Module d Electricité 1 ère partie : Electrocinétique Fabrice Sincère (version 4.0.3) http://perso.orange.fr/fabrice.sincere 1
Sommaire 1- Introduction : les grandeurs périodiques 2- Représentation des grandeurs sinusoïdales 2-1- Fonction mathématique 2-2- Représentation de Fresnel 2-3- Nombre complexe associé 3-Déphasage entre deux grandeurs sinusoïdales 4- Les dipôles passifs linéaires en régime sinusoïdal 5- Etude des circuits linéaires en régime sinusoïdal 5-1- Lois de Kirchhoff 5-2- Association de dipôles passifs linéaires 5-3- Théorèmes généraux 6- Puissance en régime sinusoïdal 2
Chapitre 3 Régime sinusoïdal 1- Introduction : les grandeurs périodiques Période n signal périodique est caractérisé par sa période : T 2 ms. 3
Fréquence La fréquence f (en hertz) correspond au nombre de périodes par unité de temps : 1 f T A.N. T 2 ms f 500 Hz (500 périodes par seconde) Pulsation La pulsation est définie par : ω 2πf 2π/T (en radians par seconde) 4
Valeur moyenne On note <u> la valeur moyenne dans le temps de la tension u(t) : < u > 1 T T 0 u(t)dt A.N. < u > 1 4 10 2,5 V 5
Composante continue (DC ) et composante alternative (AC ~) ne grandeur périodique a deux composantes : - la composante continue (c est la valeur moyenne ou «offset») - et la composante alternative u(t) <u> + u AC (t) : 6
Remarques : - la composante alternative a une valeur moyenne nulle : <u AC > 0 - une grandeur périodique alternative n a pas de composante continue : <u> 0 7
Puissance électrique p(t) u(t) i(t) est la puissance électrique consommée à l instant t (ou puissance instantanée). En régime périodique, ce n est pas p(t) qu il est intéressant de connaître mais la puissance moyenne dans le temps : P < p >< ui > 1 T T 0 u(t)i(t)dt Attention : en général, <ui> <u> <i> 8
Valeur efficace (RMS) Par définition, la valeur efficace eff de la tension u(t) est : eff < u² > 1 T T 0 u²(t) dt A.N. 1 eff 100 4 5 V 9
Remarques : La valeur efficace est une grandeur positive. eff ² <u>² + AC eff ² Valeur efficace d un courant électrique : I eff < i² > 10
Signification physique de la valeur efficace Soit une résistance parcourue par un courant continu : I R La résistance consomme une puissance électrique : P RI² ²/R (loi de Joule) 11
Soit la même résistance parcourue par un courant périodique i(t) de valeur efficace I eff : i(t) R La puissance moyenne consommée est : P <Ri²> R<i²> RI eff ² eff ²/R Pour avoir les mêmes effets thermiques, il faut que I eff soit égal à la valeur du courant en régime continu I (idem pour les tensions) : u(t) La notion de valeur efficace est liée à l énergie. 12
Cas particulier des grandeurs sinusoïdales alternatives Û désigne la tension maximale (ou tension crête) On montre que : Û eff 2 Exemple : EDF fournit une tension sinusoïdale alternative de valeur efficace 230 V et de fréquence 50 Hz. Pour un courant sinusoïdal alternatif : I eff Î 2 13
A.N. Calculer la valeur efficace de la tension suivante : 10 ACeff 7,07 V 2 < u > + 15 V eff 15² + 7,07² 16,58 V 14
2- Représentation des grandeurs sinusoïdales 2-1- Fonction mathématique i(t) Îsin( ωt + ϕ i ) I eff 2 sin( ωt + ϕ i ) avec : I eff : valeur efficace (A) ω : pulsation (rad/s) t : temps (s) (ωt + ϕ i ) : phase (rad) ϕ i : phase à l origine (rad) 15
2-2- Représentation de Fresnel C est une représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales. Le vecteur de Fresnel associé au courant i(t) est défini de la façon suivante : I Ieff (Ox, I) ϕi Exemple : i(t) 3 u(t) 5 2 sin( ωt 2 sin( ωt + π 12 π 4 ) ) ϕ u + π 4 I ϕ i π 12 16
2-3- Nombre complexe associé Le nombre complexe I associé au courant i(t) est défini de la façon suivante : I (I eff, ϕ i ) Le module correspond à la valeur efficace et l argument à la phase à l origine. 17
A.N. Déterminer le nombre complexe associé à la tension : π u(t) 5 2 sin( ωt + 4) (5, + 5cos π 4 5 2 5 + 2 (j² 1) ) π π ( + ) + 5sin( + ) 4 2 2 j 4 j 18
3-Déphasage (ou différence de phase) entre deux grandeurs sinusoïdales Soit deux grandeurs sinusoïdales (de même fréquence) : i(t) u(t) Îsin( ωt + ϕ i ) Ûsin( ωt + ϕ u ) Le déphasage de u par rapport à i est par convention : ϕ u/i ϕ u - ϕ i τ : décalage (en s) entre les deux signaux. τ T ϕ(rad) 2π ϕ( ) 360 19
Déphasages particuliers - déphasage nul (τ 0) : les grandeurs sont en phase - déphasage de 180 (τ T/2) : grandeurs en opposition de phase - déphasage de 90 (τ T/4) : grandeurs en quadrature de phase N.B. Le déphasage est une grandeur algébrique : ϕ i/u - ϕ u/i Fig. 3d : ϕ u/i +90 : u est en quadrature avance sur i. 20
A.N. Calculer le déphasage ϕ u1/u2 : τ 100 µs ϕu1/ u2 360 360 + 36 T 1ms 21
Déphasage et vecteurs de Fresnel ϕ u ( I, / i ) ϕ u ϕ i ϕ u/i I Déphasage et nombres complexes ϕ u/i ϕ u - ϕ i arg () arg (I) ϕ u /i arg I 22
A.N. Calculer le déphasage ϕ u / i ϕ u + π 4 I ϕ i π 12 ϕ u / i +60 23
4- Les dipôles passifs linéaires en régime sinusoïdal 24
4- Les dipôles passifs linéaires en régime sinusoïdal Impédance complexe En régime continu, un dipôle passif linéaire est caractérisé par sa résistance : R /I (loi d Ohm) En régime sinusoïdal, un dipôle passif linéaire est caractérisé par son impédance complexe Z : I Z Z I - L impédance Z (en Ω) est le module de Z : Z( Ω) I eff eff (V) (A) 25
- Le déphasage de u par rapport à i correspond à l argument de Z : arg(z) ϕ u/i - En définitive : Z (Z, ϕ u/i ) ( eff /I eff, ϕ u/i ) Admittance complexe L admittance complexe est l inverse de l impédance complexe : Y Y est l admittance (en siemens S) : arg(y) - arg(z) ϕ i/u 1 Z 1 Y Z I eff eff 26
Dipôles passifs élémentaires en régime sinusoïdal - résistance parfaite Z Y R eff R R RI eff 1 G R ZR R ϕu /i 0 (loi d'ohm) I 27
- bobine parfaite Z Y L eff L jlω LωI j Lω eff Z ϕ L u /i Lω + 90 O I + π 2 L : inductance d une bobine (en henry H) L impédance d une bobine augmente avec la fréquence. 28
- condensateur parfait Z Y C eff C j Cω Ieff Cω jcω Z ϕ C u /i 1 Cω 90 I π 2 C : capacité en farad F (corps humain 200 pf) L impédance d un condensateur diminue avec la fréquence. 29
5- Etude des circuits linéaires en régime sinusoïdal n circuit électrique linéaire est composé uniquement de dipôles linéaires : - passifs : R, L, C - actifs : source de courant ou de tension sinusoïdal (de fréquence f) Dans un tel circuit, tensions et courants sont sinusoïdaux (de fréquence f). On peut donc utiliser : - la représentation vectorielle - ou les nombres complexes associés. 30
5-1- Lois de Kirchhoff 31
5-1- Lois de Kirchhoff Loi des nœuds i(t) i 1 (t) + i 2 (t) Pour les vecteurs de Fresnel : I I 1 + I 2 Pour les nombres complexes associés : I I 1 + I 2 32
Exemple : ne mesure au multimètre (en mode AC ~) donne : I R eff 5,00 ma I L eff 3,98 ma Calculer la valeur efficace du courant i(t) et le déphasage par rapport à la tension u(t) : ϕ u/i 33
tilisons une construction vectorielle : ϕ ( IR,) 0 u / ir ϕ ( IL,) + 90 u / il I IR + IL IR IL ϕ u/i I Ieff IR eff ² + IL eff ² 6,39 ma (théorème de Pythagore) IL eff tan ϕu /i d'où : ϕu / i + 38, 5 I R eff 34
En raison des déphasages, la loi des nœuds ne s applique pas aux valeurs efficaces. Loi des branches / Loi des mailles u(t) u 1 (t) + u 2 (t) 1 + 2 1 + 2 La loi des branches ne s applique pas aux valeurs efficaces. 35
5-2- Association de dipôles passifs linéaires ne association de dipôles passifs linéaires se comporte comme un dipôle passif linéaire. On note Z eq l impédance complexe équivalente de ce dipôle. En série, les impédances complexes s additionnent : Z éq Z i i En parallèle, les admittances complexes s additionnent : Y éq Y 1 i ou i Z éq i 1 Z i 36
Exemple n 1 Z R R Z L jlω I Z eq R + jlω On en déduit la relation entre les valeurs efficaces : eff Z avec : Z eq eq I eff Z eq R + jlω R 2 + (Lω) Lω et le déphasage : ϕ u/i arg Z eq arctan R 2 Remarque : sauf exception Z éq Z i i 37
Exemple n 2 La tension d alimentation u(t) est sinusoïdale alternative de valeur efficace 5 V et de fréquence 10 khz. Le circuit est linéaire donc le courant i(t) est sinusoïdal de fréquence 10 khz. Calculer sa valeur efficace et le déphasage par rapport à u. 38
Y eq Y R + Y L 1 R j L ω Loi d Ohm : I eff Y eq eff 1 R 2 + 1 L ω 2 eff 6,39 ma 1 Lω ϕ u/i - arg Y eq arctan + 38, 5 1 R En définitive : 39
5-3- Théorèmes généraux Les formules et théorèmes vus en régime continu (diviseur de tension, Thévenin Norton, superposition ) se généralisent au régime sinusoïdal. Analogies : Tension Courant Résistance / Impédance complexe Conductance / Admittance complexe Source de tension parfaite Régime continu I R G E Régime sinusoïdal I Z Y E Source de courant parfaite Icc Icc 40
Exemple : Théorème de Millman V A V R + jcωv R 1 + jcω R C 41
6- Puissance en régime sinusoïdal On montre que la puissance moyenne consommée (ou puissance active) est : P eff I eff cos ϕ u/i Le terme cos ϕ est appelé facteur de puissance. 42
A.N. : Calculer la puissance active d un condensateur parfait. On sait que : ϕ u/i -90 P 0 watt (pas d échauffement) 43