Une nouvelle approche de l intégration de la planification de production et de l ordonnancement Anna Robert 1,2, Claude Le Pape 1, Frédéric Paulin 1, Francis Sourd 2 1 ILOG S.A., 9 rue de Verdun 94253 Gentilly cedex {anrobert,clepape,fpaulin}@ilog.fr 2 Laboratoire d Informatique de Paris VI, 8 rue du Capitaine Scott 75015 Paris francis.sourd@lip6.fr Résumé : Dans le domaine de l industrie de transformation, l intégration de la planification de production et de l ordonnancement est cruciale. Généralement des techniques hybrides de programmation linéaire, pour la planification, et de propagation de contraintes, pour l ordonnancement, résolvent ce problème de manière coopérative. Nous nous proposons ici d aborder cette question en résolvant un problème intermédiaire consistant en la découpe de la production en lots ordonnançables (lot streaming) et la détermination des flux de matériaux circulant entre les entités de la chaîne de production : inventaires, lots de production et demandes (pegging). Mots-clés : Planification de production ; Ordonnancement ; Lot streaming ; Pegging ; Programmation linéaire en variables mixtes. 1 Introduction Les problématiques de planification de production et d ordonnancement ont été identifiées dès les années 60-70 avec l émergence des MRP (Material Requirements Planning, Lunn & Neff (1992) et Hopp & Spearman (2000) par exemple). A l heure actuelle, les problèmes liés à la gestion de production sont critiques pour les industriels, qui cherchent toujours à améliorer et optimiser leur rendement. Pour cela, il est nécessaire de concevoir des outils perfectionnés, adaptés à cette demande. Généralement, la planification se concentre sur des prévisions tactiques à long ou moyen terme de la production (de l ordre de plusieurs mois) tandis que l ordonnancement, se situant à un niveau de granularité plus fin, prend des décisions opérationnelles à court terme (quelques jours ou quelques semaines). Si l on résout séparément ces deux problèmes, cela mène d une part parfois à une incohérence entre la planification et l ordonnancement (les solutions ne sont pas compatibles) et d autre part, à des solutions globalement sous-optimales.
RJCIA 2005 Une approche intégrée de ces problématiques semble donc une voie prometteuse tant du point de vue de la cohérence entre planification et ordonnancement, que de la qualité des solutions. Généralement des techniques hybrides de programmation linéaire, pour la planification (problèmes de lot sizing, définition et classification dans Staggemeier & Clark (2001)), et de propagation de contraintes, pour l ordonnancement, résolvent ce problème de manière coopérative afin d aboutir effectivement à de meilleures solutions (par exemple Maravelias & Grossmann (2005) et Timpe (2002)). D autres méthodes coopératives faisant appel à diverses techniques peuvent aussi être employées (Dauzère- Pérès & Lasserre (1994)). Nous proposons ici une approche résolvant un problème intermédiaire considérant les décisions de planification comme des données d entrée et posant en sortie le problème d ordonnancement. Elle consiste, d une part, en une découpe optimale (au sens d un objectif que nous définirons) de la production planifiée (lot streaming), et, d autre part, en une prise de décisions relatives aux flux de matériaux circulant le long de la chaîne de production entre chacune des entités qui la composent (inventaires, lots de production, demandes), que nous désignerons par le terme pegging. Dans une première partie, nous décrirons la problématique générale dans laquelle s inscrivent nos travaux ainsi que l approche particulière que nous envisageons pour répondre à la question qu elle sous-tend. Nous présenterons dans un second temps un procédé de résolution pour notre problème consistant en une modélisation par programmation linéaire en variables mixtes que nous comparerons, dans une troisième partie, à une procédure naïve sur 54 instances. 2 Description du problème 2.1 Problématique globale Afin d exercer un meilleur contrôle sur leur activité, les industriels de la production souhaitent obtenir des informations à long et moyen termes, tout au long de la chaîne de production, les aidant à prendre de bonnes décisions, souvent cruciales. De plus, afin d affiner ces prises de décision, des informations précises à plus court terme sont aussi nécessaires. Ces dernières permettent aux industries de faire preuve d une forte réactivité afin qu une petite défaillance - temporaire ou non - dans le système de production n induise pas des complications en chaîne, en proposant rapidement des solutions alternatives. Nous sommes donc face à deux problèmes connus de la recherche opérationnelle : la planification de production et l ordonnancement. Nous commencerons par définir les concepts que nous manipulerons tout au long de cet article, puis nous donnerons une définition précise de ce que nous appelons planification de production et ordonnancement. 2.1.1 Concepts manipulés Les notions qui interviennent explicitement dans notre problème sont les suivantes : Les matériaux : ils circulent tout au long de la chaîne de production ; ici, aucune distinction n est faite entre matières premières, produits intermédiaires et produits
Intégration de la planification et de l ordonnancement finis, un matériau peut appartenir à ces trois types. Les inventaires : ils représentent, pour chaque matériau, le stock de celui-ci. Les recettes : ce sont les principes de transformation des matériaux ; on associe à une recette un ensemble de matériaux consommés et un ensemble de matériaux produits. Les lots de production : un lot est associé à une recette et consiste en l exécution d une certaine quantité de celle-ci, ce qui induit une consommation et production de matériaux proportionnelles à cette quantité. Les demandes : il s agit de quantités de matériaux requises par un client. Les dates de livraison : elles sont associées aux demandes. Intervenant indirectement dans notre problème, le concept de ressource (coerrespondant généralement aux machines sur lesquelles s exécutent les activités liées aux lots de production) est nécessaire à la description d une usine. 2.1.2 Planification de production Les décisions prises à moyen terme visent à équilibrer la production sur un ensemble de périodes donné (douze ou vingt-quatre mois, par exemple). La connaissance globale de ce type d informations relève de la planification. Cette dernière prend des décisions sur les produits à fabriquer, le temps et la quantité de production, tout en respectant globalement des contraintes de satisfaction de demandes, de quantité et temps d exécution des recettes bornés, de capacité des ressources et d inventaire. Dans notre modélisation du problème nous considérons qu une solution au problème de planification contient, pour chaque période, les informations suivantes : la quantité d exécution de chaque recette ; la quantité de demande satisfaite pour chaque demande ; pour chaque matériau, le niveau d inventaire en fin de chaque période. 2.1.3 Ordonnancement Dans un horizon à court terme, les ressources sur lesquelles on exécute la production interviennent de manière plus détaillée. Un ordonnancement des activités, correspondant aux lots de production, doit fournir les dates de démarrage et d arrêt de la production de chaque matériau, ainsi que la ou les ressources nécessaires à cette production. Cette solution doit d une part respecter avec exactitude les contraintes de capacité des ressources et satisfaire au mieux les dates de livraison des demandes, et d autre part, dans le cas d une approche intégrée, être autant que possible en accord avec les décisions prises par la planification. Dans notre contexte, le problème d ordonnancement consiste en la donnée d un ensemble de lots de production à ordonnancer sur les ressources requises par les recettes exécutées, dans des fenêtres de temps induites par les périodes considérées par la planification, ainsi que des contraintes de précédence liées au rapport de production/consommation des lots.
RJCIA 2005 2.2 L approche lot streaming-pegging Les quantités de production décidées lors de la planification ne peuvent être directement considérées comme des lots que l on peut ordonnancer tels quels. En effet, ces lots sont de taille bornée (ceci est imposé par la description de la chaîne de production) et il convient donc de découper la quantité totale planifiée afin de satisfaire ces contraintes. Cette découpe est appelée lot streaming (Trietsch & Baker (1993), Baker & Jia (1993), Roux (1997) et bien d autres). En outre, des décisions concernant le flux des matériaux sont prises avant l ordonnancement. Ce second problème, que nous nommons pegging, est couplé au lot streaming pour une résolution simultanée sur chacune des périodes de temps induites par la planification (voir Fig. 1). stocks 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 production 00000000 11111111 planifiée 00000000 11111111 des recettes 00000000 11111111 demandes lot streaming + pegging lots de production 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 arcs de 000 1 pegging 000 1 000 1 FIG. 1 De la planification au lot streaming/pegging 2.2.1 Structure et position du problème d optimisation Dans la suite, nous nous placerons toujours au niveau d une période de temps au sens de la planification. Une structure double Du fait que nous résolvons le lot-streaming et le pegging simultanément, le modèle formulant le problème général présente une structure particulière possédant deux sousstructures, chacune étant liée à l un des sous-problèmes. Le lot-streaming peut être vu comme un problème de découpe et le pegging comme celui de l établissement d un flot entre les morceaux issus de cette découpe et d autres entités extérieures, les deux sous-problèmes doivent donc être couplés par certaines contraintes. Nous présentons d abord les deux sous-problèmes et les contraintes dont relève chacun d eux, puis, les contraintes qui permettent de relier ces deux structures, formant
Intégration de la planification et de l ordonnancement ainsi le problème global ; enfin, nous présenterons la fonction objectif. Nous ferons au fur et à mesure référence à la formulation mathématique donnée en section 3. Le lot streaming : un problème de découpe Connaissant la quantité totale d exécution de chaque recette (pièce à découper), le problème consiste à définir des lots (morceaux résultant de la découpe) dont la taille est soumise à différentes contraintes : bornes inférieure et supérieure (équations (5) et (6)), taille constante facultativement requise (équ. (7), (8) et (9)), respect de la taille totale de la pièce (équ. (15)). Le pegging : un problème de flot Ce problème consiste en la détermination, pour chaque lot, des parts de consommation provenant du stock et/ou de lots producteurs (pour chaque matériau consommé) et des parts de production allant en stock et/ou consommées par des lots consommateurs et/ou participant à la satisfaction de demandes (pour chaque matériau produit). Ce flux est représenté par des arcs reliant stocks, lots et demandes. Une solution de pegging contient donc des arcs liant ces entités, sur lesquels figure une quantité de matériau en circulation, et ce, tout au long de la chaîne de production. Nous distinguons 5 types d arcs de pegging : Les Stock2Lot : entre stocks et lots consommateurs. Les Lot2Lot : entre lots producteurs et lots consommateurs. Les Lot2Stock : entre lots producteurs et stocks. Les Stock2Dem : entre stocks et demandes. Les Lot2Dem : entre lots producteurs et demandes. Ce problème évoque le concept de flot, puisqu en effet, nous sommes toujours en présence d un réseau spécifiant les rapports de production/consommation entre des entités productrices et consommatrices, dont on détermine simultanément (par le lot streaming) la quantité d exécution (ce qui s apparente à une capacité). Considérons que le lot streaming est déjà résolu. Si on est en présence de 2 recettes R1 et R2, R1 produisant un matériau M que consomme R2, si la décision du lot streaming est d en exécuter 2 lots de chaque (R1/1 et R1/2, R2/1 et R2/2), chacun étant de taille 2, le flux des matériaux étant continu et pouvant être divisé, on a une infinité de solutions au problème consistant à décider du transfert de M entre ces 4 lots (voir Fig. 2). Ce problème est soumis à des contraintes de conservation d équilibre (ou contraintes de flot ) : consommation d un lot (flux entrant, équ. (1)), production d un lot (flux sortant, équ. ), niveau des stocks (respect de capacité, équ. (3)), satisfaction des demandes (respect de capacité, équ. (4)). Couplage des deux structures Le lien entre les deux problèmes composant le problème final est établi au moyen des contraintes de consommation et de production d un lot (équ. (1) et ) qui font
RJCIA 2005 R1/1 2 R2/1 R1/1 2 R2/1 R1/1 R2/1 taille = 2 taille = 2 M R1/2 R2/2 taille = 2 taille = 2 graphe issu du lot streaming R1/2 2 R2/2 R1/2 R2/2 2 Une 1ère solution réalisable Une 2ème solution réalisable R1/1 2-x R2/1 x x R1/2 2-x R2/2 Toutes les solutions réalisables (x [0, 2]) FIG. 2 Le pegging : un problème combinatoire intervenir la taille des lots (assimilable à une capacité) et le flux traversant ce lot. Fonction objectif Les dates de début et de fin de la période que l on considère, les temps d exécution des lots (se déduisant de leur taille par une relation affine) et la date prévue pour les satisfactions des demandes, permettent d affecter des dates d échéance préférées pour l exécution de chaque lot. On peut donc calculer le délai entre les lots reliés par des arcs de type Lot2Lot (différence entre les deux dates d échéance), et le délai entre les lots et demandes reliés par des arcs de type Lot2Dem (différence entre la date de livraison de la demande et la date d échéance). Nous minimisons alors la somme sur tous les arcs de pegging de la valeur absolue de ces délais. En effet, il peut être nécessaire d achever l exécution d un lot satisfaisant une demande après la date de livraison prévue pour celle-ci (afin de satisfaire d autres contraintes plus fortes, comme les contraintes disjonctives de ressources), le délai est alors négatif. 2.2.2 Intérêts de l approche Apport général de la méthode Une résolution simultanée des deux problèmes a la propriété de guider le lot streaming vers un découpage optimal dans le sens où si l on détermine pour quel lot ou pour quelle demande tel lot va être exécuté (pegging) on peut adapter la taille de ce lot afin de ne produire ni trop (pour éviter des pénalités d avance et/ou de stockage) ni trop peu (ce qui nécessiterait la mise en production d un nouveau lot). Cette approche a donc aussi pour objectif de générer des ordonnancements de meilleure qualité, du point de vue de l avance/retard. D un point de vue plus global, ce schéma présentant une structure double peut être étendu à d autres problèmes d optimisation, moyennant une adaptation du modèle et de l objectif, comme le dimensionnement de réseaux spécialisés (les lots s apparentant à des machines dont la puissance est à déterminer et le pegging, aux transferts de données), ou la gestion de l exécution préemptive des processus sur une architecture mono ou multi-processeurs (les lots s apparentent alors aux morceaux de processus et le pegging, aux transferts d informations)...
Intégration de la planification et de l ordonnancement Apports spécifiques du pegging On constate que les décisions issues du pegging ne sont pas nécessaires pour poser un problème d ordonnancement, seuls les lots et les fenêtres de temps le sont. Néanmoins, l ajout d arcs de pegging présente les avantages suivants : L introduction de nouvelles précédences contraint le problème d ordonnancement, ce qui, dans notre contexte où ce dernier est résolu par une méthode de propagation de contraintes, accélère la recherche. Des contraintes de consommation/production (CoPr) peuvent être ajoutées plus globalement au problème d ordonnancement, indépendamment du pegging, cellesci permettent de contrôler le niveau des stocks à tout instant mais sont consommatrices en temps de calcul ; les contraintes temporelles de pegging, présentant une meilleure propagation peuvent permettre, dans certains cas, de s y substituer ou, dans d autres, de s y ajouter, et, à nouveau, d accélérer la recherche, en écartant éventuellement la solution optimale du problème global. De manière plus informative, avoir des indications précises sur la façon dont se déroulent les opérations le long de la chaîne de production accroît le potentiel de réactivité de l usine. 3 Présentation du modèle de résolution Il s agit d un modèle mathématique de programmation linéaire en variables mixtes. Nous nous plaçons au niveau d une période, pour laquelle nous avons les informations de planification et nous résolvons deux problèmes d optimisation combinatoire : le lot streaming et le pegging. Une hypothèse est faite sur les données décrivant la chaîne de production : une recette ne peut à la fois consommer et produire un même matériau. 3.1 Notations Nous regroupons dans le tableau 1 les notations employées dans les équations mathématiques décrivant notre modèle. 3.2 Programme linéaire en variables mixtes 3.2.1 Consommation/production Ces contraintes de conservation d équilibre concernent la production et la consommation des matériaux et ont été introduites dans la section 2.2.1. Les équations (1) (respectivement, ) expriment les contraintes de consommation (respectivement, production) pour chaque lot. Les équations (3) contraignent à respecter les niveaux d inventaire de chaque matériau en début et fin de période. Enfin, les équations (4) forcent les demandes prévues à être satisfaites dans leur intégralité.
RJCIA 2005 indice ensemble concept désigné r R recette j {1,..., max r } jème lot de r m M matériau m C r /P r matériau consommé/produit par r d D demande maxr désigne le nombre maximal de lots possibles pour r constante domaine concept désigné δr m R + proportion de consommation ou production de m par r (m C r P r ) q d R + quantité de matériau délivrée pour d Ii m/im f R + quantité de m en stock en début/fin de période LS r /LS r R + taille minimale/maximale d un lot pour r Q r R + quantité d exécution de r pour la période α r /β r N/R + durée fixe/variable d exécution d un lot de r t d N date de livraison de d Start/End N date de début/fin de la période en cours variable domaine concept désigné x rj {0, 1} = 1 si le jème lot de r est créé, 0 sinon q rj R + taille du jème lot de r Irj m /Qm Irj {0, 1}/R + = 1 s il existe un Stock2Lot entre le stock de m et le lot de r/quantité associée Id /Q Id {0, 1}/R + = 1 s il existe un Stock2Dem entre le stock du matériau requis par d et d/quantité associée rjr m j /Qm rjr j {0, 1}/R+ = 1 s il existe un Lot2Lot entre le jème lot de r et le j ème lot de r, pour m/quantité associée rjd /Q rjd {0, 1}/R + = 1 s il existe un Lot2Dem entre le jème lot de r et d/quantité associée rji m /Qm rji {0, 1}/R + = 1 s il existe un Lot2Stock entre le jème lot de r et le stock de m/quantité associée t rj N date de fin d exécution du jème lot de r Z rjd N = t rj s il existe un Lot2Dem entre le jème lot de r et d, 0 sinon ZPrjr m j N = t rj s il existe un Lot2Lot entre le jème lot de r et le j ème lot de r, 0 sinon ZCrjr m j N = t r j s il existe un Lot2Lot entre le jème lot de r et le j ème lot de r, 0 sinon TAB. 1 MIP lot streaming - pegging : indices, ensembles, constantes, variables de décision
Intégration de la planification et de l ordonnancement m M, r R, j {1,..., max r}, m C r, r R, j {1,..., max r}, m P r, Q m rji + r R\ m C r r R\ m C r max r Q m Irj + j=1 max r j =1 Q m Irj + r R\ m P r Q m rjr j + max r j =1 d D\ m requis par d Q Id max r d D\ r R\ m req. m P r par d d D, Q Id + r R\ m, req. par d, P r Q m r j rj = δm r q rj (1) Q rjd = δ m r q rj j=1 max r j=1 Q m rji = Im i I m f (3) Q m rjd = q d (4) 3.2.2 Taille des lots A nouveau, ces contraintes ont été décrites dans la section 2.2.1. Dans tous les cas (taille de lot constante ou non), la taille des lots est bornée, ceci est exprimé par les équations (5) et (6). Dans le cas particulier où une taille constante est requise pour les lots, on calcule leur taille par des équations linéaires (7), dans ces équations, on a Q toujours finalement q r = r nombre de lots. Ainsi, on force les q rj à prendre cette valeur par les contraintes (8) et (9). r R, j {1,..., max r}, q rj LS r x rj (5) q rj LS r x rj (6) cas des tailles de lot constante : max r R, q r = Q r r Qr + Qr j j 1 j=2 x rj r R, j {1,..., max r}, q rj q r LS r (1 x rj ) (8) (7) q rj q r (9) 3.2.3 Précédence temporelle Lorsque deux lots sont liés par un arc de pegging, ils sont contraints d être exécutés l un après l autre, le lot consommateur s exécutant nécessairement après que le produc-
RJCIA 2005 teur ait achevé son exécution (10). On ne peut imposer, de la même façon, qu un lot lié à une demande se termine avant la date de livraison prévue pour cette demande car le retard peut être autorisé dans l ordonnancement. Par ailleurs, nous faisons l hypothèse que les exécutions de deux lots d une même recette requièrent une même ressource de capacité 1 et ne peuvent donc pas se chevaucher dans le temps. De ce fait, afin de casser la symétrie du problème, la date de fin d un lot doit se trouver après la date de fin du lot précédent (11). En outre, ces dates doivent se situer dans la période considérée (12). r R, j {1,..., max r}, r R, j {1,..., max r }, m P r C r, t rj t r j α r + β r q r j + (End Start) 1 rjr m j (10) r R, j {1,..., max r 1}, t rj+1 t rj + (x rj+1 α r + β r q rj+1 ) (11) r R, t r1 Start + (x r1 α r + β r q r1 ) (12a) r R, t rmaxr End (12b) 3.2.4 Liaison des variables Ce dernier ensemble de contraintes a pour but de relier les variables entre elles. Tout d abord, pour casser la symétrie du problème, les contraintes (13), d une part, expriment le fait que nécessairement, un nombre minimal de lots doit être exécuté, et (14), d autre part, le fait que si le jème lot est créé, c est que le j 1ème l est aussi. Par ailleurs, les contraintes (15) imposent que l on respecte les décisions de planification. Les contraintes concernant le flux sur les arcs de pegging (16 à 20) forcent la quantité passant sur un arc à la valeur 0, si cet arc n est pas créé et dans le cas contraire, bornent supérieurement cette quantité. r R, j {1,..., min r}, x rj = 1 (13) r R, j {1,..., max r}, x rj x rj 1 (14) r R, j {1,..., max r}, r R, j {1,..., max r }, max r r R, Q r = j=1 q rj (15) m P r C r, Q m rjr j min(δm r LSr, δm r LS r ) m rjr j (16) r R, j {1,..., max r}, m C r, Q m Irj min(im i, δm r LSr) m Irj (17) d D \ d requiert m, Q Id min(i m i, q d) Id (18) d D, r R \ r produit m d, j {1,..., max r}, Q rjd min(q d, δ m r LS r) rjd (19)
Intégration de la planification et de l ordonnancement r R, j {1,..., max r}, m P r, Q m rji min(im f, δm r LSr) m rji (20) Les variables artificielles Z rjd, ZPrjr m j et ZCm rjr j sont reliées respectivement aux t d, t rj et t r j d une part et aux rjd et rjr m j d autre part, par chacune trois équations, ce qui nous donne trois groupes d équations (21, 22 et 23) : d D, r R \ r produit m d, j {1,..., max r}, Z rjd End rjd (21a) Z rjd t rj End (1 rjd ) (21b) Z rjd t rj (21c) r R, j {1,..., max r}, r R, j {1,..., max r }, m P r C r, ZPrjr m j End rjr j (22a) ZPrjr m j t rj End (1 rjr j ) (22b) ZPrjr m j t rj (22c) r R, j {1,..., max r}, r R, j {1,..., max r }, m P r C r, ZCrjr m j End rjr j (23a) ZCrjr m j t r j End (1 rjr j ) (23b) ZCrjr m j t r j (23c) 3.2.5 Fonction objectif L objectif peut alors s écrire de la façon suivante : Minimiser d D r R\ par d, P r max r + r R j=1 max r ( rjd t d Z rjd ) j=1 max r r R j =1 m P r C r ( ZC m rjr j ZP m rjr j )
RJCIA 2005 4 Résultats numériques 4.1 Procédure de comparaison et instances résolues La résolution du double problème de lot streaming et de pegging par ce programme mathématique (P lsp ) est comparée à une résolution heuristique (H lsp ) traitant séquentiellement le lot streaming (politique maximisant la taille des lots - donc minimisant leur nombre - et créant des lots de taille constante), puis le pegging (procédure gloutonne fondée sur un algorithme de tri). Nous comparons différentes utilisations des méthodes (en ajoutant ou non les contraintes CoPr lors de l ordonnancement) et étudions la qualité des solutions obtenues pour l ordonnancement final et le temps mis par la procédure de propagation de contraintes pour trouver cette solution. Cette étude a été réalisée sur un jeu de 54 instances qui se répartissent en 3 classes, en fonction de la présence ou non de modifications concernant le fonctionnement des ressources (fonctionnement continu ou non, productivité constante ou variable). Il s agit de 7 chaînes de production comprenant un nombre de recettes compris entre 2 et 14, et un nombre de demandes entre 10 et 90, avec une unique étape de production (les recettes produisent directement les matériaux requis par les demandes). Chaque instance est obtenue en prenant en compte dans l optimisation de la planification et de l ordonnancement différents coûts (avance, retard, production) et en modifiant les coefficients pondérant ces coûts dans la fonction d optimisation de chaque problème. 4.2 Tableaux de résultats et analyse Nous regroupons dans un premier tableau (tab. 2) les résultats issus de la comparaison entre les valeurs des solutions pour l ordonnancement et les temps de calcul pour chacune des exécutions possibles (H lsp ou P lsp, sans ajout des contraintes CoPr). Le second tableau (tab. 3) présente l impact sur le temps de la recherche de la présence de ces contraintes. Notons que nous ne prenons en considération, pour l analyse des temps de calcul, que les instances pour lesquelles celui-ci est significatif (au minimum plusieurs secondes), c est-à-dire 12 instances sur les 54. Nous employons les notations suivantes : P lsp > H lsp quand P lsp aboutit à une amélioration du critère considéré, P lsp = H lsp quand P lsp et H lsp sont équivalentes, P lsp < H lsp quand P lsp aboutit à une dégradation du critère. Analyse du tableau 2 Concernant la qualité des solutions de l ordonnancement, on constate que dans 87% des cas P lsp conduit à une solution meilleure (le plus souvent) ou équivalente à celle obtenue en utilisant H lsp. Comme notre ordonnancement est un problème de minimisation, l amélioration d une solution représente une diminution de la valeur de son objectif et la meilleure que l on obtient est très élevée (elle correspond à une division par 3 de la solution issue de H lsp ). De plus, lorsque P lsp conduit à une moins bonne
Intégration de la planification et de l ordonnancement Valeurs solutions nombre d instances P lsp > H lsp 28/54 (51.8%) P lsp = H lsp 19/54 (35.2%) P lsp < H lsp 7/54 (13.0%) meilleure amélioration 67% plus mauvaise dégradation 9% Temps calcul nombre d instances (12 instances P lsp > H lsp 7/12 (58.3%) significatives) P lsp < H lsp 5/12 (41.7%) % meilleur gain 27% % plus mauvaise perte 67% TAB. 2 Comparaison P lsp /H lsp : solutions et temps de calcul H lsp gain en temps 11/12 (91.7%) meilleur gain 7.5% plus mauvaise perte 1% P lsp gain en temps 9/12 (75.0%) % meilleur gain 41% % plus mauvaise perte 63% TAB. 3 Gain en temps de calcul quand les contraintes CoPr ne sont pas ajoutées solution, le dégradation est faible, on reste donc dans le même ordre de grandeur pour l objectif de la solution d ordonnancement. L analyse des temps de calcul n est faite que sur 22% des instances en raison des faibles valeurs mesurées, cependant on peut tout de même extraire quelque conclusion. L utilisation de P lsp conduit à une diminution du temps de recherche de l ordonnancement pour 7 instances sur les 12 significatives avec un gain maximal relativement élevé, néanmoins, lorsque le temps de recherche est augmenté, il peut l être de beaucoup. Analyse du tableau 3 Nous l avons dit en section 2.2.2, l un des intérêts du pegging consiste à éviter d avoir recours à l introduction des contraintes CoPr dont la propagation constitue parfois le goulet d étranglement de la procédure de recherche de l ordonnancement. Nous comparons donc les temps de calcul pour les mêmes instances de problèmes dans lesquelles on introduit ou non ces contraintes. A nouveau cette étude n est réalisée que sur les 12 instances pour lesquelles on a relevé des mesures significatives. Dans le cas où l on utilise l heuristique H lsp, on observe un gain de temps sur toutes les instances, à l exception d une seule, cependant la perte observée dans ce cas est négligeable (1%). L utilisation d un pegging issu de P lsp ne montre pas de manière aussi évidente l intérêt de se dispenser des contraintes CoPr, a priori gênantes, 9 instances sur 12 aboutissent tout de même à un gain de temps et, contrairement à H lsp, ce gain peut être très élevé, toutefois,
RJCIA 2005 on peut observer une perte de temps encore plus élevée. 5 Conclusion et perspectives La problématique de l intégration de la planification de la production et de l ordonnancement est cruciale pour les entreprises appartenant à l industrie de transformation. L architecture que nous avons étudiée pour ce problème se découpe en trois étapes : planification, lot streaming/pegging et ordonnancement, la seconde est celle à laquelle nous nous sommes intéressés ici. Elle consiste en le dimensionnement des lots de production ordonnançables ainsi qu en l établissement précis des flux de matériaux entre les entités de la chaîne de production. Un modèle de programmation linéaire en variables mixtes a été présenté pour résoudre ce problème. La résolution de 54 instances par ce modèle a été comparée à une procédure naïve séquentielle. Les résultats numériques laissent à penser qu une telle approche peut effectivement améliorer la qualité de l ordonnancement final, ainsi qu accélérer le temps de calcul de la procédure de recherche de celui-ci. Un modèle dans lequel le problème serait divisé en deux sous-problèmes, résolus séparément mais de manière coopérative est l une des orientations envisagées pour la suite de notre étude de cette problématique. Références BAKER K. & JIA D. (1993). A comparative study of lot streaming procedures. OMEGA International Journal of Management Science, 21(5), 561 566. DAUZÈRE-PÉRÈS S. & LASSERRE J. B. (1994). An Integrated Approach in Production Planning and Scheduling. Springer. HOPP W. & SPEARMAN M. (2000). Factory Physics. Mc Graw-Hill/Irwin. LUNN T. & NEFF S. A. (1992). MRP, Integrating Material Requirements Planning and Modern Business. Irwin. MARAVELIAS C. & GROSSMANN I. (2005). An hybrid milp/cp decomposition approach for the continuous time scheduling of multipurpose batch plants. Computers and Chemical Engineering, 28(10), 1921 1949. ROU W. (1997). Une approche cohérente pour la planification et l ordonnancement de systèmes de production complexes. PhD thesis, Université Paul Sabatier, Toulouse. STAGGEMEIER A. & CLARK A. (2001). A survey of lot-sizing and scheduling models. In 23rd Symposium of the Brazilian Operational Research Society (SOBRAPO). TIMPE C. (2002). Solving planning and scheduling problems with combined integer and constraint programming. OR Spectrum, 24(4). TRIETSCH D. & BAKER K. (1993). Basic techniques for lot streaming. Operation Research, 41(6), 1065 1076.