Pre-MBA Statistics Seances #1 à #5 : Benjamin Leroy-Beaulieu Bureau N301 (Nautile) benjamin@leroy-beaulieu.ch Mise à niveau statistique Seance #1 : 11 octobre Dénombrement et calculs de sommes 2
QUESTIONS Un code secret est composé de 5 chiffres pris entre 1 et 9 1. Combien de codes différents? 2. Combiens de codes différents avec des chiffres différents? 3. Combien de codes avec exactement deux «1»? 4. Combien de codes avec des nombres en ordre croissant? 3 Question 1 Un code secret est formé de 5 chiffres pris parmi 1,2,,9! Combien de codes différents? 9!9!9!9!9 = 9 5 = 59 049! Combien avec des chiffres différents? 9!8!7!6!5 = 9! / 4! = A 5 9 = 15 120 NB : code 13467 " code 47163, l ordre importe! 4
ARRANGEMENTS ET COMBINAISONS! # codes avec des chiffres différents: l ordre importe (1,3,4,6,7 " 4,7,1,6,3) = tirage sans remise Arrangements A p n = n! (n p)! = n(n 1)(n 2) (n (p 1))! # permutations de n éléments = n! (NB: p=n) n = 3 " 3! = 6 permutations: 123, 132, 213, 231, 312, 321! # choix de 5 éléments parmi 9, l ordre n importe pas (1,3,4,6,7 = 4,7,1,6,3) Combinaisons Parfois noté ( ) p n au lieu de C 4 28 5 Un peu moins facile : question 3! Combien de codes avec exactement deux «1»? C 2 5 8 3 Nombre de choix des positions des «1» Nombre de façons de remplir les 3 cases restantes avec des chiffres de 2 à 9 1 6
Question 4! Combien de codes en ordre croissant? Réponse: C 5 9 7 QUESTION! Quelle est la probabilité que sur la classe de 35 étudiants, 2 au moins aient la même date d anniversaire?! Avant de faire le calcul, devinez! 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1! Regardons! 8
REPONSE! P = 1 Pr(les 35 aient " dates d anniversaire) Pr = nombre cas intéréssants nombre cas possibles = A35 365 = = 365 35 365 364 363 (365 34) 365 365 365 365 34 i=0 365 i 365 = P = 1 Pr 0.8 0.2 Surpris? 9 PROPRIETES DES COEFFICIENTS BINOMIAUX: 5 COMBINAISONS (Pascal) (Newton) 10
Application : combien de parties d un ensemble à n éléments?! Réponse: Cn p =2 n p=0 (prendre a = b = 1 dans la formule de Newton)! Exemple : n=3 " 2 3 = 8 ensembles: #, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} 11 CALCULS DE SOMMES! Progression arithmétique: S n = S n 1 + a = S 0 + an! Séries arithmétiques : 1 + 2 + + n = i = i=1 n(n + 1) 2 1 2 +2 2 + + n 2 = i 2 = i=1 n(n + 1)(2n + 1) 6 12
PROGRESSION GEOMETRIQUE : REPONSE 1+q + q 2 + + q n = i=0 q i = 1 qn+1 1 q Quelle limite si q dans ]0,1[? 13 UNE APPLICATION FINANCIERE 1+q + q 2 + + q n = i=0 q i = 1 qn+1 1 q Projet d investissement : Investissement de 4 M! Retour espéré : 1,5 M! / an pendant 5 ans, Taux d actualisation r = 10 % Quelle est la valeur actuelle nette du projet? 14
RÉPONSE 15 Quelques exercices 16
Exercice #1 On choisit simultanément 5 cartes dans un jeu de 32 cartes 1.Combien de mains différentes de 5 cartes? 2.Combien de mains différentes avec: a. 5 cœurs ou 5 carreaux? b. 2 cœurs et 3 trèfles? c. au moins 1 roi? d. au plus 1 roi? e. 2 rois et 3 cœurs? 17 Exercice #1: Solutions. 1. 2. a. b. C 5 32 C 5 8 + C 5 8 C 2 8 C 3 8 d. Combinaisons avec zéro roi + combinaisons avec exactement un roi: c. Toutes les combinaisons possibles moins celles qui n ont pas de roi: C 5 32 C 4 28 C 5 28 + C 1 4 C 4 28 Choix du roi Choix des quatre autres cartes 18
Suite de l exercice 1: Question 2e! Précision sur la question: On suppose ici que les 3 cartes de coeur ne peuvent pas contenir le roi de coeur. Dans ce cas, la réponse est: C 2 4 C 4 28 Choix des deux rois Choix des trois trèfles 19 Exercice #2 On range sur une étagère 4 livres distincts de mathématiques, 6 livres distincts de philosophie et 2 livres distincts de géographie. Combien d ordres différents si : 1. les livres doivent être rangés par discipline? 2. seuls les livres de math doivent être rangés ensembles? 20
Exercice #2: Solutions. 1. Il y a 3! manières différentes d ordonner les disciplines. À l intérieur de chaque discipline, il y a: 4! ordres possibles pour les maths. 6! ordres possibles pour la philo. 2! ordres possibles pour la géo. Donc finalement, il y a 3! x (4! x 6! x2!) possibilités. 2. Il y a 4! manières différentes d ordonner les livres de maths. Le premier livre de maths peut être mis à la position 1, 2,..., 8 ou 9. Les autres livres suivront. Il y a (6+2)! = 8! manières différentes d ordonner les livres restants. La réponse est donc: 4! x 9 x 8! 21 Exercice #3! Le clavier d un digicode se présente de la manière suivante : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D! Le code est composé de 3 chiffres distincts suivis de 2 lettres non nécessairement distinctes ex : 421AC, 123BB, 624CA! Combiens de codes différents tels que : # les 3 chiffres sont tous pairs? Tous impairs? # les 3 chiffres sont pairs et les 2 lettressont distinctes? # les lettres sont distinctes et rangées par ordre alphabétique? Cet exercice sera à faire pour le 23 octobre 22
Exercice #4! Calculez S 1 = k=0 kc k n S 3 = k=0 C k n k +1 23 Exercice #4: réponses. 24