TD E2 Traitement du signal Exercice 1 : Vrai ou Faux ( ) 1 La connaissance spectre d un signal périodique permet de reconstruire complément ce dernier. 2 Le premier pic présent dans le spectre d un signal correspond au fondamental 3 La fréquence d un signal périodique correspond à la valeur du fondamental. 4 Après l action d un filtre linéaire sur un signal, toutes les composantes spectrales du signal de sortie sont présentes dans le signal d entrée. Exercice 2 : Spectres ( ) On considère les 2 signaux suivants pour lesquels f 0 =1,0kHz : s 1 (t) = 6 2cos(2πf 0 t) + 3sin (2πf 0 t) et x 2 (t) = 4 + 1,8cos(2πf 0 t+π /3)+0,8sin(6 πf 0 t) Représentez leurs spectres d amplitude. Exercice 3 : Highpass filter ( ) Consider a first-order highpass filter (C = 1 μf and R = 500/π Ω). The input signal is given by : u in (t) = 5 cos(200 π) + 5 sin(2000 π t) Find an expression for the output v out (t) in steady-state conditions. Exercice 4 : Saturation ( ) Les figures ci-dessous représentent une sinusoïde x(t) d amplitude 10 V et une sinusoïde y(t) saturée à ±9V avec les spectres correspondants. Sachant que les composantes spectrales fournies par l analyseur spectral sont les suivantes : 1 Complétez le tableau 2 Calculez les valeurs efficaces des deux signaux 3 Expliquez pourquoi les harmoniques pairs du signal y(t) sont nuls. 1/5
Exercice 5 : Démodulation ( ) Le téléphone portable reçoit un signal modulé en fréquence, de la forme e(t) = U 0 cos (ω 0 (1+m(t))t ) sa pulsation s écrit donc :. ω = ω 0 (1+m(t)) L objectif est d extraire de ce signal la quantité m(t), qui constitue l information échangée entre l antenne et le téléphone. Pour cela, le circuit représenté sur la figure 1 est utilisé. multiplieur filtre passe-bas e(t) f(t) g(t) h(t) déphaseur Figure 1 Le circuit déphaseur est schématisé sur la figure 2. L amplificateur opérationnel est idéal et fonctionne en régime linéaire. 1 Déterminer l expression de la fonction de transfert T = f e du déphaseur, en régime 2/5
sinusoïdal forcé à la pulsation ω. 2 Justifier que T peut s écrire T = exp( i ψ). Exprimer cos ψ en fonction de ω et ω 0 = 1 R 0 C 0. Considérons pour commencer que m(t) est une constante. Le multiplieur délivre une tension g(t) = k e(t) f(t), k étant une constante. 3 Exprimer g(t). Vérifier que g(t) est la somme d une tension continue A et d une tension de pulsation 2ω. 4 Exprimer A en fonction de k, U 0 et m. Écrire le développement limité de A jusqu à l ordre 1 en m inclus, sachant que m est petit devant 1. On admet que les résultats précédents restent valables tant que la quantité m(t) varie très lentement par rapport à cos (ω 0 t ), tout en restant très inférieure à 1. 5 PB Comment faut-il choisir la pulsation de coupure ω C du filtre passe-bas pour que la sortie h(t) soit proportionnelle à m(t)? 6 Proposer un montage électronique simple permettant de réaliser ce filtrage. e(t) R R 0 C 0 R Figure 2 f(t) Exercice 6 : Filtrage d un signal carré ( ) Un filtre passe-bas RC réalisé avec R = 1,0 kω et C = 0,10 µf est attaqué par un signal carré u 1 (t) de période T = 1,0 ms et d amplitude comprise entre 0 et 20 V 1 Donner l allure de signal de sortie u 2 (t) ainsi que du courant i(t) parcourant le circuit. 2 Pour chacun des 3 signaux u 1 (t), u 2 (t), i(t), déterminer les valeurs DC, efficace totale et efficace AC. Données : DSF d un signal en créneau impaire d amplitude A et de moyenne nulle : s(t) = 4 A 1 sin((2 p+1)ωt) π 2p+1 p=0 Exercice 7 : Filtrages ( ) 1 Déterminer la nature et la fréquence de coupure d un filtre tel qu un signal d entrée triangulaire d amplitude 1,0 V et de fréquence f donne en sortie un créneau d amplitude 64 mv pour f = 50 Hz et un signal triangulaire d amplitude 1,0 V pour f > 10 khz. 2 Même question pour un filtre tel qu un signal d entrée en créneau d amplitude 1,0 V et de fréquence f donne en sortie un créneau d amplitude 0,50 V et déphasé de π pour f < 100 Hz, et un signal triangulaire d amplitude 60 mv pour f = 20 khz. 3/5
Exercice 8 : Sismologie ( ) Le principe d un sismomètre est schématisé sur la figure ci-contre. Un ressort (1) de masse négligeable, dont la réponse en élongation, linéaire,est caractérisée par une raideur k, est suspendu à un boîtier rigide. Un solide (2), de masse m, est accroché à l autre extrémité de ce ressort.une partie de ce solide est solidaire d un amortisseur (3) exerçant sur (2) la force de frottement fluide f = h v, où h est une constante, et v la vitesse de translation de (2) par rapport au boîtier. Le passage d'une onde sismique provoque un mouvement du boîtier par rapport à un référentiel galiléen qui est repéré par sa coordonnée X(t) le long d'un axe O'X. Le mouvement de (2) par rapport au boîtier est repéré par sa coordonnée x(t) sur un axe Ox fixe par rapport au boîtier dont l'origine O correspond au point d'attache de (2) dans sa position d'équilibre en l'absence de mouvement du boîtier. L'axe Ox, comme l'axe O'X, est vertical ascendant. On étudie le mouvement x(t) de (2) provoqué par le mouvement du boîtier X(t). 1 Établir l'équation différentielle suivante liant les variables x(t) et X(t) : d 2 x dt 2 + 2 τ dx dt + ω 0 2 x = d2 X dt 2 où ω 0 = k m est la pulsation propre du sismomètre et, par définition, τ= 2 m h la constante de temps relative à l'amortissement. 2 On considère une onde sismique sinusoïdale et de pulsation ω. En régime forcé, la fonction x(t) est sinusoïdale elle aussi, et de même pulsation. Établir l'expression de la fonction de transfert mécanique H 1 (jω) = x X. On suppose désormais que ω 0 τ = 1 ; montrer que la fonction de transfert mécanique peut s'écrire : 1 H 1 (jω) = ω 0 2 ω 2 1 + j 2 ω 0 ω 3 Exprimer G 1 (ω) = H 1 (jω) et φ 1 (ω) = arg(h 1 (jω)) pour ω < ω 0. À quelle type de filtre correspond cette fonction de transfert? 4 La pulsation propre du sismomètre étant ω 0 = 20 rad.s -1, cet appareil détecte une onde sismique sous la forme de la fonction périodique x(t) reproduite sur la figure ci-dessous ; l'amplitude est en unité arbitraire. 4/5
L application d un algorithme de transformée de Fourier à x(t) fournit la décomposition en série de Fourier sous la forme x (t) = c + 0 c n cos(n ω t+φ n ) avec ω = 10 rad s -1. Les n valeurs des coefficients c n et des phases φ n sont rassemblées dans le tableau ci-dessous n c n (unité arbitraire) φ n 0 0 1 4-0,4 π 2 3,5 0,6 π 3 2 0,5 π 4 0 5 1-0,6 π 5 En déduire l'excitation sous la forme X(t) = c' 0 + c' n cos(nω t+φ' n ). Tracer n l'allure de X(t) sur une période. 6 Comment devrait-on modifier les caractéristiques du sismomètre afin que l'enregistrement de x(t) permette de déduire directement X(t)? 5/5