École Supérieure des Affaires Master 2 Gestion de Portefeuille Université Paris xii Val de Marne Mathématiques appliquées à la finance J Printems Année 2007 08 Correction de l épreuve du 2 février 2008 Durée : heure 30 Calculatrices et documents de cours seuls autorisés Exercice Cette semaine, Ladbroke, un book-maker londonien, publie les cotes suivantes issues des paris en cours concernant l élection présidentielle américaine : Obama : 8 contre ; McCain : 6 contre 4 ; Clinton : 6 contre (c-à-d pour pariées sur Obama le bénéfice est de 8 en cas de victoire de ce dernier, etc) On suppose que l un de ces trois candidats sera élu Calculer les probabilités risque-neutre (c-à-d telles que l espérance du bénéfice pour un parieur soit nulle) de victoire de chacun des candidats Soit p la probabilité de victoire d Obama Le bénéfice moyen (en livres sterling) d un parieur ayant parié sur Obama est p 8 + ( p ) ( ), puisqu il perd son pari en cas de défaite On cherche une probabilité risque-neutre donc celle pour laquelle le bénéfice moyen est nul On a donc p 8 + ( p ) ( ) = 0, c-à-d p = 9 On calcule de même respectivement pour McCain et Clinton 6 p 2 + ( 4)( p 2 ) = 0, c-à-d p 2 = 2, 6 p 3 + ( )( p 3 ) = 0, c-à-d p 2 = 7
Exercice 2 Imaginons que vous avez contracté le er janvier 2008 (t = 0) un emprunt gré-à-gré avec votre banquier d un montant de N = 00 000 e sur 0 ans à un taux nominal r 0 = % On suppose que le remboursement du capital N a lieu in fine Quel est le montant prévu de vos annuités aux er janvier successifs? 2 Six ans plus tard, les taux ont baissé pour se fixer sur r 6 = 3% En faisant abstraction d éventuels frais ou pénalités, vous renégociez vos annuités À quel niveau vous paraît-il juste de les fixer? Le remboursement du capital N = 00 000 e a lieu in fine ; les annuités du /0/2009 jusqu au /0/207 inclus seront donc composés uniquement des intérêts simples, soit A = 000 e avec un remboursement final au /0/208, soit N +A = 0 000 e (voir cours) 2 À t = 6, on décide de renégocier les annuités à verser à partir de t = 7 jusqu en t = 0 compte tenu du nouveau taux On choisit de garder la même stratégie de remboursement in fine Il faut d abord actualiser pour t = 6 les sommes restantes avec le nouveau taux r 6, soit N = 000 ( + r 6) } {{ } + 000 ( + r 6) 2 } {{ } + 000 ( + r 6) 3 } {{ } + 0 000 ( + r 6) 4 } {{ } t = 7 t = 8 t = 9 t = 0 On obtient N = 07 4342 e Puis, on calcule les intérêts simples de cette somme A = N r 6 = 3 22302 e Ls annuités seront donc du /0/20 (t = 7) au /0/207 (t = 9) de A, puis le /0/28 (t = 0) de N + A = 0 6722 e Exercice 3 On considère un portefeuille de rendement R p contenant n valeurs de rendements R i avec des poids égaux /n, soit R p = n (R + + R n ), où les rendements R i sont supposées être des va gaussiennes indépendantes de même moyenne R et de même écart-type σ On souhaite déterminer le nombre minimum n de valeurs qui doivent constituer le portefeuille de sorte que la probabilité P (R p < R mini ) soit petite pour un rendement minimum R mini donné Pour R = 0%, σ = 4% et R mini = 3%, déterminer le nombre n minimum de sorte que P (R p < R mini ) < 00! On pourra utiliser la table 2
Comme les rendements R i sont supposés être indépendants et suivre des lois gaussiennes N (R, σ 2 ), R p suit une loi gaussienne de moyenne et de variance n (E(R ) + + E(R n )) = (R + + R)/n = R, n 2 (Var(R ) + + Var(R n )) = (σ 2 + + σ 2 )/n 2 = σ 2 /n Ainsi R p est de moins en moins aléatoire On pose alors Z = R p R σ 2 /n = n R p R σ La va Z suit donc une loi gaussienne centrée réduite N (0, ) Finalement, ( Rp R P (R p < R mini ) = P σ/ n < R ) ( mini R σ/ = P Z < n 007 ) n On souhaite que cette dernière quantité soit inférieure à 00 Par symétrie de la distribution gaussienne, on a ( P Z < n 007 ) ( = P Z > n 007 ) ( = P Z n 007 ) On cherche donc x dans le tableau de sorte que P (Z x) 099 On trouve x 233 On obtient donc un nombre minimal de portefeuille ( ) 233 2 n n mini = 22 007 Exercice 4 On considère les trois exemples suivants de marchés à une période Dans les trois cas, l actif sans risque S 0 est le même (taux r = /9 %) Les marchés et 2 ont chacun un actif risqué, noté S, et le marché 3 possède deux actifs risqués, notés S et S 2 On considère les trois marchés indépendemment les uns des autres 3
Marché Marché 2 Marché 3 60/9 60/9 20/3 20/3 40/3 0 80/9 30/9 80/9 0/9 0/9 0/9 Pour les marchés et 2, trouvez une probabilité risque-neutre, c-à-d celle pour laquelle la valeur actualisée moyenne de l actif risqué vaut S 0 =! On cherche donc p (marché ) tel que p 20/3 + ( p) = (0/9) 2 Existe-t-il une telle probabilité pour le marché 3 (c-à-d pour laquelle la valeur actualisée moyenne des actifs risqués S et S 2 vaut respectivement S 0 = et S2 0 = 0)? Dans le cas contraire, on dit qu il y a opportunité d arbitrage Est-ce le cas pour le marché 3 et si oui, pouvez-vous trouver une opportunité d arbitrage? La probabilité cherchée pour le marché vaut donc d après l indication p = /2 Pour le marché 2, les relations p 20/3 + q + r 30/9 = 0/9 et p + q + r = donnent une undéterminée Il existe une infinité de solutions possibles paramétrées par exemple par r : p = 2 + r 2, q = 2 3 2 r, avec r [0, 3 ] 2 Le système est ici 3 3 et s écrit après simplification : 6p + 6q + 4r =, 2p + 8q + 8r = 0, p + q + r = Il possède une solution unique p = /2 = r et q = 0 Il n y a pas d opportunité d arbitrage 4
Tab Tabulation de N(x) = P (Z x) où Z N (0, ) pour x [0, 3] Première colonne = dixièmes ; première ligne = centièmes Ex : N(073) = 07673 00000 0000 00200 00300 00400 0000 00600 00700 00800 00900 00000 0000 0040 0080 020 060 099 0239 0279 039 039 0000 0398 0438 0478 07 07 096 0636 067 074 073 02000 0793 0832 087 090 0948 0987 06026 06064 0603 064 03000 0679 0627 062 06293 0633 06368 06406 06443 06480 067 04000 064 069 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879 0000 069 0690 0698 0709 0704 07088 0723 077 0790 07224 06000 0727 0729 07324 0737 07389 07422 0744 07486 077 0749 07000 0780 076 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 0782 08000 0788 0790 07939 07967 0799 08023 080 08078 0806 0833 09000 089 0886 0822 08238 08264 08289 083 08340 0836 08389 0000 0843 08438 0846 0848 0808 083 084 0877 0899 0862 000 08643 0866 08686 08708 08729 08749 08770 08790 0880 08830 2000 08849 08869 08888 08907 0892 08944 08962 08980 08997 090 3000 09032 09049 09066 09082 09099 09 093 0947 0962 0977 4000 0992 09207 09222 09236 092 0926 09279 09292 09306 0939 000 09332 0934 0937 09370 09382 09394 09406 0948 09429 0944 6000 0942 09463 09474 09484 0949 090 09 092 093 094 7000 094 0964 0973 0982 099 0999 09608 0966 0962 09633 8000 0964 09649 0966 09664 0967 09678 09686 09693 09699 09706 9000 0973 0979 09726 09732 09738 09744 0970 0976 0976 09767 20000 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 0982 0987 2000 0982 09826 09830 09834 09838 09842 09846 0980 0984 0987 22000 0986 09864 09868 0987 0987 09878 0988 09884 09887 09890 23000 09893 09896 09898 0990 09904 09906 09909 099 0993 0996 24000 0998 09920 09922 0992 09927 09929 0993 09932 09934 09936 2000 09938 09940 0994 09943 0994 09946 09948 09949 099 0992 26000 0993 099 0996 0997 0999 09960 0996 09962 09963 09964 27000 0996 09966 09967 09968 09969 09970 0997 09972 09973 09974 28000 09974 0997 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 0998 29000 0998 09982 09982 09983 09984 09984 0998 0998 09986 09986 30000 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990