Maximisation de la fonction d utilité exponentielleprix d indifférence dans un modèle avec défauts

Maximisation de la fonction d utilité exponentielleprix d indifférence dans un modèle avec défauts Thomas Lim Université Paris 7-LPMA Travail en collaboration avec Marie-Claire Quenez Séminaire des jeunes probabilistes et statisticiens

Introduction Le problème Fonction d utilité L utilité (en économie) est une mesure du bien-être ou de la satisfaction obtenue par la consommation, ou du moins l obtention, d un bien ou d un service. Elle est liée à la notion de besoin. Nous voulons maximiser l espérance de la fonction d utilité de la richesse terminale E [ U ( X x,π )] T. sup π A(x) Nous voulons déterminer le prix d indifférence p(ξ) d un actif contingent ξ [ ( T )] [ ( T )] sup E U x+ π t ds t = sup E U x p(ξ)+ π t ds t +ξ. π A(x) 0 π A(x p(ξ)) 0

Introduction Le problème Ce problème de maximisation de la fonction d utilité a été largement étudié dans la littérature : soit avec la méthode duale, soit avec le principe de la programmation dynamique. Nous utilisons le principe de la programmation dynamique pour résoudre ce problème et caractériser la fonction valeur par une EDSR. Il existe peu de résultats sur les EDSR à sauts : Tang et Li (1994) pour l existence et l unicité d une solution pour les EDSR lipschitz, Royer (2006) pour un théorème de comparaison pour les EDSR lipschitz, Morlais (2009) pour les EDSR quadratiques sur un ensemble compact.

Introduction Plan de l exposé Le modèle du marché Cas compact Cas non compact Approximation de la fonction valeur Prix d indifférence

Le modèle du marché Le modèle du marché Soit (Ω, G, P) un espace de probabilité complet muni de : un mouvement brownien (W t ) 0 t T, un processus de défaut (N t ) 0 t T, où N t = 1 τ t. Nous notons (M t ) la martingale compensée de (N t ) et Λ t = t 0 λ sds son compensateur : t M t = N t λ s ds. 0 Théorème de représentation des martingales Soit m une (P, G)-martingale de carré intégrable avec m 0 = 0. Alors, il existe φ L 2 (W ) et ψ L 2 (M) tels que m t = t 0 t φ s dw s + ψ s dm s, t [0, T ], P a.s. 0

Le modèle du marché Le modèle du marché Il y a deux actifs sur le marché : un actif sans risque égal à 1 (r = 0), un actif risqué S qui admet une discontinuité au temps τ. Le processus prix (S t ) a pour équation : ds t = S t (µ t dt + σ t dw t + β t dn t ). Hypothèse (i) (µ t ), (σ t ), (β t ) et (λ t ) sont des processus G-prévisibles bornés tels que σ t > 0, (ii) le processus (β t ) vérifie β τ > 1, t [0, T ], P a.s.

Cas compact Problème de maximisation : le cas compact Définition L ensemble des stratégies admissibles A(x) est l ensemble des processus G-prévisibles π = (π t ) 0 t T prenant leurs valeurs dans un compact C. La richesse Xt x,π associée à une stratégie π et une richesse initiale x satisfait : { dx x,π ( ) t = π t µt dt + σ t dw t + β t dn t, X x,π 0 = x. Problème de maximisation Nous voulons caractériser la fonction valeur définie par : On remarque que V(x, ξ) = V(x, ξ) = exp( γx) sup E [ exp ( γ (X x,π T + ξ))]. π A(x) inf π A(x) E[exp( γ(x 0,π T + ξ))].

Cas compact Problème de maximisation : le cas compact Pour chaque π A, on définit : J π t = E [ exp ( γ(x t,π T + ξ)) G t ], t [0, T ]. Puisque (exp( γxt π )Jt π ) est une martingale, on a que Jt π est l unique solution de : 8 n >< djt π γ 2 o = 2 π2 t σt 2 Jt π γπ t(µ tjt π + σ tzt π ) λ t(1 e γπt βt )(Jt π + Ut π ) dt Zt π dw t Ut π dm t, >: JT π = exp( γξ).

Cas compact Idée de la démonstration : Utilisation du théorème de représentation des martingales d(exp( γxt π )Jt π ) = Z t dw t + U t dm t. Utilisation de la formule d intégration par parties pour obtenir djt π.

Cas compact Problème de maximisation : le cas compact Proposition J(t, ξ) = ess inf E [ exp ( γ(x t,π π A T + ξ)) ] Gt, t Soit (Y t, Z t, U t ) la solution dans S +, L 2 (W ) L 2 (M) de 8 >< >: n γ 2 dy t = ess inf π A 2 π2 t σt 2 Y t γπ t(µ ty t + σ tz t) λ t(1 e γπt βt ) o (Y t + U t) dt Z tdw t U tdm t, Y T = exp( γξ). Alors, pour tout t [0, T ], J(t, ξ) = Y t a.s. Il existe une unique stratégie optimale ˆπ A et cette stratégie est l argument minimum du générateur de cette EDSR.

Cas compact Théorème de comparaison Théorème Soit (ξ 1, f 1 ) et (ξ 2, f 2 ) deux couples de données condition terminale-générateur satisfaisant des conditions, et (Y 1, Z 1, U 1 ), (Y 2, Z 2, U 2 ) les solutions de leurs EDSR associées. On suppose que : ξ 1 ξ 2 p.s. f 1 (t, Yt 1, Zt 1, Ut 1 ) f 2 (t, Yt 1, Zt 1, Ut 1 ). Alors Yt 1 Yt 2 p.s. pour tout 0 t T.

Cas compact Idée de la démonstration : Théorème de comparaison des EDSR : Y t J π t π A. Théorème de sélection mesurable : { γ 2 } ess inf π A 2 π2 t σt 2 Y t γπ t (µ t Y t +σ t Z t ) λ t (1 e γπtβt )(Y t +U t ) = γ2 2 ˆπ2 t σ 2 t Y t γˆπ t (µ t Y t + σ t Z t ) λ t (1 e γ ˆπtβt )(Y t + U t ). Unicité de la solution d une EDSR Lipschitz : J ˆπ t = Y t.

Cas compact Cas non compact Définition L ensemble des stratégies admissibles A(x) est l ensemble des stratégies vérifiant T 0 π tσ t 2 dt + T 0 λ t π t β t 2 dt < a.s., et tel que pour tout π fixé et t [0, T ] il existe une constante K t,π telle que pour tout s [t, T ], on a Xs t,π K t,π. Une propriété importante de cet ensemble est qu il est stable par recollement : Lemme Soient π 1, π 2 deux stratégies admissibles et s [0, T ]. La strategie π 3 définie par { π 1 πt 3 t si t s, = πt 2 si t > s, est admissible.

Cas non compact Problème dynamique Pour résoudre ce problème d optimisation, nous le rendons dynamique : J(t, ξ) = ess inf E [ exp ( γ ( X t,π π A T + ξ)) ] G t (= Jt ). t Proposition L ensemble {Jt π, π A t } est stable par infimum. Pour tout t, il existe une suite (π n ) n N A t, telle que : J t = lim n Jπn t, P a.s.

Cas non compact Propriétés du processus J t Proposition Le processus (J t ) est le plus grand processus G-adapté tel que (exp( γx π t )J t ) est une sous-martingale pour toute stratégie admissible π A avec la condition terminale J T = exp( γξ). Lemme Pour tout 0 t T, le processus (J t ) vérifie 0 J t 1.

Cas non compact Décomposition de Doob-Meyer Puisque (J t ) est une sous-martingale bornée : dj t = dm t + da t, où (m t ) est une martingale de carré intégrable et (A t ) est un processus croissant G-prévisible avec A 0 = 0. Utilisant le théorème de représentation des martingales, on a : avec Z L 2 (W ) et U L 2 (M). dj t = Z t dw t + U t dm t + da t,

Cas non compact Utilisant la propriété : (exp( γx π t )J t ) est une sous-martingale pour tout π A, on a : Proposition Il existe un processus K A 2 tel que le processus (J t, Z t, U t, K t ) S +, L 2 (W ) L 2 (M) A 2 est une sous-solution de { γ 2 dj t = dk t Z t dw t U t dm t + ess inf π A 2 π2 t σt 2 J t } ( ) γπ t (µ t J t + σ t Z t ) λ t (1 e γπtβt )(J t + U t ) dt, J T = exp( γξ). Utilisant la propriété : (J t ) est le plus grand processus tel que (exp( γx π t )J t ) est une sous-martingale pour tout π A, on a : Théorème (J t, Z t, U t, K t ) est la plus grande des sous-solutions de l EDSR ( ).

Approximation de la fonction valeur Approximation de la fonction valeur J t Pour chaque k N, on définit la fonction valeur J k (t) = ess inf E [exp( γ(x x,π π A k T + ξ)) G t], t avec A k t = {π A t, π s k, s [t, T ], P a.s.}. On a la propriété suivante : Proposition Le processus (exp( γx π t )J k (t)) est une sous-martingale pour tout π A k. Cela permet de prouver l approximation suivante : Théorème Pour tout t [0, T ], on a J t = lim k Jk (t), P a.s.

Approximation de la fonction valeur Preuve de ce théorème Pour chaque k N, A k t A k+1 t (J k (t)) est décroissante et J t J(t), P a.s. J(t) = lim k Jk (t), P a.s. Pour prouver que J t J(t), P a.s. nous décomposons la preuve en 3 étapes (exp( γx π t ) J(t)) est une sous-martingale pour tout π Ā. Il existe une processus càd-làg G-adapté ( J t ) tel que pour tout t [0, T ], J t = J(t), P a.s. ( J t ) peut être écrit sous la forme d J t = Z tdw t + Ū tdm t + dā t. Nous montrons qu il existe K A 2 tel que ( J t, Z t, Ū t, K t ) est une sous-solution de l EDSR ( ). Donc J t J(t), P a.s.

Prix d indifférence Le problème Fonction d utilité L utilité (en économie) est une mesure du bien-être ou de la satisfaction obtenue par la consommation, ou du moins l obtention, d un bien ou d un service. Elle est liée à la notion de besoin. Nous voulons maximiser l espérance de la fonction d utilité de la richesse terminale E [ U ( X x,π )] T. sup π A(x) Nous voulons déterminer le prix d indifférence p(ξ) d un actif contingent ξ [ ( T )] [ ( T )] sup E U x+ π t ds t = sup E U x p(ξ)+ π t ds t +ξ. π A(x) 0 π A(x p(ξ)) 0

Prix d indifférence Prix d indifférence Définition Pour une richesse initial x, le prix d indifférence d un actif contingent ξ est le nombre p(ξ) tel que V(x p(ξ), ξ) = V(x, 0). { V(x p(ξ), ξ) = exp( γ(x p(ξ))j(0, ξ), V(x, 0) = exp( γx)j(0, 0). Le prix d indifférence d un actif contingent ξ est donné par : p(ξ) = 1 ( ) J(0, 0) γ log. J(0, ξ)

Prix d indifférence Approximation du prix d indifférence Si nous restreignons l ensemble des stratégies admissibles à l ensemble des stratégies bornées A k, on peut définir de la même manière le prix d indifférence p k (ξ) p k (ξ) = 1 ( J k ) γ log (0, 0) J k. (0, ξ) Remarquons qu on a p(ξ) = lim k pk (ξ). Ce qui permet d approximer le prix d indifférence p(ξ) par des méthodes numériques.

Conclusion Conclusion Nous proposons 2 caractérisations de la fonction valeur associée au problème de maximisation : c est la plus grande des sous-solutions d une EDSR, c est la limite de fonctions valeurs associées à des sous-ensembles de stratégies admissibles bornées. Chaque fonction valeur est elle même solution d une EDSR lipschitz. Le prix d indifférence est totalement déterminé par les fonctions valeurs. Ces résultats peuvent se généraliser au cas de plusieurs instants de défaut et plusieurs actifs, ainsi qu au cas de sauts poissoniens.