsation propre du ressort. 1) Faire le bilan des forces qui s'exercent sur la masse M. ) On néglige le poids de M. En déduire l'équation différentielle décrivant le mouvement de M le long de l'axe 3) En supposant que le déplacement de la masse M est de la forme : ( ) i t l'expression du module de l amplitude de x 0. 4 ) Comment transformer le déplacement x(t) de la masse M en signal électrique? Exercice n 5 : Le microscope à force atomique. x t = x e ω, déterminer Le microscope à force atomique (AFM) est une technique de caractérisation permettant d'imager des objets de taille nanométrique à l'aide d'une pointe fixée sur un micro-levier ayant une longueur de quelques centaines de micromètres. Pour pouvoir imager les objets, on fait osciller ce micro-levier et on le déplace sur la zone que l'on désire imager. Pour optimiser la qualité de l'image il est nécessaire de comprendre le comportement mécanique du micro-levier qui peut être assimilé à un ressort vertical de raideur k et de masse m que l'on force à 5 N. FOURATI_ENNOURI 0
i t F t = F e ω osciller en lui appliquant une force de la forme ( ) 0 dans un milieu où les amortissements (α) sont faibles. On supposera dans la suite de l'exercice que F 0 /m = A 0. 1) En accrochant la masse m au ressort, ce dernier se détend d une longueur z 0. Déterminer la position d équilibre du système. ) Déterminer l équation différentielle du micro-levier z(t) hors équilibre z t Z e Z e e 3) En utilisant la représentation complexe : ( ) 0 0 iωt iϕ iωt = =, déduire une expression de l'amplitude réelle Z 0 et de la phase ϕ. 4) Afin d'obtenir une image AFM, l'opérateur doit choisir une fréquence d'oscillation du micro-levier telle que son amplitude d'oscillation soit maximale. Déterminer la fréquence f r pour que l'amplitude des oscillations du micro-levier AFM soit maximale. 6 N. FOURATI_ENNOURI