TES/spé TL Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la rédaction de votre copie. Vous n oublierez pas de rendre le sujet avec votre copie. Bon courage. Durée : 3 h Le barème est noté sur 20 points. Exercice 1 : Probabilités (5 points) Lorsque le taux de calcium dans une bouteille d eau minérale dépasse 65 mg par litre, on dit que l eau de cette bouteille est calcaire. On estime que, dans un stock important de bouteilles, 7,5% des bouteilles contiennent de l eau calcaire. Partie A : Sauf indication contraire dans une question, on donnera les résultats arrondis à 10 3 près. On prélève au hasard 40 bouteilles dans le stock pour vérifier le taux de calcium. Le stock est assez important pour qu on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de ce prélèvement qui contiennent de l eau calcaire. Partie non demandée 1. Donner la loi suivie par X. (sans explication) Il s agit ici de la répétition de 40 épreuves de Bernoulli dont le succès est «la bouteille contient de l eau calcaire» de probabilité 0,075. (voir dans l énoncé «dans un stock important de bouteilles, 7,5% des bouteilles contiennent de l eau calcaire») X étant le nombre de bouteilles de ce prélèvement qui contiennent de l eau calcaire, X est donc le nombre de succès. X suit donc la loi binomiale de paramètres 40 (n=40) et 0,075 (p = 0,075) 2. a) Calculer la probabilité de prélever que des bouteilles contenant de l eau non calcaire. Si on prélève que des bouteilles ayant de l eau non calcaire, cela signifie qu il y a «zéro» bouteille contenant de l eau calcaire On cherche donc p(x = 0) = 0,925 40 0,044 La probabilité de prélever que des bouteilles contenant de l eau non calcaire est d environ 0,044 b) En déduire la probabilité de prélever au moins une bouteille contenant de l eau calcaire. On cherche donc p( X 1) = 1 p( X = 0) = 1 0,925 40 0,956 La probabilité de prélever au moins une bouteille contenant de l eau calcaire est d environ 0,956
Partie B : On note Y la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard associe le taux de calcium (en mg) de l eau qu elle contient. On suppose que Y suit la loi normale d espérance 50,6 et d écart type 10. 1. Quelle est la probabilité d avoir un taux de calcium égal à 50,6 mg? p (Y = 50,6) = 0 car X suit une loi à densité. 2. Calculer p (Y > 65). Interpréter ce résultat. Celui-ci est-il cohérent avec les données du problème? Expliquer. Y suit la loi normale N (50,6 ; 10 2) donc p (Y> 65) = 0,5 p (50,6< Y <65) 0,075 Partie C : Ceci signifie que la probabilité d avoir un taux de calcium supérieur à 65 mg est d environ 0,075, c est-à-dire que la probabilité d avoir une bouteille qui contient une eau calcaire est d environ 0,075. Ceci est cohérent avec l hypothèse donnée : «dans un stock important de bouteilles, 7,5% des bouteilles contiennent de l eau calcaire». L eau minérale provient de deux sources S 1 et S 2. La probabilité que l eau soit calcaire est 0,064 pour les bouteilles provenant de la source S 1 et 0,10 pour les bouteilles provenant de la source S 2. La source S 1 fournit 70% de la production totale des bouteilles d eau et la source S 2 le reste de la production. On prélève au hasard une bouteille d eau parmi la production totale d une journée. Toutes les bouteilles d eau ont la même probabilité d être tirées. 1. Calculer la probabilité que l eau contenue dans la bouteille soit calcaire. On détaillera le raisonnement et on donnera la valeur exacte de cette probabilité. 0,064 C 0,7 S 1 0,936 C 0,3 0,10 C S 2 0,90 C S 1 et S 2 forment une partition de l univers donc d après la formule des probabilités totales, on a p ( C) = p ( S 1 C) + p ( S 2 C) = p ( S 1 ) p S 1 (C) + p ( S 2 ) p S 2 (C) = 0,7 0,064 + 0,3 0,10 = 0,0448 + 0,03 = 0,0748 La probabilité que l eau contenue dans la bouteille soit calcaire est de 0,0748
2. On a analysé une bouteille d eau et il s avère qu elle contient de l eau calcaire. Quelle est la probabilité que elle provienne de la source S 2? On cherche donc ici : p C (S 2 ) p C (S 2 ) = p(c S 2) p(c) = p ( S 2) p S 2 (C) 0,3 0,10 = p( C) 0,0748 = 0,03 0,0748 = 300 748 = 75 0, 401 187 On a analysé une bouteille d eau et il s avère qu elle contient de l eau calcaire. La probabilité qu elle provienne de la source S 2 est égale à environ 0, 401
Exercice 2 : ( 6,5 points) Partie A : QCM sans justification (3 points) : les questions sont indépendantes. Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidatportera dans la dernière colonne, sans justification, la lettre correspondant à la réponsechoisie. Il est attribué 0,75 point si la réponse est exacte, 0,25 point est enlevé pour une réponse inexacte et aucun point n est enlevé pour une absence de réponse. Soit une fonction f définie sur IR et dont voici la représentation graphique dans un repère orthogonal. B Réponse A Réponse B Réponse C Parmi les représentations graphiques données ci-contre, quelle est celle d une primitive de f sur IR? Soit la suite (u n ) définie pour tout entier n par : u n = 5 0,25 n Soit S n = u 0 + u 1 + + u n alors S n = 20 3 (1 0,25n+1 ) Réponse A S n = 4 3 (5 1,25n+1 ) Réponse B S n = 20 3 (1 0,25n ) Réponse C A Voici des courbes représentant les fonctions de densité de variables aléatoires qui suivent une loi normale N (μ, σ 2 ) μ > 1 et σ > 1 μ > 1 et σ>1 μ > 1 et σ = 1 B Réponse A Réponse B Réponse C Pour tout réel x, e 2x + 3e x 4 s écrit aussi : e x (e x + 3 4) Réponse A e 2x+ 3x 4 Réponse B ( e x + 4) (e x 1) Réponse C C
Explications : Pour la question 1 : Soit une fonction f définie sur IR et dont voici la représentation graphique dans un repère orthogonal. B Réponse A Réponse B Réponse C Parmi les représentations graphiques données ci-contre, quelle est celle d une primitive de f sur IR? x.. + Signe de f(x) + 0 0 + 0 donc de F (x) Variation de F Pour la question 2 : Soit la suite (u n ) définie pour tout entier n par : u n = 5 0,25 n Soit S n = u 0 + u 1 + + u n alors S n = 20 3 (1 0,25n+1 ) Réponse A S n = 4 3 (5 1,25n+1 ) Réponse B S n = 20 3 (1 0,25n ) Réponse C A S n = u 0 + u 1 + + u n S n = 20 3 (1 0,25n+1 ) = 5+ 5 0,25 1 + 5 0,25 2 +. + 5 0,25 n = 5 (1 + 0,25+ 0,25 2 +. + 0,25 n ) Or si b est différent de1, ce qui est le cas ici avec b = 0,25, on a 1+b+ b 2 +. + b n = On a donc : S n = 5 1 bn+ 1 1 b 1 1 0,25n+ 1 0,25 = 5 1 0,25n+ 1 0,75 = 5 1 0,25n+ 1 3 4 = 5 4 3 ( 1 0,25n+1 )
Partie : Donner du sens à des informations et savoir les utiliser (3,5 points) On considère la fonction f définie sur [0 ; + [ par f(x) = Soit C f sa représentation graphique dans un repère orthogonal. Un élève a tracéc f sur sa calculatrice et émet des conjectures : a) la fonction f semble croissante sur [0 ; + [ b) la fonction f semble concave sur [0 ; + [ 10x 20 (x+2) 3. Il cherche à les valider ou non et se souvient alors que l on a parlé des fonctions suivantes : f (dérivée de f) f (dérivée seconde de f) F ( uneprimitive de f sur [0 ; + [ ) Il utilise alors un logiciel de calcul formel pour trouver ces diverses fonctions. Voici ce qu il a obtenu : Rappels: «factor» signifie que le logiciel a donné la forme factorisée et «integrer» signifie «donner une primitive» En utilisant des données précédentes, répondre aux questions ci-dessous : Pour étudier la convexité de f Pour étudier les variations de f on utilise le signe de f ( x ) f ( x ) x f ( x ) F ( x ) on utilise le signe de f ( x ) x f ( x ) f ( x ) F ( x ) Compléter alors le tableau ci-dessous (sans justification) et terminer le raisonnement. Il s agit d étudier le signe de f (x) avec f (x) = 60(x 6) (x+2) 5 x 0 6 + Signe de f (x) 0 + Variation de f Convexité de f f est concave sur [0 ; 6] f est convexe sur [6 ; + [ Compléter alors le tableau ci-dessous (sans justification) et terminer le raisonnement. Il s agit d étudier le signe de f (x) avec f (x) = 20(x 4) (x+2) 5 x 0 4 + Signe de + 0 f (x) Variation de f 2,5 5 54
D autre part, avec le solveur de la calculatrice, il a obtenu : Pour retrouver ce résultat : on utilise : f ( x ) f ( x ) f ( x ) x F ( x ) Retrouver alors ce résultat 5 2 f (x)dx = F(5) F(2)= ( 10 5 ( 5+2) 2 ) ( 10 2 ( 2+2) 2 ) = 50 49 + 20 16 = 50 49 + 5 4 = 50 4 49 4 + 5 49 4 49 = 45 196 Interpréter graphiquement ce calcul, en justifiant La fonction f est continue et positive sur [2 ; 5] ( voir signe de f(x) ci-dessous) donc l aire du domaine limitée par C f., l axe des abscisses, les droites d équations respectives x=2 et x=5 est égale à 45 unités d aire. 196 Signe de f(x) avec f(x) = 10x 20 (x+2) 3 sur [ 0 ; + [ x 0 2 + Signe de 10x 20 + 0 + Signe de (x+2) 3 + signe de f(x) + 0
Exercice 3: Suites (5 points) Pour effectuer un achat, Corinne a emprunté une somme de 1000 à la banque au taux d intérêts composés de 1% par mois. Chaque mois, elle rembourse ce crédit par un virement mensuel de 30 à la fin du mois. On note u n le montant restant dû après son n-ième remboursement. On a donc u 0 = 1000. 1. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n, u n+1 = 1,01u n 30 u n est le montant restant dû après son n-ième remboursement. Pour calculer le montant restant le mois suivant, il faut tenir compte du taux d intérêts composés de 1% par mois ce qui se traduit par : 1,01u n De plus, comme chaque mois, elle rembourse ce crédit par un virement mensuel de 30 à la fin du mois : on peut enlever 30 à 1,01u n. On en déduit donc que : pour tout entier naturel n, u n+1 = 1,01u n 30 2. Soit la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par : v n = u n 3000 a) Montrer que la suite (v n ) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. Pour tout n v n = u n 3000 donc v n+1 = u n+1 3000 Or u n+1 = 1,01u n 30 donc v n+1 = (1,01u n 30) 3000 = 1,01u n 3030 Première méthode : v n+1 = 1,01u n 3030 = 1,01 ( u n 3000) Comme v n = u n 3000, on en déduit que : v n+1 = 1,01v n Seconde méthode : v n+1 = 1,01u n 3030 Or v n = u n 3000 donc u n = v n + 3000 On en déduit : v n+1 = 1,01(v n +3000) 3030 = 1,01v n + 3030 3030 = 1,01v n On a donc prouvé que pour tout entier naturel n,v n+1 = 1,01v n Donc ( v n ) est une suite géométrique de raison 1,01 De plus son premier terme est : v 0 = u 0 3000 = 1000 3000 = 2000 b) Déterminer alors l expression de v n en fonction de n ( v n ) est une suite géométrique de raison 1,01 (b =1,01) et de premier terme v 0 = 2000 donc pour tout n, on a : v n = v 0 b n = 2000 1,01 n
c) En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = 3000 2000 1,01 n On sait que pour tout entier n,v n = u n 3000 donc u n = v n + 3000 Or d après la question précédente, on a v n = v 0 b n = 2000 1,01 n Donc, pour tout n, u n = 3000 2000 1,01 n 3. Etudier la limite de la suite(u n ). Cette limite a-t-elle un sens pour la situation concrète étudiée? Expliquer. 1,01 > 1 donc lim1,01 n = + n + d où lim( 2000 1,01 n ) = n + Variables : n est un entier naturel U est un réel Initialisation: n prend la valeur 0 U prend la valeur 1000 Traitement :Tant que U 0 n prend la valeur n+1 U prend la valeur 1,01 U 30 Fin de Tant que Sortie : donc lim( 3000 2000 1,01 n ) = n + Afficher n On en déduit que la suite (u n ) tend donc vers Ceci signifierait qu à long terme, le montant à rembourser est négatif, ce qui n a pas de sens. Le remboursement se terminera bien un jour! 4. On souhaite trouver, grâce à un algorithme, le plus petit entier n tel que u n soit strictement négatif. On peut construire cet algorithme en utilisant soit la définition par récurrence de la suite(u n ) (celle donnée dans l énoncé de départ) soit en utilisant l expression de u n trouvée dans la question 2c), d où deux algorithmes dont la structure est donnée ci-dessous. A vous de choisir l un des deux et de le compléter. Algorithme 1 Variables : n est un entier naturel Initialisation: n prend la valeur 0 Traitement : Tant que 3000 2000 1,01 n 0 n prend la valeur n+1 Fin de Tant que Sortie : Algorithme 2 Afficher n
Algorithme 1 avec une calculatrice Casio Algorithme 2 avec une calculatrice Casio Algorithme 1 avec une calculatrice TI : 0 N : 1000 U : While U 0 : N + 1 N : 1.01U 30 U : End : DISP N Algorithme 2 avec une calculatrice TI : 0 N : While 3000 2000 1,01^N 0 : N + 1 N : End : DISP N 5. On admet que l algorithme donne comme valeur finale : n = 41. Calculer alors u 40, le montant qu il reste à rembourser après le 40 ème remboursement. u n = 3000 2000 1,01 n donc u 40 = 3000 2000 1,01 40 22,273 Le montant qu il reste à rembourser après le 40 ème remboursement est égal à environ 22,27 Calculer alors le montant total des remboursements et en déduire le total des intérêts versés. Corinne aura donc remboursé au total :40 30 + 22,27 soit 1222,27 ce qui faitun total d intérêts versés de 222,27
Exercice 4 : Fonctions et économie (3,5 points) Le but de cet exercice est de déterminer le bénéfice maximum réalisable pour la vente d un produit fabriqué par une entreprise. Le coût marginal de fabrication de ce produit est modélisé par la fonction Cm définie sur [1 ; 20] par : Cm(q) = 4 + (0,2q 2 2q) e 0,2q, où q est exprimé en tonnes et Cm(q) en milliers d euros. 1. Soit la fonction C T définie [1 ; 20] par C T (q) = 4q q 2 e 0,2q Montrer que C T est une primitive de C m sur [1 ; 20]. Montrer que C T est une primitive de C m sur [1 ; 20] revient à montrer que : la dérivée de C T est égale à C m. On calcule donc C T ( q ) avec C T (q) = 4q q 2 e 0,2q C T = w uv donc C T = w (u v + uv ) w(q)= 4q w (q)= 4 u(q) = q 2 u (q) = 2 q v(q) =e 0,2q v (q) = 0,2e 0,2q On a donc pour tout q de [1 ; 20]: C T (q) = 4 (2q e 0,2q + q 2 ( 0,2e 0,2q )) C T (q) = 4 2qe 0,2q + 0,2 q 2 e 0,2q C T (q) = 4 + ( 2q+ 0,2q 2 ) e 0,2q C T (q) = 4 + ( 0,2q 2 2q) e 0,2q C T (q) = C m (q) doncc T est une primitive de C m sur [1 ; 20] 2. La fonction coût moyen, notée C M est la fonction définie sur [1 ;20] par C M (q)= C T (q) q On admet que C M (q)= 4 qe 0,2q En utilisant votre calculatrice, conjecturer pour quelle production mensuelle q 0 l entreprise admet un coût moyen minimal. Quel est ce coût? Pour cette production q 0, quelle est la valeur du coût marginal? Quelle remarque pouvez-vous faire?. puis avec ZOOM AUTO Il semble donc que l entreprise admet un coût moyen minimal lorsqu elle produit 5 tonnes de ce produit et ce coût moyen minimal est d environ 2,1606. De plus Cm(5) = 4 + (0,2 5 2 2 5) e 0,2 5 = 4 + ( 0,2 25 10) e 1 = 4 5e 1 2,1606. Les valeurs approchées trouvées ci-dessus pour le coût moyen et le coût marginal sont les mêmes.
On peut conjecturer que lorsque le coût moyen est minimal, le coût moyen et le coût marginal sont égaux mais cela reste à prouver! (Hors bac blanc : si vous avez fini et qu il vous reste du temps : Résoudre l équation C M (q)= C m (q) ) C M (q) = C m (q) 4 qe 0,2q = 4 + ( 0,2q 2 2q) e 0,2q et q [1 ;20] Or 4 qe 0,2q = 4 + ( 0,2q 2 2q) e 0,2q qe 0,2q = ( 0,2q 2 2q) e 0,2q e 0,2q ( q 0,2q 2 + 2q) = 0 e 0,2q ( q 0,2q 2 ) = 0 or e 0,2q 0 donc qe 0,2q ( 0,2q 2 2q) e 0,2q = 0 e 0,2q ( q ( 0,2q 2 2q) ) = 0 4 qe 0,2q = 4 + ( 0,2q 2 2q) e 0,2q = C m (q) q 0,2q 2 = 0 q ( 1 0,2q) = 0 q = 0 ou 1 0,2q = 0 q = 0 ou q = 5 Comme q appartient à [1 ;20], on a : C M (q)= C m (q) q = 5 On peut le vérifier à la calculatrice : 3. Toute trace de recherche, même incomplète, d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On suppose que l entreprise vend toute sa production mensuelle. Chaque tonne du produit est vendu 4000. On désigne par R(q) la recette mensuelle obtenue pour la vente de q tonnes de produit et par B(q) le bénéfice mensuel en millier d euros Les représentations graphiques des fonctions recette et coût total sont données ci-dessous.
a) Exprimer en fonction de q le bénéfice B(q), puis justifier que l entreprise est rentable. B(q) = R(q) C T (q) = = 4q (4q q 2 e 0,2q ) = q 2 e 0,2q Orq 2 est strictement positif sur [1 ;20] et e 0,2q est aussi strictement positif Donc pour tout q de [1 ;20] B(q) > 0 ce qui signifie que l entreprise est rentable Remarque :graphiquement, on peut le conjecturer car la courbe de la recette est au dessus de celle du coût total. b) Estimer,graphiquement, en précisant votre démarche, le bénéfice maximal que l on peut espérer sur le mois étudié. Soient M le point d abscisse q du segment représentant la recette et N le point de même abscisse q de la courbe représentant le coût total. On cherche pour quelle valeur de q l écart entre ces deux points M et N est le plus grand, c est-à-dire tel que y M y N est le plus grand Il semble que cela se produise lorsque q est voisin de 10 et le bénéfice maximal serait voisin de
Remarque : on pouvait aussi conjecturer cette réponse en utilisant la calculatrice et en trouvant le maximum de B sur [1 ; 20]