JOURNEE PEDAGOGIQUE «MISE EN ŒUVRE DES PROGRAMMES DE MATHEMATIQUES DE LYCEE» Dispositif : 1A0160580 Modules 4336 Mars/Avril 013 INSPECTION PEDAGOGIQUE REGIONALE DE MATHEMATIQUES
Journée pédagogique : «Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée» Dispositif : 1A0160580 Les journées pédagogiques «Mise en œuvre des programmes de lycée» sont des stages à public désigné organisés à l initiative de l inspection pédagogique régionale de mathématiques pour accompagner la mise en œuvre des nouveaux programmes de mathématiques notamment ceux en vigueur depuis la rentrée 01 dont celui de 1 ère STMG ainsi que de celui de Terminale STMG applicable à la rentrée 013. Outre des compléments d informations, ces journées sont centrées sur deux ateliers concernant la progressivité des apprentissages et la motivation des élèves. Cette brochure a pour objectif de faciliter la restitution de la journée aux établissements et de faciliter la nécessaire réflexion d équipe au sein de chaque lycée. Elle rassemble différents documents et recommandations pédagogiques destinés à aider les professeurs de Mathématiques en Lycée dans leurs tâches. Chaque participant est représentant de l équipe du lycée. De manière à ce que les travaux de la journée soient connus de tous les professeurs de Mathématiques du Lycée, il lui appartient de faire un compte rendu de cette journée et de mettre à la disposition de tous la présente brochure. Le stage a pu être préparé et animé grâce aux contributions de collègues qu il convient de remercier pour leur travail et leur investissement : AMIOT Janine Lycée International Colomiers BARCELLA Céline Lycée Jean de Prades Castelsarrasin BROUSSE Ghislaine Lycée Victor Hugo Colomiers CERISIER Martin Lycée Ozenne Toulouse COHEN APTEL Véronique Lycée Saint-Sernin Toulouse COULOIGNER Brigitte Lycée Marie Curie Tarbes DAVID Ulric Lycée C. Nougaro Caussade-Monteils DECEMBRE Martine Lycée Bellevue Albi GINESTE Olivier Lycée P. Bourdieu Fronton LETARD Pascal Lycée G. Fauré Foix LINDAUER Jean-Claude Lycée Toulouse-Lautrec Toulouse REBINGUET Nadja Lycée R. Naves Toulouse REMIZE Valérie Lycée Lapérouse Albi RETORE Yann Lycée G. Fauré Foix ROYER Frédéric Lycée Bellevue Albi LION-SANTOS Isabelle Lycée Jeanne d Arc Tarbes SOARES Nathalie Lycée J. Saverne L Isle-Jourdain Le compte rendu des journées pédagogiques sera diffusé sur le site académique et nous invitons les enseignants à s y référer. Nous souhaitons que le travail conduit lors des cinq regroupements contribue à une bonne mise en œuvre du programme et facilite la réussite des élèves. Danielle BLAU Eric CONGE Alain NEVADO Martine RAYNAL Inspecteurs pédagogiques régionaux Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page
SOMMAIRE Les compétences mathématiques et leur pérennité du collège au lycée Les programmes de première et terminale STMG Première et terminale STMG : «ce qui disparaît/ce qui est nouveau» Les thèmes des programmes de première et terminale STMG Un exemple d introduction de la loi normale en terminale STMG Progressions en première S et terminale S «Le calcul sous toutes ses formes au collège et au lycée» IGEN, groupe des mathématiques février 013 L oral de contrôle en mathématiques au baccalauréat Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 3
Les compétences que l enseignement des mathématiques a pour objectif de développer, du collège au lycée. I - La formation des élèves, en mathématiques, au collège comme au lycée, a pour objectifs d apporter de nouvelles connaissances et de nouveaux savoir faire et de développer des compétences. Quelques repères : Premier domaine de la compétence 3 du socle commun de connaissances et de compétences («Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des problèmes») - Rechercher, extraire et organiser l information utile. - Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer des consignes. - Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer. - Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l aide d un langage adapté. Objectif général du programme de seconde : (BO n 30 du 3 juillet 009) «L objectif de ce programme est de former les élèves à la démarche scientifique sous toutes ses formes pour les rendre capables de : - modéliser et s engager dans une activité de recherche, - conduire un raisonnement, une démonstration, - pratiquer une activité expérimentale ou algorithmique, - faire une analyse critique d un résultat, d une démarche, - pratiquer une lecture active de l information (critique, traitement), en privilégiant les changements de registre ( ), - utiliser les outils logiciels (ordinateur ou calculatrice) adaptés à la résolution d un problème, - communiquer à l écrit et à l oral.» Objectif général des programmes de première et terminale (ES, L, S, STID, STL) «Outre l apport de nouvelles connaissances, le programme vise le développement des compétences suivantes : - mettre en œuvre une recherche de façon autonome, - mener des raisonnements, - avoir une attitude critique vis-à-vis des résultats obtenus, - communiquer à l écrit et à l oral.» Le livret scolaire à renseigner en première et terminale ES, L, S, STDA, STID et STL (BO spécial n 3 du mars 01) demande, outre les moyennes trimestrielles, une évaluation du niveau de maitrise (1- non maitrisée, - insuffisamment maitrisée, 3- maitrisée, 4- très bien maitrisée) des compétences attendues en référence aux programmes d enseignement. En mathématiques ces compétences sont, dans toutes les séries concernées : - Maîtriser les connaissances exigibles. - Mettre en œuvre une recherche de façon autonome. - Mener des raisonnements. - Avoir une attitude critique. - Utiliser les outils logiciels pour résoudre des problèmes de mathématiques. - Communiquer à l écrit et à l oral. II- Les épreuves certificatives de mathématiques (DNB, baccalauréat, BTS) évaluent la maitrise terminale de ces compétences. Quelques repères : Epreuve de mathématiques du DNB (BO n 13 du 9 mars 01) «L ensemble du sujet doit préserver un équilibre entre les quatre premiers items de la compétence trois du socle commun de connaissances et de compétences appliqués à l activité de résolution d un problème mathématique : - rechercher, extraire et organiser l information utile, - mesurer, calculer, appliquer des consignes, - modéliser, conjecturer, raisonner et démontrer, - argumenter et présenter les résultats à l aide d un langage adapté. L essentiel de l épreuve évalue ces capacités.» Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 4
Epreuve de mathématiques du bac ES, L, S, STID, STL : «Objectifs de l épreuve : L épreuve est destinée à évaluer la façon dont les candidats ont atteint les grands objectifs de formation mathématique visés par le programme de la série : - acquérir des connaissances et les organiser, - mettre en œuvre une recherche de façon autonome, - mener des raisonnements, - avoir une attitude critique vis-à-vis des résultats obtenus, - communiquer à l écrit.» RQ : On trouve des formes voisines pour définir les objectifs de l épreuve en STS et STG (textes antérieurs). Ceux de la série STDA sont plus spécifiques. Les grilles d évaluation des capacités et compétences en BTS (utiles pour le contrôle continu et pour le CCF) On y trouve les capacités et compétences suivantes : - maitriser les connaissances figurant au programme de mathématiques, - employer des sources d information, - trouver une stratégie adaptée à un problème, - mettre en œuvre une stratégie, - communiquer à l écrit et à l oral. Sous-épreuve de mathématiques au BTS (toutes spécialités comportant une épreuve de mathématique) La sous-épreuve de mathématiques a pour objectif d évaluer : - la solidité des connaissances et des compétences des étudiants et leur capacité à les mobiliser dans des situations variées ; - leurs capacités d investigation ou de prise d initiative, s appuyant notamment sur l utilisation de la calculatrice ou de logiciels ; - leur aptitude au raisonnement et leur capacité à analyser correctement un problème, à justifier les résultats obtenus et à apprécier leur portée ; - leurs qualités d expression écrite et/ou orale. III- Commentaires : Les compétences que l enseignement des mathématiques a vocation à développer, au collège comme au lycée, sont très proches. Outils de liaison d une année à l autre et du collège au lycée. Pour une compétence donnée, les niveaux de maitrise sont bien sûr différents selon l année considérée du cursus de l élève et, au lycée, selon la série. Il est intéressant, en début d année scolaire n,. de s interroger sur le niveau de maitrise «cible» de ces compétences pour l année n -1 et pour l année n,. d estimer le niveau réel de maitrise des élèves accueillis,. d organiser une montée en puissance progressive vers le niveau cible de l année n. Le développement de ces compétences passe par des modalités de travail en classe choisies et organisées pour cela. Les élèves seront évalués à l examen selon leur maitrise de ces compétences. Ils doivent en être informés :. dans un souci de transparence,. pour disposer des leviers de motivation et de mise au travail correspondants. Ils doivent être régulièrement positionnés par rapport à leur maitrise de ces compétences. Il y a donc un impact sur la construction des évaluations. Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 5
Bulletin officiel n 6 du 9 février 01 CLASSE DE PREMIÈRE Feuilles automatisées de calcul Par commodité, sont regroupés ici les contenus relatifs aux feuilles automatisées de calcul. Cette partie du programme ne fait pas l'objet d'un enseignement spécifique, mais est exploitée en contexte tout au long de l'année dans les divers champs du programme. L'objectif est que l'élève utilise de façon autonome et réfléchie le tableur et la calculatrice. Contenus Capacités attendues Commentaires Étude et représentation de séries statistiques, de suites et de fonctions numériques à l'aide d'un tableur ou d une calculatrice. - Choisir la représentation la plus adaptée à une situation donnée : tableau, graphique, etc. - Utiliser un adressage absolu ou relatif. - Mettre en œuvre des fonctions du tableur (mathématiques, logiques, statistiques) en liaison avec les différentes parties du programme. - Construire un tableau croisé d effectifs ou de fréquences ; interpréter le tableau obtenu en divisant chaque cellule par la somme de toutes les cellules, ou par la somme des cellules de la même ligne ou colonne. Les enseignements technologiques offrent de nombreux exemples. Le tableur trouve sa place dans les diverses étapes de l activité mathématique : investigation, modélisation, présentation des résultats. Ministère de l'éducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative > www.education.gouv.fr 1 / Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 6
Bulletin officiel n 6 du 9 février 01 Information chiffrée Cette partie est organisée autour des objectifs suivants : - Différencier l expression d une proportion de celle d une variation relative. - Conforter les méthodes déjà rencontrées à l aide de situations variées relevant par exemple d un contexte d économie-gestion ou du traitement d informations chiffrées fournies par les médias. - Acquérir une pratique aisée de techniques élémentaires de calcul sur les pourcentages. - Développer une attitude critique vis-à-vis des informations chiffrées. Contenus Capacités attendues Commentaires Proportion Proportion d une souspopulation dans une population. - Connaître et exploiter la relation entre effectifs et proportion. - Associer proportion et pourcentage. Exemples : taux d activité, taux de chômage, part de marché, cote de popularité. L importance de la population de référence est soulignée. Union et intersection de sous-populations. Inclusion. Évolution Taux d'évolution. Variation absolue, variation relative. Évolutions successives. Évolution réciproque. - Pour deux sous-populations A et B d une population E, relier les proportions de A, de B, de A B et de A B. - Connaître et exploiter la relation entre proportion de A dans B, de B dans E et de A dans E, lorsque A B et B E. - Représenter des situations par des tableaux ou des arbres pondérés. - Connaître et exploiter les relations 1 t y y et y (1 t) y 1. y1 - Distinguer si un pourcentage exprime une proportion ou une évolution. - Connaissant deux taux d évolution successifs, déterminer le taux d évolution global. - Connaissant un taux d évolution, déterminer le taux d évolution réciproque. On peut étendre l étude à plusieurs souspopulations disjointes deux à deux ; observer que pour une partition la somme des fréquences vaut 1. La notion de fréquence marginale est rencontrée mais ce vocabulaire n est pas exigible. Exemples : taux de croissance annuel du PIB, taux d inflation, taux de TVA, taux d intérêt. Les évolutions peuvent également être formulées en termes d'indices. Il est possible d évoquer le «point de pourcentage» traduisant la variation absolue d une quantité elle-même exprimée en pourcentage. Les situations d évolutions successives ou d évolution réciproque conduisent les élèves à s approprier le coefficient multiplicateur comme outil efficace de résolution de problèmes. Il s agit uniquement de traiter des exemples numériques, notamment de capitalisation ou d actualisation. Ministère de l'éducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative > www.education.gouv.fr / Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 7
Bulletin officiel n 6 du 9 février 01 Suites et fonctions Objectifs - Découvrir la notion de suite numérique et différents modes de génération. - Connaître la définition par récurrence des suites arithmétiques et géométriques. - Approfondir la connaissance des fonctions polynômes de degré deux, et enrichir l ensemble des fonctions mobilisables en vue de la résolution de problèmes. - Utiliser la fonction dérivée des fonctions polynômes de degré ou 3, comme fonction déduite de la fonction étudiée. - Utiliser suites et fonctions dans le cadre de résolutions de problèmes, en lien avec les enseignements technologiques. - Utiliser de façon complémentaire les différents outils de calcul et de représentation (à la main, à la calculatrice, au tableur, etc.) et l algorithmique. Contenus Capacités attendues Commentaires Suites Modes de génération d'une suite numérique. Sens de variation. Définition par récurrence des suites arithmétiques et des suites géométriques. - Modéliser et étudier une situation simple à l'aide de suites. Mettre en œuvre un algorithme ou utiliser un tableur pour obtenir une liste de termes d'une suite, calculer un terme de rang donné. - Réaliser et exploiter une représentation graphique des termes d'une suite. - Déterminer le sens de variation des suites arithmétiques et des suites géométriques, à l aide de la raison. Il est important de varier les outils et les approches. L'utilisation du tableur et la mise en œuvre d'algorithmes sont l'occasion d'étudier et de représenter en particulier des suites définies par une relation de récurrence (calcul des termes, variations). L expression du terme général d une suite arithmétique ou géométrique est au programme de terminale afin de privilégier l approche algorithmique en première. On se limite aux suites géométriques à termes strictement positifs. Second degré Fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant. Signe du trinôme. - Résoudre une équation ou une inéquation du second degré. - Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème. On évitera toute technicité excessive. Il s agit de consolider et d étendre les connaissances acquises en seconde sur les fonctions du second degré. La mise sous forme canonique n est pas un attendu du programme. Des activités algorithmiques peuvent être réalisées dans ce cadre. Dérivation Fonction dérivée d'une fonction polynôme de degré. Application : étude des variations de la fonction. Application : nombre dérivé, tangente. - Déterminer l expression de la fonction dérivée d une fonction polynôme du second degré. - Utiliser le signe de la fonction dérivée pour retrouver les variations du trinôme et pour déterminer son extremum. - Calculer le nombre dérivé et l identifier au coefficient directeur de la tangente. - Déterminer une équation de la tangente en un point du graphe d'une fonction trinôme du second degré. - Tracer une tangente. La fonction dérivée, pour le degré comme le degré 3, est définie par son expression formelle obtenue à partir de la fonction étudiée. Aucun développement théorique sur son existence n est attendu. On admet le lien entre le signe de la fonction dérivée et les variations de la fonction étudiée. La tangente en un point K d abscisse x K est définie comme la droite passant par K de coefficient directeur f'(x K ). Ministère de l'éducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative > www.education.gouv.fr 3 / Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 8
Bulletin officiel n 6 du 9 février 01 Fonction dérivée d'une fonction polynôme de degré 3. Application à l étude des variations de la fonction. - Déterminer l expression de la fonction dérivée d une fonction polynôme de degré 3. - Dans le cadre d une résolution de problème, utiliser le signe de la fonction dérivée pour déterminer les variations d'une fonction polynôme de degré 3. On pourra commencer par conjecturer les variations d'une fonction polynôme de degré 3 à l'aide de la calculatrice graphique ou du tableur. Cette partie du programme se prête particulièrement à l étude de situations issues des autres disciplines (résolutions graphiques ou numériques d équations et d inéquations, problèmes d'optimisation, etc.) Statistique et probabilités Objectifs - Approfondir, par l introduction de l écart type, le travail entrepris en statistique au collège et en seconde. - Résumer une série statistique par les couples moyenne/écart type et médiane/écart interquartile et interpréter ces résultats. - Dans le domaine des probabilités, découvrir et utiliser un premier exemple de loi discrète : la loi binomiale. - Utiliser cette notion pour poursuivre la formation dans le domaine de l échantillonnage. Contenus Capacités attendues Commentaires Statistique Caractéristiques de dispersion : écart type, écart interquartile. Diagramme en boîte. - Utiliser de façon appropriée les deux couples usuels qui permettent de résumer une série statistique : (moyenne, écart type) et (médiane, écart interquartile). - Rédiger l interprétation d un résultat ou l analyse d un graphique. - Étudier une série statistique ou mener une comparaison pertinente de deux séries statistiques à l aide d un tableur ou d une calculatrice. L'expression de l'écart type n'est pas un attendu du programme. Sa détermination est faite avec le tableur ou la calculatrice. Des travaux réalisés à l'aide d'un logiciel permettent de faire observer des exemples d'effets de structure lors du calcul de moyennes. Probabilités Schéma de Bernoulli. Variable aléatoire associée au nombre de succès dans un schéma de Bernoulli. - Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. Simuler un schéma de Bernoulli à l aide d un tableur ou d un algorithme. - Connaître et utiliser les notations {X = k}, {X < k}, P(X = k), P(X < k). Pour la répétition d expériences identiques et indépendantes, la probabilité d une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. La notion de probabilité conditionnelle est hors programme. Aucun développement théorique à propos de la notion de variable aléatoire n est attendu. Ministère de l'éducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative > www.education.gouv.fr 4 / Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 9
Bulletin officiel n 6 du 9 février 01 Contenus Capacités attendues Commentaires Loi binomiale Loi binomiale B(n,p). - Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale et en identifier les paramètres. La notion de factorielle, les coefficients binomiaux et l expression générale de P(X = k) ne sont pas des attendus du programme. Pour introduire la loi binomiale, la représentation à l aide d un arbre est privilégiée : il s agit ici d installer une représentation mentale efficace. Pour n 4, on peut ainsi dénombrer les chemins de l arbre réalisant k succès pour n répétitions et calculer la probabilité d obtenir k succès. On peut simuler la loi binomiale avec un algorithme. Espérance de la loi binomiale. - Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale à l aide de la calculatrice ou du tableur. - Représenter graphiquement la loi binomiale par un diagramme en bâtons. - Déterminer l espérance de la loi binomiale. - Interpréter l espérance comme valeur moyenne dans le cas d un grand nombre de répétitions. Après cette mise en place, on utilise un tableur ou une calculatrice pour calculer directement des probabilités et représenter graphiquement la loi binomiale. On admet l expression de l espérance de la loi binomiale. L espérance peut être conjecturée ou illustrée à l aide de simulations. Échantillonnage et prise de décision Intervalle de fluctuation d une fréquence. Prise de décision. - Déterminer à l aide de la loi binomiale un intervalle de fluctuation, à environ 95 %, d une fréquence. - Exploiter un tel intervalle pour rejeter ou non une hypothèse sur une proportion. L intervalle de fluctuation peut être déterminé à l aide d un algorithme ou d un tableur. Le vocabulaire des tests (test d hypothèse, hypothèse nulle, risque de première espèce) est hors programme Ministère de l'éducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative > www.education.gouv.fr 5 / Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 10
Bulletin officiel n 6 du 9 février 01 CLASSE TERMINALE Feuilles automatisées de calcul Comme en classe de première, l'utilisation des feuilles automatisées de calcul ne doit pas être l'objet d'un enseignement spécifique. Des activités régulières sur tableur, dans les divers champs du programme, permettent de consolider et d enrichir les compétences acquises antérieurement. Information chiffrée Objectif Consolider les acquis sur les notions de proportion et d'évolution en introduisant la notion d'indice en base 100, et la notion de taux d'évolution moyen. Contenus Capacités attendues Commentaires Indice simple en base 100. - Passer de l indice au taux d évolution, et réciproquement. Le calcul d un indice synthétique, comme par exemple l indice des prix, n est pas au programme. Racine n -ième d un réel positif. Notation a 1/n. - Déterminer avec une calculatrice ou un tableur la solution positive de l équation x n = a, lorsque a est un réel positif. La notation n n est pas exigible. Taux d évolution moyen. Trouver le taux moyen connaissant le taux global. Exemple : taux mensuel équivalent à un taux annuel. Suites et fonctions Objectifs - Approfondir les connaissances sur les suites arithmétiques et géométriques. - Étendre l'étude de la dérivation au cas des fonctions polynômes ou rationnelles. - Consolider l'utilisation des fonctions dans le cadre de résolutions de problèmes, en lien avec les enseignements technologiques. - Utiliser de façon complémentaire les différents outils de calcul et de représentation (à la main, à la calculatrice, au tableur, etc.) et l algorithmique. Contenus Capacités attendues Commentaires Suites arithmétiques et géométriques Expression du terme général. - Écrire le terme général d'une suite arithmétique ou géométrique définie par son premier terme et sa raison. Calculer avec la calculatrice ou le tableur la somme de n termes consécutifs (ou des n premiers termes) d une suite arithmétique ou géométrique. Pour les suites géométriques, on se limite aux suites à termes strictement positifs. Pour certaines résolutions, le tableur est indispensable. L expression de la somme de n termes consécutifs n est pas un attendu du programme. Exemples : emprunt à annuités constantes, valeur actuelle d une suite d annuités constantes. Comparaison de suites. - Dans le cadre de résolution de problèmes, comparer deux suites géométriques, une suite géométrique et une suite arithmétique. Exemples : intérêts simples, intérêts composés ; taux équivalent, taux proportionnel Ministère de l'éducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative > www.education.gouv.fr 6 / Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 11
Dérivation Fonction dérivée de 1 x x n et de x x. Bulletin officiel n 6 du 9 février 01 - Connaître la fonction dérivée de x x n 1 et de x x. L'étude des ensembles de définition et de dérivation n'est pas un objectif du programme. Fonction dérivée d une somme, d un produit par une constante, d un quotient de fonctions. Application à l'étude des variations des fonctions. Dans le cadre d une résolution de problème : - déterminer la fonction dérivée d une fonction polynôme ou rationnelle ; - étudier les variations et les extremums d une fonction à partir du signe de sa fonction dérivée ; - déterminer une équation de la tangente en un point d une courbe représentative ; tracer cette tangente. On se limite à des fonctions simples. Cette partie du programme se prête particulièrement à l étude de situations issues des autres disciplines (résolutions graphiques ou numériques d équations et d inéquations, problèmes d'optimisation, etc.) Statistique et probabilités Objectifs - Consolider les acquis de la classe de première sur la statistique à une variable. - Découvrir quelques notions sur la statistique à deux variables et la problématique de l'ajustement. - Découvrir la notion de conditionnement. - Dans le domaine des probabilités, donner une première approche d un exemple de loi continue : la loi normale. - Consolider les connaissances acquises dans le domaine de l échantillonnage et aborder l estimation par la détermination d un intervalle de confiance pour une proportion. Contenus Capacités attendues Commentaires Statistique descriptive à deux variables Étude de séries de données statistiques quantitatives à deux variables. Nuage de points. - Représenter graphiquement un nuage de points associé à une série statistique à deux variables. On accompagne ce travail d un entretien des capacités sur les statistiques à une variable de la classe de première. Ajustement affine. Conditionnement Conditionnement par un événement de probabilité non nulle. Notation P A (B). - Trouver une fonction affine qui exprime de façon approchée y en fonction de x. - Utiliser un ajustement affine pour interpoler ou extrapoler. - Construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée. - Exploiter la lecture d un arbre pondéré pour déterminer des probabilités. - Calculer la probabilité d un événement connaissant ses probabilités conditionnelles relatives à une partition de l univers. L ajustement affine est réalisé graphiquement ou par la méthode des moindres carrés à l aide de la calculatrice ou du tableur. Aucun développement théorique n est attendu. D autres types d ajustement peuvent être rencontrés dans des exemples On représente une situation à l aide d un arbre pondéré ou d un tableau. Un arbre pondéré correctement construit constitue une preuve. Le vocabulaire lié à la formule des probabilités totales n est pas un attendu du programme, mais la mise en œuvre de cette formule doit être maîtrisée. Cette partie du programme se prête particulièrement à l étude de situations concrètes. Ministère de l'éducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative > www.education.gouv.fr 7 / Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 1
Bulletin officiel n 6 du 9 février 01 Contenus Capacités attendues Commentaires Loi normale Loi normale d espérance μ et d écart type σ. - Utiliser une calculatrice ou un tableur pour calculer une probabilité dans le cadre d une loi normale. La loi normale peut être introduite à partir de l observation, à l aide d un logiciel, de la loi binomiale. Les élèves doivent connaître l'allure de la courbe de densité, ainsi que sa symétrie. L'expression de la densité de la loi normale n'est pas un attendu du programme. Des exemples issus des autres disciplines montrent que la loi normale permet de modéliser des situations concrètes. Intervalle de fluctuation d une variable aléatoire suivant une loi normale. - Connaître et interpréter graphiquement une valeur approchée de la probabilité de l événement {X [μ σ, μ + σ]} lorsque X suit la loi normale d espérance μ et d écart type σ. On fait ainsi percevoir l information apportée par la valeur de l écart type. Seul l intervalle de fluctuation «σ» au seuil approximatif de 95 % est un attendu. L intervalle «1,96 σ» ainsi que des exemples d autres seuils peuvent être mentionnés. Échantillonnage et prise de décision Intervalle de fluctuation d une fréquence. Prise de décision. - Connaître un intervalle de fluctuation à au moins 95 % d une fréquence d un échantillon de taille n : 1 1 p, p n n lorsque la proportion p dans la population est connue. - Exploiter un tel intervalle pour rejeter ou non une hypothèse sur une proportion. On peut faire observer qu en approchant la loi binomiale par la loi normale de même espérance et d écart type p(1 p) n, on est conduit à l intervalle p(1 p) p(1 p) p 1,96, p 1,96 n n qui est inclus dans 1 1 p, p n n. Le vocabulaire des tests (test d hypothèse, hypothèse nulle, risque de première espèce) est hors programme. Estimation Intervalle de confiance d une proportion. - Estimer une proportion inconnue par l intervalle 1 1 f, f n n où f est la fréquence obtenue sur un échantillon de taille n. Cet intervalle contient la proportion dans au moins 95 % des cas pour n grand, ce qui peut être illustré par simulation. La notion de niveau de confiance ne fait pas l objet de développements. Ministère de l'éducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative > www.education.gouv.fr 8 / Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 13
Bulletin officiel n 6 du 9 février 01 Rappel des objectifs pour le lycée (algorithmique, raisonnement) Algorithmique En seconde, les élèves ont conçu et mis en œuvre quelques algorithmes. Cette formation se poursuit tout au long du cycle terminal. Dans le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sont entraînés à : - décrire certains algorithmes en langage naturel ou dans un langage symbolique ; - en réaliser quelques-uns à l aide d un tableur ou d un programme sur calculatrice ou avec un logiciel adapté ; - interpréter des algorithmes plus complexes. Aucun langage, aucun logiciel n est imposé. L algorithmique a une place naturelle dans tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivent être en relation avec les autres parties du programme mais aussi avec les autres disciplines ou le traitement de problèmes concrets. Les exigences doivent être modestes et conformes à l'esprit de la filière. À l occasion de l écriture d algorithmes et de programmes, il convient de donner aux élèves de bonnes habitudes de rigueur et de les entraîner aux pratiques systématiques de vérification et de contrôle. Instructions élémentaires (affectation, calcul, entrée, sortie). Les élèves, dans le cadre d une résolution de problèmes, doivent être capables : - d écrire une formule permettant un calcul ; - d écrire un programme calculant et donnant la valeur d une fonction, ainsi que les instructions d entrées et sorties nécessaires au traitement. Boucle et itérateur, instruction conditionnelle Les élèves, dans le cadre d une résolution de problèmes, doivent être capables de : - programmer un calcul itératif, le nombre d itérations étant donné ; - programmer une instruction conditionnelle, un calcul itératif, avec une fin de boucle conditionnelle. Notations et raisonnement mathématiques Cette rubrique, consacrée à l apprentissage des notations mathématiques et à la logique, ne doit pas faire l objet de séances de cours spécifiques mais doit être illustrée durant tout le cycle terminal. Les exigences doivent être modestes et conformes à l'esprit de la filière. Notations mathématiques Les élèves doivent connaître les notions d élément d un ensemble, de sous-ensemble, d appartenance et d inclusion, de réunion, d intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondants : ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Pour le complémentaire d un ensemble A, on utilise la notation des probabilités A. Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés sur des exemples à : - utiliser correctement les connecteurs logiques «et», «ou» et à distinguer leur sens des sens courants de «et», «ou» dans le langage usuel ; - utiliser à bon escient les quantificateurs universel, existentiel (les symboles ne sont pas exigibles) et à repérer les quantifications implicites dans certaines propositions et, particulièrement, dans les propositions conditionnelles ; - distinguer, dans le cas d une proposition conditionnelle, la proposition directe, sa réciproque, sa contraposée et sa négation ; - utiliser à bon escient les expressions «condition nécessaire», «condition suffisante» ; - formuler la négation d une proposition ; - utiliser un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle ; - reconnaître et utiliser des types de raisonnement spécifiques : raisonnement par disjonction des cas, recours à la contraposée, raisonnement par l absurde. Ministère de l'éducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative > www.education.gouv.fr 9 / Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 14
Programmes de Première et Terminale STMG Ce qui disparaît / Ce qui est nouveau Feuille automatisée de calcul Information chiffrée Suites Fonctions Disparaît : Première Terminale Étude et représentation de séries statistiques, de suites et de fonctions numériques à l'aide d'un tableur ou d une calculatrice. Proportion Proportion d une sous-population dans une population. Union et intersection de sous-populations. Inclusion. Évolution Taux d'évolution. Variation absolue, variation relative. Évolutions successives. Évolution réciproque. Modes de génération d'une suite numérique Sens de variation. Définition par récurrence des suites arithmétiques et des suites géométriques. Disparaît : Expression du terme général Second degré Fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant. Signe du trinôme Indice simple en base 100. Racine n -ième d un réel positif. Notation. Taux d évolution moyen. Disparaît : Approximation d un taux d évolution Suites arithmétiques et géométriques Expression du terme général Comparaison de suites. Disparaît : Somme de termes consécutifs Limite d une suite géométrique de termes et de raison positifs (M-CFE-GSI) Disparaît : Fonction logarithme népérien et fonctions exponentielles (M-CFE-GSI), Exposants réels (M-CFE-GSI) Dérivation Disparaît : Approche graphique du concept de nombre dérivé Fonction dérivée d'une fonction polynôme de degré. (expression formelle à dégager) Application : étude des variations de la fonction. Application : nombre dérivé, tangente. Fonction dérivée d'une fonction polynôme de degré 3. (expression formelle à dégager) Application à l étude des variations de la fonction. Disparaît : Systèmes d équations linéaires Dérivation Fonction dérivée de et. Disparaît : Fonction dérivée de Fonction dérivée d une somme, d un produit par une constante, d un quotient de fonctions de fonctions, Disparaît : Fonction dérivée d une composée (M-CFE-GSI) de fonctions. Application à l'étude des variations des fonctions. Statistique Caractéristiques de dispersion : écart type, écart interquartile. Diagramme en boîte. Statistique descriptive à deux variables Étude de séries de données statistiques quantitatives à deux variables. Nuage de points. Disparaît : Point moyen Ajustement affine. Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 15
Probabilités Echantillon nage et prise de décision Schéma de Bernoulli. Variable aléatoire associée au nombre de succès dans un schéma de Bernoulli. Loi binomiale Loi binomiale B(n,p). Espérance de la loi binomiale. Intervalle de fluctuation d une fréquence. Prise de décision. Conditionnement Conditionnement par un événement de probabilité non nulle. Notation. Disparaît : Indépendance de deux événements Mise en œuvre de la formule des probabilités totales Loi normale Loi normale d espérance μ et d écart type σ. Intervalle de fluctuation d une variable aléatoire suivant une loi normale. Intervalle de fluctuation d une fréquence. Prise de décision. Estimation Intervalle de confiance d une proportion. Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 16
Programme STMG Cycle Terminal Feuilles automatisées de calcul Première et Terminale Information Chiffrée Première Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 17
Terminale Suites Première Terminale Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 18
Fonctions Première Terminale Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 19
Statistiques et probabilité Première Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 0
Terminale Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 1
Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page
Une nouvelle loi de probabilité : la loi normale Prérequis : Travail sur les probabilités conditionnelles et Rappel sur la loi binomiale Un fabricant Mat RIO souhaite lancer une nouvelle console de jeu pour Noël. Le responsable marketing de cette fabrique considère que 40% de ses clients achèteront la nouvelle console de jeu. Suite au lancement du produit, le fabricant Mat RIO réalise un mailing aléatoire auprès de 1450 personnes de son fichier client. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de ses clients qui ont effectivement acheté cette console. Les probabilités obtenues seront arrondies à près. 1) Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X? Quelles sont les valeurs possibles prises par X? ) A l aide de la calculatrice, déterminer la probabilité que 580 personnes achètent cette console? 3) A l aide d un tableur, a) Créer un tableau donnant p( X = k ) pour. Ces probabilités étant très faibles pour de nombreuses valeurs de k, créer le diagramme en bâtons de la loi de probabilité suivie par X pour. b) Déterminer la probabilité que le nombre de personnes achetant cette console soit compris entre 540 et 560? c) Déterminer la probabilité que le nombre de personnes achetant cette console soit compris entre 540 et 600? 4) On admet qu'une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p a pour espérance mathématique = n p et d écart-type =. Quelle est l'espérance mathématique de X? Interpréter votre résultat. Calculer l écart type de X. Activité faite par le professeur, A l aide du logiciel geogebra( TP Moivre-Laplace) 5) Problème de stock : déterminer le stock minimum de k consoles de jeu que doit avoir un magasin pour que la probabilité de rupture de stock soit inférieure à 0,1. a) Justifier que cela revient à chercher la plus petite valeur de k telle que. b) Déterminer la valeur de k grâce au logiciel géogebra. 6) Retrouver ces résultats en utilisant cette loi normale sur votre calculatrice. 7) Déterminer. Interpréter votre résultat. Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 3
Quelques études de fonctions ( y compris fcts trigonométriques) Progression : Première S (ANCIEN PROGRAMME) Niveau 1 Niveau Niveau 3 Coplanarité Lieux MA.MB=0 équation du cercle équation normale de la droite lieux de barycentre Sections planes Lieux 1 Lieux 3 Invariant de l homothétie Dans l espace Barycentre Translation et homothétie 1 Définition Construction Conservation de l alignement Trigonométrie Angles associés Angles Duplication - sommation Angles orientés Repérage polaire Repérage dans l espace Produit scalaire Propriété d Al Kashi Propriété autour de la médiane Produit scalaire 1 Les trois définitions Projections Méthode d Euler Fonctions composées Fonctions généralités fonctions de réf. et x 3 ; x et x et étude de leurs variations opérations Comparaison (rappel sur équation, inéquation) Second degré Comportement asymptotique Fonction dérivée Sens de variation Pb de majoration Pb d optimisation Nombre Dérivé Suite 3 Limites de U n = f(n) et U n+1 = f(u n) Suite Monotonie Arithmétique Géométrique Suite 1 Intuition sur la notion de limites Différentes façons de les générer Définitions Probabilité Statistiques Écart-type Boite à moustaches Version du 10/6/004 Stage de Samatan Janine Amiot, Nicole Gilabert, Christiane Larchier, Jean-claude Lindauer, Pascal Létard
Programme de TS Démonstrations ayant valeur de modèle. Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. Activités de type algorithmique Approfondissement destiné à des activités dans le cadre de l accompagnement personnalisé. Analyse Ana1 : Suites : Raisonnement par récurrence. Ana : Suites Limite finie ou infinie d une suite. Dans le cas d une limite infinie, étant donnés une suite croissante ( u n ) et un nombre réel A, déterminer à l aide d un algorithme un rang à partir duquel u n est supérieur à A. Limites et comparaison. Démontrer que si ( u n ) et ( v n ) sont deux suites telles que : - u n est inférieur ou égal à v n à partir d un certain rang ; - u n tend vers + quand n tend vers + ; alors v n tend vers + quand n tend vers +. On démontre que si une suite est croissante et admet pour limite l, alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à l. Opérations sur les limites. Comportement à l infini de la suite ( q n ), q étant un nombre réel. Démontrer que la suite ( q n ), avec q >1, a pour limite +. Suite majorée, minorée, bornée. Il est intéressant de démontrer qu une suite croissante non majorée a pour limite +. Activités algorithmiques menées dans ce cadre. Approximations de réels (π, e, nombre d or,etc.). Ana3 : Limites de fonctions Limite finie ou infinie d une fonction à l infini ; Limite infinie d une fonction en un point. Limite d une somme, d un produit, d un quotient ou d une composée de deux fonctions. Limites et comparaison. Asymptote parallèle à l un des axes de coordonnées. Ana4 : Continuité sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires Des activités algorithmiques sont réalisées dans le cadre de la recherche de solutions de l équation f (x) = k. Ana5 : Calculs de dérivées : Compléments Exemples de fonctions discontinues, ou à dérivées non continues. Ana6 : Fonctions sinus et cosinus Ana7 : Fonction exponentielle Démontrer l unicité d une fonction dérivable sur R, égale à sa dérivée et qui vaut 1 en 0. Relation fonctionnelle, notation e x. Démontrer que = + Et = 0. Étude de phénomènes d évolution. Ana8: Fonction logarithme népérien Relation fonctionnelle, dérivée. Équations fonctionnelles. Ana9 : Intégration Fonction positive Définition de l intégrale d une fonction continue et positive sur [a,b] comme aire sous la courbe. Notation dx Théorème : si f est une fonction continue et positive sur [a,b], la fonction F définie sur [a,b]par F(x) = est dérivable sur [a, b] et a pour dérivée f. il est intéressant de présenter le principe de la démonstration du théorème dans le cas où f est positive et croissante. Ana10 : Intégration - Primitive Primitive d une fonction continue sur un intervalle. Théorème : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives. Il est intéressant de démontrer ce théorème dans le cas d un intervalle fermé borné, en admettant que la fonction a un minimum. Ana11 : Intégration Fonction quelconque Intégrale d une fonction continue de signe quelconque. Linéarité, positivité, relation de Chasles. Valeur moyenne. Pour une fonction monotone positive, mettre en oeuvre un algorithme pour déterminer un encadrement d une intégrale. Calcul du volume d un solide. Pré-requis Ana RIEN ( ou Ana1?) Ana Ana3 Ana4 (dérivabilité) RIEN Ana (Si Euler) Ana7 Ana4 Ana Ana4 (Ana1) (Meth. Rect) Ana9 Ana5 Ana10 Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 5
Probabilité Statistique Prob1: Conditionnement, indépendance Conditionnement par un événement de probabilité non nulle. Notation P A (B). Indépendance de deux événements. Démontrer que si deux événements A et B sont indépendants, alors il en est de même pour A et B. Des activités algorithmiques sont menées dans ce cadre, notamment pour simuler une marche aléatoire. Prob : Notion de loi à densité à partir d exemples Loi à densité sur un intervalle. Loi uniforme sur [a,b]. Espérance d une variable aléatoire suivant une loi uniforme. Méthode de Monte-Carlo. Prob3 : Lois exponentielles. On démontre qu une variable aléatoire T suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement : pour tous réels t et h positifs, = P(T h). Espérance d une variable aléatoire suivant une loi exponentielle. Démontrer que l espérance d une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ est : λ. Prob4 : Passage de la loi binomiale à la loi normale centrée réduite N (0,1). Théorème de Moivre Laplace (admis). Rmq : peut être un problème introductif à Ana9 Prob5 : Loi normale centrée réduite N (0,1). Théorème de Moivre Laplace (admis). Démontrer que pour α ]0,1[, il existe un unique réel positif u α tel que P( u α X u α )=1 α lorsque X suit la loi normale N (0,1). Loi normale N (μ,σ² ) d espérance μ et d écart-type σ. Prob6 : Loi normale Loi normale N (μ,σ² ) d espérance μ et d écart-type σ. Prob7: Intervalle de fluctuation Démontrer que si la variable aléatoire X n suit la loi B (n, p), alors, pour tout α dans ]0,1[ on a, = 1 α où I n désigne l intervalle Pré-requis RIEN (Voir avec Spé) Ana9 Ana10 Ana7 Proba 1- RIEN (Visuel) Ana9 Prob4 Prob Prob5 Prob5 Prob8 : Estimation - Intervalle de confiance (*). Niveau de confiance Il est intéressant de démontrer que, pour une valeur de p fixée, l intervalle proportion p avec une probabilité au moins égale à 0,95. Prise de décision lors de la comparaison de deux proportions (par exemple lors d un essai thérapeutique). α α contient, pour n assez grand, la Prob7 Géométrie Géom1 : Complexe Forme algébrique, conjugué. Somme, produit, quotient. Équation du second degré à coefficients réels. Représentation géométrique : Affixe d un point, d un vecteur. Forme trigonométrique. Module et argument, interprétation géométrique dans un repère orthonormé direct ; Notation exponentielle. Géom : Droites et plans Positions relatives de droites et de plans : intersection et parallélisme. Orthogonalité : - de deux droites et d une droite et d un plan. Géom3 : Géométrie vectorielle Caractérisation d un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires. Il est intéressant de présenter la démonstration du théorème dit «du toit». Vecteurs coplanaires. Décomposition d un vecteur en fonction de trois vecteurs non coplanaires. Repérage. Représentation paramétrique d une droite. Géom4 : Produit scalaire Produit scalaire de deux vecteurs dans l espace : définition, propriétés. Géom5 : Produit scalaire Vecteur normal à un plan. Équation cartésienne d un plan. Caractériser les points d un plan de l espace par une relation ax + by + cz + d = 0 avec a, b, c trois nombres réels non tous nuls. Démontrer qu une droite est orthogonale à toute droite d un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires. Intersection de trois plans. Pré-requis RIEN Ana Ana7 Géom RIEN Géom4 Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 6
Une première étape vers une progression en T S Prob8: Confiance Prob6: Normales Prob7: Fluctuation Prob3: Loi expo Prob5: Normale N(0 ;1) Ana11 : Intégration : Fct qque Ana10 : Intégration : Primitive Prob: Densité, uniforme Géom5 : Equations Ana5 : Dérivabilité Ana9 : Intégration : Fct + Ana8 : Log Népérien Géom4 : Espace. Géom1 Exponentielle Ana3 : Limites de fonctions Ana4 : Continuité, TVI Ana1 : Suites : rais t Ana7 : Exponentielle Géom3 : Géom vect. Ana : Suites Ana6 : Sinus - Cosinus Prob4: Discret-> cont Prob1: Cond, ind. Géom: Dtes et plans Géom1 Complexes
éduscol Ressources pour le collège et le lycée général et technologique Ressources pour le collège et le lycée Mathématiques Le calcul sous toutes ses formes au collège et au lycée Ces documents peuvent être utilisés et modifiés librement dans le cadre des activités d'enseignement scolaire, hors exploitation commerciale. Toute reproduction totale ou partielle à d autres fins est soumise à une autorisation préalable du Directeur général de l enseignement scolaire. La violation de ces dispositions est passible des sanctions édictées à l article L.335- du Code la propriété intellectuelle. février 013 MEN/DGESCO-IGEN http://eduscol.education.fr/ressources-maths Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 8
Sommaire Introduction... Le calcul dans les programmes de l école primaire et du collège... Le calcul dans les programmes du lycée général et technologique... 3 1. Le calcul pour construire et consolider les apprentissages... 4 1. Appréhender, construire et conceptualiser des objets mathématiques... 4. Calcul et automatismes... 4 3. Découvrir et comprendre une règle de calcul... 5 4. L apprentissage du calcul littéral... 6 5. Les fonctions... 7. Le calcul pour développer des compétences mathématiques... 8 1. Calcul et raisonnement... 8. Le sens et les contrôles... 10 3. Le sens et la cohérence... 10 4. La disponibilité des différents registres, la flexibilité entre ces registres... 11 3. Quelques stratégies pédagogiques... 13 1. Pratiquer le calcul mental, les activités à gestion mentale... 13. Développer des images mentales... 13 3. Anticiper et expliciter... 14 4. Trouver la juste place du calcul instrumenté... 14 4. Un exemple de mise en œuvre filée : introduction de la notion de racine carrée... 16 Prérequis... 16 Les premiers pas... 16 Perfectionnement sur la définition... 16 Réductions... 17 Sens de certaines expressions littérales... 17 Équation x = a... 17 Racines carrées et opérations... 17 Bibliographie... 18 Ministère de l éducation nationale (DGESCO - IGEN) Page 1 sur 18 Mathématiques Le calcul sous toutes ses formes au collège et au lycée http://eduscol.education.fr/ressources-maths Mise en œuvre des programmes de Mathématiques de lycée Page 9