Energie Mécanique 1 - Energie Exemples : On dit qu'un système possède de l'énergie lorsqu'il peut fournir du travail. Eau d'un barrage pouvant faire tourner une turbine. Ressort tendu de flipper pouvant lancer une bille. Marteau en mouvement pouvant enfoncer un clou. Comme le travail, l'énergie s'exprime en joules. On admettra que l'énergie d'un système est la somme des énergies de ses différentes parties. L'énergie mécanique se présente sous deux formes que nous allons étudier : énergie cinétique et énergie potentielle. 2 - Energie cinétique C'est la forme d énergie que possède un système matériel en mouvement. Un marteau en mouvement est d'autant plus efficace que sa masse est plus grande et sa vitesse élevée. 2.1- Energie cinétique d'un point matériel : Pour une masse ponctuelle m, dite point matériel, animée d'une vitesse v, on démontre que l'énergie cinétique s'exprime par : Ec =1/2 (m v²) Dans le Système International d unités : m en kg, v en m.s -1, Ec en J Une masse de 1kg se déplaçant à 1 m.s -1 possède une énergie cinétique de 0,5 Joule. L énergie cinétique est donc proportionnelle à la masse de l objet en mouvement : à la même vitesse, une masse deux fois plus grande aura deux fois plus d énergie cinétique. Elle varie comme le carré de la vitesse : à 240km/h, une automobile aura seize fois plus d énergie cinétique qu à 60 km/h.
2.2- Energie cinétique d'un système en translation : Pour un système de masse M en translation dont le centre d'inertie G a une vitesse v G, tous les points du système ont la même vitesse v G. En conséquence : Ec = 1/2( m 1 v 1 ²) + 1/2( m 2 v 2 ²) + 1/2(m 3 v 3 ²) +... = ( 1/2) (m 1 + m 2 + m 3 +...). v G ² donc : Ec = (1/2) (M v G ²) Exemple : Une voiture d'une tonne roulant à la vitesse de 72 km.h -1 a pour énergie cinétique : E c = (1/2) (M v G ²) = (1/2) x 1000 x 20² = 2.10 5 J = 0,2 MJ. 3 - Energie potentielle C'est la forme d'énergie d'un système liée à la position relative des différentes parties de ce système. Le système peut fournir ou recevoir du travail en se déformant. Page 2
3.1- Energie potentielle de pesanteur : C'est celle du système formé par un objet de masse m et la Terre qui l'attire. Elle dépend de la cote z de l'objet mesurée à partir d'une origine arbitraire. Du fait de cette origine arbitraire, l'énergie potentielle n'est connue qu'à une constante k près : Ep = m.g.z + k Z (verticale) En admettant que l'intensité de la pesanteur g est constante (donc en se limitant à de faibles variations d'alti- z i tude), lors de la variation de cote de z initiale (zi) à z finale (zf), le travail du poids est tel que : W(P) = m.g.h = mg (zi - z f ) (avec W(P) > 0 si z i > z f ) La variation E p d'énergie potentielle dans ce cas P = mg (m) z h est par définition : E p = E pf - E pi = m.g.(z f - z i ) Le travail du poids est donc égal à l'opposé de la variation de l'énergie potentielle de pesanteur du système : z f z =0 O z=0 W (P) = - E p Exemple : un objet de poids P = 100N, placé à une hauteur de 10m, a, par rapport au sol, une énergie potentielle de pesanteur : Ep = 100.10 = 1000J. C Terre Page 3
3.2- Energie potentielle élastique : C'est celle que possède un ressort qui a été déformé (ressort à lame, ou à boudin). Le système est donc ici le ressort et ce qui l'a déformé (main, poussoir, etc.). Le travail de la force qui provoque la déformation est égal au gain de l'énergie potentielle élastique du ressort. Pour un ressort à spires non jointives : W = (1/2) k.x² l l x F D où : Ep = (1/2) k.x² Exemple : un ressort de raideur k = 500n.m-1, allongé (ou comprimé) de 20cm par rapport à sa longueur au repos, possède une énergie potentielle élastique Ep = (1/2).500.0,2² = 10J. 4 - Energie mécanique d'un système 4.1 - Définition : L'énergie mécanique d'un système égale à la somme de son énergie potentielle et de son énergie cinétique. E = E c + E p 4.2. - Conservation de l'énergie mécanique : 4.2.1- Force conservative : Observation : Appuyons sur une gomme : le doigt s'enfonce. Si on supprime la pression, la force de réaction de la gomme lui redonne sa forme initiale. Recommençons l'expérience avec de la pâte à modeler : elle reste déformée. Définition : On appelle force conservative une force dont les effets sont réversibles et dont le travail ne dépend que de l'état initial et final. Page 4
Exemples : Le poids, la tension d'un ressort sont des forces conservatives. Les forces de frottement sont des forces non conservatives, également appelées forces dissipatives. 4.2.2- Principe : L'énergie mécanique d'un système pseudo-isolé est constante si toutes les forces intérieures sont conservatives. Soit le système formé par un ressort de flipper (raideur 50 N.m -1 ) comprimé de Exercice résolu n 1 10 cm et par une bille (masse 150 g). Calculer la vitesse d'éjection de la bille en supposant le mouvement horizontal. Le système (bille + ressort) peut être considéré comme pseudo-isolé. Si le mouvement est horizontal, la pesanteur n'intervient pas, l'énergie mécanique ne fait intervenir que l'énergie potentielle élastique du ressort et l'énergie cinétique de la bille. E = 0 ; E p = -(1/2) k.x² ; E c =(1/2) m.v² ; E = E p + E c = (1/2) m.v² -(1/2) k.x² = 0 ; v² = (k.x²/m) ; v =(k.x²/m) 1/2 ; v = (50 x 10-2 /0,15) 1/2 ; v = 1,8 m.s -1 Exercice résolu n 2 Un cycliste de masse 80 kg aborde à la vitesse de 30 km.h -1 une descente de pente 8% et de longueur 300m. Quelle vitesse atteint-t-il en bas de la descente s'il ne freine pas? (g = 10 m.s -2 ). Le niveau de référence de l'énergie potentielle sera pris en bas de la pente. Le système cycliste terre est pseudo-isolé et conservatif (pas de frottement). Energie Etat initial Etat final Cinétique (1/2) m.v i ² (1/2) m. v f ² Potentielle m g h 0 Mécanique (1/2) m. v i ² + m g h = (1/2) m. v f ² Page 5
La dénivellation h de la pente à 8% sur 300 m se détermine par : h = l x 0,08 = 24 m (1/2) m.vi ² + m.g.h = (1/2) m.v f ² 8% l h vf = (vi²+ 2 g.h) 1/2 vf = 23,4 m.s -1 vf = 84,4 km.h -1 Exercice résolu n 3 Supposons maintenant que le cycliste freine pour maintenir sa vitesse constante. Comparer l'énergie mécanique du système en haut et en bas de la pente. Conclure. Le système cycliste terre est pseudo-isolé et non conservatif (frottements). Energie Etat initial Etat final Cinétique (1/2) m. v i ² = (1/2) m. v f ² Potentielle m g h 0 L'énergie mécanique ne se conserve pas. L'énergie mécanique perdue s'est transformée en chaleur (les freins s'échauffent). Page 6
5- Théorème de l énergie cinétique 5.1- Observations : Lorsqu'un corps tombe, sa vitesse augmente ainsi que son énergie cinétique. Simultanément le poids effectue un travail positif. Au contraire, lorsqu'on lance vers le haut un projectile, sa vitesse et son énergie cinétique diminuent. Le poids effectue alors un travail négatif. La variation de l'énergie cinétique est liée au travail du poids. 5.2 - Théorème : Entre un instant initial et un instant final, la variation d'énergie cinétique d'un système est égale à la somme des travaux des forces intérieures 1 et extérieures : E c = E cf - E ci = (W (f int.) + W (f ext.)) 5.3 - Applications : le théorème de l'énergie cinétique permet de : calculer la variation de vitesse en tenant compte de toutes les forces appliquées au mobile 1 Pour un solide indéformable, la somme des travaux des forces intérieures est nulle. Page 7
calculer les frottements (ou toute autre force inconnue) à partir de la variation de vitesse, si les autres forces appliquées au solide sont connues 5.4 - Exemples : Exercice résolu n 1 On lâche un objet de 800kg, en chute libre, d'une hauteur de 30m. Quelle vitesse atteint-t-il en arrivant au sol? La seule force agissant sur le solide est le poids P. La variation d énergie cinétique est donc égale au travail du poids au cours de la chute : Ecf - Eci = W (P) (1/2) m.v f ² = m.g.h v f = (2 g.h) 1/2 v f = (2 x 10 x 30) 1/2 v f = 24,5 m.s -1 Une automobile de masse 900 kg roulant sur une route horizontale à la vitesse de 60 km.h -1 freine Exercice résolu n 2 régulièrement (la force de freinage F est donc supposée constante dans le temps). Elle s'arrête au bout de 80 m. Calculer la force de freinage. L automobile est soumise à 3 forces, son poids P, vertical, vers le bas, la réaction verticale R de la route, vers le haut, et la force de freinage F, horizontale, en sens opposé au mouvement. D après le théorème de l énergie cinétique, la variation d énergie cinétique de la voiture au cours du freinage est égale au travail de ces 3 forces pendant le freinage : E c = E cf - E ci = W (P) + W(R) + W(F) (1/2) m.vi ² = 0 + 0 - F.d F = (1/2) (m.v i ²/d) = (1/2) x 900 x((60 x 10 3 )/3600))² x (1/80) = 1562,5 N Page 8