SETIT 25 3 rd Internationa Conference: Sciences of Eectronic, Technoogies of Information and Teecommunications March 27-31, 25 TUNISI Traitement et nayse Morphoogique de a Structure Interne des Matériaux par a Théorie de a Morphoogie Mathématique. S. mer medjkane * et S. meur * * Université Mououd Mammeri, Facuté de Génie Eectrique et d Informatique, Département d Eectronique P 17 R.P 15, Tizi ouzou, gérie. medjkanesam@yahoo.fr ameursotane@yahoo.com Résumé : Une méthode de segmentation et d anayse d une image représentant a structure interne d un matériau est déveoppée dans ce papier. Cette méthode est basée sur a théorie de a morphoogie mathématique déveoppée par G. Matheron et J. Serra. Le traitement morphoogique réaisé sur une image d un échantion d oxyde de Zinc a pour but d éiminer es artefacts de détection et de déterminer es joints de grains ma détectés, permettant ainsi de segmenter tous es grains adjacents. Ceci rend possibe a caractérisation compète de a structure, en particuier a mesure de a taie moyenne des grains, histogramme des taies des grains et e nombre moyen des grains. Mots cés: anayse d images, Microscopie quantitative, Microstructure, Morphoogie mathématique. 1. Introduction Dans e domaine de a métaographie, anayse d images est appiquée pour a caractérisation géométrique de a microstructure des matériaux. En effet, a connaissance de a structure interne de ces matériaux permet d étabir des reations entre es paramètres morphoogiques et es propriétés physiques (résistance, dureté, etc..) [3], [6] et [11]. Le but de cette présentation est de décrire a méthode utiisée pour quantifier a structure de oxyde de Zinc (Zno). Cette méthode est basée sur a morphoogie mathématique qui présente beaucoup d avantages à savoir a détermination des courbes de distribution de taies et a résoution du probème du masque de mesure. 2. Description d une microstructure Le type de structure qui fait objet de cette étude se rencontre fréquemment en métaographie. I s agit d'une partition du pan par des grains et par eurs frontières dans aquee chaque grain est un poygone curviigne et chaque sommet, pour des raisons d équiibre de tension superficiee, est tripe (figure 1). Les frontières des grains qui sont appeés joints de grains sont des zones de discontinuité dans orientation de a structure cristaine. Les joints de grains sont très fins (de ordre de 1 ngström ) et de ce fait ne peuvent être vu à aide d un microscope optique. Dans étude que nous menons, i est important que es grains soient vus bien individuaisés. On y parvient en éargissant es joints au moyen de queques procédés thermiques ou chimiques, mais i reste toujours des joints peu marqués. Même avec e poissage et attaque es pus soigneux, es joints de grains ne sont pas toujours révéés uniformément. Certains apparaissent pus fins, certains pus briants, certains enfin peuvent ne pas être révéés[6], [11]. partir d une tee image, on veut obtenir automatiquement image idéae de a structure dans aquee e réseau des joints sépare continûment es grains, et épaisseur des joints est réduite au pixe éémentaire de a trame de mesure.
grain et de image J des joints sont reiés par un arc rectiigne du graphe de GRIEL si et seuement si e disque de diamètre ne contient aucun autre point de J (figure 3). joint 2µm Figure 1. exempe de microstructure (grossissement 5) joint J Figure 3: graphe de Gabrie 3. Méthode de traitement de image des grains 3.1 Détection des joints de grains La première étape du traitement consiste à binariser image de a figure 1, pour cea nous utiisons e seuiage par borne inférieure. La vaeur du seui déterminée à partir de histogramme des niveaux de gris (85 dans notre cas), est choisie de façon à détecter e pus de joints de grains possibes. Cette binarisation s exprime par a reation suivante : I(x, y) 255 = si où I(x, y) représente e niveaux coordonnées (x, y). I(x, y) sinon 85 de gris du point de ( a ) image initiae (b) image binarisée figure 2. image représentant un échantion de ZnO 3.2 Segmentation des grains Le traitement précédent conduit à un réseau J de joints incompets ne séparant pas tous es grains adjacents. Cette méthode de segmentation consiste à construire es joints de grains manquants dans une microstructure. En effet, un métaographe peut déterminer a position de a pupart des joints manquants par des considérations géométriques : es grains étant grossièrement convexes, es portions de joints non détectés se situent généraement aux endroits où es joints détectés se rapprochent e pus. Le concept de graphe de GRIEL, encore appeé graphe perceptue [5] permet de formaiser cette observation. Deux points figure 3. graphe perceptue L agorithme qui permet de construire e graphe de GRIEL d un ensembe queconque est basé sur une série de diatations de pus en pus petites des joints suivies par des amincissements homotopiques. Cette transformation dépend d un paramètre : a taie maximae de diatation. Ce paramètre définit a distance au deà de aquee deux ééments disjoints ne doivent pas être connectés. Considérons es diatés successifs J(n) de ensembe J=J() par un cerce de rayon n. Pour construire es arcs du graphe de Gabrie, on procède comme suit : Soit un coupe d ensembes J(n+1) et J(n), amincissement homotopique de chacun de ces deux ensembes par des ééments structurants convenabes nous permet d obtenir de nouveaux ensembes notés S(n+1) et S(n). On définit aors ensembe J (n) = S(n+1) S(n) et on effectue a même séquence de transformations morphoogiques sur e nouveau coupe d ensembe J (n) et J(n-1). En opérant ainsi de façon itérative sur a vaeur de n, e dernier ensembe J () obtenu contient ensembe J=J() auque s ajoute es arcs du graphe de Gabrie cherchés (figure 4a). L image idéae des joints de grains (figure 4b) est obtenue après squeettisation de image de a figure 4a Cette squeettisation correspond à une suite itérée d amincissements des joints par des ééments structurants convenabes, jusqu à atteindre idempotance [1]. ( a ) image segmentée ( b) image squeetisée. Figure 4. résutat de a segmentation
4. Détermination des paramètres morphoogiques L intérêt de image de a figure 4b est de permettre a mesure précise de tous es paramètres interessant e métaographe tee que a taie moyenne des grains, e nombre de grains et histogramme des taies de grains. Ces paramètres morphoogiques sont déterminés par a morphoogie mathématique déveoppée par G. Matheron et J. Serra [8], [1], [12]. Tout renseignement morphoogique quantitatif est obtenu à partir de a mesure d un paramètre de base, effectuée après transformation géométrique par un éément structurant [1], [2], [4], [8], [9]. Les mesures de base sont obtenues par comptage, ees sont représentées par : - La surface d une phase X est donnée par e nombre de points qu ee contient. - Le nombre d intercepts I(X) d une phase dans une direction est e nombre de ses points frontières rencontrés dans cette direction. - Le nombre de connexités est e nombre de particues diminués du nombre d encaves qu ees contiennent. Les paramètres utiisés pour caractériser a taie moyenne sont : - Le diamètre de Feret D f (X) qui correspond à a distance entre es deux tangentes paraèes à une direction donnée et encadrant e contour de a particue X ; Ce paramètre n est rien d autre que a variation diamétrae de enveoppe convexe C(X) notée D 2 (C(X)). - Le ibre parcours moyen ou traversée moyenne noté L(X) correspond à a vaeur de a corde moyenne formée sur a particue dans une direction donnée. Les paramètres mesurés sur image de a figure 4 sont regroupés dans e tabeau 1 : Nbre de composantes connexes 22 surface moyenne (X) 97.53µm² variation diamétrae D 2 (X) 1.17µm ibre parcours moyen L(X) 9.59µm Diamètre de Féret D f (X) 1.17µm Tabeau 1. caractéristiques morphoogiques de image traitée. Notons que e paramètre e pus utiisé pour caractériser a taie moyenne est e ibre parcours moyen (ou traversée moyenne). Une anayse pus précise de a taie est fournie par es fonctions de distribution de taie. I existe deux types de distributions granuométriques, a granuométrie en nombre F() et a granuométrie en mesure G() [7]. Ces deux distributions sont obtenues à partir de a fonction P() et de sa dérivée P (). Rappeons que a fonction morphoogique P() est égae à a surface de érodé de a phase X par un segment de ongueur La dérivée à origine P () représente e nombre d intercepts de a phase X dans une direction. 4.1. Granuométrie en nombre La fonction granuométrie en nombre F() est e nombre de traversées de ongueur inférieure ou égae à divisé par e nombre tota de traversées. P' () P' ( ) F( ) = [1] P' () Par dérivation, on obtient a densité granuométrique en nombre, f() c est à dire e nombre de traversées de ongueur divisé par e nombre tota de traversées. P"( ) f( ) = [2] P' () 4.2. Granuométrie en mesure La fonction granuométrie en mesure G() est a proportion de surface occupée par es traversées de ongueur inférieure ou égae à. P() P( ) + P' ( ) G( ) = [3] P() La dérivation de cette fonction permet d accéder à a densité granuométrique en mesure g(), c est à dire a surface occupée par es traversées de ongueur divisée par a surface totae : [4] P"( ) g( ) = P() Notons que a traversée moyenne cacuer de a manière suivante : _ L peut se _ P() L = f( )d = [5] P' () Cette reation permet aussi de déterminer graphiquement a vaeur de a traversée moyenne à partir de a courbe P(). Des équations (2, 4 et 5) on peut déduire a reation suivante :
g( ) = f ( ). [6] L Les figures 5 et 6 iustrent es différentes courbes granuométriques obtenues pour image traitée. 7 6 P() Concernant es paramètres morphoogiques, a figure _ 5 montre que a vaeur du ibre parcours moyen L des grains peut être déterminée graphiquement, en effet, e point d intersection de a tangente à a courbe _ p() au point =, avec axe horizonta représente L. On retrouve a même vaeur à a figure 6, étant donné que intersection des deux courbes _ f() et g() est obtenue au point d abscisse = L. Cette vaeur est pratiquement a même que cee mesurée directement sur image (tabeau 1). 5 4 3 2 1,7,6,5,4,3,2,1 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6 Figure 5, fonction morphoogique P( ). 5 1 15 2 25 3 35 4 45 Figure6, densité granuométrique en nombre f() et densité granuométrique en mesure g(). 5. Résutats et discussions f() g() Le résutat obtenu (figure 4a) montre que a méthode de segmentation utiisée a conduit à une structure dans aquee es grains sont correctement séparés. De pus, a squeettisation obtenue (figure4b) qui consiste à réduire au minimum épaisseur des joints de grains montre une structure granuaire dans aquee es sommets sont tripes. Cette morphoogie confirme es bons résutats obtenus avec cet agorithme. Concusion Les résutats obtenus, montrent que es méthodes d anayse d images déveoppées en morphoogie mathématique permettent de bien caractériser a morphoogie des matériaux. Cependant, a segmentation réaisée peut être améiorée en utiisant a méthode de a igne de partage des eaux basée sur es transformations en niveaux de gris de a morphoogie mathématique (amincissement et épaississement en niveaux de gris), ceci permet d éviter es erreurs de seuiage qui peuvent induire une mauvaise détection des joints. Notons que a fonction P() est utiisée uniquement pour déterminer es densités granuométriques en nombre et en mesure et déduire graphiquement a vaeur de a traversée moyenne. Son utiisation peut être étendue pour estimer des paramètres dans espace à trois dimensions. Références [1] S. EUCHER, Segmentation toos in mathematica morphoogy, proceedings, SPIE congress,, 135, San Diego, 443-456, 199. [2] J.L. CHERMNT, nayse d images et Métaurgie, Mémoires et Etudes Scientifiques, Revue de Métaurgie,8 (1), 15-33, 1986. [3] J.L. CHERMNT, Caractérisation des poudres et des céramiques, éditions Hermès, Paris, 1992. [4] J. L. CHERMNT, Characterization of the microstructure of ceramics by image anaysis, Ceramics Internationa 12, Engand, 67-8, 1986. [5] M. COSTER, J.L. CHERMNT, Précis d anayse d images, presses du CNRS, France, 1989. [6] R.T. DEHOFF and F. N. RHINES, Quantitative microscopy, McGraw-Hi, New York, 1972. [7] R. M. HRLICK, S. R. STERNERG, X. ZHUNG, Image naysis using Mathematica Morphoogy, IEEE PMI, 9(4), 532-55, 1987. [8] D. JEULIN, Mathématica morphoogy and image anaysis, Scanning Microscopy Internationa, Chicago, 2, 165-183, 1988. [9] D. JEULIN, anayse morphoogique quantitative des matériaux mutiphasées, mémoires et études scientifiques revue de métaurgie, 8(5), 251-266, Mai 1983.
[1] C. LNTUEJOUL, La squeettisation et son appication aux mesures topoogiques des mosaïques poycristaines, thèse de doctorat en sciences et techniques minières, Ecoe nationae supérieure des mines de paris, France, 1978. [11] Michae F. shby and David R.H. Jones, Matériaux, éditions Dunod, France, 1991. [12] J. SERR, Image naysis and Mathematica Morphoogy, cademic press, London, 1982.