Activité d intégration La physique à vélo Physique 534 Module 3 : Des phénomènes mécaniques
Chaire CRSNG/Alcan pour les emmes en sciences et génie au Québec Vous avez le droit de reproduire et de distribuer ce document à des ins strictement éducatives. Il ne doit cependant pas être intégré à un recueil de textes ou d exercices ou utilisé à des ins lucratives.
Consignes pour l élève Description de l'activité Cette activité vous propose de découvrir quelques-uns des aspects de la science de la bicyclette. Beaucoup de principes physiques se cachent derrière cette monture à caractère unique. Selon les consignes de votre enseignant, vous devrez résoudre un ou plusieurs des problèmes qui suivent. Le matériel Vous pouvez utiliser de vrais vélos pour eectuer des manipulations ou, selon les consignes, utiliser celui que nous vous présentons pour résoudre les problèmes énoncés dans l'activité. Le vélo que nous vous proposons est un hybride. Il permet un grand conort autant dans les randonnées sur pistes cyclables que dans les chemins orestiers de terre battue. Il est monté sur des roues de 70 cm et ses pneus sont plus larges que ceux du vélo de course, mais moins que ceux du vélo de montagne. Le vélo comporte 21 vitesses, par un agencement de dix roues dentées : nombre de dents des trois roues du plateau de pédalier : 28, 38 et 48; nombre de dents des sept roues du pignon de la roue arrière : 14, 16, 18, 20, 22, 24 et 34. Plateau du pédalier Pignon de la roue arrière Consignes pour l élève 1
Démarche de résolution de problèmes La résolution de problèmes s'eectue habituellement en quatre grandes étapes : déinition du problème; ormulation d'anticipations ou d'hypothèses; cueillette de données; conclusion. Ces étapes ne sont pas nécessairement eectuées dans cet ordre, mais peuvent vous aider à mieux structurer votre travail. Par ailleurs, les concepts abordés vous aideront à diriger vos recherches. Problèmes à résoudre Problème 1 : La roue Quels sont les avantages de l utilisation des roues sur un vélo? Pourquoi les roues d un vélo ont-elles un grand diamètre? Imaginez que vous êtes Archimède et que vous cherchez la valeur de pi (π). Trouvez un moyen de mesurer la circonérence d une roue et estimez la valeur de pi (π). Comparez vos résultats avec la valeur aichée par votre calculatrice. 4.6 Facteurs qui inluencent la orce de rottement 4.7 Coeicient de rottement; rottement statique 5.1 Usage de machines simples (roues); orce résistante Problème 2 : La transmission Comment onctionne la transmission de votre vélo? Évaluez le lien entre le rapport de transmission d'un vélo (nombre de tours du pédalier divisé par le nombre de tours de la roue arrière) et le nombre de dents de chaque roue dentée. Qu est-ce qui peut inluencer le rendement d une transmission? 5.1 Usage de machines simples (levier, poulie, roue); constituants de machines simples (manivelle); orce motrice; point d'appui; orce résistante 5.3 Rendement Consignes pour l élève 2
Problème 3 : L'équilibre Pourquoi est-il diicile de garder le vélo en équilibre à l'arrêt? Lorsque nous roulons, avons-nous assez d'équilibre pour rouler sur une ligne droite? Quelle est l'allure de notre trajectoire? Comment la vitesse inluence-t-elle cette allure? 1.1 Distinction entre mouvement rectiligne et autres mouvements; trajectoire; vitesse 2.1 Présence de systèmes de orces agissant au repos ou en mouvement 2.2 Eets de orces Problème 4 : Le rottement statique Un cycliste est arrêté en haut d une pente raide inclinée à 30. Quelle est la orce qui retient ses roues au sol, sachant que la masse de l ensemble cycliste-vélo est de 70 kg? (Donner la nature, la grandeur et l'orientation de la orce, ainsi que le coeicient de rottement statique.) 2.1 Représentation vectorielle d'une orce; unité de orce 2.3 Force équilibrante; techniques d'addition vectorielle 4.6 Facteurs qui inluencent la grandeur d'une orce de rottement 4.7 Force normale; coeicient de rottement (µ = F /F n ); rottement statique (enrichissement) Problème 5 : Conservation de l énergie Un cycliste est arrêté en haut d une pente raide inclinée à 30. Lorsqu il décide de lâcher les reins, il descend sans pédaler. Si l on néglige la résistance de l air, quelle sera sa vitesse au bout de 26 mètres de descente si la longueur totale de la côte est de 30 mètres? 6.1 Paramètres de l'énergie potentielle gravitationnelle 6.2 Paramètres de l'énergie cinétique 6.4 Loi de la conservation de l'énergie 6.7 Applications numériques des transormations d'énergie mécanique Consignes pour l élève 3
Le vocabulaire du vélo Le vocabulaire du vélo 1
Guide de l enseignant Problème 1: La roue Quels sont les avantages de l utilisation des roues sur un vélo? Pourquoi les roues d un vélo ont-elles un grand diamètre? Imaginez que vous êtes Archimède et que vous cherchez la valeur de pi (π). Trouvez un moyen de mesurer la circonérence d une roue et estimez la valeur de pi (π). Comparez vos résultats avec la valeur aichée par votre calculatrice. 4.6 Facteurs qui inluencent la orce de rottement 4.7 Coeicient de rottement; rottement statique 5.1 Usage de machines simples (roues); orce résistante Solution Utilités La roue permet une grande économie d'énergie. Elle voyage de açon horizontale et est toujours en contact avec le sol, ce qui lui permet d'exercer une orce de riction constante sur le sol. Son mouvement est donc régulier. De plus, le point de contact entre la roue et le sol est minimal. Son coeicient de rottement statique est par conséquent plus petit que celui de n importe quel autre objet. Ainsi, la roue est plus acile à mettre en mouvement et à aire pivoter. Finalement, la roue permet de transormer un mouvement de rotation simple, continu et acile à produire (rotation du pédalier) en un mouvement de translation (déplacement du vélo). Le diamètre des roues a une inluence sur le conort des cyclistes. Plus il est grand, moins nous ressentons les bosses de nos routes et plus la distance parcourue par tour de pédales est grande (igure 1). Guide de l enseignant 1
Figure 1 Trajectoire du centre de la roue quand elle rencontre une bosse Source de l image : L ADN du vélo, Québec Science, numéro hors-série, été 1997, p. 26. Un peu de mathématiques En cherchant à établir la relation entre la circonérence de la roue et son rayon, Archimède est parvenu à estimer la valeur de pi. On peut vériier cette valeur en eectuant les étapes qui suivent. Tout d abord, il aut mesurer le diamètre de la roue. Ensuite, il aut aire une marque de craie sur le bord de la roue et une autre au sol, vis à vis la première. En aisant rouler le vélo jusqu à ce que la roue ait ait un tour, on peut aire une nouvelle marque au sol et mesurer la distance entre elles. Cette mesure nous donne la circonérence de la roue. En divisant la valeur de la circonérence par celle du diamètre de la roue, vous devriez obtenir une valeur de pi près de celle que vous connaissez. Guide de l enseignant 2
Problème 2: La transmission Comment onctionne la transmission de votre vélo? Évaluez le lien entre le rapport de transmission d'un vélo (nombre de tours du pédalier divisé par le nombre de tours de la roue arrière) et le nombre de dents de chaque roue dentée. Qu est-ce qui peut inluencer le rendement d une transmission? 5.1 Usage de machines simples (levier, poulie, roue); constituants de machines simples (manivelle); orce motrice; point d'appui; orce résistante 5.3 Rendement Solution Le onctionnement Comme vous l'avez sûrement déjà remarqué, le système de transmission d'une bicyclette est composé de poulies et de leviers. Lorsqu'on exerce une poussée sur la pédale, on pousse en ait un levier qui agit comme une manivelle et qui démarre la rotation du pédalier. Avec ses dents, ce dernier exerce une tension sur la chaîne qui, à son tour, exerce une tension sur le pignon de la roue arrière. Ce mécanisme de poulies et de leviers permet de donner une poussée à la roue arrière, et la balade peut commencer. Figure 2 La transmission dérailleur avant pignon plateau du pédalier manivelle dérailleur arrière Le rapport de transmission chaîne La plupart des vélos actuellement disponibles sur le marché comportent un mécanisme permettant de modiier le rapport de transmission, c'est-à-dire le rapport obtenu en divisant le nombre de tours du pédalier par le nombre de tours de la roue motrice (la roue arrière). Ce rapport peut être déterminé assez acilement de deux açons : en comptant directement les tours, comme le suggère la déinition, ou en établissant le rapport suivant : le nombre de dents du pignon de la roue arrière divisé par celui du plateau du pédalier. En calculant diérentes valeurs de rapports de transmission, on s'aperçoit que Guide de l enseignant 3
plus le nombre de dents de la roue arrière augmente, plus le rapport augmente. Par ailleurs, plus le nombre de dents du pédalier augmente, plus le rapport diminue. On note aussi que certaines combinaisons de roues dentées donnent le même rapport de transmission. Il en est ainsi, par exemple, lorsqu'on choisit la plus petite roue du pédalier avec la plus petite du pignon. Le rapport est de 0,5, tout comme lorsqu'on choisit la plus grande roue du pédalier et la deuxième plus grande du pignon. Cependant, l eort à ournir n est pas le même puisque la tension de la chaîne n est pas la même. Pourquoi tant de rapports de transmission? Il semble que nos muscles soient plus orts et plus eicaces lorsqu ils se contractent rapidement. Pour leur permettre de onctionner eicacement quelle que soit la vitesse du vélo, il aut modiier le régime des roues par rapport à celui du pédalier. Il sera ainsi plus acile de maintenir une bonne cadence en dépit du vent ou des variations de la pente. Les cyclistes proessionnels maintiennent une cadence d environ 100 tours/minute tandis que les cyclotouristes peuvent pédaler longtemps à environ 60 tours/minute. C est le même principe qu une voiture qui, à 60 km/h, va plus loin avec son litre d essence qu à 100 km/h. Rendement du système de transmission Les pertes d énergie entraînées par le rottement entre les roues dentées et la chaîne peuvent diminuer le rendement de la transmission. Même si tout est graissé comme il aut, rien ne peut totalement éliminer le rottement entre les pièces qui entraîne une dissipation d énergie sous orme de chaleur. Guide de l enseignant 4
Problème 3 : L'équilibre Pourquoi est-il diicile de garder le vélo en équilibre à l'arrêt? Lorsque nous roulons, avons-nous assez d'équilibre pour rouler sur une ligne droite? Quelle est l'allure de notre trajectoire? Comment la vitesse inluence-t-elle cette allure? 1.1 Distinction entre mouvement rectiligne et autres mouvements; trajectoire; vitesse 2.1 Présence de systèmes de orces agissant au repos ou en mouvement 2.2 Eets de orces Solution Centre de gravité La position du centre de gravité de l ensemble cycliste-vélo est, bien sûr, un grand acteur de stabilité. Il peut être situé autant à l'extérieur qu'à l'intérieur de la matière d'un objet. Par exemple, notre centre de gravité, lorsqu'on se tient debout, les bras contre le corps, est situé à peu près au niveau du ventre. Lorsqu'on avance les bras, le centre de gravité se déplace vers l'avant jusqu'à sortir de notre corps. Par ailleurs, le disque compact, la tasse et le vélo ont un centre de gravité situé à l'extérieur de la matière. Équilibre à l'arrêt Pour être en équilibre, il aut que le centre de gravité de l ensemble cycliste-vélo soit directement au-dessus de la ligne imaginaire tracée par la base de sustentation (igure 3). Guide de l enseignant 5
Figure 3 La base de sustentation Source de l image : L ADN du vélo, Québec Science, numéro hors-série, été 1997, p. 26. Ainsi, dès que le vélo s incline sur le côté, son centre de gravité se déplace et il entraîne le vélo dans une chute. On dit qu il est en équilibre instable puisqu il ne tend pas à revenir à sa position d équilibre après un léger mouvement (voir igure 4). Par contre, pour qu'un objet soit en équilibre stable, il aut qu'il reprenne sa position d'équilibre de lui-même, après avoir bougé un peu (voir igure 5). Le vélo, lorsqu on le prend dans le sens de la longueur, est en équilibre stable. En eet, si on lève sa roue avant, le vélo aura tendance à retomber pour retrouver son équilibre. Dans ce sens, le centre de gravité reste toujours au-dessus de la base de sustentation et l équilibre est donc plus acile à obtenir. Figure 4 Équilibre instable Une bille peut rester immobile sur le dessus d une surace courbée, mais dès qu elle est déplacée de sa position d équilibre, elle roule vers le bas, s en éloignant. Elle est en équilibre instable. Guide de l enseignant 6
Figure 5 Équilibre stable Une bille reste immobile dans le ond d une surace courbée, mais dès qu elle est déplacée de sa position d équilibre, elle roule vers le bas pour la reprendre. Elle est en équilibre stable. Équilibre en mouvement Lorsqu'on se déplace à vélo, on est en constant ajustement pour garder nos roues bien alignées. Il n'y a qu'à passer dans une laque d'eau le plus droit possible pour s'apercevoir que les traces laissées ont de petits zigzags. Ainsi, même si nous pensons rouler en ligne droite, la trajectoire décrite par nos roues est sinueuse. En outre, plus notre vitesse est grande, plus notre trajectoire se rapprochera d une droite. Autres acteurs inluençant l équilibre Plus le centre de gravité d un vélo est bas, plus il est stable. Un vélo de type hybride possède un centre de gravité très bas et la conduite est donc plus sûre. C est pourquoi il est de plus en plus apprécié par les gens qui désirent se balader, changer d air et voir du pays. La largeur des pneus contribue elle aussi à l équilibre. En eet, plus les pneus sont larges, plus la base de sustentation est large, ce qui rend plus acile son alignement avec le centre de gravité. Guide de l enseignant 7
Problème 4 : Le rottement statique Un cycliste est arrêté en haut d une pente raide inclinée à 30. Quelle est la orce qui retient ses roues au sol, sachant que la masse de l ensemble cycliste-vélo est de 70 kg? (Donner la nature, la grandeur et l'orientation de la orce, ainsi que le coeicient de rottement statique.) 2.1 Représentation vectorielle d'une orce; unité de orce 2.3 Force équilibrante; techniques d'addition vectorielle 4.6 Facteurs qui inluencent la grandeur d'une orce de rottement 4.7 Force normale; coeicient de rottement ( µ = F Fn ); rottement statique (enrichissement) Solution Diagramme de orces Équilibre des orces Puisque le cycliste est à l'arrêt, la sommation des orces est nulle. Ainsi, en écrivant les équations d'équilibre en onction des axes, on obtient : En y : = F mg cos 30 = F F n F gy n = 594,09 N Les orces en y doivent s'annuler, sinon le cycliste s'enoncerait dans le sol. On en déduit donc que la orce normale est égale et de sens contraire à la composante y de la orce gravitationnelle. n Guide de l enseignant 8
En x : La physique à vélo = F mg sin 30 = F F F gx = 343 N Puisque les orces en x doivent s'annuler, on en déduit que la orce de riction qui retient le cycliste est de même grandeur et de sens opposé à la composante x de la orce gravitationnelle. Coeicient de rottement L'équation suivante permet de calculer la valeur du coeicient de rottement statique du vélo par rapport au sol. F = µ F n Ainsi, on trouve µ en divisant F par F n. Le coeicient de rottement est donc de 0,577. Guide de l enseignant 9
Problème 5 : Conservation de l énergie Un cycliste est arrêté en haut d une pente raide inclinée à 30. Lorsqu il décide de lâcher les reins, il descend sans pédaler. Si l on néglige la résistance de l air, quelle sera sa vitesse au bout de 26 mètres de descente si la longueur totale de la côte est de 30 mètres? 6.1 Paramètres de l'énergie potentielle gravitationnelle 6.2 Paramètres de l'énergie cinétique 6.4 Loi de la conservation de l'énergie 6.7 Applications numériques des transormations d'énergie mécanique Solution possible Diagramme Où : A est le point de départ à h =? et x = 0 m ; B est le point d arrivée à h =? et x = 26 m ; C est le bas de la pente à h = 0 et x = 30 m. Conservation de l'énergie i i L'énergie initiale du cycliste sera égale à son énergie inale si l on néglige les orces de riction. Ainsi, on a E + E = E + E. pi ki p k Puisque, au départ, le cycliste est à l'arrêt, il n'a donc pas d'énergie cinétique de mouvement. Il ne possède qu'une énergie potentielle associée à sa hauteur. Donc, E = E + E pi p k Guide de l enseignant 10
On a mgh = mgh + i 1 2 mv 2 La physique à vélo On voit que la masse s'annule dans l'équation ci-dessus. On a donc gh = gh + i 1 2 v 2 Puisqu'on cherche la vitesse inale, on isole v pour obtenir v = 2 ( gh gh ) La hauteur initiale est donnée par h = 30 sin 30 (par un rapport trigonométrique), donc h = 15 mètres. i La hauteur inale est donnée par h = 5 sin 30, donc h = 2,5 mètres. Enin, en utilisant 2 g = 9,8 m s i, on obtient une vitesse inale de 15,6 m/s. i Guide de l enseignant 11