LA CHARGE SANS CONTACT

Epreuve commune de TIPE Session 2012 Ariel SHEMTOV - 25269 LA CHARGE SANS CONTACT PLAN I. PRESENTATION DU MONTAGE ETUDE THEORIQUE 1) Dispositif, lois physiques régissant son fonctionnement 2) Circuit électrique équivalent 3) Fonction de transfert II. CALCUL THEORIQUE DES CONSTANTES 1) Calcul de la pulsation de résonance, de la résistance 2) Calcul des flux propres (inductances propres) 3) Calcul des flux couplés (inductance mutuelle) III. RESULTATS EXPERIMENTAUX COMPARAISON AUX RESULTATS THEORIQUES ATTENDUS 1) Expérience : présentation, résultats et comparaison à la théorie 2) Calcul du temps nécessaire à la recharge d'une batterie électrique (22 kwh)

I PRESENTATION DU MONTAGE ETUDE THEORIQUE 1) Dispositif, lois physiques régissant son fonctionnement Illustration du montage Des enroulements de fils sont situés dans une borne au sol, reliés au secteur (circuit primaire (1)), ainsi qu en-dessous de la voiture, reliés à la batterie (circuit secondaire (2)). Après superposition des deux dispositifs, un courant électrique se crée dans le circuit relié à la batterie. Ce montage est semblable à celui d un transformateur. Batterie Circuit 2 Circuit 1 C2 Vers secteur B 1 C1 FIGURE 1 : SCHEMA DE PRINCIPE D E LA CHARGE SANS CONTACT

Principe physique : Durant toute l étude, on se place dans le cadre de l ARQS (Approximation des Régimes Quasi Stationnaires) : on travaille avec des longueurs d de l ordre de 10-2 -1 m et des fréquences f inférieures à 10 6 Hz. D où d << ct. Ce procédé repose sur le phénomène d induction de Neumann. En imposant aux bornes du circuit 1 une tension sinusoïdale, un champ magnétique B 1 apparait, qui vérifie la loi de Biot et Savart : B 1 (M) = µ 0n 1 i 1 dl (P) PM 4π PM 3 P C1 où C1 est le circuit 1, I l intensité dans le circuit 1, M un point de l espace. De même pour B 2 (M) = B 1 (M) = B 2 P C1 P C2 µ 0n 1 i 1 4π µ 0 n 2 i 2 4π dl (P) PM PM 3 dl (P) PM PM 3 = µ 0n 1 i 1 I 4π 1(M) avec I 1 = µ 0n2 i 2 I 4π 2(M) avec I 2 (M) = (M) = P C1 P C2 dl (P) PM PM 3 dl (P) PM PM 3 Or d après la loi de Lenz-Faraday régissant le principe d induction électromagnétique, il se crée une force électromotrice e dans le circuit 2, telle que : où Φ est le flux de à travers le circuit. C est ce courant induit qui permet de recharger la batterie

Système étudié On étudie le système composé des 2 enroulements circulaires superposés. > A:=k->intersectplot(x^2+y^2=1.4,z=k/20,x=-1.5..1.5,y=- 1.5..1.5,z=0..2): B:=k->intersectplot(x^2+(y-0.5)^2=1,z=1+k/20,x=-1.5..1.5,y=- 1.5..1.5,z=0..2): > display({seq(a(k),k=0..4)},{seq(b(k),k=0..4)}); FIGURE 2 : SCHEMA DU MONTAGE Repère : centré en O, centre de l enroulement au sol. Par symétrie, on se placera souvent dans le plan y=0. Centre de l enroulement supérieur : O2(x2,0,h). Paramètres pris en compte : largeur de l entrefer (h), rayons des spires (a1, a2), écart entre l axe des spires (x2), nombre de spire (n1, n2). Je n étudie pas l influence de la géométrie des enroulements, je me restreins à l étude de spires circulaires de volume négligeable. Critères du cahier des charges Le temps de recharge de la batterie est satisfaisant à partir du moment ou la batterie peut être entièrement rechargée en une nuit (12h). Le cahier des charges impose aussi une hauteur minimale à vide (voiture Renault la plus basse, sans chargement) de 5 cm pour pallier les fluctuations de hauteur du aux fluctuations de poids de la voiture. La hauteur varie ainsi entre 3 cm et 12 cm selon le chargement et modèle des voitures.

Lignes de champs de B1 > SetCoordinates(cartesian[x,y]); fieldplot(<bxc(x,0,y),bzc(x,0,y)>,x=-5..5,y=-5..5,fieldstrength=log); > 2) Circuit électrique équivalent Ont lieu en fait 4 phénomènes d induction. La circulation de l intensité dans le secondaire crée à son tour un champ. Il faut alors prendre en compte le flux du champ créé par le circuit 1 à travers le circuit 2 12 mais aussi celui du champ créé par 2 à travers 1 21, ainsi que les flux des champs créés par 1 et 2 à travers eux-mêmes 11 et 22. Les enroulements se comportent alors comme des bobines. On note L1 et L2 leurs inductances propres, vérifiant : 11 = L1i1 22 = L2i2.

On définit de même l inductance mutuelle M de système vérifiant : 12 = Mi1 et 21 = Mi2. On obtient alors le circuit équivalent suivant : I 1 R1 M I 2 R2 L 1 V 1 V 2 L 2 Z u 3) Fonction de transfert Equations régissant le comportement du circuit : di 1 V 1 = R 1 i 1 + L 1 dt + M di 2 dt Equations couplées du premier ordre. En notation complexe : V 2 + M di 1 dt + R 2i 2 + L 2 di 2 dt = 0 V 2 = Z u i 2 V 1 = (R 1 + L 1 jω)i 1 + Mjωi 2 V 2 + Mjωi 1 + (R 2 + L 2 jω)i 2 = 0 V 2 = Z u i 2 Données fabricant (Renault) : En début de vie de la batterie, à 25 C, Zu varie entre 60 m et 100 m. L impédance dépend en fait de l état de charge de la batterie (SOC), elle est plus élevée pour les valeurs extrêmes de SOC, et plus basse entre 30% de SOC

et 80% de SOC. On prendra la valeur moyenne Zu = 80 m. Calcul de la fonction de transfert On trouve la fonction de transfert suivante : H(jω) = V 2 V 1 = 1 ( L 1 M L 1R 2 + L 2 R 1 Z u M ) + (R 1 M R 1R 2 Z u M ) 1 jω + (M Z u L 1L 2 Z u M )jω D où H(jω) = K 1+ ω 1 jω jω ω2 Avec K = M L 1 L 1R2+L2R1 Zu ω 1 = R 1 R 2 R 1 Z u (L 1 R 2 +L 2 R 1 ) L 1 Z u ω 2 = (L 1R 2 +L 2 R 1 ) L 1 Z u L 1 L 2 M² II. CALCUL THEORIQUE DES CONSTANTES 1) Calcul de la résistance, de la pulsation de résonance Calcul de la résistance des bobines : Modèle de Drude : Electrons se déplaçant dans le cuivre soumis à deux forces : La force de Lorentz : Fl=-eE où E est le champ dans le conducteur (on néglige la composante magnétique), Une force de frottement : f=-αv, α constante positive. On note γ la conductivité du cuivre, γ0 en statique. On a alors j = γe. E est de la forme E = E 0 e i t. D où j = γe 0 e i t. En notant n la densité volumique d électrons dans le conducteur, on a alors : j = env

En appliquant le principe fondamental de la dynamique ainsi que le principe d inertie à un électron, on a alors : γ = γ 0 1+i avec = m α Pour le cuivre on a ~ 10-14 donc pour < 10 12 on a < 10-2 << 1. D où γ γ 0 Equation de propagation vérifiée par j dans un tronçon cylindrique de fil d axe (0x) de rayon a : j = γ 0 µ 0 j t En cherchant j sous la forme d une OPPM se propageant suivant les r décroissants on obtient l équation de dispersion : k 2 = γ 0 µ 0 On appelle épaisseur de peau = 2 µ 0 γ 0 D où j = j 0 e a r δ e j(ωt a r δ ) u x Amortissement du courant en se rapprochant de l axe de fil entraînant l augmentation de la résistance : effet de peau. Pour un rayon nettement supérieur à, propagation sur une couronne de largeur de l ordre de, soit une surface S~2πaδ. R = l γ 0 S, γ 0 = 59,6. 10 6 S. m 1, a = 1,0 mm, l = 1,2 m

Avec un rayon de l ordre de 1 mm, on peut négliger l effet de peau pour f << 300 khz. Calcul de la pulsation de résonance 0 En supposant qu une telle pulsation existe, on a :

ω 0 ² = ω 1 ω 2 = R 1R 2 R 1 Z u L 1 L 2 M² Donc 0 existe si et seulement si 1 et 2 sont de même signe, c'est-à-dire si R 1 R 2 R 1 Z u > 0 (car L 1 L 2 M² > 0) et : ω 0 = ω 1 ω 2 = R 1R 2 R 1 Z u L 1 L 2 M² Les résistances du circuit sont de l ordre de 0,1 (cf plus tard), donc on a R 1 R 2 R 1 Z u > 0. On a donc bien une résonance en f 0 ~10 4 Hz f0 << 300 khz donc on peut négliger l effet de peau. 12 = Mi1 2) Calcul de l inductance mutuelle 12 = n 2 B 1. ds 2 = µ 0n 1 n 2 i 1 I 4π 1 (M). ds 2 = µ 0n 1 n 2 4π φ 12i 1 S2 M S2 Donc M = µ 0n 1 n 2 φ 4π 12 avec φ 12 = I 1 (M). ds M S2 2 Calcul de φ 12 : utilisation de Maple. Ecriture de I 1 (x, y, z) > di1x:=(x,y,z,tp)->(a1*z*cos(tp))/(a1^2+x^2+y^2+z^2-2*a1*(x*cos(tp)+y*sin(tp)))^(3/2); di1y:=(x,y,z,tp)->(a1*z*cos(tp))/(a1^2+x^2+y^2+z^2-2*a1*(x*cos(tp)+y*sin(tp)))^(3/2); di1z:=(x,y,z,tp)->(a1^2-a1*(x*cos(tp)+y*sin(tp)))/(a1^2+x^2+y^2+z^2-2*a1*(x*cos(tp)+y*sin(tp)))^(3/2);

> I1x:=(x,y,z)->Int(dI1x(x,y,z,tp),tp=0..2*Pi); I1y:=(x,y,z)->Int(dI1y(x,y,z,tp),tp=0..2*Pi); I1z:=(x,y,z)->Int(dI1z(x,y,z,tp),tp=0..2*Pi); Calcul de φ 12 = φ 12 (h, x 2, a 1, a 2 ) > Fi12:=(h,x2,a1,a2)->Int(Int(I1z(x,y,h),y=-sqrt(a2^2-x^2)+x2..sqrt(a2^2- x^2)+x2),x=-a2..a2); On peut alors calculer la valeur de M et ses variations en fonction de l entrefer (h), de l écart entre les axes (x2), et des rayons des spires. Sous Maple : > M:=(h,x2,a1,a2,n1,n2)->n1*n2*10^(-7)*Fi12(h,x2,a1,a2); 3) Calcul de L1 et L2 On a : 11 = L1 i1 et 22 = L2i2. On calcule 11 et 22 pour obtenir L1 et L2. 11 = n 1 B 1. ds 1 S1 22 = n 2 B 2. ds 2 S2 Problème : le champ n est mathématiquement pas défini sur la spire qui le crée, et en 1/r², donc ces intégrales sont des intégrales divergentes. Cela est dû au fait que l on a supposé que les spires avaient une épaisseur nulle, car négligeable devant leur rayon. On ne peut plus faire cette approximation dans

le cas de l inductance propre. On suppose alors que les fils conducteurs sont cylindriques de rayon R, de longueur d (pour une spire). Le calcul pour L1 et L2 est le même. On montre alors comment calculer L dans le cas général, pour n spires de courant de rayon a, centrées en O. On définit les inductances interne Li et externe Le telles que : Calcul de Li L = L i + L e On exprime l énergie magnétique Em dans le conducteur en fonction de B i puis de Li et I, l intensité circulant dans le circuit : E m = V B i(r)² 2µ 0 dτ = 1 2 L ii² On trouve B i (r) à l aide du théorème d Ampère : B i (r) = µ 0I(r) 2πr On obtient alors l expression de Li : Calcul de Le L i = µ 0d 8π = µ 0r 2πR² I Pour calculer Le, pour une spire, on se ramène au calcul précédent de l inductance mutuelle en prenant deux spires coaxiales, de rayons a1 = a et a2 = a R, avec R << a, et d entrefer nul h = 0. R a - R a

On calcule avec Maple φ p = φ 12 (h = 0, x 2 = 0, a 1 = a, a 2 = a R) > Fip:=(a,R)->Fi12(0,0,a,a-R); > Fip(a,R); On a alors : L = µ 0 4π (d 2 + φ p ) Pour une bobine de n spires enroulées de façon serrée, avec les distances entre les spires beaucoup plus petites que a, on obtient une approximation pour l inductance propre de la bobine en multipliant celle d une spire par n². Sous Maple : > L1:=(a1,n1)->10^(-7)*n1^2*(Pi*a1+Fip(a1,10*R)); L2:=(a2,n2)->10^(-7)*n2^2*(Pi*a2+Fip(a2,10*R));

III. RESULTATS EXPERIMENTAUX COMPARAISON AUX RESULTATS THEORIQUES ATTENDUS 1) Expérience : présentation, résultats et comparaison à la théorie Présentation de l expérience

Données expérimentales a 1 = 0,150 m a 2 = 0,155 m R = 0,5 mm n1=n2=4 L 1 = 0,143 µf L 2 = 0,147 µf R 1 = R 0 + R C1 = 5,20 (On rajoute une résistance R 0 = 5 dans le circuit primaire pour éviter d avoir un court circuit. On a par ailleurs R C1 = 0,20.) R 2 = 0,19 Calcul de 0 On trouve f 0 = 79,0 khz Comparaison à la théorie La fréquence utilisée permet de négliger l effet de peau dans le conducteur. On trouve alors > R1:=(n1,a1)->4*(n1+1)*a1/(gamma0*R^2); R2:=(n2,a2)->4*(n2+1)*a2/(gamma0*R^2); > gamma0:=59.6*10^6; R:=0.0005; > evalf(r1(4,0.15)); evalf(r2(4,0.155)); Soit un écart relatif de 0% et 8%. Le calcul de L1 et L2 sous Maple donne > R:=0.0005; evalf(l1(0.15,4)); evalf(l2(0.155,4));

Soit respectivement 23% et 22% d écart relatif. Cet écart peut être expliqué par le fait que je n ai pas réussi à fabriquer des spires parfaites, les écarts entre spires ne sont pas négligeables devant leur rayon, ce qui interdit l approximation faite pour le calcul des inductances propres. Il est cependant difficile de mesurer M. Je me suis contenté de comparer ses variations à l aide des résultats qui suivent. Néanmoins, la théorie donne, pour h = 5 cm, x2 = 0 : > evalf(m(0.05,0,0.15,0.155,4,4)); On peut vérifier que l on a bien M² < L 1 L 2 > evalf(0.00001102791841*0.00001150345117-0.000003823845453^2); On calcule les variations de V2 en fonction de la distance entre les spires (h) dans le cas coaxial, = 0 h (cm) V2 (efficace) (V) 3 0,603 4 0,5 5 0,435 6 0,4 7 0,358 8 0,33 8,8 0,29 9,3 0,26 10 0,2 10,5 0,173 11 0,165 11,5 0,15 12 0,143

0,7 0,6 0,5 V2 efficace (V) 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 h (cm) Le rapport V2/V1 est égal à k à la résonance, donc proportionnel à M. On peut comparer ce résultat au calcul effectué sous Maple des variations de M en fonction de h. > plot(10^6*m(h/100,0,0.15,0.155,4,4),h=3..12,labels=["h (cm)","m (µh)"]);

Les deux tracés sont plus ou moins cohérents. La comparaison n est pas totalement satisfaisante. Les écarts sont surement dûs à des approximations expérimentales (en particulier liées a l incertitude sur la hauteur). On fait de même en faisant l écart entre les axes (x2), en prenant h=5 cm. x2 (cm) V2 (efficace) (V) 0 0,435 1 0,431 2 0,42 3 0,406 4 0,384 5 0,363 6 0,345 7 0,321 8 0,298 9 0,276 10 0,253 11 0,232 12 0,208 13 0,188 14 0,162 15 0,14 16 0,118 17 0,087 18 0,069 19 0,053 20 0,04

0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 V2 (efficace) (V) 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 5 10 15 20 25 x2 (cm) Le calcul sous Maple donne : > plot(fi12(0.05,x2,0.15,0.155),x2=0..0.20);

Les courbes se superposent presque parfaitement : on observe la cohérence entre la théorie et la pratique : Le gain est bien proportionnel à M, Le calcul théorique de M est en accord avec la pratique. 2) Calcul du temps nécessaire à la recharge d'une batterie électrique (22 kwh) Caractéristiques du réseau domestique : V1 = 220 V Puissance moyenne fournie A la fréquence de résonance : < P >= (GV 1)² Z u < P >=< V 2 i 2 >= V 2 eff² Z u = k² Z u V 1 eff ² = M² Z u (L 1 L 1R 2 + L 2 R 1 Z u )² V 1 eff ² = αv 1 eff ² avec α = M² Z u (L 1 L 1R2+L2R1 )² Zu Sous Maple : > alpha:=(h,x2,a1,a2,n1,n2)->(m(h,x2,a1,a2,n1,n2))^2/(zu*(l1(a1,n1)- (L1(a1,n1)*R2(a2,n2)+L2(a2,n2)*R1(a1,n1))/Zu)^2); Dans les conditions idéales (h = 5 cm, x2 = 0), avec les données de l expérience : > Zu:=0.08; evalf(alpha(0.05,0,0.15,0.155,4,4)); α = 0,09343679005-1 On a alors < P > = 2,261 kw

On ne tient pas compte dans le calcul du temps de charge des nécessités liées à la batterie (utilisation d un transformateur, variation de courant aux différents stades de la charge ). On se place dans le cas où le rendement entre la sortie du dispositif (V2) et la batterie est maximal. On obtient alors un temps de rechargement de 9,73 h pour une batterie 22 kwh. Cette configuration est conforme au cahier des charges. On fait varier les paramètres géométriques pour tenter d obtenir un meilleur résultat. Influence du nombre de spires : Problème : le logiciel de calcul formel n est pas capable de mesurer les inductances propres pour n1, n2 <4. Cependant, pour n1, n2 >4, on observe que la puissance diminue avec le nombre de spires. > for n from 6 to 16 do evalf(alpha(0.05,0,0.15,0.155,n,n)); od; > for n from 6 to 16 do evalf(alpha(0.05,0,0.15,0.155,4,n)); od; Cette diminution est due aux résistances, et au fait que les bobines ne sont pas parfaites. Avec des bobines parfaites, le couplage serait indépendant du nombre de spires. Faute de mieux, on prendra n1 = n2 = 4. Influence des rayons des spires L approximation du calcul des inductances propres ne nous permet pas d analyser l influence du rayon pour a < 10 cm > for n from 5 to 20 do evalf(alpha(0.05,0,n/100,n/100,4,4)); od;

A partir de a = 10 cm, la puissance diminue avec le rayon. Le résultat est le même en prenant des rayons différents : > for n from 10 to 20 do evalf(alpha(0.05,0,n/100,0.1,4,4)); od; > for n from 10 to 20 do evalf(alpha(0.05,0,0.1,n/100,4,4)); od;. En choisissant a1 = a2 = 10 cm, on a alors : <P> = 4,110 kw Soit un temps de rechargement de 5,35 h. Influence de h >plot(22000/(220^2*5.358738165*10^10*m(h/100,0,0.1,0.1,4,4)^2/2),h=3..12,la bels=["h (cm)","temps de charge (h)"]); Outils sonde : (h = 7,330026819682 cm ; T = 12,010584205468 h)

On observe que le temps de charge est satisfaisant jusqu à une hauteur de 7,33 cm. Au-delà de ce seuil, le temps de charge augmente rapidement et atteint les 24h à 9,5 cm. Ce seuil des 7,33 cm est raisonnable. Il sera surement possible de créer des installations sur-mesure pour des conducteurs possédant des voitures «hautes». Pour une voitures dont la hauteur normale est 5 cm, je ne pense pas que ce seuil puisse être atteint. Influence de x2 >plot(22000/(220^2*5.358738165*10^10*m(0.05,x2/100,0.1,0.1,4,4)^2/2),x2=0..7.63,labels=["x2 (cm)","temps de charge (h)"]); Outil sonde : (x2 = 6,314925235457 cm ; T = 12,00644893237 h) Le critère du cahier des charges est respecté pour x2 < 6,3 cm, ce qui semble être une exigence très réalisable du point de vue des automobilistes. On observe une tangente horizontale à l origine qui traduit une augmentation faible du temps de charge pour des écarts faibles (<3 cm). Augmentation de seulement 2,5 % pour 1 cm, 10 % pour 2 cm et 23 % pour 3 cm. L augmentation se fait ensuite plus rapidement.

CONCLUSION : Cette étude a permis d aboutir à la conclusion que, d une part, dans les conditions optimales, il est possible de charger une batterie de voiture électrique classique (22 kwh, batterie de la nouvelle Renault Fluence) avec la technologie de la charge sans contact en des temps très raisonnables 5h 20min dans l idéal (sans compter les nécessités de charge) contre 4-8 h dans les conditions normales sur le réseau domestique. D autre part, on a pu mettre en évidence que les paramètres perturbateurs (hauteur h, écart entre les axes x2) n affectaient pas de manière inéluctable l efficacité de la charge. Les automobilistes ont une «marge de manœuvre» (au sens propre et figuré du terme) suffisante leur permettant de garder un rendement de charge convenable : 7,3 cm en hauteur et 6,3 cm en écart latéral. Il faut cependant noter que je n ai pas tenu compte dans cette étude de l influence de la présence de la voiture sur le système. En pratique, le champ magnétique crée des courants de Foucault dans la carcasse de celle-ci qui ont pour conséquence d une part d augmenter la résistance totale des enroulements, et d autre part de créer une nouveau champ magnétique, dont le flux va modifier leur inductance. D après les ingénieurs Renault avec qui j ai été en contact, ces modifications sont significatives. C est l une des raisons pour lesquelles je n ai pas comparé mes résultats aux leurs, l autre raison étant que ces résultats sont confidentiels. De plus, si l expérience permet de valider le calcul de M, le bien-fondé du calcul de L reste à prouver. Ce calcul a nécessité des approximations qu il aurait été souhaitable de vérifier par l expérience, mais je n ai disposé ni des moyens ni du temps nécessaires pour cela (il aurait fallu fabriquer de nombreux montages différents en faisant varier les rayons et les nombres de spires). Il faut cependant noter que seul le calcul de M est nécessaire pour mettre en évidence l influence de h et x2, et qu on peut donc être quasi-certain des résultats à ce niveau la. C est la valeur du temps de charge qu il reste a affiner. Enfin, je dirai pour conclure que ce travail est satisfaisant en tant que première approche pour répondre à la question du temps de charge. Les étapes suivantes seraient d abord de valider le calcul de l inductance propre, de quantifier l influence de la voiture, de faire varier la forme géométrique du système (spires carrées, rectangulaires, triangulaires ) et surtout de réaliser l expérience dans les conditions réelles, avec voiture et batterie.