Problème ( points) Un capital de 0 000 euros est placé à un taux d intérêts composés de 2%. La valeur récupérée à l issue du placement est 70,2 euros. Quelle est la durée de ce placement? Soit d la durée du placement. On a Le placement a donc duré ans. 0000, 02 d 70, 2, 02 d 70, 2 0000 ln(, 02 d ) 70, 2 ln( 0000 ) d ln(, 02) 70, 2 ln( 0000 ) d ln( 70,2 0000 ) ln(, 02) Problème 2 ( points) Résoudre le système suivant en utilisant des déterminants: 2x + y z x y + 2z 2x + y + 5z 9 On pose M 2 2 2 5 On a 2 det(m) 2 2 5 2 2 5 5 + 2 2 2 ( 5 2) (5 ( )) + 2 (6 ) 6 + 0
Ce déterminant est non nul donc le système est de Cramer. On a donc 2 9 5 x det(m) 9 2 9 5 ( ( 9)) 2 ( 27) 5 ( ( )) 8 + 8 0 2 2 2 2 9 5 y det(m) 2 2 5 + ( ) 2 2 5 9 2 2 (5 ) + ( ) (0 ( 2)) 9 ( ( )) 2 5 60 2 2 9 z det(m) 2 9 9 + 2 2 ( 9 ( )) (27 ) + 2 ( ( )) 6 2 0 2
Problème (5 points) Trouver x et y tels que y 0 x + y 20 x 70 y 00 x + y 20 et 50x + 50y soit maximum. raisonnement. Version géométrique On a le polygone des contraintes suivant: Vous indiquerez toutes les étapes de votre Il y a sommets possibles: (0,00), (20,00), (0,80) et (60,0). En calculant 50x + 50y en chacun de ces points, on constate que le maximum 0000 est atteint pour le sommet (0,80). Version simplexe Le système standard est donc y 0 e 0 e 2 0 e 0 e 0 x + y + e 20 x + e 2 70 y + e 00 x + y + e 20 max(50x + 50y)
On obtient donc le tableau suivant: x y e e 2 e e e 0 0 0 20 e 2 0 0 0 0 70 e 0 0 0 0 00 e 0 0 0 20 Z 50 50 0 0 0 0 0 Le pivot est sur la première colonne, quatrième ligne. On obtient donc le tableau suivant: x y e e 2 e e e 0 0 0 60 en faisant L L L e 2 0 0 0 0 en faisant L 2 L 2 L e 0 0 0 0 00 x 0 0 0 60 en faisant L L Z 0 25 2 0 0 0 75 2 9000 en faisant L 5 L 5 50 L Le pivot est sur la deuxième colonne, première ligne. On a donc le tableau x y e e 2 e e y 0 0 0 80 en faisant L L e 2 0 0 0 0 en faisant L 2 L 2 + L e 0 0 0 20 en faisant L L L x 0 0 0 0 en faisant L L L Z 0 0 50 2 0 0 00 0000 en faisant L 5 L 5 50 L Les coefficients de la dernière ligne sont tous négatifs donc l algorithme se termine. LA solution est x 0 et y 80. 50x + 50y vaut alors 0 000. Problème (6 pts) Un étudiant prépare un concours comportant épreuves: culture générale (CG), techniques quantitatives (TQ) et langue étrangère (LE). Il peut se faire aider par un organisme spécialisé payant: une séance de révision de CG dure h0 et coûte 20 euros, une séance de TQ dure 2h et coûte 0 euros, une séance de LE dure 2h et coûte 0 euros. Il vient vous consulter pour optimiser ses révisions. Il vous donne les indications suivantes: le concours a lieu dans 2 semaines chaque semaine, il a 9 heures à consacrer aux révisions
il estime qu une séance de CG peut lui rapporter autant de points qu une séance de TQ et qu une séance de LE peut lui faire gagner deux fois plus de points qu une séance de CG. son budget global est de 20 euros. Mettre ce problème en équation (en précisent le rôle des variables) 2. Donner le système standard associé. Utiliser l algorithme du simplexe pour résoudre ce problème. Conclure. Mettre ce problème en équation (en précisent le rôle des variables) Le concours a lieu dans 5 jours, on va donc s intéresser au nombre de séances suivi pendant ces 5 jours : soit c le nombre de séances de CG suivies en 5 jours, soit t le nombre de séance de TQ suivies en 5 jours et soit l le nombre de séances de LE suivies en 5 jours. On a {, 5c + 2t + 2l 8 ( contrainte sur les heures) 20l + 0t + 0l 20 (contrainte sur l argent) Si une séance de CG rapporte point, une séance de TQ rapporte aussi un point et une séance de LE rapporte 2 points. On cherche donc à maximiser c + t + 2l. De plus, le nombre de séances est forcément positif. Le système est donc: c 0 t 0 l 0, 5c + 2t + 2l 8 20l + 0t + 0l 20 max(c + t + 2l) 2. Donner le système standard associé
En ajoutant les variables d écart, on obtient c 0 t 0 l 0 e 0 e 2 0, 5c + 2t + 2l + e 8 20l + 0t + 0l + e 2 20 max(c + t + 2l). Utiliser l algorithme du simplexe pour résoudre ce problème On obtient les tableaux suivants: c t l e e 2 e, 5 2 2 0 8 e 2 20 0 0 0 20 Z 2 0 0 0 le pivot est sur la ème colonne, 2 ème ligne, ce qui nous donne e 2 l Z c t l e e 2 0 en faisant L 6 5 L L 5 2 0 7 en faisant L2 L 0 0 2 0 0 en faisant L 5 L L 5 2 Le pivot est maintenant sur la 2ème colonne, ère ligne, ce qui nous donne c t l e e 2 t 0 8 l 5 8 0 en faisant L 20 L 6 en faisant L2 L 20 2 L Z 8 0 0 20 5 en faisant L L L On a finit l algorithme du simplexe: on a t, l 6 et c e e 2 0. Conclure il a intérêt à suivre séances de TQ et 6 séances de LE pour optimiser ses révisions. Il aura utilisé toutes ses heures disponibles et dépensé tout son argent. Problème 5 ( points + bonus) Vous êtes responsable d une chaîne fabriquant simultanément, à partir d une matière première P, trois produits A,B
et C. Il faut produire au moins 250kg de A, 280kg de B et 250kg de C. La matière première P est vendue par deux fournisseurs F et F2. Chaque fournisseur propose P sous forme de sacs. Selon le fournisseur, la qualité de P est différente et la quantité de produit A,B et C produite aussi: avec sac de matière première P acheté 9 euros au fabricant F, on fabrique 0,kg du produit A, kg du produit B et 0,8kg du produit C; avec sac de matière première P acheté au fournisseur F2 coute 0 euros et on fabrique 0,5 kg du produit A, 0,5 kg du produit B et 0,5 kg du produit C. On cherche à déterminer le nombre de sacs à commander à F et F2 afin de minimiser les coûts de fabrication en respectant les contraintes.. Mettre ce problème en équation 2. Donner le système standard associé. Donner le système dual. Mettre ce problème en équation Soit x le nombre de sacs achetés au fabricant F et y le nombre de sacs achetés au fabricant F2. On obtient le système suivant: y 0 0, x + 0, 5y 250 car il faut produire 250 kg de A x + 0, 5y 280 car il faut produire 280 kg de B 0, 8x + 0, 5y 250 car il faut produire 250 kg de C On cherche à minimiser le coût qui est de 9x + 0y. On obtient donc le système suivant: y 0 0, x + 0, 5y 250 x + 0, 5y 280 0, 8x + 0, 5y 250 min(9x + 0y) 2. Donner le système standard associé
En introduisant les variables d écart, ce système devient: y 0 e 0 e 2 0 e 0 0, x + 0, 5y + e 250 x + 0, 5y + e 2 280 0, 8x + 0, 5y + e 250 min(9x + 0y). Donner le système dual Le système dual associé est x 0 x 2 0 0, x + x 2 + 0, 8x 9 0, 5x + 0, 5x 2 + 0, 5x 0 max(250x + 280x 2 + 250x )