Chamoa_3D - Justifications. Janvier 2014

Chamoa_3D - Justifications Janvier 2014

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CHAMOA_3D - Justifications CHaîne Algorithmique Modulaire Ouvrages d Art Calcul des ouvrages de type Pipo/ Picf/ Psida/ Psidp Collection les outils Document édité par le Céréma dans la collection «les outils». Cette collection regroupe les guides, logiciels, supports pédagogique, catalogue, données documentaires et annuaires Collection «Les Outils» 3/41 24 janvier 2014

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La CHaîne Algorithmique Modulaire Ouvrages d Art (Chamoa) a été développée sous le pilotage du Céréma par : Jean GUAL Philippe LEVEQUE Marie Aurélie CHANUT Claude SIMON Florent BACCHUS Florent BOURHIS Nicolas VIGNEAUD Angel-Luis MILLAN Gaël BONDONET L'application est désignée sous le sigle "CHAMOA" pour Chaîne Algorithmique Modulaire de calcul des Ouvrages d'art. Ce nom et ce sigle ont été déposés à l'institut National de la Propriété industrielle dans les classes suivantes : 9 : logiciels (programmes enregistrés) 42 : programmation pour ordinateur. Toute représentation ou reproduction, intégrale ou partielle de cette documentation et/ou du logiciel, faite sans le consentement du Ministère de l'écologie, de l Énergie, du Développement Durable et de l'aménagement du Territoire est illicite (loi du 11 mars 1957, alinéa 1er de l'article 40). Collection «Les Outils» 5/41 24 janvier 2014

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SOMMAIRE SOMMAIRE...3 Chapitre I - Introduction...4 Chapitre II - Calculs aux état limites sous sollicitations normales...6 Chapitre III - Calculs d'ouverture de fissure...11 Chapitre IV - Calculs sous sollicitations tangentes...13 Chapitre V - Dimensionnement des aciers passifs à la non fragilité...21 Chapitre VI - Calculs de non rupture fragile des aciers de précontrainte...24 Chapitre VII - Calculs hors état limite : aciers longitudinaux et transversaux...28 Chapitre VIII - Calculs hors état limite : aciers d effort tranchant et de torsion...31 Collection «Les Outils» 7/41 24 janvier 2014

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Chapitre I - Introduction L'objectif est d'expliciter les calculs mis en œuvre pour les justifications et les dimensionnements des aciers passifs dans Chamoa_3D. Les justifications et dimensionnements sont conduits sur une sélection plus ou moins fine des nœuds du maillage. I.1 - Présentation des différents calculs Pour chaque section d étude, les vérifications et dimensionnements suivants sont réalisés : Calcul des aciers passifs longitudinaux et transversaux assurant la résistance de la section sous sollicitations normales. Calcul des aciers passifs résistants sous les efforts tranchants et de torsion. Calcul des aciers nécessaires à la limitation des ouvertures de fissure. Calcul des aciers passifs nécessaires au respect du critère de non fragilité. Calcul des aciers passifs nécessaires pour vérifier le critère de non rupture fragile des aciers de précontrainte. Vérification des dispositions constructives relatives aux aciers longitudinaux et transversaux. Vérification des dispositions constructives relatives aux aciers de tranchant et de torsion. Chacune de ces vérifications est détaillée ci-dessous. Remarque : La justification au poinçonnement n est pas traitée par Chamoa_3D. I.2 - Calculs effectués selon la forme de la section Dans le cas de vérifications sous sollicitations normales, les sections traitées présentent une forme circulaire ou polygonale, rectangles inclus, alors que sous sollicitations tangentes, la forme se restreint à circulaire ou rectangulaire. Pour les sections circulaires, on suppose l'existence d'un seul lit de ferraillage désigné par le terme extrados. Les sections rectangulaires possèdent, quant à elles, deux nappes d'aciers : extrados et intrados. Par contre, dans le cas des sections polygonales, il existe potentiellement quatre lits de ferraillage : extrados, intrados, intrados_membrure_gauche et intrados_membrure_droite. Les aciers des sections circulaires et rectangulaires doivent tous satisfaire les différentes vérifications. Par contre, concernant les sections strictement polygonales, tous les aciers ne sont pas soumis à toutes les vérifications : Calcul de résistance : on raisonne sur la section réelle et on ne dimensionne/justifie que les aciers des nappes extrados et intrados même si les valeurs des contraintes dans les aciers situés en intrados_membrure_gauche et en intrados_membrure_droite peuvent être calculées. Collection «Les Outils» 9/41 24 janvier 2014

Calcul d'ouverture de fissure réalisé pour toutes les nappes. Pour cela, on raisonne sur une section en Té équivalente au sens où la surface et l'inertie sont conservées. Calcul de non fragilité des aciers passifs effectué sur la section en té équivalente et ne concerne que les aciers positionnés en extrados et en intrados. Vérification de non rupture des aciers de précontrainte : seuls les aciers en intrados et en extrados sont concernés et les calculs sont effectués sur la section réelle globale. Vérification des dispositions constructives réglementaires pour tous les aciers : extrados, intrados, intrados_membrure_gauche, intrados_membrure_droite et on raisonne ici avec la section en té équivalente. Collection «Les Outils» 10/41 24 janvier 2014

Chapitre II - Calculs aux état limites sous sollicitations normales II.1 - Hypothèses de calcul II.1.1 - Sollicitations Dans Chamoa_3D, une sollicitation est décomposée en : Charges permanentes G concomitantes à la précontrainte, Sollicitations isostatiques de précontrainte. Sollicitations hyperstatiques de précontrainte P hyper, j, Charges variables instantanées Q, On constate donc que la précontrainte isostatique n'est pas incluse dans les efforts mais est gérée par l'intermédiaire des tensions des câbles de précontrainte. A noter que si les câbles sont inclinés par rapport à la fibre moyenne d'un angle, il faut raisonner avec une section d'armatures de précontrainte réduite A p cos au lieu de A p et modifier le calcul des efforts repris par les aciers de précontrainte lors des surcharges. En effet, si le béton se déforme de b alors la déformation associée dans l'armature est b cos 2 et c'est cette déformation qui doit être utilisée pour calculer les contraintes dans l'armature de précontrainte et non la déformation du béton adjacent. II.1.2 - Etats de la structure considérés pour les justifications et les dimensionnements Les dates d'étude considérées sont les suivantes : date de mise en tension 1 (section BP), date de mise en tension 2 (section BP), date de mise en service pour chantier (section BP), date de mise en service (section BP), date de mise en service au temps infinie (sections BA et BP). Dans les cas où il existe un échelonnement dans la mise en tension des lits d'armatures de précontrainte, on raisonne sur une charge permanente totale appliquée à un instant «moyen» du phasage. En effet, considérer plusieurs dates de chargements permanents dans un même calcul Collection «Les Outils» 11/41 24 janvier 2014

pose le problème de la superposition d états permanents en section fissurée avec prise en compte des effets différés. Pour l'étude sous plusieurs chargements permanents, on effectuera donc des calculs séparés avec pour chacun, une seule charge permanente cumulée, une force de précontrainte et une date moyenne d'application. II.1.3 - Module du béton Les calculs aux Eurocodes dépendent de deux dates : l'âge t du béton lors de l'étude (qui correspond à la date où on applique les surcharges). On utilise cet instant pour calculer f ck t, f cm t et E cm t. l'âge t 0 du béton lors de l'application des charges permanentes. Cette date permet notamment de calculer le coefficient de fluage,ce qui permet de calculer E c, eff = E cm t 1 t,t 0. Pour un calcul en section fissurée avec pondération de la loi de comportement du béton, on utilise le module pondéré E b t défini selon E b t = E cm t 1 E c,eff t = 1 t,t 0 1 t,t 0 E cm t où le coefficient dépend du rapport entre charges permanentes appliquées à t 0 et surcharges appliquées à t. Le module du béton serait E c, eff t s'il n'y avait que des charges permanentes et E cm t s'il n'y avait que des charges variables. Le coefficient est fixé égal à 0.25 conformément à la valeur moyenne constatée sur la plupart des ouvrages concernés. La variable t prend successivement toutes les valeurs précisées dans la liste des dates d'étude cidessus. En particulier : pour t=t 0, on effectue un calcul court terme avec E b t =E cm t puisque le coefficient de fluage est nul. On utilise donc le module instantané du béton. pour t=, on effectue un calcul long terme avec E b t = 1,t 0 1, t 0 E cm. Remarque : le module E cm t se calcule à l'aide de f cm t : ] en mode dimensionnement : f cm t =e s[1 28/t 1/2 f cm si t 28 et f cm t = f cm sinon. en mode vérification de pathologie, f cm t se calcule par la formule f cm t =e s [1 28/ t 1 /2 ] f cm. Collection «Les Outils» 12/41 24 janvier 2014

II.1.4 - Précontrainte Dans Chamoa_3D, les câbles sont précontraints par post-tension. Une fois injectées, on tient compte de leur adhérence imparfaite avec le béton en pondérant leur section par un coefficient =0,5. II.2 - Méthodes mises en oeuvre II.2.1 - Calcul BA fissuré Dans une section BA, l'état final est calculé directement à partir de l'état initial : l'équilibre est obtenu sous les efforts totaux : charges permanentes plus surcharges. Le béton tendu est négligé et on prend en compte la participation des aciers passifs à la résistance de la section. Le calcul est effectué avec la loi instantanée du béton. En résumé : 0 inst G Q II.2.2 - Calcul BP La logique du calcul aux Eurocodes de justification d'une section BP est la suivante : on effectue un calcul non fissuré et si la fissuration se produit alors on procède à un second calcul fissuré si l état limite l autorise. Deux méthodes de calcul BP sont proposées : la méthode de la pondération de la loi : de la même façon cette méthode permet de réaliser le calcul non fissuré puis en changeant de loi le calcul fissuré. C est la méthode par défaut. la méthode de l'addition des états de contraintes pour le calcul non fissuré puis si requis, le calcul fissuré avec la méthode du retour à l'état zéro. Le tableau ci après résume les méthodes possibles qui sont ensuite détaillées. Calcul Non Fissuré Calcul Fissuré (ELS caractéristiqu ELS ELU Loi du béton : prise en compte du béton tendu mais Cas non prévu. non fissuré. Deux solutions: Pondération de la loi, Addition des états de contrainte (loi linéaire). Loi du béton : non prise en compte du béton tendu. Deux solutions : Pondération de la loi, Retour à l état zéro. Collection «Les Outils» 13/41 24 janvier 2014

e ou ELU) II.2.3 - Calcul BP - Pondération de la loi Ce calcul utilise une loi de comportement du béton intermédiaire entre la loi instantanée et la loi différée : ces deux lois sont pondérées à l'aide d'un coefficient égal au rapport entre charges permanentes et charges d'exploitation. Alors un calcul direct de l'état final est conduit à partir de l'état permanent : L'état de contrainte déformations existant dans le béton et les aciers passifs à l'état permanent résulte de la recherche de l'équilibre sous G : les armatures de précontrainte ne participent pas à la reprise des efforts permanents dans le cas de la précontrainte étudiée: précontrainte par post-tension. A partir de cet état, on recherche les variations de déformations et de contraintes dans le béton, les aciers passifs et les armatures de précontrainte qui permettent d'équilibrer la surcharge Q. En résumé : 0 pond G pond G Q II.2.4 - Calcul BP non fissuré - Superposition des états de contrainte Dans ce calcul non fissuré, l'état final résulte de la superposition des deux états : Equilibre à long terme sous charges permanentes uniquement par calcul linéaire : La résistance des aciers passifs peut être prise en compte ou non dans le calcul (section homogénéisée ou nette). Les aciers de précontrainte ne participent pas à la reprise des efforts, ils sont présents par leur tension initiale. Equilibre à court terme sous surcharges uniquement via un calcul linéaire : La résistance des aciers passifs et de précontrainte est prise en compte. En résumé : 0 diff G 0 inst Q = 0 G Q II.2.5 - Calcul BP fissuré - Méthode du retour à l'état zéro La méthode du retour à l'état zéro est la méthode de calcul des sections BP requise par le BPEL. Un équilibre sous charges permanentes à l'aide de la loi différée du béton est conduit. A partir de cet état permanent, une décompression linéaire et instantanée du béton et des aciers passifs est appliquée avant de déterminer l'équilibre final sous charges totales de façon instantanée. En résumé : 0 diff decompression inst G 0 inst G Q Collection «Les Outils» 14/41 24 janvier 2014

II.3 - Justification sous sollicitations normales II.3.1 - Toutes les sections Pour ces justifications de section sous effort normal, Chamoa3D utilise l algorithme général d équilibre qui permet de déterminer l'équilibre de la section moyennant la définition de la géométrie, les lois de comportement des matériaux qui la composent et les efforts sollicitants. La vérification des contraintes limites réglementaires s'effectue lors du calcul d'équilibre puisque ces limites sont intégrées aux lois de comportement des matériaux. II.3.2 - Sections circulaires Le calcul de justification des sections circulaires est spécifique car la répartition des aciers passifs sur le lit de ferraillage influe sur le résultat. Les N groupes d'aciers sont répartis uniformément sur le lit de ferraillage. Dans ce cas, il existe une infinité de configurations à investiguer : l'ensemble des sections obtenues par rotation d'un angle compris entre 0 et 2 N. L'algorithme mis en place consiste donc à raisonner sur un ensemble de N config configurations et si l'ensemble des sections images d'une section référence par la rotation d'angle 2 N i config N config, i config =1..N config est justifié alors la section est justifiée. Pour l'implémentation de cet algorithme, une rotation du repère des sollicitations est effectuée plutôt qu'une rotation de la géométrie dans un soucis de simplicité. II.3.3 - Détails de l'implémentation d'une justification BP fissuré avec la méthode de la pondération de la loi du béton Une section est composée de plusieurs zones géométriques. Un matériau est associé à chaque zone et définit ses lois de comportement. Plusieurs zones géométriques peuvent avoir le même matériau si elles ont même loi de comportement. Notamment, pour les câbles de précontrainte, il est nécessaire de créer une zone pour chaque acier mais tous ces aciers suivent la même loi de comportement. On leur affecte donc le même matériau. Collection «Les Outils» 15/41 24 janvier 2014

Tensions des câbles de précontrainte associées à la sollicitation : pour cela, les numéros de zones d'acier à tendre ainsi que les valeurs de tension définie par la sollicitation sont indiquées. Equilibre permanent - calcul d'équilibre BA : les aciers de précontrainte sont tendus à leur valeur de mise en tension. Injection des câbles : si les câbles doivent être injectés : le câble est désormais lié à la matrice de béton et ses variations de déformations sont égales à celles du béton adjacent. Pour chaque zone de précontrainte, les coefficients modificatifs de loi sont mis en place, en particulier, la déformation du béton adjacent sous sollicitations permanentes. Equilibre total : lors du calcul de l'équilibre de la section sous charges totales et de la participation de chaque zone de précontrainte, les coefficients modificatifs de zone sont utilisés et le calcul des contraintes est effectué avec la loi modifiée. Collection «Les Outils» 16/41 24 janvier 2014

Chapitre III - Calculs d'ouverture de fissure Le calcul d'ouverture de fissure est effectué pour les sections de BA - nécessairement fissurées - et pour les sections BP si la fissuration à l'els fréquent est acceptée, ce qui n est pas le cas dans Chamoa_3D. Il n'est réalisé que pour les sollicitations fréquentes. La justification consiste à calculer l'ouverture de fissure sous les sollicitations et à vérifier que la valeur déterminée est inférieure à la valeur maximale réglementaire. Quant au dimensionnement des aciers passifs vis à vis de l'ouverture de fissure, il consiste en une itération du calcul de justification en augmentant les sections d'aciers jusqu'à vérification du critère. La section d'aciers passifs fournie est minimale car une procédure d'optimisation par dichotomie est mise en place. III.1 - Section rectangulaire La méthode implémentée pour les sections rectangulaire est celle proposée dans l'eurocode EN1992-1-1 7.3.4. L'ouverture de fissure se calcule de la façon suivante : w max =s r, max sm cm où s r,max est l'espacement maximal des fissures, sm déformation moyenne de l'armature de béton armé sous la combinaison de charges considérée et cm déformation moyenne du béton entre les fissures. Avec : s r, max =min{ k c+k k k 3 1 2 4 1.3(hx) ϕ ρ p, eff au lieu de celle proposée par l Eurocode : s r, max ={k 3 c+k 1 k 2 k 4 ϕ ρ p,eff si s adh <5(c+ ϕ 2 ) 1.3(h x) si s adh >5(c+ ϕ 2 ) où car de toute façon la valeur est bornée par le deuxième terme. s adh est l'espacement des aciers passifs désigne le diamètre des aciers passifs (même diamètre pour tous les aciers d'une même section) c est l'enrobage des armatures passives longitudinales k 1 vaut 0.8 (barres HA) ou 1.6 (armatures lisses) Collection «Les Outils» 17/41 24 janvier 2014

k 2 vaut 0.5 (flexion) ou 1 (traction pure). k 3 vaut 3.4 (modifiable par l'an) k 4 vaut 0.425 (modifiable par l'an) hx est la hauteur de la zone tendue p, eff = A 2 s 1 A' p A c, eff avec h x A c, eff =b h eff =b min 2.5 hd,, h 3 2 A s : surface des armatures de béton armé dans la zone de béton tendue. A ' p : aire de la section des armatures de précontraintes incluses dans A c, eff 1 : rapport de la capacité d'adhérence des armatures de précontrainte à la capacité d'adhérence des armatures de béton armé corrigé du rapport de leur diamètre : = s 1, rapport des deux capacités d'adhérence (tableau p 6.2 dans 6.8.2), s = diamètre de la plus grosse armature passive, p diamètre équivalent de l'armature de précontrainte hd est la distance entre le centre de gravité des armatures passives et la fibre la plus tendue. sm cm =max s k t f ct, eff p, eff 1 e p, eff E s, 0.6 s s E où s contrainte dans les armatures de béton armé tendues en section fissurée e = E s E cm, rapport des modules d'acier et de béton k t : facteur dépendant de la durée de la charge 0.6 : chargement de courte durée et 0.4 :chargement de longue durée. III.2 - Section circulaire On utilise dans le cas des sections circulaires un critère simplifié qui permet de calculer la valeur de l'ouverture de fissure liée à la sollicitation selon : Collection «Les Outils» 18/41 24 janvier 2014

w max = max aciers passifs 1000 w max : ouverture de fissure en mm max : valeur absolue maximale de contrainte dans les aciers passifs sous la sollicitation concernée en Mpa. Collection «Les Outils» 19/41 24 janvier 2014

Chapitre IV - Calculs sous sollicitations tangentes IV.1 - Section rectangulaire Les vérifications dépendent de l'état limite ELS ou ELU. IV.1.1 - Vérification à l'els A l'els, les justifications ne concernent que le béton et sont calquées sur le règlement français : Critère à vérifier : torsion torsion,limite Calcul de la contrainte de torsion qui s'exercent dans le béton : où torsion = 6 M t h 2 M t désigne le moment de torsion h la hauteur de la section Calcul de la contrainte limite : torsion,limite = avec n = N S brute 10.8 min n,0.6 f ck f ck contrainte normale f ctk résistance moyenne en traction f ctk IV.1.2 - Vérification à l'elu sous effort tranchant IV.1.2.1 - Notations V Rd, c : effort tranchant résistant de calcul de l'élément en l'absence d'armatures d'effort tranchant. V Rd, s : effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d'effort tranchant travaillant à la limite d'élasticité. V Rd, max : effort tranchant maximal repris par l'élément avant écrasement des bielles de compression. Collection «Les Outils» 20/41 24 janvier 2014

V Ed précontrainte. : effort tranchant agissant de calcul qui résulte de l'application des charges extérieures et de la IV.1.2.2 - Principe de la vérification Si V Ed V Rd,c, alors aucune armature d'effort tranchant n'est requise par le calcul mais mise en place d'un ferraillage minimal 9.2.2 requis par les dispositions constructives. Sinon, les armatures d'effort tranchant doivent permettre de vérifier : V Ed min V Rd, s,v Rd, max avec V Ed V Rd, s résistance des aciers passifs et V Ed V Rd, max non écrasement du béton par les bielles de compression. IV.1.2.3 - Calcul de l'effort tranchant résistant en l'absence d'armatures V Rd, c V Rd, c =(ν min +k 1 σ cp )b w d au lieu de : V Rd, c =max [C Rd, c k 100 1 f ck 1/ 3 k 1 cp ]b w d, min k 1 cp b w d car cette dernière formule fait intervenir les aciers de flexion longitudinale qui ne sont pas fixés lors du calcul du cisaillement. La formule utilisée est plus défavorable que la formule complète puisqu elle sous estime le moment résistant. où V Rd, c en [N] f ck résistance caractéristique du béton [Mpa] d distance entre la fibre de béton la plus comprimée et le lit d'armature tendu [mm] si aciers tendus, sinon on prend d =h k=min 1 200 d, 2 avec d en mm 1 =min A sl b w d,0.02 avec A sl aire des armatures longitudinales tendues [mm²] et b w la plus petite largeur de la section droite tendue [mm] cp = N Ed A c 0.2 f cd avec N Ed effort normal [N] agissant sur la section droite dû aux charges extérieures et à la précontrainte et A c section brute du béton en [mm²] les grandeurs C Rd, c, k 1 et min sont des données réglementaires : Collection «Les Outils» 21/41 24 janvier 2014

C Rd, c = 0,18 c k 1 =0.15 min = 0.34 c f ck 1/2 pour les dalles (dalle BA ou BP, traverse et semelle) avec redistribution totale. Ce n est pas le cas de Chamoa_3D sous G ou P. min = 0.053 c k 3/ 2 f ck 1/2 de redistribution. C est le cas pour Chamoa_3D. min = 0.35 c f ck 1/2 pour les poutres (barrettes) ou pour les dalles en l absence pour les voiles (piedroits). b w se déduit de la valeur b de la largeur de la section droite selon la règle : Si la gaine de précontrainte est injectée et de diamètre tel que b 8 : b w=b0.5 où est déterminé à l'endroit le plus défavorable. Si la gaine de précontrainte est injectée et de diamètre tel que b 8 : b w =b si la gaine est non injectée : b w =b1.2. IV.1.2.4 - Calcul de l'angle de bielle de compression Hypothèse d'un modèle de treillis défini par : : angle entre la bielle de compression et la fibre moyenne de l'élément pour des armatures d'effort tranchant perpendiculaires à la fibre moyenne de l'élément. b w : même expression que ci-dessus. Domaine de valeur de l'angle tranchant : 0,4 tan(θ tranchant ) 1 Pour le Calcul de tranchant possible tel que : 1 cot(θ tranchant ) 2.5 à partir de N et V selon l Eurocode, on recherche l angle le plus grand α cw b w z v 1 f V Ed V Rd, max = cd cot(θ tranchant )+tan(θ tranchant ) Collection «Les Outils» 22/41 24 janvier 2014

IV.1.2.5 - Calcul de l'effort tranchant repris par les armatures travaillant à la limite d'élasticité V Rd, s V Rd, s = A sw s long z f ywd cotan tranchant où A sw est l'aire du cours d'armature d'effort tranchant : A sw = 2 4 s long espacement des cadres et des étriers b s trans f ywd limite d'élasticité de calcul des armatures d'effort tranchant f ywd = f ywk s z : bras de levier z=0.9 d IV.1.2.6 - Calcul de l'effort tranchant repris par l'élément avant écrasement des bielles de compression V Rd, max f cd V Rd, max = cw b w z 1 cotan tranchant tan tranchant où 1 : coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l'effort tranchant : 1 =0.6 1 f ck 250 avec f ck en Mpa. cw : coefficient tenant compte de l'état de la contrainte dans la membrure comprimée : cw =1 si structure non précontrainte cw =1 cp f cd si 0 cp 0.25 f cd cw =1.25 si 0.25 f cd cp 0.5 f cd cw =2,5 1 cp f cd si 0.5 f cd cp f cd avec cp = N Ed S brute. En résumé, la quantité maximale d'aciers qui peut être mise en place de façon utile est égale à : Collection «Les Outils» 23/41 24 janvier 2014

( A sw f cd 1 =α s cw b w ν 1 )max f ywd 1+(cotanθ tranchant ) 2 obtenue en égalant V Rd, s et V Rd, max. IV.1.3 - Vérification à l'elu sous effort de torsion Cette vérification est spécifique aux bords libres et est à faire en plus de la vérification à l'effort tranchant dans cette zone. Dans le cadre de la vérification de la torsion, les sections pleines sont modélisées par des sections fermées à parois minces. L'épaisseur e paroi de cette paroi se calcule pour les sections pleines selon e paroi =max A u,2distance lit, armatures, parement où A désigne l'aire totale( A=b h ) de la section délimitée par le contour externe. u le périmètre extérieur de la section ( u=2 b h ). IV.1.3.1 - Notations T Ed le moment de torsion agissant de calcul T Rd, c désigne le moment de fissuration en torsion T Rd, max est le moment de torsion résistant IV.1.3.2 - Principe de la vérification Si T Ed T Rd,c V Ed V Rd,c 1, alors les sections pleines rectangulaires ne requièrent qu'un ferraillage minimal (Critère EN1992.1.1 6.3.2(5)). Sinon, la résistance dans chacun des matériaux doit être satisfaite : dans le béton, afin de ne pas dépasser la résistance limite des bielles de compression, on doit vérifier T Ed T Rd,max V Ed V Rd,max 1 les aciers passifs doivent pouvoir reprendre la contrainte de cisaillement en torsion. IV.1.3.3 - Calcul du moment de fissuration en torsion T Rd, c T Rd, c =2 A k e paroi f ctd où Collection «Les Outils» 24/41 24 janvier 2014

A k aire intérieure au contour moyen : A k = be paroi he paroi. Le feuillet moyen est défini par sa distance au contour externe égale à e paroi 2. f ctd limite de calcul de la contrainte de traction du béton IV.1.3.4 - Calcul de l'angle des bielles de compression On calcule l'angle tranchant torsion des bielles de compression dans le béton de la même façon que lors de la vérification de l'effort tranchant dans la dalle mais ici on cumule les effets de la torsion à ceux de l'effort tranchant. La contrainte supplémentaire due aux effets de torsion se calcule selon T Ed torsion = et 2 A k e tranchant torsion = 1 paroi 2 arctan 2 2 tranchant torsion Les valeurs limites de cet angle sont les mêmes : 0.4 tan tranchant torsion 1 x IV.1.3.5 - Calcul du moment de torsion résistant T Rd, max T Rd, max =2 cw f cd A k e paroi sin tranchant torsion cos tranchant torsion où et cw ont été définis dans le calcul sous effort tranchant. IV.1.3.6 - Calcul de la résistance des aciers passifs On applique ici le calcul de la contrainte de cisaillement en torsion pure décrit dans EN1992.2 6.3.2 (102) et le critère d'équilibre de cette contrainte par les aciers passifs EN1992.1.1 6.3.2. D'après la règle de cumul des efforts : où V Ed V Ed,i A sw s long z f ywd cotan tranchant torsion V Ed, i est la sollicitation tangente dans la paroi du fait de la torsion et se calcule selon V Ed, i = T Ed 2 A k z i où z i =he paroi est la longueur de la paroi Collection «Les Outils» 25/41 24 janvier 2014

IV.1.4 - Armatures longitudinales de torsion Il s agit de la mise en place d'armatures longitudinales supplémentaires et spécifiques à la torsion. En effet, ces aciers ne sont pas pris en compte pour les calculs de résistance sous sollicitations normales ou pour l'ouverture de fissure. Leur section A l est calculée selon : avec A l f yd = T Ed cotan [ A A ] c moyen p p u k 2A k u k T Ed, u k, A k désignant respectivement le moment de torsion, le périmètre du contour moyen et l'aire de ce contour. l'angle des bielles de compression sous la somme des efforts tranchants et de torsion A c moyen =P= A p p : force de précontrainte isostatique A p p : accroissement de contrainte de la précontrainte restant disponible jusqu'au plafond. Terme annulé dans notre composant. IV.2 - Section circulaire Dans Chamoa_3D, les pieux sont supposés non précontraints et ne sont pas soumis aux efforts de torsion. Les vérifications vis à vis de l'effort tranchant sont similaires à celles relatives aux sections rectangulaires. Les différences concernent les aires de cisaillement et sont présentées dans la suite. IV.2.1 - Vérification à l'els Aucune vérification n est requise. IV.2.2 - Vérification à l'elu Mêmes notations et principe de vérification. IV.2.2.1 - Calcul de l'effort tranchant résistant en l'absence d'armatures V Rd, c : V Rd, c =max [ C Rd,c k 100 1 f ck 1/3 k 1 cp ] d 1.4, min k 1 cp 1.4 d où Collection «Les Outils» 26/41 24 janvier 2014

V Rd, c en [N], f ck résistance caractéristique du béton [Mpa], d plus grande distance entre un point du lit d'acier et le contour externe de béton [mm], k=min 1 200 d, 2 avec d en mm, 1 =min A sl d 1.4,0.02 avec A sl =0 car ceci va dans le sens de la sécurité, diamètre de la section circulaire [mm], cp = N Ed A c 0.2 f cd avec N Ed effort normal [N] agissant sur la section droite dû aux charges extérieures et à la précontrainte et A c section brute du béton en [mm²], les grandeurs C Rd, c, k 1 et min sont des données réglementaires : C Rd, c = 0,18 c k 1 =0.15 min = 0.053 c k 3/ 2 f ck 1/2 IV.2.2.2 - Calcul de l'angle des bielles de compression La contrainte de cisaillement se calcule selon tranchant = V d 1.4 d'après le règlement français. La détermination de tranchant est inchangée : La valeur de l'angle est comprise entre les deux mêmes bornes : tranchant = 1 2 arctan 2 tranchant avec σ x = N. x S brute tranchant =max arctan 0.4, min 1 2 arctan 2 tranchant,arctan 1 x IV.2.2.3 - Calcul de l'effort tranchant repris par les armatures travaillant à la limite d'élasticité V Rd, s V Rd, s = A sw s long z f ywd cotan tranchant Collection «Les Outils» 27/41 24 janvier 2014

où A sw l'aire du cours d'armature d'effort tranchant est modifiée selon : A sw = 2 acier 4 contour, s long espacement des cerces, f ywd limite d'élasticité de calcul des armatures d'effort tranchant f ywd = f ywk s, z : bras de levier z=0.9 d. IV.2.2.4 - Calcul de l'effort tranchant repris par l'élément avant écrasement des bielles de compression V Rd, max : f cd V Rd, max = cw 1.4 z 1 cotan tranchant tan tranchant où 1 : coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l'effort tranchant : 1 =0.6 1 f ck 250 ( f ck en Mpa), cw =1 : puisque structure non précontrainte. Collection «Les Outils» 28/41 24 janvier 2014

Chapitre V - Dimensionnement des aciers passifs à la non fragilité Le calcul de non fragilité des aciers passifs vise à prévoir un ferraillage minimal dans les zones susceptibles d'être tendues sous combinaisons caractéristiques. Dans le cadre de Chamoa, la vérification de la non fragilité des aciers passifs est réalisée selon la méthode décrite dans l'ec 1992-1-1 7.3.2. Nous nous limitons cependant aux valeurs d'effort normal appliqué à la section N ed telles que la contrainte moyenne s'exerçant dans la section soit supérieure à la contrainte de fissuration ( f ctm bh N ed et f ctm 0 ). Rappel : pour les sections polygonales, ce calcul est effectué sur la géométrie en té équivalente et ne concerne que les aciers positionnés en extrados et en intrados. Dans le cas où l'étude concerne les aciers en extrados, ils sont alors tendus, on effectue un calcul pour les aciers en extrados situés dans les membrures puis un calcul pour ceux appartenant à la nervure. Puis on prend le maximum des deux quantités déterminées au ml. Que nous nous trouvions dans une section circulaire, une section rectangulaire, une âme de section polygonale ou une membrure de section polygonale, la valeur minimale de non fragilité est donnée par la formule : A s, min non fragilité =k c k f ctm A ct f yk. Le coefficient k de réduction des efforts dus aux déformations gênées vaut k =1, f ctm désigne la valeur moyenne de la limite en traction du béton, f yk est la limite d'élasticité des aciers passifs, En revanche, le coefficient k c et la section A ct sont calculés spécifiquement et leurs valeurs sont définies dans la suite. Remarque : dans le composant de dimensionnement vis à vis de la non-fragilité, les calculs d'aciers passifs minimaux sont directs et ne reposent pas sur le module de justification. V.1 - Section rectangulaire ou âme des sections avec membrures V.1.1 - Valeur du coefficient k c Calcul initial de la contrainte moyenne c = N ed b h limitée à f ctm. Collection «Les Outils» 29/41 24 janvier 2014

Détermination de k c : c si c 0, k c =0.4 1 avec h=h si h 1 m et h=1 sinon 1.5 h/ h f ctm si f ctm c 0, k c =min 0.4 1 c 2/3 f ctm,1 V.1.1.1 - Valeur de l'aire de la section tendue A ct L'aire de la section tendue se calcule selon A ct =b h cr où h cr désigne la hauteur tendue avant fissuration : h cr =min h 2 f ctm f ctm c,h V.2 - Membrures Quelle que soit la forme de la membrure, on se ramène dans tous les cas à une section rectangulaire équivalente de largeur l membrure et de hauteur h membrure. Rappel : la section équivalente est déterminée en conservant l'aire et l'inertie par rapport à l'axe horizontal. V.2.1.1 - Valeur du coefficient k c Dans ce cas, k c est égal à k c =max 0.9 F cr A ct f ctm,0.5 où F cr est la force de traction dans l'élément rectangulaire. Elle se calcule ainsi : aire tendue fois contrainte moyenne de traction, soit F cr =A ct min beton extrados,0 min beton intrados, 0 2. Si le calcul sous sollicitations normales est réalisé avec l'hypothèse d'une section fissurée (cas BA), on néglige souvent la tension dans le béton et la valeur fournie pour beton extrados et/ou beton intrados est nulle. Pour prendre cependant en compte des valeurs de traction : si beton extrados =0, alors on minimise beton extrados = f ctm et de même pour beton intrados : si beton intrados =0, alors on minimise beton intrados = f ctm V.2.1.2 - Valeur de l'aire de la section tendue A ct L'aire tendue de l'élément rectangulaire équivalent est déterminé par : A ct =l membrure h cr La formule suivante de calcul de la hauteur tendue permet de couvrir tous les cas (extrados comprimé et intrados comprimé, extrados comprimé et intrados tendu, extrados tendu et intrados comprimé, extrados tendu et intrados tendu) : Collection «Les Outils» 30/41 24 janvier 2014

h cr = min beton extrados, betonintrados, betonextrados betonintrados,0 h beton extrados betonintrados membure V.3 - Section circulaire La section est caractérisée par son diamètre pieu. V.3.1.1 - Valeur du coefficient k c Calcul initial de la contrainte moyenne Détermination de k c : c = N ed 2 /4 limitée à f ctm. c si c 0, k c =0.4 1 avec 1.5 pieu / pieu f pieu = pieu si pieu 1m et ctm pieu =1 sinon si f ctm c 0, k c =min 0.4 1 c 2/3 f ctm,1 V.3.1.2 - Valeur de l'aire de la section tendue A ct L'aire de béton tendue se déduit par différence de deux aires : celle du secteur circulaire défini par l'angle au centre égal à arccos pieu 2 cr h pieu 2 moins celle de la zone constituée de deux triangles rectangles : A ct = 2 pieu 2 arccos pieu 2 cr h pieu 2 pieu 2 cr h 2 pieu 2 2 pieu 2 cr h. Dans ce cas, la hauteur tendue avant fissuration vaut h cr =min pieu 2 f ctm f ctm c, pieu. Collection «Les Outils» 31/41 24 janvier 2014

Chapitre VI - Calculs de non rupture fragile des aciers de précontrainte Dans Chamoa_3D, les pieux ne sont pas précontraints. La vérification de non rupture fragile des aciers de précontrainte ne concerne donc que les sections polygonales et au sein de celles-ci, uniquement les aciers en intrados et en extrados. Dans le règlement français BAEL ou BPEL, la rupture fragile des aciers passifs ou de précontrainte est empêchée uniquement avec le ferraillage minimal réglementaire. En revanche, dans l'eurocode, une vérification spécifique doit être effectuée afin d'éviter une rupture fragile causée par la ruine des armatures de précontrainte (EN 1992-1-1 5.10.1 (5) et (6), EN 1992-2 5.10.1 (106), 6.1 (109) et (110) + annexe nationale). Cette vérification est réalisée pour l'état limite ELS fréquent et vise à mettre en place une quantité minimale d'aciers passifs en zones tendues sous ces sollicitations pour éviter la rupture fragile des aciers de précontrainte. Les armatures concernées sont uniquement celles dites résistantes (voir le paragraphe relatif à leur caractérisation). Dans CHAMOA_3D, la méthode A du règlement concernant la vérification de la rupture fragile est préférée mais la méthode B est également implémentée. VI.1 - Algorithme de la méthode A Les lois utilisées pour tous les matériaux à l'els freq pour lequel se fait la vérification sont les lois linéaires sans bornes : ni contrainte limite, ni déformation limite. Vérification qu'il existe des câbles de précontrainte résistants par rapport à la sollicitation ELSfréquente étudiée. S'il n'en existe pas : il ne se produira pas de rupture fragile des aciers de précontrainte. Détermination du nombres de câbles résistants à enlever pour atteindre la fissuration sur la fibre du béton coté armatures résistantes. Pour cela, on enlève les câbles un par un et on détermine à nouveau l'équilibre de la section. Dans ce calcul, on néglige le travail des aciers passifs dans cette zone. D'une part, c est plus défavorable ce qui est du côté de la sécurité, d'autre part, cela rend ce calcul de détermination du nombre de câbles à détendre indépendant de la section d'aciers passifs dimensionnée. Dans Chamoa_3D, les sollicitations n'englobent pas les efforts isostatiques de précontrainte. Il n'y a donc pas de mises à jour des sollicitations s'exerçant sur la section réduite des câbles. Vérification de la résistance à l'elu de la section réduite dans laquelle on a enlevé les câbles rompus : calcul ELU accidentel. Collection «Les Outils» 32/41 24 janvier 2014

Si le critère n'est pas vérifié, on en déduit que les quantités d'aciers passifs ne sont pas suffisantes. VI.2 - Algorithme de la méthode B Calcul du moment fléchissant de fissuration : M rep = f ctm I y ' où ' : distance entre le centre de gravité et la fibre la plus tendue. Les effets de la précontrainte sont donc ignorés. Ferraillage minimal de BA à mettre en place dans les zones où le béton est tendu sous les sollicitations issues des combinaisons caractéristiques : A s, min = M rep z s f yk où z s est le bras de levier des armatures de béton armé tendues :cote du lit des aciers passifs tendus dans le repère du centre de gravité. VI.3 - Remarques Quelle que soit la méthode employée : La section la plus défavorable est située autour de ¼ de la travée. La valeur de la précontrainte considérée est la précontrainte moyenne P m et non la précontrainte caractéristique P k =0.9 P m ou P k =1.1P m. Les chargements conduisant à la rupture des câbles s'appliquent à long terme, l endommagement est supposé progressif, d'où la valeur du coefficient cc : cc =0.85. VI.4 - Caractérisation des câbles de précontrainte résistants Dans une section comportant un ou plusieurs lits d'aciers de précontrainte, les câbles de précontrainte intéressants pour le calcul de non rupture fragile sont les câbles résistants vis à vis de la sollicitation. En effet, si on supprime un câble de précontrainte non résistant : l'effet est plutôt bénéfique pour les fibres tendues qui le seront moins et par conséquent, en ôtant les câbles non résistants, la fissuration du béton ne se produira pas. Quel critère pour la détermination des câbles résistants? On considère une sollicitation de flexion à l'els fréquent (N, My) qui ne prend pas en compte l'effet isostatique de la précontrainte et on étudie les différents cas : que ce soit en flexion compression, flexion pure ou traction flexion, les armatures précontrainte résistantes sont celles développant un moment de flexion M y, prec =N prec z prec de signe opposé au moment de flexion appliqué à la section M y. Collection «Les Outils» 33/41 24 janvier 2014

Cas limite : M y =0. Dans ce cas, les câbles de précontrainte ne sont plus résistants et le phénomène de rupture fragile ne se produit pas. Lit d'armatures de précontrainte à la côte du centre de gravité : ils ne développent plus de moment de flexion et dans ce cas, la fibre extrême la plus tendue est celle située à la côte de signe opposé au moment de flexion. Remarque : dans ce cas, M y 0 sinon on se reporte au premier cas limite. VI.5 - Remarque Le calcul de dimensionnement est réalisé à partir d'une section initiale comportant les quantités d'aciers passifs A s, ini, intrados et A s, ini, extrados. Les valeurs minimales d'aciers passifs qui permettent d'assurer la non rupture fragile des armatures de précontrainte sont calculées pour chaque sollicitation à partir des valeurs initiales citées ci-dessus. Puis, on détermine les quantités A s, min,nonrupt frag, intrados et A s, min,nonrupt frag, extrados en prenant le max des valeurs d'aciers passifs déterminées en intrados et en extrados et des valeurs initiales. La question posée est donc la suivante : les calculs de non rupture fragile des armatures de précontraintes réalisés pour la section comportant les aciers passifs A s, ini, intrados et A s,ini, extrados restent-ils valables avec A s, min,nonrupt frag, intrados et A s, min,nonrupt frag, extrados? Collection «Les Outils» 34/41 24 janvier 2014

La réponse est heureusement oui et nous la détaillons dans la suite. En effet, considérons une sollicitation S telle que la rupture fragile concerne les aciers passifs en intrados. A partir des données initiales, on détermine 1 A s, nonrupt frag,s,intrados. On vérifie ensuite que la section finale comportant A s, min,nonrupt frag, intrados et A s, min,nonrupt frag, extrados n'est pas soumise à la rupture fragile. On remarque que A s,min, nonrupt frag,extrados A s,ini, extrados (et aussi A s, min,nonrupt frag,extrados {A s,nonrupt frag,extrados } S ). Le calcul fournit alors pour la section comportant 1 A s, min,nonrupt frag,extrados et A s, nonrupt frag,s,intrados, une valeur minimale d'acier passif 2 A s, nonrupt frag,s,intrados telle que 2 1 A s, nonrupt frag, S,intrados A s, nonrupt frag, S, intrados. Ainsi dans la section 2 finale constituée de A s, min,nonrupt frag, extrados et A s,min, nonrupt frag,extrados A s,nonrupt frag,s,intrados rupture fragile des armatures de précontrainte est vérifiée. Cette remarque assure la convergence de l'algorithme. la non Collection «Les Outils» 35/41 24 janvier 2014

Chapitre VII - Calculs hors état limite : aciers longitudinaux et transversaux Les vérifications à effectuer dépendent de la localisation des aciers c'est à dire de l'élément d'ouvrage dans lequel ils se trouvent. Dans le tableau suivant, sont répertoriés tous les critères à satisfaire pour les aciers en fonction donc de l'élément où ils prennent place et de leur orientation longitudinale ou transversale. Quatre types de critères sont à vérifier : l'espacement transversal des aciers d'un même lit doit être supérieur à la valeur minimale réglementaire. il doit être également inférieur à la valeur maximale réglementaire. les lits de ferraillage doivent posséder une section minimale d'acier, valeur pouvant résulter de plusieurs critères : critère ferraillage de peau, critère ferraillage minimal de poutre et/ou critère plancher. cette section d'acier est d'autre part majorée par une valeur maximale réglementaire. Notation : A s A s, E A s, I A c : section totale d'aciers passifs : section d'aciers passifs du lit situé en extrados : section d'aciers passifs du lit situé en intrados : section brute de béton max : diamètre du groupe d'aciers d g : diamètre du plus gros granulat entrant dans la composition du béton Remarque : Les deux composants de justification et de dimensionnement sont indépendants. Les vérifications sont synthétisées dans le tableau suivant : Collection «Les Outils» 36/41 24 janvier 2014

Pieu long s_min s_max A s, min A s, max max max,d g 0.005, 0.02,0.1 0.2 minimale plancher : A s 0.02 A c A s k A c min A c,1 k A c =0.005 si A c 0.5 k A c =0.0025 sinon minimale poutre : A s 0.26 f ctm f yk 0.9 A c Barrette long max max,d g 0.005, 0.02,0.1 0.2 minimale plancher : A s k A c min A c,1 A s 0.02 A c minimale poutre : A s 0.26 f ctm f yk 0.9 A c Poutre dalle long max max,d g 0.005, 0.02 min 3h, 0.4 minimale peau : A s, E et A s, I k peau largeur k peau =0.0005si classe XS XD k peau =0.0003sinon A s, E A s, I 0.04 A c minimale plancher : A s, tendu 0.0013 0.9 A c minimale poutre : A s, tendu 0.26 f ctm f yk 0.9 A c trans max max,d g 0.005, 0.02 min 3.5h,0.45 minimale peau : A s, E et A s, I k peau largeur Piedroit long max max,d g 0.005, 0.02 min 3h, 0.4 minimale plancher : A s, tendu 0.002 A c A s, E A s, I 0.04 A c minimale poutre : trans A s, tendu 0.26 f ctm f yk 0.9 A c max max,d g 0.005, 0.02 0.4 minimale plancher : Collection «Les Outils» 37/41 24 janvier 2014

A s, tendu 0.001 A c Semelle long max max,d g 0.005, 0.02 minimale poutre : A s, tendu 0.26 f ctm f yk 0.9 A c A s, E A s, I 0.04 A c trans max max,d g 0.005, 0.02 minimale plancher : A s, E k As, min, plancher,e, semelle A c k As, min, plancher, E, semelle =0.001 A s, I k As,min, plancher, I, semelle A c k As, min, plancher, I, semelle =0.0005 Tableau 1: Vérifications hors états limites aciers sollicitations normales Collection «Les Outils» 38/41 24 janvier 2014

Chapitre VIII - Calculs hors état limite : aciers d effort tranchant et de torsion Les dispositions constructives relatives aux aciers de tranchant et de torsion dépendent également de l'élément d'ouvrage dans lequel est situé l'acier. Pour cette vérification, trois critères sont à vérifier : espacement minimal longitudinal entre cours et espacement minimal transversal entre aciers d'un même cours, espacement maximal longitudinal entre cours et espacement maximal transversal entre aciers d'un même cours, taux de ferraillage minimal de la section. Remarque : Les deux composants de justification HEL ST et de dimensionnement HEL ST sont indépendants. La synthèse des vérifications figure ci-dessous. s_min s_max W, min Pieu s long,min =max ST,d g 0.005,0.02,0.1 s long,max =max 0.35,15 long Barrett e Poutre dalle s long,min =max ST,d g 0.005,0.02,0.1 s long,max =max 0.35,15 long s long, min =max ST,d g 0.005,0.02 s trans, min =max ST,d g 0.005,0.02 si verification de la torsion s long, max =min 0.75 d, u k 8 s trans,max =1.5d W, min =0.08 f ck f yk sinon s long, max =0.75 d s trans,max =1.5d où d : minimum des distances entre lits d'aciers et fibre beton opposée et u k : contour moyen Collection «Les Outils» 39/41 24 janvier 2014

Piedroit s long, min =max ST,d g 0.005,0.02 si A s, E A s, I 0.02 A c W, min =0.08 f ck f yk s trans, min =max ST,d g 0.005,0.02 s long,max =min 20 long,e voile,0.4 Semell s long, min =max ST,d g 0.005,0.02 e s trans, min =max ST,d g 0.005,0.02 Collection «Les Outils» 40/41 24 janvier 2014

Connaissance et prévention des risques - Développement des infrastructures - énergie et climat - Gestion du patrimoine d infrastructures Impacts sur la santé - Mobilités et transports - Territoires durables et ressources naturelles - Ville et bâtiments durables Collection «Les Outils» 41/41 24 janvier 2014 Direction technique infrastructures de transport et matériaux 110 rue de Paris - BP 214-77487 Provins Cedex - Tél : +33 (0)1 60 52 31 31 Centre d études et d expertise sur les risques, l environnement, la mobilité et l aménagement www.cerema.fr Siège social : Cité des Mobilités - 25, avenue François Mitterrand - CS 92 803 - F-69674 Bron Cedex - Tél : +33 (0)4 72 14 30 30