TSt 1 MACHINE DE STIRLING 1 THEORIE 1.1 Thermodynamique - grandeurs dʼétat La thermodynamique est lʼétude, à lʼaide dʼun nombre limité de grandeurs macroscopiques, de systèmes formés dʼun très grand nombre de particules microscopiques. Le système peut être par exemple un gaz, les particules microscopiques étant les molécules du gaz. Lʼétat dʼun système à lʼéquilibre est caractérisé par les valeurs que prennent les grandeurs macroscopiques telles que la température T, la pression p, le volume V. Ces grandeurs sont appelées variables dʼétat. Les variables dʼétat sont liées par une équation dʼétat comme, par exemple, lʼéquation des gaz parfaits. Les fonctions dʼétat sont des grandeurs dépendant des variables dʼétat comme lʼénergie interne U ou lʼentropie S. 1.2 Les transformations thermodynamiques Un système subit une transformation lorsquʼil passe dʼun état à un autre. Lʼétat initial et lʼétat final sont des états dʼéquilibre, les grandeurs dʼétat étant bien déterminées.
TSt 2 Figure 1: diagramme pression-volume (p-v) dʼun gaz parfait et transformations élémentaires réversibles: 1 isochore, 2 isotherme et 3 adiabatique (courbe de pente plus grande que lʼisotherme). Une transformation est réversible sʼil est possible de réaliser la transformation inverse qui ramène le système et lʼextérieur dans le même état initial. Une transformation est dite réversible si elle sʼeffectue en absence de frottement et si chaque état intermédiaire est un état dʼéquilibre. Les transformations réelles sʼaccompagnent de frottements et ne sont, par conséquent, jamais strictement réversibles. Les systèmes dont nous nous occupons ici sont des gaz; ils peuvent subir plusieurs transformations réversibles élémentaires: isochore <=> le volume est constant, isotherme <=> la température est constante, adiabatique <=> il nʼy a pas dʼéchange de chaleur avec lʼextérieur.
TSt 3 1.3 Travail et chaleur Considérons une masse de gaz contenue dans un cylindre fermé par un piston (figure 2). Le gaz peut échanger énergie et quantité de mouvement avec lʼextérieur par les collisions et les interactions de ses molécules avec les parois. Lʼéchange de quantité de mouvement est dû à la force exercée par chaque molécule lors du choc avec la paroi. r La pression p du gaz est définie comme la force moyenne par unité de surface. Soit S le vecteur surface, alors la force de pression sʼexerçant sur cette surface est: r F = ps r. (1) Le travail dw de la force r F exercée par le gaz durant le déplacement d r x du piston est: où dv= dw = r F.d r x = p r S. d r x = pdv, r S. d r x est le changement de volume du gaz. F S P 1 dv dx 2 V Figure 2: gaz, cylindre et piston. Figure 3: la surface hachurée représente le travail échangé lors de la transformation. En thermodynamique, les énergies échangées, travail et chaleur, sont comptées positivement lorsque le système reçoit lʼénergie de lʼextérieur et négativement dans le cas contraire. Le travail dw est donné à lʼextérieur si le changement de volume est positif, de sorte que dw=!p dv. (2) Lorsque le volume varie de V 1 à V 2, le travail échangé au cours de la transformation vaut: V 2 W =! " pdv. (3) V 1
TSt 4 Sur un diagramme p-v (fig. 3), cette intégrale est lʼaire sous le segment de courbe représentant la transformation, entre les abscisses V 1 et V 2. La chaleur est la part de lʼénergie échangée qui ne peut être exprimée par le produit dʼune force moyenne et dʼun déplacement. 1.4 Premier principe de la thermodynamique Le premier principe est une loi de conservation de lʼénergie appliquée aux phénomènes thermiques. Lʼénergie interne dʼun système peut être modifiée au cours dʼune transformation par échange de travail et de chaleur:!u = W + Q. (4) Le travail W et la chaleur Q sont des quantités dʼénergie transférées; elles nʼont de sens que pendant la transformation, alors que lʼénergie interne U est une fonction dʼétat mesurant le contenu en énergie du système. Pour un gaz parfait, lʼénergie interne est la somme des énergies cinétiques des molécules (par définition du gaz parfait, lʼénergie dʼinteraction entre molécules est nulle). On montre que lʼénergie interne dʼun gaz parfait ne dépend que de sa température T: U = U(T). (5) 1.5 Deuxième principe de la thermodynamique Lʼétude de la transformation de la chaleur en travail au moyen dʼune machine idéale (sans frottement) opérant en cycle fermé périodique est à la base du deuxième principe de la thermodynamique. Ce dernier est un postulat qui nʼa jamais été démenti par lʼexpérience. Il en existe plusieurs énoncés. 1 Il est impossible de transformer intégralement en travail, au moyen dʼune machine à fonctionnement périodique, la chaleur échangée avec un seul réservoir de chaleur à température T. Autrement dit, pour produire du travail, une machine thermique (voir 1.6) reçoit de la chaleur dʼune source chaude mais doit nécessairement en céder une partie à une source froide.
TSt 5 2 Un second énoncé, équivalent au premier, régit le fonctionnement des machines frigorifiques et des pompes à chaleur (voir 1.6): on ne peut, au cours dʼun cycle, sans dépense de travail, faire passer de la chaleur dʼune source froide à une source chaude. 1.6 Machine thermique Une machine thermique est un dispositif permettant à lʼextérieur dʼagir sur un gaz qui décrit un cycle. La machine thermique la plus simple fonctionne entre deux réservoirs de chaleur à des températures différentes. Pendant un cycle, le système subit une suite de transformations qui le ramènent à son état initial (fig. 4). Lʼénergie interne étant une fonction dʼétat, sa variation est nulle au cours dʼun cycle et par le premier principe, on a: Q =!W. (6) La chaleur échangée est égale au travail échangé. Dans un diagramme p-v, lʼaire limitée par le cycle représente le travail échangé par la machine thermique. Si le cycle est effectué dans le sens des aiguilles dʼune montre, le système fournit du travail à lʼextérieur et reçoit de la chaleur. La machine thermique fonctionne alors comme un moteur thermique (fig. 5). P 1 B A 2 V Figure 4: cycle thermodynamique. Le système va de lʼétat A à lʼétat B par la transformation 1. Il revient à lʼétat initial A par la transformation 2 différente de la transformation 1. Le travail représenté par l'aire sous 1- donné à lʼextérieur - est plus grand que le travail représenté par lʼaire sous 2. Le système fournit donc à lʼextérieur un travail représenté par lʼaire entourée par le cycle.
TSt 6 Les figures 7 et 8 résument les principes de fonctionnement des deux types de machines thermiques. P P W<0 W>0 Figure 5: cycle d'un moteur. Le moteur fournit du travail. V Figure 6: cycle d'un frigo. La machine reçoit du travail. V Si le cycle est effectué dans le sens contraire des aiguilles dʼune montre, le système reçoit du travail et utilise ce travail pour faire passer la chaleur du réservoir de chaleur à basse température au réservoir de chaleur à haute température. On parle alors de machine frigorifique ou de pompe à chaleur selon lʼusage de la machine thermique (fig. 6). Réservoir de chaleur Température T 1 Réservoir de chaleur Température T 1 Q 1 Q 1 T 1 > T 2 M T 1 > T 2 F Q 2 W Q 2 W Réservoir de chaleur Température T 2 Réservoir de chaleur Température T 2 Figure 7: moteur thermique. La chaleur passe du réservoir 1 au réservoir 2 en fournissant du travail. Figure 8: machine frigorifique. La chaleur est soutirée au réservoir 2 et rejetée au réservoir 1. Le rendement ou lʼefficacité dʼune machine est le rapport entre ce que la machine nous offre dʼutile et ce quʼil faut lui fournir pour quʼelle fonctionne. Pour un moteur thermique,
TSt 7 le rendement η sera le rapport du travail W < 0 obtenu à la chaleur Q 1 > 0 soutirée à la source chaude:! moteur = "W Q 1. (7) Par le premier principe (voir aussi la figure 7), on sait que: W =!Q 1! Q 2 d'où! moteur = 1+ Q 2 Q 1 < 1. (8) Le rendement est toujours inférieur à 1 (2 ème principe) car Q 2 < 0. Une machine frigorifique sert à retirer de la chaleur du réservoir à basse température. Dans ce cas on définit lʼefficacité! par le rapport entre la chaleur Q 2 > 0 soutirée du réservoir froid et le travail W > 0 fourni à la machine:! = Q 2 W (9) La pompe à chaleur est aussi une machine thermique. Comme on utilise la chaleur rejetée au réservoir chaud, on définit son efficacité!' comme le rapport de la chaleur Q 1 > 0 reçue par le réservoir chaud au travail W < 0 fourni:!' = Q 1 "W. (10) 1 7 Cycle de Carnot On appelle cycle de Carnot un cycle réversible composé de deux transformations isothermes et deux transformations adiabatiques (fig. 9). On peut montrer les deux théorèmes de Carnot: 1 le rendement dʼun cycle de Carnot ne dépend pas de la nature du gaz et nʼest fonction que des températures absolues des réservoirs chaud et froid:! C = T 1 " T 2 T 1 = 1" T 2 T 1. (11)
TSt 8 2 La machine de Carnot a le meilleur rendement parmi toutes les machines travaillant entre les mêmes réservoirs de chaleur. figure 9: cycle dʼun moteur de Carnot. 1.8 Cycle de Stirling Le cycle de Stirling a été découvert avant que les lois de la thermodynamique nʼaient été formulées. En effet, en 1816, Robert Stirling, ministre de lʼeglise dʼecosse, faisait breveter un moteur à air chaud qui convertissait en travail lʼénergie libérée par un feu. Le moteur de Stirling a été utilisé mais le développement des machines à vapeur et des moteurs à explosion lʼa fait quelque peu négliger. Depuis 1940 cependant, de nouvelles recherches ont été développées en vue dʼune application industrielle. Ce moteur possède une particularité intéressante du point de vue écologique; il nʼa pas dʼéchappement et fonctionne toujours avec le même gaz de travail qui est chauffé ou refroidi de lʼextérieur. Par contre, son fonctionnement mécanique est plus compliqué et il est nécessaire dʼintroduire un accumulateur temporaire de chaleur. Le fonctionnement de la machine de Stirling est décrit dans la partie manipulation. Légèrement différent du cycle de Carnot, le cycle de Stirling est formé de deux transformations isothermes séparées par deux transformations isochores. On peut
TSt 9 démontrer que le rendement du cycle de Stirling est égal à celui d'un cycle de Carnot travaillant entre les mêmes températures. Figure 10: cycle d'un moteur de Stirling. Figure 11: cycle d'une pompe à chaleur de Stirling. 2 MANIPULATION 2.1 Description de la machine de Stirling La figure 12 montre une coupe de la machine thermique à air chaud de Stirling. Cette machine consiste essentiellement en un cylindre de travail dans lequel deux pistons (1 et 2) exécutent des mouvements déphasés de π/2. La partie inférieure du cylindre est entourée dʼune chemise en plexiglas où circule lʼeau de refroidissement (4) qui constitue le réservoir de chaleur à basse température. Pour le fonctionnement en moteur, lʼair se trouvant dans la partie supérieure (3) du cylindre peut être chauffé à lʼaide dʼun enroulement de fil résistif (8) qui joue le rôle de réservoir de chaleur à haute température. Pour le fonctionnement en machine frigorifique ou en pompe à chaleur, un manchon de plexiglas (12) parcouru par un second circuit dʼeau de refroidissement coiffe la partie supérieure du cylindre. Une éprouvette (11) remplie de liquide destiné à être chauffé ou refroidi remplace le corps de chauffe. Ces accessoires forment alors le réservoir de chaleur supérieur.
TSt 10 Figure 12: schéma de la machine à air chaud fonctionnant selon le cycle de Stirling. Les deux pistons sont désignés dʼaprès leur fonction. Le piston de déplacement (2) force la transition du gaz de la partie supérieure vers la partie inférieure et vice-versa. Le piston de travail (1) isole le volume du cylindre de lʼextérieur. Cʼest par ce piston que lʼon peut prélever ou amener le travail au système. Le piston de déplacement est en verre et sa face inférieure est fermée par un disque métallique refroidi à lʼeau par les connexions (10). Des fentes radiales dans le disque laissent passer le gaz lors des transformations isochores. Le piston de déplacement possède une cavité axiale par laquelle circule le gaz. La cavité est partiellement remplie de laine de cuivre (7) pour améliorer le bilan énergétique de la machine en accumulant et en redonnant la chaleur lors des transformations isochores. Sur la bielle du piston de travail se trouve un raccord qui permet de mesurer la pression régnant dans le cylindre. Les deux bielles (5) des pistons sont reliées par un
TSt 11 excentrique à un volant (9) qui assure à la machine une marche uniforme. Lʼaxe du volant est formé dʼune broche cylindrique qui sert à la mesure du couple moteur lors de lʼessai de freinage pour déterminer la puissance du moteur. La mesure des grandeurs dʼétat, température, pression, volume, sʼeffectue au moyen dʼappareils accessoires qui sont décrits dans le paragraphe suivant. 2.2 Mesure de température et indicateur pression-volume Mesure de température Les températures dʼentrée et de sortie de lʼeau de refroidissement sont mesurées électroniquement. Un circuit intégré sensible aux variations de température est placé à lʼextrémité dʼune sonde: il donne une tension proportionnelle à la température. La lecture sʼeffectue à lʼaide dʼun voltmètre numérique qui indique directement des degrés centigrades. Un commutateur permet de choisir différents points de mesure. Indicateur pression-volume (indicateur p-v) Le fin rayon lumineux dʼun laser frappant un miroir mobile est réfléchi en direction dʼun écran. Le miroir (4) peut pivoter autour de 2 axes perpendiculaires. La rotation autour de lʼaxe horizontal est causée par les variations de pression transmises au manomètre (3) par lʼintermédiaire dʼun mince tuyau flexible (1).
TSt 12 figure 13 : indicateur pression-volume. La rotation du manomètre et du miroir autour dʼun axe vertical est couplée au déplacement du piston de sorte que les variations de volume produisent une déviation horizontale du faisceau. On obtient donc, sous forme de diagramme p-v, les variations de pression et de volume du cylindre pendant le fonctionnement de la machine à air chaud. Le diagramme p-v de chaque cycle peut ainsi être relevé sur papier millimétré. Les volumes maximum et minimum sont respectivement de 326cm 3 et 183cm 3. La pression (déviation verticale du faisceau) est étalonnée en branchant le petit tuyau flexible sur une pompe munie dʼun manomètre de précision. 2.3 Moteur de Stirling 2.3.1 Fonctionnement Nous admettrons, pour la compréhension du fonctionnement, que les parties supérieure et inférieure du cylindre sont en contact thermique avec deux réservoirs de chaleur de
TSt 13 capacité calorifique infinie, respectivement le réservoir chaud à température constante T 1 et le réservoir froid à température constante T 2. Pour bien comprendre la description des transformations, il faut se référer à la figure 10 et observer le mouvement des pistons sur le moteur lui-même en le faisant tourner à la main. 1 2 La chaleur Q 1 reçue du réservoir chaud à température T 1 provoque une détente isotherme du gaz: le piston de travail est poussé vers le bas. 2 3 Le piston de déplacement contraint le gaz à se déplacer dans la partie inférieure du cylindre en cédant de la chaleur à la laine de cuivre. La température du gaz sʼabaisse de T 1 à T 2 pendant ce refroidissement isochore. 3 4 Le piston de travail comprime le gaz à température T 2 (contact thermique avec le réservoir de chaleur froid). Le gaz doit céder la chaleur Q 2 (superflue) au réservoir froid puisquʼil sʼagit dʼune compression isotherme. 4 1 Sous lʼeffet du piston de déplacement, le gaz passe dans la partie supérieure du cylindre. Il se réchauffe à la température T 1 en traversant la laine de cuivre (c'est le réchauffement isochore). Seule la transformation 1 à 2 fournit du travail: les autres transformations sʼeffectuent grâce à lʼinertie du moteur (volant dʼinertie), dʼoù le fonctionnement par légers à-coups. Le résultat du cycle est lʼabsorption de chaleur à haute température, le rejet de chaleur à basse température et la production de travail utilisable par le milieu extérieur. 2.3.2 Mesure de la puissance de chauffage Le filament de chauffage est alimenté en courant alternatif sous tension réglable par lʼintermédiaire dʼun transformateur variable (Variac) et dʼun transformateur réducteur de tension. Un ampèremètre et un voltmètre mesurent les courant et tension efficaces. La puissance est alors donnée par: P 1 = U eff I eff, (12) le filament de chauffage étant purement résistif. ATTENTION: dès lʼenclenchement du chauffage, il faut manuellement mettre le moteur en mouvement afin dʼéviter une surchauffe du filament, pouvant entraîner la détérioration de l'appareillage.
TSt 14 2.3.3 Mesure de la chaleur cédée au réservoir froid La chaleur cédée au réservoir froid est emportée par lʼeau de refroidissement. Si on appelle: D le débit dʼeau mesuré au moyen dʼun chronomètre et dʼun pot gradué [m 3 /s], c la chaleur spécifique de lʼeau [J/kg K],!T la différence des températures dʼentrée et de sortie dʼeau [K],! la masse volumique de lʼeau [kg/m 3 ] la puissance de refroidissement P vaut: P = Dc!"T (13) 2.3.4 Mesure de la puissance réelle du moteur Les moyens de mesurer la puissance dʼun moteur sont, pour la plupart, dérivés de la méthode du frein de Prony: un dispositif impose un couple de freinage mesurable à lʼarbre moteur. Lʼénergie fournie par le moteur est dissipée en chaleur. Le produit de la vitesse de rotation par le couple de freinage est la puissance de freinage, mais cʼest aussi la puissance développée par le moteur. volant! mg Mg Figure 14: dispositif de mesure de la puissance réelle du moteur. Un fil en nylon est enroulé 3 ou 4 tours autour de lʼarbre moteur. Une de ses extrémités est reliée à une masse suspendue M (0,25 0,50 ou 0,75 kg) et lʼautre à une masse m <<M (fig. 15). La force de freinage est la différence entre les forces exercées par les poids Mg et mg, de sorte que la puissance de freinage vaut : P =! C = 2" #R g(m$ m) (13) où! est la vitesse angulaire et ν la fréquence de rotation.
TSt 15 La mesure de la vitesse de rotation du moteur sʼeffectue avec un fréquencemètre muni dʼun dispositif optoélectronique qui lui permet de compter les passages dʼune marque blanche sur le volant moteur. 2.4 Machine frigorifique et pompe à chaleur de Stirling 2.4.1 Fonctionnement Comme pour le moteur, les parties supérieure et inférieure du cylindre sont en contact thermique avec deux réservoirs de chaleur de capacité calorifique infinie, respectivement le réservoir chaud de température constante T 1 et le réservoir froid de température constante T 2. La description des transformations se réfère à la figure 11. Il est aussi nécessaire dʼobserver le mouvement des pistons en faisant fonctionner la machine à la main. 1 2 Le gaz est comprimé isothermiquement à la température T 1 par le piston de travail. Le gaz cède au réservoir chaud la quantité de chaleur Q 1 qui est apportée par le travail de compression. 2 3 Le gaz est contraint, par le piston de déplacement, de traverser la laine de cuivre à laquelle il donne la quantité de chaleur Q A. La température du gaz sʼabaisse ainsi jusquʼà T 2. 3 4 Le piston de travail provoque une détente isotherme au cours de laquelle la quantité de chaleur Q 2 est enlevée au réservoir froid par le gaz. 4 1 Le gaz traverse la laine de cuivre sous lʼeffet du mouvement du piston de déplacement. Il absorbe la quantité de chaleur Q A déposée dans la laine de cuivre par la transformation isochore précédente et atteint la température T 1. Le résultat final du cycle est le transport de la chaleur Q 2 du réservoir froid au réservoir chaud. La chaleur Q 1 cédée au réservoir chaud est la somme de la chaleur Q 2 et du travail W fourni pour faire fonctionner la machine. On parle de machine frigorifique lorsque la machine doit enlever de la chaleur au réservoir froid, le destin final de cette chaleur étant peu important. Si le réservoir froid a une capacité calorifique limitée, sa température baisse (armoire frigorifique, congélateur).
TSt 16 On parle de pompe à chaleur lorsque la machine doit amener de la chaleur au réservoir chaud. Si le réservoir chaud a une capacité calorifique limitée (maison ou local à chauffer par exemple), sa température augmente. 2.4.2 Mesure de la puissance du moteur La mesure de la puissance absorbée par le moteur électrique dʼentraînement sʼeffectue par lecture dʼun wattmètre. Le rendement du moteur (rapport de la puissance mécanique effectivement disponible à la puissance électrique) est donné. 2.4.3 Mesure des quantités de chaleur échangées Les quantités de chaleur absorbées ou cédées sont amenées ou évacuées par deux circulations dʼeau indépendantes. Les puissances calorifiques échangées se calculent donc comme au paragraphe 2.3.3. 3 PLAN DE TRAVAIL 3.1 Les buts de la manipulation sont les suivants: - faire fonctionner une machine thermique simple, - comprendre de manière approfondie le fonctionnement dʼune machine thermique et voir une application concrète des lois de la thermodynamique, - mesurer par différents procédés les énergies et les puissances échangée pendant le fonctionnement, en faire le bilan et calculer le rendement dʼune machine thermique. 3.2 Observations communes aux deux machines 1 Etudiez sur la machine les différentes transformations formant le cycle de Stirling en faisant mouvoir manuellement les pistons. Dessinez la position des pistons dans les différentes phases du cycle. Peut-on, comme dans le cycle théorique, envisager de traiter séparément les transformations ou ces dernières se chevauchent-elles? 2 Ouvrez les robinets des circuits de refroidissement dʼeau. Assurez-vous que les températures dʼentrée et de sortie sont les mêmes, sinon corrigez le réglage du zéro dʼun des thermomètres. Pour le moteur, dessinez et montez le circuit
TSt 17 électrique de chauffage. Avec lʼaide de lʼassistant, mettez en marche la machine dans le bon sens de rotation. 3 Observez lʼimage du cycle réel obtenu sur le diagramme p-v et comparez le avec le cycle théorique. Quelles sont les différences, à quoi sont-elles dues (aidez-vous des observations effectuées au point 1)? 3.3 Moteur thermique 4 Une fois que le moteur fonctionne correctement et tourne à vitesse constante, mesurez la puissance de chauffage, la puissance évacuée par refroidissement la vitesse de rotation et la puissance du moteur. Effectuez le bilan des puissances (ou des énergies) selon le premier principe. Ce bilan est-il exact ou présente-il des différences et pourquoi? 5 Relevez la projection sur papier du cycle et mesurez son aire afin dʼobtenir le travail fourni. Calculez la puissance et comparer avec la puissance mécanique mesurée auparavant. Expliquez la différence. 6 Calculez le rendement au moyen de la puissance mécanique mesurée et en utilisant la puissance donnée par lʼaire du cycle. 7 Connaissant la température du réservoir froid et mesurant sur le diagramme p-v les pressions et volumes utiles, calculez la température du réservoir chaud. On supposera que le gaz obéit à la loi des gaz parfaits. Déterminez ensuite le rendement dʼun moteur de Carnot fonctionnant entre les mêmes températures et comparez avec le rendement calculé au point 6. 3.4 Machine frigorifique et pompe à chaleur 4' Fermez le circuit dʼeau supérieur et vidanger lʼeau en actionnant la soupape placée au sommet de lʼappareil (précaution indispensable). Mettez en marche dans le sens frigo ou dans le sens pompe à chaleur. La machine va ainsi refroidir ou réchauffer le liquide contenu dans lʼéprouvette. Elle fonctionne alors avec un réservoir de chaleur à capacité limitée. Mesurez la température extrême atteinte. Ouvrez le robinet du circuit dʼeau supérieur. Faites fonctionner la machine à un régime régulier. 5' Une fois un équilibre de fonctionnement atteint (les différences de températures entre entrée et sortie dʼeau doivent rester constantes), mesurez la puissance fournie au moteur dʼentraînement, les puissances calorifiques échangées. 6' Relevez lʼimage du cycle et mesurer son aire. Calculez la puissance et comparez avec la puissance fournie à la machine par le moteur. 7' Effectuez le bilan des puissances (ou des énergies). Est-il exact? Si ce nʼest pas le cas, expliquez pourquoi? 8' Calculez lʼefficacité en machine frigorifique ou en pompe à chaleur en utilisant les données des points 5' et 6'.
TSt 18 9' Connaissant les températures des réservoirs de chaleur (moyenne entre les températures dʼentrée et de sortie dʼeau pour le réservoir inférieur, température mesurée dans lʼéprouvette pour le réservoir supérieur), calculez lʼefficacité dʼune machine frigorifique ou dʼune pompe à chaleur de Carnot fonctionnant entre les mêmes températures et comparez avec les résultats du point 7.