Mathématiques Pour l'informatique I Travaux Dirigés 1

IUT A de Lille Année Universitaire 2007/2008 Département Informatique Semestre 1 Mathématiques Pour l'informatique I Travaux Dirigés 1 Serge Iovle Ce document est légalement protégé par le droit d'auteur et sous licence creative commons options Paternité - Pas d'utilisation commerciale - Partage à l'identique des conditions initiales. Vous pouvez consulter la licence creative commons complète à l'adresse http: //creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/legalcode 1 Ces Travaux Dirigés sont issus des documents que m'a transmis Farida Saïd en 2001. Depuis ils évoluent chaque année grâce aux diérents intervenants dans cette matière. Je remercie en particulier Maxence Cuvilliez, Patricia Evraere, Adel Guerziz, Bruno Jedynak, Monique Lecocq, Pierre-Marie Moyaux, Yann Walkowiak pour leurs apports ainsi que les nombreux étudiants qui m'ont signalé les imprécisions, fautes de frappes, d'orthographe, etc... au cours de toutes ces années.

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Table des matières 1 Théorie des ensembles 5 1.1 Opérations sur les ensembles...................... 5 1.2 Modélisation.............................. 7 1.3 Devoirs Surveillés............................ 8 1.3.1 DS du 19 novembre 2003.................... 8 1.3.2 DS du 9 novembre 2005.................... 9 2 Algèbre de Boole 11 2.1 Algèbres de Boole et Fonctions Booléennes.............. 11 2.1.1 Algèbres de Boole....................... 11 2.1.2 Fonctions Booléennes...................... 12 2.2 Diagrammes de Karnaugh et Circuits................. 13 2.3 Fonctions booléennes sur variables binaires.............. 15 2.4 Calcul galoisien............................. 16 2.5 Devoirs surveillés............................ 17 2.5.1 DS du 19 novembre 2003.................... 17 2.5.2 DS du 11 janvier 2005..................... 18 3 Logique 19 3.1 Logique Propositionnelle........................ 19 3.1.1 Problèmes de logiques..................... 19 3.1.2 Manipulation des opérateurs logiques............. 20 3.1.3 Modélisation.......................... 21 3.1.4 Arbres de Beth......................... 23 3.2 Logique des Prédicats......................... 24 3.3 Récurrence............................... 25 4 Relations 27 4.1 Relations binaires............................ 27 4.2 Relations d'ordres........................... 29 4.3 Devoirs surveillés............................ 32 4.3.1 DS du 25 février 2004..................... 32 4.3.2 DS du 9 novembre 2005.................... 33 5 Arithmétique 35 5.1 Arithmétique dans Z.......................... 35 5.1.1 Algorithme d'euclide et équations Diophantiennes..... 35 5.1.2 Propriétés diverses....................... 36 5.2 Arithmétique modulaire........................ 36 5.2.1 Calcul dans Z/mZ....................... 36 5.2.2 Lemme chinois des restes................... 38 5.2.3 Fonction d'euler........................ 38 3

4 TABLE DES MATIÈRES 5.3 Cryptographie.............................. 39 5.4 Devoirs surveillés............................ 39 5.4.1 DS du 11 février 2004..................... 39 5.4.2 DS du 25 février 2004..................... 40 5.4.3 DS du 11 janvier 2005..................... 41

Chapitre 1 Théorie des ensembles 1.1 Opérations sur les ensembles Exercice 1 : Décrire explicitement (en extension) les ensembles suivants : A = {x Z, tel que 2, 8 < x < 4, 5} B = {x R, tel que 2, 8 < x < 4, 5} C = {x N, tel que x + 5 = 2} D = {x N, tel que x impair et x < 17} E = {x N, tel que 3 divise x et x 24} F = {x N, tel que x divise 18 } G = {x N, tel que x 8 1} Exercice 2 : Énumérer les éléments de P(E) si E = {a, b, c}. Exercice 3 : On donne les ensembles : A = {1, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, C =, D = {3, 4, 5, 7} et E = {4, 6, 8}. 1. Quels sont les inclusions parmi les ensembles A, B, C, D et E? 2. Donner les éléments des ensembles : A B, A C, B D, B A, E (B D), (E B) D, (E B) D, E (B D). Exercice 4 : Imaginer un diagramme d'euler-venn représentant trois ensembles A, B et C tels que A B = A C et B C. Faire de même pour trois ensembles vériant A B = A C et B C. Exercice 5 : Soient A, B et C trois parties d'un référentiel E. 1. Vérier à l'aide de Diagrammes d'euler-venn les formules de De Morgan qui suivent : A B = A B et A B = A B 2. Prouvez en utilisant les dénitions du cours les équivalences suivantes (la deuxième équivalence se déduit de la première) : A B B A A = B A = B A B A B = A A B = 3. En utilisant les formules de De Morgan, déduire de ce qui précède les équivalences : A B A B = B A B = E 5

6 CHAPITRE 1. THÉORIE DES ENSEMBLES Exercice 6 : Démontrer en utilisant les propriétés des opérations sur les ensembles les égalités suivantes : [(A B) C] B = B (A C) [ (A B) (A B C) ] B = [ A (B C) ] (A C) = (A B) C Exercice 7 : Soient A, B et C trois parties d'un référentiel E. Simplier graphiquement les expressions suivantes en utilisant un diagramme d'euler-venn. Vériez votre résultat par le calcul. (A B) (A B C) (A B C) (A B C) C B A (B A) B (B C) A B C A Exercice 8 : Répondez aux questions suivantes en utilisant les fonctions caractéristiques. 1. Prouver les implications suivantes : A = B A C = B C A = B A C = B C 2. Les implications réciproques sont elles vraies? Sinon donner un contre-exemple. 3. Prouver l'implication suivante : { (A C) (B C) (A C) (B C) A B 4. En déduire l'équivalence : { (A C) = (B C) (A C) = (B C) A = B Exercice 9 : Quelles sont les paires d'ensembles égaux dans ce qui suit? Justier. 1. (A \ C) (B \ C) et (A B) \ C 2. (A \ B) (A \ C) et A \ (B C) 3. (A \ C) \ (B \ C) et A (C \ B) 4. (A \ B) \ (A \ C) et (A \ B) \ C Exercice 10 : On appelle diérence symétrique de deux parties A et B d'un référentiel E et on note A B, l'ensemble des éléments qui gurent soit dans A, soit dans B, mais pas dans A et B à la fois. 1. Représentez l'ensemble A B 2. Établir les relations suivantes : (a) A B = (A B) A B (b) A B = [ A A B ] [ B A B ] (c) (A B) A = [ A A B ] (d) A B = (A B) A B

1.2. MODÉLISATION 7 1.2 Modélisation Exercice 1 : 1. A l'aide de la formule sur les cardinaux : A B = A + B A B, déduire une formule analogue pour A B C. 2. On étudie une population de 100 étudiants. Parmi eux : 32 étudient la Médecine, 20 la Physique, 45 la Biologie. 15 étudient la Médecine et la Biologie, 7 la Médecine et la Physique, 10 la Physique et la Biologie. 30 n'étudient aucune de ces trois matières. Combien étudient les trois matières en même temps? Combien étudient Médecine et Biologie, mais pas physique? Combien étudient une seule matière? Représenter la situation par un diagramme de Venn et répondre à ces questions. Exercice 2 : Un ethnologue publie un article sur une tribu où l'on apprend que : Tout membre de la tribu porte un collier ou une boucle d'oreille. Tous les guerriers portent un collier. Ceux qui ne sont pas des guerriers n'ont pas de boucle d'oreille. Ceux qui portent un collier sont des guerriers mâles. Les hommes ne préparent jamais les repas. Les repas sont préparés à tour de rôle par tous les guerriers. 1. En utilisant les ensembles suivants, traduire chacune des phrases de l'article : T : ensemble des membres de la tribu C : ensemble des membres de la tribu portant un collier B : ensemble des membres de la tribu portant des boucles d'oreilles G : ensemble des guerriers de la tribu H : ensemble des hommes de la tribu R : ensemble des membres de la tribu qui préparent les repas 2. Démontrer qu'il n'y a pas de guerriers dans cette tribu. En déduire que cette tribu n'existe pas (on pourra utiliser le fait que pour tout ensemble A et B : (A B) (B A)). Exercice 3 : Au musée, un visiteur fait les remarques suivantes : 1. Parmi les tableaux exposés, les toiles qui ont plus de 50 ans représentent des bateaux. 2. Les deux tiers des tableaux non encadrés sont peints par des femmes. 3. Les bateaux peints par des femmes ont plus de 50 ans. 4. Un tableau sur trois a un cadre. 5. Les tableaux de plus de 50 ans ne sont pas encadrés. 6. La moitié des tableaux peints par des femmes ont plus de 50 ans. 7. Parmi les tableaux de moins de 50 ans, ceux qui sont peints par des hommes ont un cadre, et ceux qui sont peints par les femmes n'en ont pas. Questions : 1. Montrer que les tableaux peints par des femmes ne sont pas encadrés. 2. En déduire le nombre de tableaux peints par des femmes en fonction du nombre de tableaux total, et qu'il y a au moins 2 9 de tableaux de plus de 50 ans. Exercice 4 : Soit E un ensemble, A, B, C trois parties de E et D = (A B) C.

8 CHAPITRE 1. THÉORIE DES ENSEMBLES 1. Exprimer D en fonction de C, A C,et A B C. A quoi est égal A B C D? (rappel : A B C = A + B + C A B A C B C + A B C et A B = A A B ). 2. On interroge 100 enfants sur leur goûts alimentaires : 50 aiment les frites, 30 aiment le riz, 10 aiment le riz et les pâtes, 17 aiment les frites et le riz, 13 aiment les pâtes et les frites, 3 n'aiment ni les pâtes ni le riz ni les frites, 7 aiment le riz et les frites et les pâtes. (a) Représenter la situation par un diagramme de Venn. (b) Parmi les enfants qui aiment les frites, combien sont-ils à aimer le riz ou à ne pas aimer les pâtes? En déduire le nombre d'enfants qui aiment les pâtes (on pourra utiliser la première partie de l'exercice). Exercice 5 : Monsieur Perrichon va chez son libraire "Monsieur, je voudrais un livre pour ma lle, un livre qui ne parle, ni de galanterie, ni d'argent, ni de politique, ni de mariage, ni de mort." Parmi les livres qui composent le stock de la marchande : 1. 56% ne parlent pas de galanterie. 2. La moitié des livres qui traitent de galanterie ne parlent pas d'argent. 3. 32% des livres traitent de la mort. 4. Tous les livres de politique traitent aussi de problèmes d'argent. 5. Parmi les livres où on aborde la mort, il n'y a ni argent, ni galanterie. 6. Parmi les livres où on parle de mariage, il y a toujours de la galanterie; tout comme dans la moitié des livres abordant les sujets d'argent. On adoptera dans la suite les notations suivantes : S : Ensemble des livres en stock G : Ensemble des livres traitant de galanterie A : Ensemble des livres traitant d'argent P : Ensemble des livres traitant de politique M : Ensemble des livres traitant de mariage D : Ensemble des livres traitant de la mort L : ensemble des livres en stock correspondant à l'attente de M. Perrichon. 1. Donner une écriture ensembliste des constatations 1 à 6. 2. Représenter tous ces ensembles par un diagramme d'euler-venn. 3. Montrer que L = G A D. 4. Utiliser la notion de cardinal d'un ensemble pour déterminer dans quelle proportion de son stock, le marchand trouvera le livre recherché par M. Perrichon. 1.3 Devoirs Surveillés 1.3.1 DS du 19 novembre 2003 Le ministère de l'industrie des îles Tonga a eectué une étude sur l'équipement informatique des entreprises de l'archipel. Il y a 10 entreprises à Tonga. Ces entreprises peuvent posséder des Macs ou des PCs et elles peuvent utiliser un ou plusieurs des OS suivants : Mac Os, Windows ou Linux. On note E l'ensemble des entreprises

1.3. DEVOIRS SURVEILLÉS 9 W l'ensemble des entreprises utilisant Windows. O l'ensemble des entreprises utilisant Mac Os. L l'ensemble des entreprises utilisant Linux. M l'ensemble des entreprises possédant des Macs. P l'ensemble des entreprises possédant des PC. Hélas, le cyclone Lola a détruit le ministère de l'industrie, et les données de l'étude ont été perdues. Votre mission, si vous l'acceptez, est de retrouver ces données. 1. Interprétez la formule W L O = M P. En quoi est-elle logique? 2. Par ailleurs, un Mac nécessite Mac Os et un PC nécessite Windows ou Linux. Bien évidemment, une entreprise n'utilise que les OS pour lesquels elle a l'ordinateur, et à toujours un (ou plusieurs) OS adaptés aux ordinateurs qu'elles possèdent. Donnez une interprétation ensembliste de cette remarque. 3. Grâce aux pages qui ont survécu au cyclone, on sait que : Les îles Tonga ne comptent que 10 entreprises. Dix pour cent des entreprises n'utilisent aucun OS. Trente pour cent des entreprises n'utilisent qu'un OS. Trente pour cent des entreprises n'utilisent que deux OS exactement. Trente pour cent des entreprises n'utilisent que trois OS exactement. Il y a autant d'entreprise qui utilisent Linux que d'entreprises qui utilisent Windows. Il y a deux fois plus d'entreprises équipées de PC que d'entreprises équipées de Mac. 4. Construire un diagramme de Venn montrant la répartition des ensembles E, W, O, L, M et P. Chaque zone de ce diagramme devra contenir le nombre d'entreprises correspondantes. 1.3.2 DS du 9 novembre 2005 Exercice 1 : A la bibliothèque, Marie a le choix entre des livres d'aventure, des livres parlant des extra-terrestres, des livres scientiques et des bandes dessinées. Elle cherche un livre qui parle d'aventure ou des extra-terrestres, et qui ne soit pas une bande dessinée. Pour l'aider à faire son choix, elle apprend que parmi les livres disponibles : Tous les livres parlant des extra-terrestres parlent d'aventure. Aucune bande dessinée ne parle des extra-terrestres. Tous les livres parlant d'aventure et de science sont des bandes dessinées. Tous les livres scientiques parlent d'aventure, mais aucun d'entre eux ne parle des extra-terrestres. La moitié des livres parlent d'aventure, et le tiers des livres d'aventure sont des bandes dessinées. Dans la suite de l'exercice on notera : L : ensemble des livres disponibles A : ensemble des livres d'aventure E : ensemble des livres parlant d'extra-terrestres S : ensemble des livres scientiques B : ensemble des bandes dessinées 1. Écrire L en fonction des ensembles A, E, S et B. 2. Traduire les phrases par des relations entre les ensembles A, E, S et B. 3. Réaliser un diagramme de Venn représentant les ensembles L, A, E, S et B en tenant compte des relations de la question précédente. 4. Écrire l'ensemble des livres correspondant au choix de Marie (on notera cet ensemble M). Montrer qu'on peut simplier cette écriture et écrire M en fonction des ensembles A et B.

10 CHAPITRE 1. THÉORIE DES ENSEMBLES 5. Déduire des questions 2) et 4) la proportion de livres disponibles qui peuvent convenir à Marie. Exercice 2 : 1. On considère trois ensembles quelconques A, B, C. Montrer à l'aide des propriétés ensemblistes que l'ensemble D = [A (B C)] [(A C) B] peut s'écrire plus simplement D = A (B C). 2. On suppose à présent que les ensembles A, B, C vérient B C =. (a) Faire un diagramme de Venn représentant trois ensembles A, B et C tels que B C =. (b) Représenter l'ensemble D sur ce dessin, et donner une forme simpliée de D dans ces conditions.

Chapitre 2 Algèbre de Boole 2.1 Algèbres de Boole et Fonctions Booléennes 2.1.1 Algèbres de Boole Exercice 1 : Soit E un référentiel et soit P(E) l'ensemble des parties de E. 1. Montrer que (P(E),,, ) est une algèbre de Boole. 2. Montrer que (P(E),,, ) est une algèbre de Boole. Exercice 2 : Soit (B, +,., ) une algèbre de Boole et soient a, b, c, d des éléments de B. Prouver les égalités suivantes et écrire leurs duales : a + b.a = 1 (2.1) a.b + ā + b = 0 (2.2) abc + ab c + a bc + a b c = a (2.3) a + c = a + ā bc(ad + c) + bc (2.4) (a + b)(b + c) + (c + d)(d + a) = ac + bd (2.5) (a + b)(b + c)(c + d)(d + a) = ac + bd (2.6) Exercice 3 : Soient a, b, c des éléments d'une algèbre de Boole (B, +,., ) et e = abc + b c + ā b. 1. Écrire a.b en n'utilisant que les opérations addition et complémentation. 2. Écrire a + b en n'utilisant que les opérations produit et complémentation. 3. Écrire e en n'utilisant que l'opération addition et la complémentation. 4. Écrire e en n'utilisant que l'opération produit et la complémentation. Exercice 4 : a, b, c étant des éléments d'une algèbre de Boole (B, +,., ), prouver les implications suivantes et examiner leurs réciproques : ab + c = 0 āc + bc = 1 (2.7) a = b + c ā = ā b c (2.8) a + b = a + c ā b c = ā b = ā c (2.9) ab + bc + ca = āb + bc + ca ā b c = ā b = ā c (2.10) Exercice 5 : Soient a, b, x des éléments d'une algèbre de Boole (B, +,., ). 11

12 CHAPITRE 2. ALGÈBRE DE BOOLE 1. Prouvez les équivalences : (a) (a + x = b + x et a + x = b + x) a = b (b) (ax = bx et a x = b x) a = b 2. On suppose que ax = bx et que a+ x = b+ x. Peut on en conclure que a = b? 2.1.2 Fonctions Booléennes Exercice 6 : Soit (B, +,., ) une algèbre de Boole et a, b, c, d, e, f des éléments de B. 1. Combien existe t'il de mintermes et de maxtermes d'ordre 6? 2. On considère maintenant le minterme m 27 d'ordre 6 avec les littéraux a, b, c, d, e, f. (a) Le complémentaire de m 27 est un maxterme M i. Déterminer i. (b) Donner les expressions de m 27 et M i. 3. Reprendre la question 2b lorsque m 27 est un minterme d'ordre 5 avec les littéraux a, b, c, d, e. Exercice 7 : Soit (B, +,., ) une algèbre de Boole et a, b, c des éléments de B. 1. Prouver l'équivalence : ac = bc ab + ā b + c = 1 2. En déduire que a + c = b + c ab + ā b + c = 1 Exercice 8 : Soit (B, +,., ) une algèbre de Boole et a, b, c, d des éléments de B. A-t-on l'équivalence : { āb + cd = b c + d abc + b c = ab āb c + āb d = 1 Exercice 9 : Soit (B, +,., ) une algèbre de Boole et a, b, c, d, e des éléments de B. Donner les décompositions canoniques disjonctives et conjonctives des expressions suivantes : 1. f(a, b) = (a + b)āb 2. f(a, b, c) = ab c + āb 3. f(a, b, c) = (a + b + c)(ā + b + c) 4. f(a, b, c, d) = abcd + a d + a b c + ab d 5. f(a, b, c, d, e) = b cd + ā d + cē + ab cd + ā Exercice 10 : Soit (B, +,., ) une algèbre de Boole et a, b, c, d des éléments de B. Soient f(a, b, c) = abc + ābc + ā b c g(a, b, c, d) = (a + b + d)(a + b + c + d)(ā + b + c + d) 1. Écrire f et g, duales de f et g respectivement. 2. Donner les décompositions canoniques disjonctives de f et g. 3. En déduire les décompositions canoniques conjonctives de f et g.

2.2. DIAGRAMMES DE KARNAUGH ET CIRCUITS 13 Exercice 11 : Soit (B, +,., ) une algèbre de Boole et a, b, c des éléments de B. 1. Donner les décompositions canoniques disjonctives de f et g avec f(a, b, c) = (a + b)(b + c)(c + ā)(ā + b)( b + c) g(a, b, c) = ā + b + c 2. Montrer que f(a, b, c) + g(a, b, c) = 1 3. Prouver les implications : (a) a c + āc + ā b = 0 f(a, b, c) = g(a, b, c) (b) ac = 1 f(a, b, c) = g(a, b, c) 4. Les implications réciproques sont elles vraies? Exercice 12 : 1. Combien existe t'il de fonctions booléennes de 4 variables binaires? 2. Déterminer les décompositions canoniques disjonctives de f 3 100 et de f 4 1000. 2.2 Diagrammes de Karnaugh et Circuits Exercice 1 : Utiliser les diagrammes de Karnaugh pour trouver la décomposition canonique disjonctive des fonctions booléennes qui suivent, puis en déduire leur décomposition canonique conjonctive : 1. f(a, b, c, d) = a(a + b + c)(c + d + a) 2. f(a, b, c, d, e) = ā + bcē + dē + b c Exercice 2 : Utiliser les diagrammes de Karnaugh pour trouver une simplication minimale des fonctions booléennes qui suivent : 1. f(a, b, c, d) = m 0 + m 3 + m 4 + m 7 + m 8 + m 11 + m 12 + m 15 2. f(a, b, c, d) = ā b + b c + ā d + cd 3. f(a, b, c, d, e) = (ā+ b+c+d+e)(a+ b+c+d+e)(ā+b+c+d+e)(a+b+c+d+e) 4. f(a, b, c, d, e) = m 31 + m 30 + m 27 + m 26 + m 23 + m 19 + m 15 + m 14 + m 13 + m 11 + m 9 + m 7 + m 5 + m 3 + m 1 Exercice 3 : Soient les expressions booléennes suivantes avec des relations de dépendance entre les éléments qui les composent : 1. f(a, b, c) = ab + a + b + c avec āb = 0 2. f(a, b, c, d) = ac + (a + c)(c + d) + bc d + abcd avec c + d = 1 3. f(a, b, c, d) = m 1 + m 5 + m 13 + m 11 avec ac = 0 Dans chaque cas : 1. Déterminer les mintermes nuls. 2. Simplier graphiquement chaque expression en tenant compte des mintermes nuls. 3. Vérier algébriquement ces simplications.

14 CHAPITRE 2. ALGÈBRE DE BOOLE Exercice 4 : Soit le circuit logique à 3 entrées a, b, c et une sortie s : 1 1 1 & 1 s 1 1 Fig. 2.1 circuit logique 1. Déterminer s. 2. Construire un circuit logique équivalent comportant un minimum de portes : (a) OU, ET, NON (b) Uniquement des portes NAND (c) Uniquement des portes NOR Exercice 5 : On donne s = ā b + ā c + d 1. Construire un circuit logique à 4 entrées, a, b, c, d et une sortie s, ne comportant que 4 portes de type OU, ET, NON. 2. Les 4 entrées sont maintenant liées par la relation b + c = 1. Simplier s et donner un circuit logique qui réalise s et qui ne comporte que deux portes. Exercice 6 : Soit le montage électrique : a b c b c a c a l Fig. 2.2 a, b et c sont des interrupteurs 1. Exprimer la fonction l en fonction de a, b, c. 2. Construire un circuit électrique réalisant la fonction de commande l et comportant un minimum d'interrupteurs. Exercice 7 : Réaliser un circuit ne contenant que des portes NOR, puis que des portes NAND pour représenter les fonctions suivantes : f(a, b) = ab + ā b (2.11) f(a, b, c) = ac(b + c) (2.12)

2.3. FONCTIONS BOOLÉENNES SUR VARIABLES BINAIRES 15 2.3 Fonctions booléennes sur variables binaires Exercice 1 : A une réunion d'actionnaires, quatre personnes A, B, C, D disposant respectivement de 1, 4, 6 et 9 voix votent sur diérents projets. On dénit 4 variables binaires a, b, c et d : a prend la valeur 1 si A vote en faveur du projet, la valeur 0 sinon, les variables b, c et d sont dénies de la même manière. 1. Écrire le Code de Gray de 4 variables dans un tableau. 2. Un projet est accepté s'il a la majorité (11 voix). Soit p la variable binaire qui vaut 1 si le projet est accepté, 0 sinon. Dressez la table des valeurs de p en fonction des variables a, b, c et d (utilisez le tableau de la question précédente). 3. En déduire l'expression booléenne de p sous forme canonique disjonctive. 4. Simplier p à l'aide d'un diagramme de Karnaugh. 5. En vue de réaliser un vote électronique, construire un circuit électronique à 4 entrées et à une sortie p qui comporte un minimum de portes ET, OU, NON. 6. On suppose désormais que B et C votent toujours de la même manière (b = c) : reprendre les deux questions précédentes. Exercice 2 : Un jury d'admissibilité dans une école supérieure doit examiner un grand nombre de dossiers de candidature. Une première sélection est faite selon un critère précis. Un dossier est accepté si et seulement si le candidat a la moyenne en mathématiques et dans au moins une des matières : français, première langue vivante, physique. Le référentiel est l'ensemble E des dossiers, et on considère les variables booléennes suivantes : a : avoir la moyenne en mathématiques. b : avoir la moyenne en français. c : avoir la moyenne en première langue vivante. d : avoir la moyenne en physique. f(a, b, c, d) : être accepté dans l'école. 1. Donner une expression simpliée de f. 2. Une analyse préliminaire des dossiers a montré que : Si un candidat a la moyenne en mathématiques, il l'a aussi en physique. Si un candidat a la moyenne en français, il l'a aussi en langue. (a) Écrire sous forme d'égalités booléennes ces relations de dépendance. (b) En déduire les mintermes nuls et une nouvelle simplication de f. Exercice 3 : Les propriétés suivantes s'appliquent aux arbres d'une forêt. Une variable est associée à chaque propriété. Lorsqu'un arbre vérie la propriété, la variable binaire correspondante prend la valeur 1. La valeur 0 est prise dans le cas contraire. être un résineux correspond à la variable binaire a. être un chêne correspond à la variable binaire b. avoir plus de cinquante ans correspond à la variable binaire c. être tordu correspond à la variable binaire d. mesurer plus de 20 mètres de hauteur correspond à la variable binaire e. Rappelons qu'un arbre est soit un résineux, soit un feuillus. Un bûcheron doit couper tout arbre vériant au moins l'une des propriété suivantes : L'arbre est un chêne de plus de cinquante ans.

16 CHAPITRE 2. ALGÈBRE DE BOOLE L'arbre est tordu. L'arbre est un résineux droit mesurant plus de 20 mètres de hauteur. L'arbre est un feuillu de plus de cinquante ans ou un feuillu de plus de 20 mètres de hauteur. Les autres arbres ne doivent pas être coupés. 1. Donnez une expression booléenne f(a, b, c, d, e) qui caractérise les arbres devant être coupés. 2. Donnez le tableau de Karnaugh de f(a, b, c, d, e). 3. Simpliez f(a, b, c, d, e) en tenant compte du fait qu'un chêne est un feuillu. 4. Le bûcheron coupe un feuillus droit de moins de 20 mètres de hauteur. Répondre, si possible, aux questions suivantes : (a) L'arbre a-t-il plus de cinquante ans? (b) L'arbre est-il un chêne? 2.4 Calcul galoisien Exercice 1 : 1. Montrer que la fonction clé de parité Paire pour 3 variables a, b et c s'écrit : P (a, b, c) = a b c. 2. En déduire l'expression de la fonction clé de parité Impaire. 3. Soit f(a, b, c) = m 0 + m 5 + m 7. Déterminer g tel que f(a, b, c) = P (a, b, c) g(a, b, c). Exercice 2 : Écrire les fonctions suivantes en n'utilisant que des, des, et des ".". Donner leur forme simpliée et construire les logigrammes correspondant en utilisant les portes XOR, ET, NON. f(a, b, c) = abc + ā b c (2.13) f(a, b, c) = a + bc (2.14) f(a, b, c, d) = ābcd + abc + ā bcd (2.15) Exercice 3 : Écrire sous une forme simpliée, les sorties de chaque portes logiques de ce logigramme, dans lequel a, b, et c sont les trois entrées. En déduire s en fonction de a, b, et c. a b c =1 =1 =1 =1 =1 s Fig. 2.3 circuit logique

2.5. DEVOIRS SURVEILLÉS 17 2.5 Devoirs surveillés 2.5.1 DS du 19 novembre 2003 Les Exercices 1., 2., 3. sont indépendants et peuvent être traités dans n'importe quel ordre. Dans tout ce devoir, (B, +,., ) désigne une algèbre de Boole. Les tableaux de Karnaugh devront impérativement être fait sur le modèle de celui du 2.. 1. Questions de cours : (a) Soit A, B B. Exprimer A + B en fonction de l'opération NOR. (b) On considère pour cette question seulement que B est l'algèbre de Boole binaire. i. Déterminer la décomposition canonique disjonctive de f 4 999. ii. En déduire la décomposition canonique conjonctive de f 4 999. 2. On se donne le tableau de Karnaugh suivant, représentant h, fonction de 4 variables booléennes A, B, C et D. AB \CD 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 (a) Donner la forme canonique disjonctive de h. (b) Simplier h par la méthode de karnaugh. (c) Représenter h par un circuit logique comportant un minimum de portes OU, ET et NON. 3. Soit f la fonction booléenne de 4 variables dénie sur B par f(a, B, C, D) = A.B.D + A.B.C + A.B.D + A.B.C (a) i. Donner le diagramme de Karnaugh associé à f. Pour les questions (a)ii. et (a)iii. seulement, on pose la condition C : A + D = 1. ii. Expliciter C sous forme de mintermes nuls. iii. Simplier graphiquement f en tenant compte de C. On ne considère plus la condition C pour les questions suivantes. (b) i. Écrire f en n'utilisant que les symboles et ".". ii. Représenter f par un circuit logique comportant un minimum de portes XOR, ET et NON. (c) Déterminer g(a, B, C, D) telle que : m 0 + m 4 + m 7 + m 10 + m 15 = g(a, B, C, D) f(a, B, C, D).

18 CHAPITRE 2. ALGÈBRE DE BOOLE 2.5.2 DS du 11 janvier 2005 Exercice 1 : Démontrer les égalités suivantes à l'aide des propriétés d'une algèbre de boole, où a, b, c sont trois éléments d'une algèbre de Boole, et énoncer leur duale : 1. a(b + c) = abc + abc + abc 2. [(ab)bc + ab(bc)]ca + [(ab)bc + ab(bc)]ca = (a + b)(b + c)(c + a) Exercice 2 : Soit (B, +,., ) une algèbre de Boole. On dénit l'opérateur par : Pour tout a, b éléments de B : a b = a + b. Démontrer les équivalences suivantes : 1. a b = b a a = b 2. (ab) c = a (bc) a + b = 1 Exercice 3 : On considère les fonctions booléennes de quatre variables a, b, c et d suivantes : f(a, b, c, d) = ac + (ab + cd + c) et g(a, b, c, d) = cd 1. Donner la forme canonique disjonctive de f. 2. Donner la forme canonique disjonctive de g. En déduire la forme canonique conjonctive de g. 3. Montrer que f(a, b, c, d) = g(a, b, c, d) a + c + d = 1 et abcd = 0. 4. Montrer que : a + d = 1 et ab = 0 f(a, b, c, d) = g(a, b, c, d). Examiner la réciproque (en la prouvant si elle est vraie, en donnant un contre-exemple si elle est fausse).

Chapitre 3 Logique 3.1 Logique Propositionnelle 3.1.1 Problèmes de logiques Exercice 1 : Le professeur Leblond parlait avec son assistant Lebrun et l'étudiant Leroux : - Vous remarquerez que l'un d'entre nous est blond, que l'autre est brun et le troisième roux, dit celui qui a les cheveux bruns. Et pourtant aucun d'entre nous n'a un nom qui correspond à la couleur de ses cheveux! Amusant, non? Tu as raison, dit le professeur. De quelle couleur sont les cheveux de l'assistant? Exercice 2 : On se trouve devant trois cores dont 1'un contient un trésor. Sur chaque core, il y a un message. Sur les deux premiers cores, le message est : le deuxième core est vide ; sur le troisième core : le premier core est vide. On sait que le message du core au trésor est vrai, et qu'il y a au moins un message faux. Où est le trésor? Exercice 3 : Vous connaissez peut-être l'île de Puro Pira. Je vous rappelle brièvement comment elle était peuplée. Certains habitants appelés Purs disent toujours la vérité. D'autres appelés Pires mentent toujours. Ces deux catégories d'habitants sont les seules qui composent la population de l'île. Une étrange épidémie a balayé l'île de Puro Pira. Elle ne dura en tout et pour tout qu'une semaine, et a touché à peu près la moitié des habitants. Les eets de cette maladie étaient purement psychologiques. Tous ceux qui furent atteints virent leur rôle d'éternel menteur ou de sincère perpétuel s'inverser. Le fait que les Purs disent toujours la vérité et que les Pires mentent tout le temps n'était plus vrai. Au lieu de cela, les Purs malades se mirent à mentir systématiquement et les Pires malades se mirent à dire toujours la vérité. Durant cette étrange semaine, il y eu quatre types d'habitants à Puro Pira : les Purs malades, les Purs sains, les Pires malades et les Pires sains. Les Purs sains et les Pires malades disaient toujours la vérité, alors que les Purs malades et les Pires sains mentaient toujours. Ainsi donc, quand vous rencontriez un indigène qui vous faisait une armation que vous saviez fausse, en général vous ne pouviez pas savoir s'il s'agissait d'un Pur malade ou d'un Pire sain. 1. Pendant l'épidémie, un indigène dit je suis un pur malade. Cet indigène est'il1 un Pur malade, un Pur sain, un Pire malade ou un Pire sain? 2. Rappelons nous que le sorcier est un Pur et l'astrologue un Pire. Pendant l'épidémie, le sorcier a été épargné par la maladie, mais pas l'astrologue, de telle sorte qu'ils disent tous les deux la vérité. Le sorcier et l'astrologue se promenaient lorsqu'ils ont vu un indigène avancer vers eux. Oh! je le 19

20 CHAPITRE 3. LOGIQUE connais, dit l'astrologue au sorcier. Je peux vous dire si c'est un Pur ou un Pire mais pas s'il est malade. Lorsque l'indigène les croisa, il leur dit Je suis un Pur sain. Alors l'astrologue cona au sorcier : Bien, maintenant je sais s'il est malade ou pas. Cet indigène était-il un Pur ou un Pire, et était-il malade? Exercice 4 : 1. En admettant les propositions suivantes, que peut'on conclure? "Les informaticiens sont des gens heureux" "Les armateurs ont de l'argent" "Les gens qui ont de l'argent ne sont pas heureux" 2. De même (d'après Lewis CARROLL) : "Les bébés sont illogiques" "Personne n'est méprisé, qui soit capable de maîtriser un crocodile" "Les gens illogiques sont méprisés" 3.1.2 Manipulation des opérateurs logiques Exercice 5 : On considère les propositions suivantes : p :"Alain aime Marie" et q :"Marie aime Alain". Traduire par une phrase les propositions : 1. p 2. ( q) p 3. ( p) ( q) 4. q ( p) Exercice 6 : On note respectivement p et q les propositions :"L'eau est chaude" et "L'eau est bleu turquoise". Écrire avec les notations logiques les phrases suivantes : "L'eau est chaude et bleu turquoise" "L'eau n'est ni chaude, ni bleu turquoise" "Il est faux que l'eau soit chaude ou bleu turquoise" "L'eau est chaude ou froide et bleu turquoise" Que peut'on dire de la dernière phrase? Exercice 7 : Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? "3 est pair et la somme des angles d'un triangle vaut 180 o " "2 est pair implique que π 3, 14" "3 est pair implique que π 3, 14" "Il n 'est pas vrai qu'un nombre entier impair ne puisse pas être divisible par 6" Exercice 8 : Écrire dans un français intelligible la négation des propositions suivantes : "Le nombre 342 n'est pas divisible par 3 mais il est multiple de 17" "Si tu es plus lourd que l'air alors tu ne voleras pas" "Si I est un intervalle et si f est continue sur I, alors f a une primitive sur I" Exercice 9 : Donner la table de vérité des propositions suivantes :

3.1. LOGIQUE PROPOSITIONNELLE 21 1. ( p) (p q) 2. ( p q) 3. p (p q) 4. (p q) ( q) 5. [p ( q)] [(p r) (q r)] 6. [(p r) (q r)] (p q) Exercice 10 : 1. Les propositions suivantes sont-elles des antilogies, des tautologies, ou ni l'un, ni l'autre? (p q) q p (p q) p (p q) q 2. Que peut'on dire de p si : p 0 p 1 0 p 1 p 3. Dans chacun des cas suivants, déterminer si les deux formes propositionnelles sur la même ligne sont égales : p (q r) (p q) r p [ (p q)] [( p) q] Exercice 11 : Le but de cet exercice est de mettre en évidence que l'ensemble des connecteurs logiques peut s'exprimer à l'aide du connecteur unaire et d'un seul connecteur binaire, qu'on dira de référence. 1. de référence : écrire sous forme logiquement équivalente, en vous servant uniquement des connecteurs et chacune des expressions logiques suivantes : p q p q p q 2. Même énoncé en se servant des connecteurs et NAND. 3.1.3 Modélisation Exercice 12 : Un homme qui semble divaguer déclare à toute la clientèle d'un café : 1. Le jour où je ne bois pas et où je dors, je ne suis pas content. 2. Le jour où je bois, je ne suis pas content et je dors. 3. Le jour où je ne mange pas, ou bien je ne suis pas content, ou bien je dors ou les deux. 4. Le jour où je mange, ou bien je suis content, ou bien je bois ou les deux. 5. Le jour où il ne pleut pas et où je suis content, je ne mange pas. 6. Aujourd'hui, je suis content.

22 CHAPITRE 3. LOGIQUE A-t-il bu? mangé? dormi? Quel temps fait'il? Exercice 13 : Dans une boite, il y a des objets qui sont : des cubes ou des sphères, verts ou noirs, petits ou grands, en bois ou en fer. On sait d'autre part que : ceux en fer sont grands, les verts sont des cubes, il n'y a pas de petits cubes verts, tous les objets sont cubiques, ou verts, ou petits et noirs. 1. Y a-t-il des petits objets verts dans cette boite? 2. Décrire succinctement le contenu de la boite. Exercice 14 : Trois collègues, Albert, Bernard et Charles déjeunent ensemble chaque jour ouvrable. Les armations suivantes sont vraies : 1. Si Albert commande un apéritif, Bernard en commande un aussi. 2. Chaque jour, soit Bernard, soit Charles, mais pas les deux, commandent un apéritif. 3. Albert ou Charles, ou les deux, commandent chaque jour un apéritif. 4. Si Charles commande un apéritif, Albert fait de même Que peut on en déduire? Pouvait on arriver à la même conclusion en supprimant l'une des quatre armations? Exercice 15 : Dans une famille, il y a le père, la mère et un enfant. L'enfant dit : ma mère dit toujours comme moi, et pourtant il y a au moins un menteur dans la famille. Qui dit la vérité dans cette famille? On utilisera les propositions : e : l'enfant est un menteur, m : la mère est une menteuse, p : le père est un menteur. Exercice 16 : La petite histoire ci-dessous est extraite d'un livre de logique. Expliquez d'abord pourquoi on peut voir cet exercice comme une recherche d'antilogie. Pour constituer un club, on a énoncé le règlement suivant : Article premier : tout membre non écossais porte des chaussettes oranges. Article second : tout membre porte une jupe ou ne porte pas de chaussettes oranges. Article troisième : les membres mariés ne sortent pas le dimanche. Article quatrième : un membre sort le dimanche si et seulement s'il est écossais. Article cinquième : tout membre qui porte une jupe est écossais et marié. Article sixième : tout membre écossais porte une jupe. Expliquer pourquoi ce club n'a jamais recruté de membre. Exercice 17 : Monsieur Tapir est accusé, dans une aaire de corruption, d'avoir reçu de l'argent d'une association. Lors du procès, cinq membres de cette association viennent témoigner. Le juge a pu obtenir leur témoignage à la condition suivante : chacun dira deux phrases dont l'une sera vraie et l'autre fausse. Voici leurs dépositions :

3.1. LOGIQUE PROPOSITIONNELLE 23 M. Hérisson : Aucun d'entre nous cinq n'est le trésorier des fonds secrets du parti. Je sais que Monsieur Tapir a reçu, par un intermédiaire, de l'argent venant de Monsieur Bléreau qui le tenait de Monsieur Belette par l'intermédiaire de Monsieur Renard. Monsieur Blaireau : Monsieur Tapir a reçu de l'argent. Le trésorier est Monsieur Renard. Monsieur Renard : La deuxième déclaration de Monsieur Hérisson est exacte. La deuxième de Monsieur Blaireau est exacte. Monsieur Belette : Monsieur Tapir n'a jamais reçu d'argent de notre parti. Je suis bien placé pour le savoir puisque je suis le trésorier du parti. Monsieur Mulot : Monsieur Belette n'a jamais été trésorier. J'ai reçu de l'argent de Monsieur Blaireau et je l'ai moi-même donné à Monsieur Tapir. (a) Modélisez la situation à l'aide d'équations booléennes. (b) Le juge peut-il conclure? Il ne sera tenu compte que d'arguments utilisant le calcul booléen. PS : toute ressemblance avec des personnes ayant existé ou existantes ne serait que pure malice. 3.1.4 Arbres de Beth Exercice 18 : Exprimez chacune des propositions suivantes avec les connecteurs,, et : P1 Je ne reçois pas mon journal si j'ai déménagé et que je n'ai pas envoyé mon avis de changement d'adresse, ou si je n'ai pas renouvelé mon abonnement. P2 J'ai déménagé et j'ai renouvelé mon abonnement. P3 Si je n'ai pas égaré mes lettres, j'ai envoyé mon avis de changement d'adresse et j'ai renouvelé mon abonnement. P4 Si j'ai déménagé et que je n'ai pas égaré mes lettres alors je reçois mon journal. 1. P 1 P 2 P 3 P 4 est il une tautologie? Pour répondre à cette question, écrire l'expression précédente sous forme d'une expression booléenne que vous simplierez à l'aide d'un diagramme de Karnaugh. 2. Répondre à la question précédente en utilisant un arbre de Beth. 3. On suppose maintenant que P 1, P 2 et P 3 ont vraies. Que peut on dire de P 4? Exercice 19 : Utiliser la méthode des arborescences de Beth dans ce qui suit : (a) Déterminer dans ce qui suit, les tautologies, les contradictions et les indéterminations : 1. (p 1 p 2 ) (p 2 p 3 ) 2. (p 1 p 2 ) ( p 2 (p 1 p 3 )) 3. (p 1 p 2 p 3 ) (p 3 ((p 1 p 2 ) p 3 )) 4. ((p 1 p 2 ) p 1 ) p 2 (b) Quelles sont les équivalences suivantes qui sont valides : 1. (p 1 (p 2 p 3 )) ((p 1 p 2 ) p 3 ) 2. (p 1 (p 2 p 3 )) ((p 1 p 2 ) (p 1 p 3 )) 3. (p 1 (p 2 p 3 )) ((p 1 p 2 ) (p 1 p 3 )) 4. ((p 1 p 2 ) p 3 ) ((p 1 p 3 ) (p 2 p 3 ))

24 CHAPITRE 3. LOGIQUE 3.2 Logique des Prédicats Exercice 1 : Soient A et B deux parties de N. Écrire à l'aide de quanticateurs les propositions suivantes : 1. A est non vide 2. A est diérent de N 3. 5 est le plus petit élément de A 4. Tous les éléments de A sont impairs 5. Tous les éléments de A ne sont pas pairs 6. A est inclus dans B 7. A et B sont disjoints 8. Tous les éléments de B sont divisibles par 4 Exercice 2 : En utilisant exclusivement les prédicats : Ent(x) qui se lit x est un nombre entier Pair(x) qui se lit L'entier x est pair Pre(x) qui se lit L'entier x est premier Div(y,x) qui se lit L'entier y divise l'entier x S(x,y) qui se lit L'entier y est le successeur de l'entier x (i.e. y = x+1) et les prédicats inxes =, < et avec leur signication habituelle, ainsi que les fonctions 0, 1, + et, formalisez les énoncés : 1. Il y a un entier plus petit ou égal à tous les autres 2. Il n'y a pas d'entier plus grand ou égal à tous les autres, mais pour tout entier il en existe un qui est plus grand 3. Tout nombre entier pair est égal à la somme de deux nombres entiers premiers 4. Il existe une innité de nombres premiers 5. Donnez une formule dénissant Div (y,x) par rapport aux autres prédicats et fonctions 6. Donnez une formule dénissant Pair par rapport aux autres prédicats et fonctions 7. Donnez une formule dénissant Pre par rapport aux autres prédicats et fonctions Exercice 3 : 1. Exprimer les propositions suivantes à l'aide des deux quanticateurs, le référentiel étant l'ensemble des étudiants E. (a) Aucun étudiant n'a une taille supérieure ou égale à 2 m. (b) Certains étudiants ont une taille supérieure ou égale à 2 m. (c) Tous les étudiants ont une taille strictement inférieure à 2 m et supérieure ou égale à 1,50 m. 2. Donner les négations de ces propositions. Exercice 4 : Soient f 1, f 2, et f 3 trois fonctions de R dans R. Traduire graphiquement les propriétés : 1. i {1, 2, 3}, a R, f i (a) = 1

3.3. RÉCURRENCE 25 2. i {1, 2, 3}, a R, f i (a) = 1 3. a R, i {1, 2, 3}, f i (a) = 1 4. a R, i {1, 2, 3}, f i (a) = 1 3.3 Récurrence Exercice 1 : Démontrer par récurrence les formules suivantes, où n est un entier naturel : 1. n 1, 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2 2. n 1, 1 3 + 2 3 + 3 3 +... + n 3 = n2 (n+1) 2 4 3. n 1, 1.(1!) + 2.(2!) + 3.(3!) +... + n.(n!) = (n + 1)! 1 4. (a) n N; n n(n+1)(n+2) k=0 k(k + 1) = 3 (b) n N; n n(n+1)(n+2)(n+3) k=0 k(k + 1)(k + 2) = 4 (c) Généraliser. Exercice 2 : Que pensez vous des raisonnements suivants? 1. Si j'ai 1 euro, je suis pauvre. Si je suis pauvre avec n euros, alors je suis pauvre avec n + 1 euros. Conclusion : Quelle que soit la somme que je possède, je suis pauvre. 2. Une personne quelconque a le même âge qu'elle même. Si on admet que pour tout groupe de n personnes, ces personnes ont le même âge, cela est vrai pour tout groupe de n + 1 personnes (puisque si on compare l'âge de deux personnes de ce groupe, elles sont incluses dans un sous groupe de n personnes, et ont donc le même âge) Conclusion : Nous avons tous le même âge? Exercice 3 : Démontrer par récurrence sur le nombre d 'éléments que si E est un ensemble de cardinal n, alors l'ensemble des parties de E, P(E), contient 2 n éléments.

26 CHAPITRE 3. LOGIQUE

Chapitre 4 Relations 4.1 Relations binaires Exercice 1 : Sur l'ensemble S = {1, 2, 3, 5}, on considère les relations suivantes : xry ssi x + y est impair xsy ssi x y 1. Représenter ces deux relations par une matrice et un graphe. 2. Quelles propriétés ont ces deux relations (parmi réexive, symétrique, antisymétrique, transitive)? 3. Donner la matrice et le graphe de R S, R S, R, et S t. Donner, si possible, une caractérisation de ces relations. Exercice 2 : Les relations suivantes sont-elles réexives, symétriques, antisymétriques ou transitives? ( Réponses à justier ). 1. R 1 est dénie sur l'ensemble E = {a, b, c, d} par la matrice : a b c d a 1 1 1 b 1 1 c 1 1 1 d 1 2. R 2 est dénie sur l'ensemble E = {a, b, c, d} par le graphe : a b c d 3. Sur l'ensemble E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, xr 3 y x divise y xr 4 y x est multiple de y Existe-il un lien entre R 3 et R 4? 27

28 CHAPITRE 4. RELATIONS 4. Sur N, xr 5 y x y est pair Peut-on exprimer autrement R 5? 5. Sur R, xr 6 y x = y 6. Sur P(E) (ensemble des parties d'un ensemble E) : AR 6 B A B = 7. Sur N : AR 7 B A B xry il existe p et q entiers, q 0, tels que y = px q Exercice 3 : 1. Que peut-on dire d'une relation à la fois symétrique et antisymétrique? 2. On dit qu'une relation R sur un ensemble E possède la propriété (P ) si l'on a jamais à la fois xry et yrx : (a) Une telle relation est-elle antisymétrique? (b) Une relation antisymétrique a-t-elle la propriété (P )? Exercice 4 : (un grand tableau) Nous considérons les 4 propriétés suivantes : réexivité (R), symétrie (S), antisymétrie (A) et transitivité (T). Examiner les 16 combinaisons possibles des 4 propriétés ci-dessus. Dans chaque cas donnez, si possible, un exemple de relation sur un ensemble contenant 3 éléments. Vous préciserez alors sa matrice ainsi que son graphe. Exercice 5 : (construction des rationnels (Q)) Notons A = Z (Z {0}) et dénissons sur A la relation R par (a, b) A, (c, d) A, (a, b)r(c, d) ssi ad = bc 1. Montrez que R est une relation d'équivalence. Notons [(a, b)] la classe d'équivalence de (a, b) 2. Quels sont les éléments de A contenus dans les classes d'équivalence suivantes : [(1, 2)],[(0, 1)], [(1, 1)]? 3. Parmi les paires suivantes, lesquelles appartiennent à la même classe d'équivalence : (1, 3), (0, 1), (10, 30), (0, 2)? Munissons l'ensemble des classes d'équivalence de R des opérations ci-dessous : [(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)] [(a, b)] [(c, d)] = [(ac, bd)] 4. Quels sont les éléments de A contenus dans les classes d'équivalence suivantes [(1, 2)] + [(4, 6)], [(1, 1)] + [(2, 2)], [(5, 4)] [(0, 4)], [(1, 2)] [(2, 1)]? 5. Pouvez-vous trouver une meilleure notation pour les classes ci-dessus? 6. La relation R sur Z Z est-elle transitive?

4.2. RELATIONS D'ORDRES 29 Exercice 6 : (une relation d'équivalence) Soit R la relation sur E = {s, t, u, v, w, x, y, z} de matrice s t u v w x y z s 1 1 t 1 1 1 1 u 1 1 v 1 1 1 1 w 1 1 1 1 x 1 y 1 1 1 1 z 1 1. Vérier que cette relation est une relation d'équivalence. 2. Donnez les classes d'équivalence de R 3. Réordonnez les éléments de E suivant les classes d'équivalence. Quelles est alors la matrice de R? 4. Dessinez le graphe de E. Exercice 7 : (composition de relations) Soient R et S, deux relations sur un ensemble E. Dénissons la composition des relations R et S de la manière suivante : x, y E, x(r S)y ssi z E, xrz et zsy 1. Si E est un ensemble de personnes, R est la relation être le ls de, et S est la relation être le frêre de, que sont les relations R S et S R? 2. Sur E = {a, b, c}, dénissons les relations R = {(a, a), (a, b), (b, c), (c, b)} S = {(a, b), (b, c), (a, c)} Dessinez les matrices et les graphes des relations R S et S R. 3. L'ensemble E est de cardinal ni. Donnez une méthode pour eectuer les calculs de composition de relations qui utilise le calcul booléen. 4. Pour les relations de la question 2, calculez (R S) t et S t R t. 5. Pour les relations R et S de la question 2, calculez R 2 = R R, et R 3 = R 2 R, puis S 2,S 3. Interprétez ces relation en terme de chemins dans le graphe de R et S. 4.2 Relations d'ordres Exercice 1 : (les relations est multiple de et divise) 1. Donnez le graphe et la matrice de la relation R dénie sur S = {2, 3, 4, 6, 8, 9} par xry ssi x divise y

30 CHAPITRE 4. RELATIONS 2. Cette relation est-elle réexive? symétrique? antisymétrique? transitive? Que peut-on en déduire? 3. Reprenez les questions précédentes pour la relation sur S dénie par xsy ssi x est multiple de y Exercice 2 : (La relation est multiple de bis) Soit E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}, l'ensemble des diviseurs de 60. Soit R la relation sur E dénie par x, y E, xry ssi x est multiple de y R est une relation d'ordre. 1. R est-elle une relation d'ordre total? Justiez votre réponse. 2. Dessinez le diagramme de Hasse de R de telle sorte que toutes les èches soient orientées de la gauche vers la droite. 3. Quel est l'élément nul de (E, R)? Quel est l'élément universel de (E, R)? 4. Posons A 1 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, A 2 = {12, 15}, et A 3 = {2, 3, 4, 6, 12}. Remplissez le tableau ci-dessous (E, R) A 1 A 2 A 3 minorants majorants minimum maximum borne inférieure borne supérieure éléments minimaux éléments maximaux Exercice 3 : (La relation ) Nous considérons dans cet exercice l'ensemble ordonné (R, ). Soit A 1 = [0, 1], A 2 =]2, 3[, A 3 = A 1 A 2. Remplissez le tableau ci-dessous (R, ) A 1 A 2 A 3 minorants majorants minimum maximum borne inférieure borne supérieure éléments minimaux éléments maximaux Exercice 4 : (Diagrammes de Hasse) Sur E = {a, b, c, d, e, f}, soient les relations R 1, R 2, R 3 dont les matrices sont données ci-dessous.

4.2. RELATIONS D'ORDRES 31 Pour chacune, vériez qu'il s'agit d'une relation d'ordre et donnez son diagramme de Hasse. R 1 a b c d e f a 1 0 0 0 0 0 b 1 1 0 1 1 1 c 1 0 1 1 1 1 d 0 0 0 1 0 0 e 1 0 0 1 1 1 f 0 0 0 0 0 1 R 3 a b c d e f a 1 0 1 0 0 0 b 0 1 1 0 1 1 c 0 0 1 0 0 0 d 1 1 1 1 1 1 e 0 0 1 0 1 0 f 0 0 1 0 0 1 R 2 a b c d e f a 1 1 1 1 1 1 b 0 1 1 1 1 1 c 0 0 1 1 1 1 d 0 0 0 1 0 1 e 0 0 0 0 1 1 f 0 0 0 0 0 1 Pour chacune de ces relations d'ordre, donner s'ils existent l'élément nul et l'élément universel ainsi que les éléments particuliers des ensembles X = {a, b, c} et Y = {e, f}. Exercice 5 : (Diagrammes de Hasse???) Parmi les 4 graphes ci-dessous lesquels sont des diagrammes de Hasse? Quand c'est le cas, donnez la matrice de la relation d'ordre associée. a b a b c d c d b c f c e a d e a Exercice 6 : Un marchand d'ordinateur caractérise ses machines à l'aide de deux nombres : la puissance de calcul, notée p et la capacité du disque dur, notée c. A chaque machine est donc associée un couple (p, c). Deux machines (p, c) et (p, c ) seront considérées identiques ((p, c) = (p, c )) si et seulement si p = p et c = c. Avant de choisir ses prix, il souhaite pouvoir ordonner ses machines. Ne sachant pas vraiement comment s'y prendre, il propose a son stagiaire les quatre relations ci-dessous et lui demande s'il s'agit de relations d'ordre : 1. (p, c) N N, (p, c ) N N, (p, c)r 1 (p, c ) p p ou c c 2. (p, c) N N, (p, c ) N N, (p, c)r 2 (p, c ) p < p ou (p = p et c c ) 3. (p, c) N N, (p, c ) N N, (p, c)r 3 (p, c ) p p et c c 4. (p, c) N N, (p, c ) N N, (p, c)r 4 (p, c ) p + c p + c b d f g h

32 CHAPITRE 4. RELATIONS Pour chacune de ces quatres relations, examinez s'il s'agit ou non d'une relation d'ordre en justiant vos armations. 4.3 Devoirs surveillés 4.3.1 DS du 25 février 2004 Exercice 1 : Soient E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} et la relation R dénie sur E par x, y E, xry x est multiple de y 1. Donnez la matrice de R sur E. 2. Parmi les propriétés suivantes : réexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité, quelles sont celles vériées par R? Vous donnerez pour chacune une explication concise à partir des propriétés de la matrice de R. 3. R est une relation d'ordre. Dessinez son diagramme de Hasse de telle sorte que toutes les èches soient orientées de la gauche vers la droite. 4. Soit A = {2, 3, 6} et B = {1, 2}. Remplissez le tableau ci-dessous. Si une case est vide, vous prendrez le soin de l'indiquer à l'aide d'un signe distinctif, comme par exemple (-). (E,R) A B minorants majorants plus petit élément plus grand élément borne inférieure borne supérieure éléments minimaux éléments maximaux Exercice 2 : Soit R 1 une relation d'équivalence sur un ensemble E 1 et R 2 une relation d'équivalence sur un ensemble E 2. Soit E = E 1 E 2, l'ensemble produit cartésien de E 1 et E 2. C'est l'ensemble des couples d'éléments (x, y) avec x E 1 et y E 2. Deux éléments de E, (x, y) et (z, t) sont égaux si et seulement si x = z et y = t. Dénissons sur E, la relation R par (x, y) E, (z, t) E, (x, y)r(z, t) (xr 1 z et yr 2 t) Première partie : Pour cette partie seulement nous considérons un cas particulier. E 1 = {a 1, b 1, c 1, d 1 } et E 2 = {a 2, b 2 }. Les matrices de R 1 et de R 2 sont données ci-dessous. R 1 a 1 b 1 c 1 d 1 a 1 1 b 1 1 1 c 1 1 1 d 1 1 R 2 a 2 b 2 a 2 1 1 b 2 1 1

4.3. DEVOIRS SURVEILLÉS 33 1. Donnez la matrice de la relation R dénie ci-dessus sur E = E 1 E 2. 2. R est-elle une relation d'équivalence? Vous justierez votre réponse à l'aide des propriétés de la matrice. 3. Donnez les classes d'équivalence de R Seconde partie : Nous nous plaçons maintenant dans le cas général. Ainsi R 1 et R 2 sont des relations d'équivalence quelconques. 1. Montrez que R est réexive sur E 2. Montrez que R est symétrique sur E 3. Montrez que R est transitive sur E 4.3.2 DS du 9 novembre 2005 Exercice 3 : On considère les relations suivantes. On demande, pour chacune d'entre elles, de donner les propriétés qu'elles ont, ou n'ont pas, parmi réexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité, en justiant soigneusement les réponses : 1. La relation R 1 est dénie par : R 1 a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 a 1 1 1 1 b 1 1 1 1 c 1 1 1 d 1 1 e 1 1 1 1 2. Sur l'ensemble E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} : arb a divise b 2 Exercice 4 : On considère une relation d'ordre R sur l'ensemble E = {a, b, c, d, e, f, g} dénie par son diagramme de Hasse : c e f a 1. Donner, s'ils existent, l'élément nul et l'élément universel de E. 2. Pour les sous-ensembles X = {c, e, f} et Y = {e, f, a, g}, remplir le tableau suivant an de donner les éléments particuliers de ces deux sous-ensembles. (E,R) X Y minorants majorants plus petit élément plus grand élément borne inférieure borne supérieure éléments minimaux éléments maximaux g b d

34 CHAPITRE 4. RELATIONS Exercice 5 : Sur l'ensemble des entiers naturels N, montrer que la relation R suivante : arb il existe un entier naturel k tel que b = a k est une relation d'ordre. Est-ce un ordre total ou partiel? Donner le diagramme de Hasse de cette relation sur le sous-ensemble A = {2, 3, 4, 8, 9, 16, 27, 32} Exercice 6 : Relation d'équivalence? On considère des couples d'entiers naturels (a, b). On rappelle que deux couples (a, b) et (c, d) sont égaux si et seulement si a = c et b = d. Déterminer si les relations suivantes sont des relations d'équivalence. Si oui, on donnera les classes d'équivalence des couples (1, 1) et (0, 3). 1. (a, b)r 1 (c, d) a 2 c 2 = b + d 2. (a, b)r 2 (c, d) ab = cd

Chapitre 5 Arithmétique 5.1 Arithmétique dans Z 5.1.1 Algorithme d'euclide et équations Diophantiennes Exercice 1 : Calculer a b et a b, en utilisant 1. La décomposition en nombres premiers 2. L'identité de Bezout pour les nombres suivants : a = 429 et b = 700 a = 325 et b = 120 En déduire dans chaque cas u et v tels que au + bv = d (= a b). Exercice 2 : Résoudre, si possible, les équations suivantes dans Z 429x + 700y = 5 28x + 35y = 60 6x + 10y = 4 21x + 15y = 9 3x + 6y = 7 343x + 259y = 658 2x 3y = 2 14x + 9y = 1000 12x + 57y = 423 11x 12y = 13 Trouver les solutions positives, si elles existent des équations précédentes. Exercice 3 : Écrire 100 comme somme de deux entiers positifs, l'un est divisible par 11 et l'autre par 7. Exercice 4 : Un objet vaut x euros et y centimes. Par erreur vous payez y euros et x centimes soit deux fois le prix plus 5 centimes. Quel est le prix de l'objet? Exercice 5 : Deux enfants ont 100 billes à eux deux. Si le premier met ses billes par paquets de 8, il lui en reste 7, et si le second met ses billes par paquets de 10, il lui en reste 7 aussi. Combien ont-ils de billes chacun? Exercice 6 : Un restaurant propose un menu à 11e pour les adultes et à 7e pour les enfants. A la n de la journée, la recette est de 657e. Quel est le nombre minimum de personnes qui ont été servies dans cette journée? Le nombre maximum? Exercice 7 : Une compagnie pétrolière doit livrer 100.000 litres d'essence. Ses camions citernes ont une capacité de 2400 litres ou de 4600 litres. Chaque citerne doit être pleine avant de prendre la route, autrement le roulis pourrait représenter 35

36 CHAPITRE 5. ARITHMÉTIQUE un danger. Est il possible pour la compagnie d'eectuer sa livraison? Quel est le nombre minimal de camion qu'elle doit utiliser? 5.1.2 Propriétés diverses Exercice 8 : Montrer en utilisant la décomposition en nombre premier que 1. Si a bc et si a b = 1 alors a c. C'est le théorème de Gauss. 2. Si a c et b c et si a b = 1 alors ab c. Exercice 9 : Soit a > 0, b > 0. Montrer que si a 2 b 2 alors a b. Exercice 10 : Soit p un nombre premier et p ab. Montrer que p a ou p b. Exercice 11 : Soit p 5 premier. 1. Montrer que 3 (p 2 1) et 8 (p 2 1) 2. En déduire que 24 (p 2 1). Exercice 12 : Soit n Z. Montrer que n 5 n est divisible par 30. Exercice 13 : Soient n 3, a n = 2 n 1 et b n = 2 n + 1. Montrer que si l'un des nombres a n ou b n est premier alors l'autre ne l'est pas (On montrera par récurrence que 3 a n b n ). Exercice 14 : Soient a > 1 et n > 1. Montrer que si a n 1 est premier alors a = 2 et n est premier. Exercice 15 :[Divisibilité par 11] Soit n un entier qui s'écrit en base 10 comme x p x p 1... x 0. 1. Exprimer n[11] (reste de la division de n par 11) en fonction de x 0, x 1, x 2,..., x p. 2. En déduire un critère de divisibilité par 11 des nombres entiers écrits en base 10. 3. Donner des exemples. 5.2 Arithmétique modulaire 5.2.1 Calcul dans Z/mZ Exercice 1 : Résoudre les équations de congruence suivantes : 1. 6x 2 [8] 2. 2x 3 [5] 3. 4x 5 [9] Exercice 2 : 1. a est il inversible dans les cas suivants? Si oui calculer l'inverse de a 1 de a. (a) a = 429 dans Z/700Z (b) a = 72 dans Z/6125Z

5.2. ARITHMÉTIQUE MODULAIRE 37 (c) a = 24 dans Z/30Z 2. En déduire dans chacun des cas précédents la solution de l'équation a x = 5. Exercice 3 : Résoudre les équations suivantes : 1. 2x + 1 14 [15] 2. 206x + 6 3 [5] 3. 28x + 167 1 [15] Exercice 4 : Soit p un nombre premier 1. Dans Z/pZ, montrer que 1 et p 1 sont leurs propres inverses et que ce sont les seuls. 2. Montrer que si x est l'inverse de y, alors p x est l'inverse de p y. 3. Imaginer une méthode rapide pour calculer les inverses de tous les éléments de (Z/pZ) (Combien faut il en calculer au plus?) 4. Application : Déterminer l'inverse de chaque élément dans les cas suivants : (a) Z/5Z (b) Z/11Z (c) Z/23Z Exercice 5 : 1. Calculer dans Z/13Z les inverses de tous les éléments inversibles. En déduire que 12! 1 [13]. 2. Soit p premier. Montrer que (p 1)! 1 [p] Exercice 6 : Résoudre les équations suivantes : 1. x 2 = 1 dans Z/17Z 2. x 2 x 1 = 0 dans Z/5Z 3. 6x 2 3x + 2 = 0 dans Z/7Z 4. x 2 = 1 dans Z/8Z Exercice 7 : Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Soit x 0 Z/nZ. On dit que x 0 est un carré modulo n s'il existe x Z/nZ tel que x 2 0 = x. Dans ce cas les solutions x de l'équation précédente sont appelées les racines de x 0 modulo n. 1. On prend n = 11, en complétant le tableau suivant x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 2 déterminer les racines carrées de 5 modulo 11. 2. On suppose désormais que n = p avec p premier et p 3[4] et que x 0 0 est un carré modulo p. Soit x Z/pZ tel que x 2 = x 0. (a) Rappeler le petit théorème de Fermat et en déduire x p 1 (b) Vériez que 4 divise p + 1 (c) En utilisant ce qui précède, montrer que x 1 = x (p+1)/4 0 est une racine carrée de x 0 modulo p

38 CHAPITRE 5. ARITHMÉTIQUE (d) Vérier que les racines carrées de x 0 modulo p sont x 1 et p x 1. (e) On prend n = p = 71. Déterminer les racines carrées de 5 modulo 71 (on remarquera que 5 5 1[71]). 5.2.2 Lemme chinois des restes Exercice 8 : Résoudre les systèmes de congruence suivants { x 5 [6] x 1 [2] { x 3 [4] x 6 [8] Exercice 9 : Déterminer tous les entiers x tels que : x 2 [3] x 3 [4] x 4 [5] Exercice 10 : Déterminer tous les entiers n avec 1 n 105 tels que les restes des divisions euclidiennes de n par 3, 5 et 8 sont respectivement 1, 3 et 6. Exercice 11 : Une bande de 17 pirates s'est emparé d'un butin de pièces d'or d'égale valeur. Ils décident de se le partager également et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait 3 pièces. Mais les pirates se querellent et 6 d'entre eux sont tués. Le cuisinier recevrait alors 4 pièces. Dans un naufrage ultérieur, seuls le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauvés et le partage laisse nalement 5 pièces d'or à ce dernier. 1. Montrer que la fortune minimale x que peut espérer le cuisinier satisfait à un système de congruences que l'on déterminera. 2. Calculer cette fortune minimale (à savoir la plus petite solution entière positive du système de la question précédente). 5.2.3 Fonction d'euler Exercice 12 : Soit φ la fonction d'euler. 1. Calculer φ(n) lorsque n = 200, n = 345 et n = 1250 2. En déduire les restes des divisions suivantes : 17 162 par 200, 8 180 par 345 et 21 502 par 1250 Exercice 13 : Déterminer les restes des divisions suivantes : 1. 13 1996 par 17 2. 13 31998 par 11 Exercice 14 : On considère le polynôme suivant : P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 avec a 0 = 15 1995, a 1 = 13 2022 et a 2 = 8 3303

5.3. CRYPTOGRAPHIE 39 1. Trouver une écriture plus simple de p dans Z/11Z. 2. Quel est le reste de la division de P (3 1002 ) par 11? Exercice 15 : Soit A = 1000 200030004000. On cherche le reste de la division de A par 19. On note a = 2000 30004000. 1. Déterminer le reste r de la division de 2000 par 18. 2. Montrer que 3000 4000 est un multiple de 6 3. En déduire que a 10 [18] (on montrera par récurrence que 2 6n 10 [18]). 4. Diviser 1000 par 19. 5. Utiliser ce qui précède et le théorème de Fermat pour déterminer A [19]. 5.3 Cryptographie Exercice 1 : On se propose de coder les mots de la façon suivante : Correspondance lettre-nombre : A = 01, B = 02,..., Z = 26 et espace = 27. Codage RSA par groupe de 2 chires avec n = 33 et e = 7 Décoder le message GAZB Exercice 2 : Même exercice avec n = 91 et e = 17 1. Encoder le mot OK. 2. Décoder le message 61754123 Exercice 3 : Mettez vous par binôme, encodez chacun un message de 4 lettres et envoyez le à l'autre qui le décodera. 5.4 Devoirs surveillés 5.4.1 DS du 11 février 2004 Exercice 1 : soit a = 1999 et b = 23, on note A = a a et on cherche à déterminer le reste de la division euclidienne de b A par p = 13. 1. Calculer φ(p 1) 2. Utiliser le théorème d'euler pour déterminer le reste de A par p 1. 3. En déduire le reste de b A par p. Exercice 2 : Soient a et b deux entiers non nuls. On dit que a est un carré modulo b si et seulement si il existe x tel que x 2 a[b] On dit alors que x est une racine carrée de a modulo b. Soient p et q deux nombres premiers diérents de 2 et soit n = p.q. 1. Vérier que si x 2 a[b] alors (b x) 2 a[b] 2. Supposons que x 2 a[n] montrer que x 2 a[p] et x 2 a[q].

40 CHAPITRE 5. ARITHMÉTIQUE 3. Montrer que si a est un carré modulo p non nul, alors il n'admet que deux racines x et p x. (Indication : Prendre deux racines diérentes x et y, former x 2 y 2 et en déduire le résultat). 4. Déduire du résultat précédent que si a est un carré modulo n et que a est premier avec p et q alors a admet exactement 4 racines x 1, n x 1, x 2 et n x 2 (Indication : Utiliser le théorème chinois des restes). Exercice 3 : 1. Eectuer le chirement et le déchirement en utilisant l'algorithme RSA des messages m dans les cas suivants : (a) p = 3, q = 11, e = 7 et m = 5 (b) p = 5, q = 11, e = 3 et m = 9 (c) p = 7, q = 11, e = 17 et m = 8 2. Soit un système à clé publique utilisant le RSA, vous interceptez le texte chiré m = 10 envoyé par un utilisateur dont la clé publique est e = 5 et n = 35. Que vaut m? Exercice 4 : 1. Considérons le schéma suivant dans lequel Bob chire un message pour Alice (a) Alice choisit 2 grands nombres premiers p et q qui sont premiers avec p 1 et q 1 (b) Alice publie n = pq comme clé publique (c) Alice calcule p et q tels que pp 1[q 1] et qq 1[p 1] (d) Bob chire le message m par la formule m = m n [n] (e) Alice trouve m en résolvant { m m p [q] m m q [p] 2. On prend p = 7 et q = 11, calculer p et q. 3. Chirer et déchirer le message m = 3 envoyé par Bob à Alice (pour déchirer, calculer d'abord m p [q] et m q [p], le reste de la division par q et p). 4. Expliquer comment et pourquoi ce schéma fonctionne (on pourra utiliser le théorème RSA). 5.4.2 DS du 25 février 2004 Exercice 5 : Montrer que tout entier n 24 peut s'écrire sous la forme 5a + 7b avec a et b entiers naturels : 1. Par récurrence en remarquant que 5 3 7 2 = 1 et que 7 3 5 4 = 1 2. En utilisant une division euclidienne. Que se passe-t-il pour les entiers n 23? Exercice 6 : 1. Déterminer tous les couples (u, v) de Z 2 tels que 442u + 495v = 1 2. Résoudre l'équation 442x = 223 dans Z/495Z

5.4. DEVOIRS SURVEILLÉS 41 5.4.3 DS du 11 janvier 2005 Exercice 7 : 1. A l'aide de la décomposition en nombres premiers, montrer que 35 est inversible dans Z/176Z, et calculer son inverse. 2. Résoudre dans Z l'équation 35x 18[176]. Exercice 8 : Soient les entiers : a = 1964 b = a 23 c = 23 b On cherche à calculer le reste de la division euclidienne de a c par 101. 1. On cherche d'abord le reste de c par 100 : (a) Calculer le nombre d'euler Φ(100). (b) Déterminer le reste de la division de b par Φ(100). (c) En déduire le reste de la division de c par 100 (on utilisera le théorème d'euler). Quels sont les deux derniers chires de c? 2. Calculer le reste de la division de a c par 101. Exercice 9 : 1. Utiliser un théorème du cours pour démontrer que le système d'équation suivant a des solutions dans l'ensemble des entiers relatifs : x 2[7] x 3[10] x 7[13] 2. 23 est-il solution de ce système? 163 est-il solution de ce système? 3. Donner l'ensemble des solutions de ce système dans Z. Exercice 10 : 1. Expliquer brièvement les propriétés des nombres n et e constituant la clé publique dans la méthode RSA, puis comment est calculé le nombre d, clé secrète de décodage. 2. Alice code un message préalablement chiré m 1 = 2 avec la clé publique e B de Bob à qui elle veut l'envoyer : n = 23 29 = 667 et e B = 31. Quel nombre envoie t'elle? 3. Bob veut lire le message envoyé par Alice. Quelle est sa clé secrète d B? Quel calcul fait il pour trouver 2? (on ne demande pas de faire ce calcul!) 4. La clé publique d'alice est e A = 13, sa clé privée d A = 237 (n est inchangé). Bob veut lui répondre le message chiré : m 2 = 3. Quel nombre envoie t'il?