THÉORÈME DE ROLLE ET THÉORÈME DE LA MOYENNE DE LAGRANGE

THÉORÈME DE ROLLE ET THÉORÈME DE LA MOYENNE DE LAGRANGE Théorème de Rolle 2 Théorème de la moenne de Lagrange 3 Interprétation phsique 4 Conséquences mathématiques du théorème de la moenne de Lagrange 5 Trouver une primitive 6 Équations différentielles et hauteur d un projectile C onséquence du théorème de Rolle, le théorème de la moenne de Lagrange est un principe fondamental du calcul différentiel ; il établit un lien entre le tau de variation moen d une fonction sur un intervalle et son tau de variation instantané en un point de cet intervalle. Le théorème de la moenne de Lagrange est le fondement de plusieurs résultats importants. Nous avons vu comment trouver la position instantanée d un corps en chute libre. Nous savons également comment obtenir les fonctions vitesse et accélération du corps en chute libre. Mais que faire si nous ne connaissons que son accélération, c est-à-dire l effet de la gravité sur ce corps? Est-il possible de faire la démarche inverse et de trouver les fonctions représentant sa vitesse et sa position? La question mathématique sous-jacente est celle-ci : de quelle autre fonction une fonction donnée peut-elle être la dérivée? Par eemple, pouvonsnous déduire une fonction vitesse à partir d une fonction accélération donnée? Pouvons-nous trouver une fonction position correspondant à une fonction vitesse donnée? Comme nous le verrons sous peu, les conséquences du théorème de la moenne nous permettront de répondre à ces questions.

0 f '(c 3 ) 0 f '(c ) 0 f '(c 2 ) 0 f() a c c 2 c 3 Figure Selon le théorème de Rolle, toute courbe dérivable admet au moins une tangente horizontale entre deu points d ordonnées égales. Le nombre c pour lequel f (c) 0 n est pas nécessairement unique : ici, f () 0 en trois points. b THÉORÈME Théorème de Rolle Soit f une fonction satisfaisant les trois conditions suivantes : f est continue en tout point de l intervalle fermé [a, b]; f est dérivable en tout point de l intervalle ouvert ]a, b[; f(a) f(b). Alors, il eiste au moins un nombre c dans ]a, b[ tel que f (c) 0 (figure ). Théorème de Rolle D un point de vue géométrique, il est assez évident qu entre deu points où une courbe dérivable prend la même valeur, il eiste toujours au moins un point de la courbe où la tangente est horizontale. Un théorème de Michel Rolle, publié en 69, établit clairement ce fait. Nous verrons plus loin que le théorème de Rolle est un cas particulier du théorème de la moenne de Lagrange. ROLLE Mathématicien autodidacte, Michel Rolle (Ambert, 652 Paris, 79) était comptable et il étudiait l algèbre dans ses moments libres. En 690, il publie le traité d algèbre qui contient sa «méthode des cascades», permettant d encadrer les racines réelles de certains tpes d équations. Un an plus tard, dans sa «Démonstration d une méthode pour résoudre les égalités de tous les degrés», on trouve le théorème qui porte son nom et selon lequel «une fonction ne peut s annuler plus d une fois dans l intervalle séparant deu racines réelles consécutives de sa fonction dérivée». De nos jours, on formule ce théorème de façon équivalente en disant qu entre deu zéros d une fonction dérivable se trouve toujours au moins un zéro de sa dérivée. Rolle se méfiait des nouvelles méthodes du calcul différentiel et il s évertua à les dénoncer et à combattre le livre de calcul de L Hospital. Ironie du sort que ce mathématicien français soit aujourd hui reconnu pour son apport dans le domaine qu il essaa de discréditer de son vivant! Preuve du théorème Puisque f est continue, le théorème des etremums absolus garantit que f atteint un maimum et un minimum absolus sur l intervalle [a, b]. En conséquence du théorème des etremums relatifs, ces deu etremums ne peuvent se trouver qu au points suivants de l intervalle :. au bornes de l intervalle [a, b]; 2. à un point intérieur de l intervalle où f () 0; 3. à un point intérieur de l intervalle où f n eiste pas. Selon l hpothèse, la fonction f est dérivable en tout point de ]a, b[, ce qui élimine l option 3. Les seules possibilités sont donc les bornes a et b ainsi que les points intérieurs où f () 0. Eaminons ces deu cas.. Si le maimum et le minimum sont tous les deu en a et en b, alors les valeurs maimale et minimale de f sont égales, c est-à-dire que f() f(a) f(b). Donc f est une fonction constante et f () 0 pour tout dans l intervalle ]a, b[; c peut alors être choisi n importe où dans l intervalle ]a, b[. 2. Si le maimum ou le minimum eiste en un point intérieur c de l intervalle, alors f (c) 0 selon le théorème des etremums relatifs, et nous avons trouvé un point c confirmant la conclusion du théorème de Rolle. Prêtez attention au hpothèses du théorème de Rolle. Si l une des conditions n est pas observée, il est possible que la fonction f n admette aucune tangente horizontale sur l intervalle (figure 2). f () f () f () a a) f dérivable partout sur ]a, b[ mais discontinue à l une des bornes. b a 0 b) f discontinue en un point intérieur et nécessairement non dérivable en un point 0 de ]a, b[. b a 0 c) f continue sur [a, b], mais non dérivable en un point 0 de ]a, b[. b Figure 2 Trois situations où f n admet pas de tangente horizontale sur ]a, b[.

EXEMPLE Eplorer le théorème de Rolle Montrez que les conditions du théorème de Rolle sont satisfaites par f() 3 3 sur l intervalle [ 3, 3], 3 et trouvez une valeur c telle que f (c) 0. Solution En tant que polnôme, f() est continue et dérivable partout ; f() est donc continue et dérivable sur [ 3, 3]. Nous avons également f( 3) f(3). Les conditions du théorème de Rolle sont donc satisfaites. D après le théorème, f doit valoir 0 au moins une fois en un point c de l intervalle ouvert ] 3, 3[. Or, f () 2 3. Cette dérivée prend la valeur 0 deu fois sur l intervalle ] 3, 3[: en 3 c et en 3 c 2. Voir les eercices 5, 24 et 25. 2 Théorème de la moenne de Lagrange Le théorème de la moenne de Lagrange, aussi appelé théorème des accroissements finis, peut être considéré comme une version «inclinée» du théorème de Rolle. LAGRANGE Louis Lagrange (Turin, 25 janvier 736 Paris, 83) a 9 ans lorsqu il communique à Leonhard Euler une méthode pour trouver les etremums d une fonction. Le grand homme lui eprime son admiration ; pour Lagrange, ce sera toujours son résultat le plus important, mais il en aura tant d autres! Il trouvera une façon d analser les vibrations d une corde sous tension et obtiendra des résultats remarquables en dnamique des astres. Appelé à Berlin par Frédéric II de Prusse, il produira des œuvres en mécanique, en probabilités et en analse fondamentale. En 787, il devient membre de l Académie des sciences à Paris, qui publiera son œuvre magistrale sur la mécanique, snthèse de tous les développements dans ce domaine depuis Newton. La France devient ainsi sa dernière patrie : il fera partie de la commission qui créera le sstème métrique et sera anobli par Napoléon. On doit à Lagrange la notation prime pour les dérivées et le fameu théorème de la moenne, qui porte son nom. THÉORÈME 2 Théorème de la moenne de Lagrange Soit f une fonction vérifiant les deu conditions suivantes : f est continue en tout point de [a, b]; f est dérivable en tout point de ]a, b[. Alors, il eiste au moins un nombre c dans l intervalle ]a, b[ tel que f (c), c est-à-dire f (c)(). Preuve du théorème 2 Représentons le graphe de f par une courbe dans le plan (figure 3) et traçons la droite passant par les points A(a, f(a)) et B(b, f(b)). Voici l équation point-pente décrivant cette droite : g() f(a) ( a). () L écart vertical séparant les graphes de f et g au point d abscisse est donné par h() f() g() f() f(a) ( a). (2) La figure 4 présente simultanément les graphes de f, g et h. La fonction h satisfait au trois conditions du théorème de Rolle sur [a, b] : elle est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ puisque f et g le sont également. 0 Pente f'(c) A a c b f() Tangente parallèle à la sécante B Pente Figure 3 En termes géométriques, le théorème de la moenne de Lagrange affirme qu en un point situé quelque part entre A et B, la courbe admet au moins une tangente parallèle à la sécante AB.

A a f() g() h() f() g() Figure 4 La sécante AB est le graphe de la fonction g(). La fonction h() f() g() correspond à l écart vertical séparant les graphes de f et de g au point d abscisse. B b De plus, h(a) h(b) vu que les graphes de f et de g se coupent au points Aet B ; nous pouvons d ailleurs le vérifier algébriquement en détail : et Selon le théorème de Rolle, il eiste un nombre c dans l intervalle ]a, b[ pour lequel h (c) 0. Dérivons les deu membres de l équation (2) par rapport à, puis posons c : h () f () Dérivée de l équation (2)... h (c) f (c) f (c) 0 f (c), comme nous voulions le démontrer. h(a) f(a) f(a) (a a) 0 h(b) () [] 0. évaluée en c h (c) 0 par le théorème de Rolle sur la fonction h f (c) isolée 2, 0 Figure 5 La fonction f() 2 satisfait au conditions du théorème de Rolle et donc à celles du théorème de la moenne de Lagrange sur [, ], même si f n est pas dérivable en et en. Les conditions du théorème de la moenne de Lagrange n eigent pas que f soit dérivable en a ou en b. Il suffit que la fonction soit continue à droite en a et à gauche en b (figure 5). Normalement, tout ce que nous savons sur le point d abscisse c est ce que nous en dit le théorème, c est-à-dire que c eiste. Il a des cas où nous pouvons satisfaire notre curiosité sur la position eacte de c comme à l eemple 2. L importance du théorème n a cependant rien à voir avec la capacité de situer le point d abscisse c. D ailleurs, les cas où nous pouvons le faire sont l eception plutôt que la règle. EXEMPLE 2 Eplorer le théorème de la moenne de Lagrange La fonction f() 2 (figure 6) est continue sur 0 3 et dérivable sur 0 3. Dès lors que f(0) 0 et f(3) 9, selon le théorème de la moenne de Lagrange, il doit eister un point c de l intervalle de définition de la dérivée pour lequel f () 2 est égale à (f(3) f(0))/(3 0) (9 0)/(3 0) 3. Ici, nous pouvons trouver c au moen de l équation f (c) 2c 3, soit c 3/2.

B(3, 9) 2 (3/2, 9/4) A(0, 0) c 2 3 Figure 6 La tangente au point d abscisse c 3/2 est parallèle à la sécante. Leur pente commune vaut 3. Voir les eercices à 4 et 6. 3 Interprétation phsique Considérons la quantité ()/() comme la variation moenne de f sur [a, b], et f (c) comme une variation instantanée. Le théorème de la moenne de Lagrange affirme que la variation instantanée en un certain point intérieur c doit être égale à la variation moenne pour tout l intervalle. EXEMPLE 3 Interpréter le théorème de la moenne a) Si une automobile partie du repos parcourt 20 m en 8 s, sa vitesse moenne pendant l intervalle de 8 secondes est de 20/8 5 m/s. À un instant c pendant ces 8 secondes, le compteur de vitesse doit indiquer eactement 54 km/h (5 m/s) (figure 7). (En fait, la vitesse de 5 m/s pourrait être atteinte plus d une fois, car le théorème de la moenne dit «au moins un nombre c».) b) Supposons que la voiture a atteint la vitesse de 72 km/h à la fin de l intervalle de 8 secondes. Montrez qu à un moment donné, l accélération de la voiture a été eactement de 9 km/s 2. Distance (m) s 25 00 75 50 25 0 s f(t) (8, 20) À ce point, la vitesse de lía uto était de 54 km/h. t c Temps (s) Solution L accélération est une fonction dérivable du temps. La vitesse est de 0 km/h au temps t 0 et de 72 km/h au temps t 8s. v(t Donc, 2 ) v(t ) (72 0)/8 9 km/s 2 t2 t est l accélération moenne de la voiture pendant ces 8 secondes. Grâce au théorème de la moenne, nous pouvons affirmer que cette valeur de 9 km/s 2 donne l accélération eacte à un moment c de l intervalle. Figure 7 Le graphe de la distance en fonction du temps pour la voiture à l eemple 3. 4 Conséquences mathématiques du théorème de la moenne de Lagrange Comme nous l avons souligné au début de la section, le théorème de la moenne de Lagrange est le fondement de plusieurs résultats importants du calcul différentiel. Par eemple, nous devons l utiliser pour démontrer le théorème 3.2. (voir page suivante) qui a permis de développer les outils d analse des graphes de fonctions.

THÉORÈME 3.2. Test de croissance / décroissance Soit f continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.. Si f 0 en tout point de ]a, b[, alors f est croissante sur [a, b]. 2. Si f 0 en tout point de ]a, b[, alors f est décroissante sur [a, b]. Preuve du théorème 3.2. Soit deu points, et 2, de [a, b] tels que 2. Puisque les conditions du théorème de la moenne sont satisfaites pour tout l intervalle [a, b], elles le sont automatiquement pour [, 2 ] inclus dans [a, b]. En appliquant le théorème de la moenne à f sur [, 2 ], nous obtenons f( 2 ) f( ) 2 f (c) pour une certaine valeur c entre et 2. Puisque, 2, 2 est positif et f( 2 ) f( ) est de même signe que f (c). Par conséquent,. si f est positif sur ]a, b[, alors f( ) f( 2 ) et f est croissante ; 2. si f est négatif sur ]a, b[, alors f( ) f( 2 ) et f est décroissante. Nous savons déjà que si une fonction f est constante sur un intervalle, alors f () 0 sur tout l intervalle. Le théorème 3 du théorème de la moenne donne la réciproque de cet énoncé. THÉORÈME 3 Les fonctions de dérivée nulle sont des fonctions constantes Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Si f () 0 pour tout dans ]a, b[, alors f est constante sur [a, b]. Preuve du théorème 3 En se basant sur les hpothèses du théorème, nous devons démontrer que la fonction f possède une valeur constante sur l intervalle [a, b]. Pour ce faire, prouvons que si et 2 sont deu points de l intervalle [a, b], alors f( ) f( 2 ). Soit et 2, deu points de [a, b] tels que 2. La fonction f satisfait au conditions du théorème de la moenne de Lagrange sur [, 2 ], car elle satisfait déjà à ces hpothèses sur [a, b] qui contient [, 2 ]. Donc, f( 2 ) f( ) 2 f (c) pour une certaine valeur c entre et 2. Puisque f () 0 partout sur ]a, b[, f (c) 0 et alors, f( 2 ) f( ) 2 0, d où f( 2 ) f( ) 0 et enfin f( ) f( 2 ). Dans le tete d introduction de la section, nous demandions s il était possible de trouver les fonctions déterminant la vitesse et la position d un corps à partir de sa fonction accélération, procédant ainsi à l inverse de ce que nous avons déjà fait. Le théorème 4 du théorème de la moenne nous permet de répondre par l affirmative.

THÉORÈME 4 Les fonctions aant une même dérivée sur un intervalle ne diffèrent entre elles que par une valeur constante 2 C C 2 Si f et g sont des fonctions continues sur un intervalle fermé [a, b] et si f () g () pour tout dans ]a, b[, alors f g est constante sur [a, b]; c est-à-dire qu il eiste une constante C telle que f() g() C pour tout dans [a, b]. C C 0 C Preuve du théorème 4 Pour tout dans ]a, b[, la dérivée de la fonction différence h f g est h () ( f() g()) f () g () 0. f () g () sur ]a, b[ par hpothèse 2 0 C 2 Il eiste bel et bien une constante C telle que h() C sur [a, b] selon le théorème 3: c est-à-dire f() g() C sur [a, b], ou encore f() g() C. 2 Le théorème 4 permet d affirmer que deu fonctions peuvent avoir la même dérivée sur un intervalle ]a, b[ seulement si leurs valeurs présentent une différence constante sur l intervalle [a, b]. Nous savons, par eemple, que la dérivée de f() 2 sur ]2, [ est 2. Toute autre fonction aant 2 comme dérivée sur ]2, [ doit être égale à 2 C pour un C quelconque (figure 8). EXEMPLE 4 Appliquer le théorème 4 Trouvez la fonction f() dont la dérivée est sin et dont le graphe passe par le point (0, 2). Figure 8 Du point de vue géométrique, le théorème 4 du théorème de la moenne de Lagrange montre que les graphes des fonctions aant la même dérivée sur un intervalle ne peuvent se distinguer que par une translation verticale. Les graphes des fonctions aant 2 comme dérivée sont lesparaboles 2 C. Nous en voons ici des eemples pour diverses valeurs dec. Solution Nous savons déjà que la fonction cos possède une dérivée égale à sin. La fonction f recherchée aant la même dérivée que g() cos, nous savons aussi que f() cos C, où C est une constante. Nous pouvons déterminer la valeur de C à partir de la condition f(0) 2 (le graphe passe par le point (0, 2)) : f(0) cos(0) C C 2, et ainsi C 3. La fonction f s écrit donc f() cos 3. Voir les eercices 7 et 8. 5 Trouver une primitive Soit une fonction f(). Si on peut trouver une fonction F() dont la dérivée soit f(), alors une telle fonction F() est appelée «primitive» de f(). t (secondes) t 0 t t 2 h (mètres) 0 5 0 5 20 25 30 35 40 EXEMPLE 5 Trouver la vitesse et la position à partir de l accélération t 3 45 Trouvez la vitesse v(t) et la position h(t) d un corps en chute libre qu on laisse tomber de sa position de repos et qui subit une accélération de 9,8 m/s 2 (figure 9). Figure 9 La fonction position d un corps en chute libre est h(t) 4,9t 2 (eemple 5).

Solution Nous savons que v(t) est une primitive de la fonction accélération c està-dire que v(t) est une fonction dont la dérivée est l accélération constante 9,8 m/s 2. Nous savons aussi que la dérivée de g(t) 9,8t est égale à 9,8. D après le théorème 4, il eiste une constante C telle que v(t) g(t) C, c est-à-dire v(t) 9,8t C. Puisque le corps est tombé de sa position de repos, v(0) 0. Cela permet de déterminer C : 9,8(0) C 0, donc C 0. La fonction vitesse doit être v(t) 9,8t. Qu en est-il de la fonction position h(t)? Nous savons que h(t) est une fonction dont la dérivée est 9,8t. Nous savons aussi que la dérivée de la fonction f(t) 4,9t 2 est 9,8t. D après le théorème 4, h(t) f(t) C 4,9t 2 C pour une constante C. Dans la mesure où h(0) 0 4,9(0) 2 C 0 et donc, C 0. La fonction position doit être h(t) 4,9t 2. Voir les eercices 7 à 20. 6 Équations différentielles et hauteur d un projectile Une équation différentielle est une équation reliant une fonction inconnue à une ou plusieurs de ses dérivées. Une fonction dont les dérivées vérifient une équation différentielle est appelée une solution de l équation différentielle. EXEMPLE 6 Solutions d équations différentielles En nous référant au eemples 4 et 5 : a) la fonction cos 3 est une solution de l équation différentielle d/d sin ; b) la fonction h(t) 4,9t 2 est une solution de l équation différentielle d 2 h/dt 2 9,8 m/s 2. Voir les eercices 9 à 6. EXEMPLE 7 Trouver la hauteur d un projectile connaissant son accélération, sa vitesse initiale et sa position initiale Un lourd projectile est lancé verticalement à partir d une plate-forme haute de 3 mètres : sa vitesse initiale est de 60 m/s. Supposons que la seule force agissant sur le projectile soit la force pesanteur qui engendre une accélération de 9,8 m/s 2 dirigée vers le bas. Trouvez une équation pour représenter la hauteur du projectile au temps t si t 0 au moment du lancement. À quelle distance du sol le projectile se trouvera-t-il 4 secondes après le lancement?

Solution Dessinons une figure pour représenter le mouvement de ce projectile (figure 0). Soit h la hauteur du projectile à partir du sol, t secondes après le lancement. Supposons que h est une fonction de t admettant des dérivées première et seconde, et représentons la vitesse et l accélération du projectile par les dérivées v dh dt et Puisque la force pesanteur agit dans le sens de h décroissante, résoudre ce problème revient à trouver la solution de l équation différentielle d 2 h. dt 9,8 2 a dv dt d 2 h dt 2. De plus, nous savons que v(0) 60 et h(0) 3. La dérivée de g(t) 9,8t est 9,8, et d après le théorème 4, il eiste une constante C telle que v(t) g(t) C, c est-à-dire v(t) 9,8t C. Nous pouvons calculer la valeur de C à partir de la condition initiale v(0) 60 : v(0) 60 9,8(0) C 60 C 60. Cela complète l epression de dh/dt : dh 9,8t 60. dt Nous savons que h(t) est une fonction dont la dérivée est 9,8t 60. Nous savons aussi que la dérivée de f(t) 4,9t 2 60t est 9,8t 60. D après le théorème 4, il eiste une constante C telle que h(t) f(t) C, c est-à-dire h(t) 4,9t 2 60t C. Appliquons l autre condition initiale pour trouver la valeur de cette nouvelle constante C : h(0) 3 4,9(0) 2 60(0) C 3 C 3. Cela complète l epression de h en fonction de t : h(t) 4,9t 2 60t 3. Pour trouver la hauteur du projectile 4 secondes après le lancement, remplaçons t par 4 dans h(t). La hauteur est donc h(4) 4,9(4) 2 60(4) 3 564,6 m. Hauteur au-dessus du sol (m) 3 0 h Plate-forme Projectile Niveau du sol Figure 0 Dessin représentant le lancement du projectile à l eemple 7. Voir les eercices 2 à 34.

Eercices Vérifier les conditions d un théorème et les appliquer Au eercices à 4, a) montrez que la fonction f satisfait au conditions du théorème de la moenne de Lagrange sur l intervalle [a, b]; b) trouvez chaque valeur de c dans ]a, b[ vérifiant l équation : f (c).. f() 2 2, [0, ] 2. f() 2/3, [0, ] 3. f() arc sin, [, ] 4. f() ln ( ), [2, 4] 5. La fonction f(), 0, s annule au points d abscisses 0 et. Elle est dérivable sur ]0, [, mais sa dérivée ne s annule pas sur l intervalle. Est-ce possible? Le théorème de Rolle n indique-t-il pas que la dérivée doit s annuler au moins une fois sur cet intervalle? Justifiez votre réponse. 6. Pour quelles valeurs de a, de m et de b la fonction suivante satisfait-elle au conditions du théorème de la moenne de Lagrange sur l intervalle [0, 2]? 3, f() 2 3 a, m b, 0 0 0 2 Théorème de la moenne 7. a) Montrez que g(t) sin 2 t 3t est une fonction décroissante sur tout intervalle de son domaine de définition. b) Quel est le nombre de solutions de l équation sin 2 t 3t 5? Justifiez votre réponse. 8. a) Montrez que la fonction tan est croissante sur tout intervalle de son domaine de définition. b) Si le résultat démontré en a) est effectivement correct, comment pouvez-vous epliquer que tan p 0 est inférieur à tan (p/4)? 9. a) Montrez que l équation 4 2 2 2 0 ne possède qu une seule racine sur [0, ]. b) À l aide d une calculatrice, trouvez cette racine à autant de décimales près que la calculatrice le permet. 0. a) Une fonction croissante. Montrez que f() /( ) est croissante sur tout intervalle de son domaine de définition. b) Une fonction sans etremum. Montrez que f() 3 2 ne possède aucun etremum.. Un réservoir d eau. À la suite d une forte pluie, le volume d eau d un réservoir s est accru de 726 900 m 3 en 24 heures. Montrez qu à un certain moment, le volume d eau du réservoir augmentait à un tau de 85 625 litres par minute. 2. La famille de fonctions F() 3 C est un ensemble des fonctions ne différant entre elles que par la constante C. Toutes ces fonctions ont cependant la même dérivée F () 3. Ces fonctions sont-elles les seules fonctions dont la dérivée est 3? Justifiez votre réponse. 3. Montrez que bien que Est-ce que ce résultat est en contradiction avec le théorème 4? Justifiez votre réponse. 4. La comparaison de dérivées. Calculez les dérivées des fonctions f() 2 /( 2 ) et g() /( 2 ). Que pouvez-vous conclure au sujet de leurs graphes? Équations différentielles 5. Soit f( ) 3 et f () 0 pour tout. Est-ce que f() 3 pour tout? Justifiez votre réponse. 6. Soit g(0) 5 et g (t) 2 pour tout t. Est-ce que g(t) 2t 5 pour tout t? Justifiez votre réponse. Dans les eercices 7 à 20, la dérivée est donnée. Quelles sont toutes les primitives, c est-à-dire toutes les fonctions possibles admettant cette dérivée? 7. a) 8. a) 2 b) 2 b) 2 c) 3 c) 3 2 2 9. a) r b) r c) r 5 d d d d. 20. a) b) 2 t t c) 4t t Dans les eercices 2 à 24, la dérivée est donnée ainsi qu un point P de la solution, c est-à-dire un point par lequel le graphe de la fonction recherchée doit passer. Trouvez la fonction satisfaisant à ces conditions. 2. f () 2, P(0, 0) 22. g () 2, P(, ) 23. f () e 2, P(0, 3/2) 24. r (t) sec t tan t, P(0, 0)

Au eercices 25 à 28, trouvez toutes les fonctions aant la dérivée mentionnée. 25. f () 5 e 26. f () sec tan 2 27. f () 2, 0 2 28. f () Dans les eercices 29 et 30, la vitesse ou l accélération et la position initiale sont données. Trouvez la position instantanée s(t) de la particule, c est-à-dire la fonction donnant la position de la particule en fonction du temps. 29. v 9,8t 5, s(0) 0 30. a 32, v(0) 20, s(0) 5 Détermination de la position à partir de la vitesse Dans les eercices 3 à 34, la vitesse v ds/dt d une particule est donnée ainsi que sa position initiale s(0). Trouvez la position s(t) de la particule au temps t. 3. v 9,8t 5, s(0) 0 32. v 32t 2, s(0,5) 4 33. v sin t, s(0) 0 34. v t 2, s( ) t 2, 2 Détermination de la position à partir de l accélération Dans les eercices 35 à 38, l accélération a(t) d 2 s/dt 2 d une particule est donnée ainsi que sa vitesse et sa position initiales. Trouvez la position de la particule au temps t. 35. a e ; v(0) 20, s(0) 5 36. a 9,8 ; v(0) 3, s(0) 0 37. a 4 sin 2t ; v(0) 2, s(0) 3 9 38. a ; v(0) 0, s(0) cos 3t 2 Accélération de la pesanteur 39. En chute libre sur la Lune. L accélération due à la pesanteur sur la Lune est de,6 m/s 2. Lorsqu une pierre tombe dans une crevasse, quelle est sa vitesse 30 secondes après avoir été lâchée? 40. La vitesse d une fusée. Lorsqu une fusée quitte la surface de la Terre avec une accélération constante de 20 m/s 2, quelle est sa vitesse après minute? 4. Le plongeon d un tremplin. À quelle vitesse touchez-vous l eau lorsque vous plongez d une plate-forme de 0 mètres? (Supposez que g 9,8 m/s 2.) 42. La hauteur d un projectile sur Mars. L accélération due à la pesanteur à la surface de Mars est de 3,72 m/s 2. Quelle sera la hauteur maimale d une roche projetée verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 93 m/s? (Indication : Quand la vitesse est-elle nulle?) Mouvement linéaire 43. Le mouvement sur un ae. Une particule se déplace sur un ae avec une accélération de a d 2 s/dt 2 5 t (3/ t) et elle est soumise au conditions suivantes : ds/dt 4 et s 0 au temps t. Trouvez : a) la vitesse v ds/dt en fonction du temps t ; b) la position s en fonction du temps. 44. Déduire le déplacement à partir de la vitesse. a) La vitesse d un objet se déplaçant sur un ae s est donnée par : ds v 9,8t 3. dt i) Sachant que s 5 en t 0, trouvez la distance parcourue par l objet entre t et t 3. ii) Sachant que s 2 en t 0, trouvez la distance parcourue par l objet entre t et t 3. iii) À présent, sachant que s s 0 en t 0, trouvez la distance parcourue par l objet entre t et t 3. b) La position instantanée d un objet se déplaçant sur un ae s est une fonction dérivable par rapport au temps. Est-il juste d affirmer qu en connaissant la primitive de la vitesse instantanée ds/dt, on peut déterminer la distance parcourue entre t a et t b en ne connaissant pas la position eacte de l objet à aucun de ces deu moments? Justifiez votre réponse. Applications 45. Une variation de température. En 4 secondes, la température d un thermomètre au mercure est passée de 9 C à 00 C après qu on l eut sorti du congélateur et plongé dans l eau bouillante. Montrez qu à un moment donné, la température s élevait à un tau de 8,5 C/s. 46. Un ecès de vitesse. Un chauffeur de poids lourd a remis son billet à un poste de péage à la sortie d une autoroute. Le billet indiquait une distance de 255 km parcourue en 2 h. Sachant que la limite de vitesse est de 00 km/h sur cette autoroute, pouvez-vous epliquer pourquoi le chauffeur a reçu une contravention pour ecès de vitesse? Justifiez votre réponse. 47. Les trirèmes. On rapporte qu une trirème (galère de l Antiquité) de 70 rameurs a déjà parcouru 84 milles nautiques en 24 heures. Epliquez pourquoi à un moment donné de cet eploit, la vitesse de la trirème a dû être supérieure à 7,5 nœuds ( nœud mille nautique à l heure).

48. Un marathon. La distance du marathon est de 42,95 km. Montrez que la vitesse d un coureur a été eactement de 8 km/h au moins deu fois s il a achevé la course en 2 h 2 min. 49. La chute libre au XIV e siècle. Au milieu du XIV e siècle, Albert de Sae (36-390) a proposé un modèle de la chute libre en faisant l hpothèse que la vitesse d un objet en chute était proportionnelle à la distance parcourue. D après ce modèle, la vitesse d un objet qui a parcouru 20 mètres serait donc le double de celle d un objet qui n a parcouru que 0 mètres. C est fau, mais aucun instrument de l époque n était assez précis pour prouver le contraire. De nos jours, nous pouvons prouver dans quelle mesure le modèle d Albert de Sae était ineact en résolvant une équation avec des conditions initiales découlant de ce modèle. Résolvez cette équation et comparez graphiquement la solution avec l équation 6t 2. Vous découvrirez que cette solution décrit un mouvement qui débute trop lentement, puis qui accélère trop rapidement pour être réaliste. Théorie et eemple 50. Montrez que le nombre c du théorème de la moenne de Lagrange pour la fonction f() / sur l intervalle [a, b] est c ab. 5. La moenne géométrique de deu nombres a et b. Par définition, la moenne géométrique de deu nombres réels positifs a et b est (a b)/2. Montrez que le nombre c du théorème de la moenne de Lagrange pour la fonction f() 2 sur l intervalle [a, b] est c (a b)/2. 52. Un graphe surprenant. Tracez le graphe de la fonction f() sin sin ( 2) sin 2 ( ). Décrivez l allure du graphe. Pourquoi cette fonction se comporte-t-elle de la sorte? Justifiez votre réponse. 53. Le théorème de Rolle. a) Construisez une fonction polnomiale f() dont les zéros sont 2,, 0, et 2. b) Tracez les graphes de f() et de f () dans la même fenêtre. De quelle façon ces graphes illustrent-ils le théorème de Rolle? c) Les graphes de g() sin et de g () illustrent-ils le même principe? 54. Une solution unique. Soit f() une fonction continue sur l intervalle [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Si f(a) et f(b) sont de signes opposés et si f () 0 entre a et b, montrez que f() 0 eactement une fois entre a et b. 55. Les tangentes parallèles. Soit f et g deu fonctions dérivables sur l intervalle [a, b] et soit f(a) g(a) et f(b) g(b). Montrez qu il eiste au moins un point entre a et b pour lequel les tangentes au graphes de f et de g sont parallèles ou confondues. Illustrez votre résultat à l aide d un dessin. 56. Des graphes identiques. Si les graphes de deu fonctions dérivables f() et g() partent du même point et si les deu fonctions ont le même tau de variation en tout point, doivent-ils être nécessairement identiques? Justifiez votre réponse. 57. Les bornes supérieures. Montrez que pour deu nombres entiers quelconques a et b, l inégalité sin b sin a est toujours vérifiée. 58. Le signe de f (). Soit f() une fonction dérivable sur l intervalle [a, b] et soit. Montrez que f () est nécessairement négative pour au moins une valeur comprise entre a et b. 59. Soit f() une fonction définie sur l intervalle [a, b]. Quelles conditions doit-on imposer à f() pour que min f () où min f () et ma f () sont respectivement les valeurs minimale et maimale de f () sur l intervalle [a, b]. Justifiez votre réponse. 60. Utilisez les inégalités de l eercice 59 pour estimer f(0,) lorsque f () /( 4 cos ) où 0 0, sachant que f(0). 6. Utilisez les inégalités de l eercice 59 pour estimer f(0,) lorsque f () /( 4 ) où 0 0, sachant que f(0) 2. 62. Les bornes d une fonction. Si f () 2 pour tout, quelle est la plus grande valeur d accroissement de f sur l intervalle [0, 6]? Justifiez votre réponse. 63. Les bornes d une fonction. Soit f une fonction continue sur [a, b] et c un point intérieur de cet intervalle. Montrez que si f () 0 sur [a, c[ et f () 0 sur ]c, b], alors f() n est jamais inférieure à f(c) sur [a, b]. 64. Une inéquation. a) Montrez que /2 /( 2 ) /2 pour tout. b) Soit f une fonction dont la dérivée est f () /( 2 ). Utilisez le résultat trouvé en a) pour montrer que pour tout a et pour tout b. ma f (), 2 69 65. La dérivée de f() 2 est égale à zéro en 0 mais f n est pas une fonction constante. Est-ce en contradiction avec le théorème 3 qui stipule que les fonctions dont la dérivée est égale à zéro sont des fonctions constantes? Justifiez votre réponse.

EXPLORATIONS À l ORDINATEUR Solutions graphiques d équations différentielles Utilisez un logiciel de calcul smbolique pour eplorer graphiquement les solutions de chacune des équations différentielles des eercices 66 à 69. Eécutez les tâches suivantes pour faire vos eplorations. a) Utilisez votre logiciel pour déterminer la solution générale incluant la constante arbitraire C. b) Tracez ensemble les solutions particulières correspondant au valeurs C 2,, 0, et 2. c) Déterminez et tracez la solution particulière passant par le point donné P( 0, 0 ) sur l intervalle donné. 66., [0, ], P(/ 2, ) 67., [, 4], P(2, ) 68. sin, [ 4, 4], P(, ) 69.,[ p/2, p/2], P(0, ) sin