Devoir Surveillé n 3

Devoir Surveillé n 3 Les candidat(e)s veilleront à exposer leurs réponses avec clarté et rigueur, rédiger avec soin dans un français correct et reporter dans la marge les numéros des questions traitées. Les résultats seront encadrés. Aucun document n est autorisé. Il est conseillé de prendre rapidement connaissance de la totalité du sujet avant de commencer. Le sujet est composé de 5 pages et de 3 exercices indépendants. I Définitions d optique géométrique 1. Rappeler la définition de l indice absolu d un milieu transparent. 2. Donner la relation entre la longueur d onde dans le vide et la longueur d onde dans un milieu d indice n. 3. Dans quelle condition l approximation de l optique géométrique est-elle valable? Quel phénomène physique néglige-t-on? 4. Qu appelle-t-on stigmatisme rigoureux pour un point A à travers un système optique? Citez un système optique rigoureusement stigmatique pour tous les points de l espace. 5. Énoncer les conditions qui permettent de réaliser l approximation de Gauss. Quelle conséquence l approximation de Gauss a-t-elle sur le stigmatisme? 6. Donner les définitions et les propriétés des foyers principaux et secondaires, de la distance focale et de la vergence. 7. Donner les ordres de grandeur de la limite de résolution angulaire et de la plage d accommodation de l œil. 8. À quelle condition sur la distance D objet-image peut-on observer une image réelle à travers une lentille convergente de focale f? Démontrer cette condition. II Fibre optique à saut d indice Une fibre optique à saut d indice, représentée sur la figure 1 est formée d un cœur cylindrique en verre d axe (Ox), de diamètre 2a et d indice n entouré d une gaine optique d indice n 1 légèrement inférieur à n. Les deux milieux sont supposés homogènes, isotropes, transparents. Un rayon situé dans le plan (Oxy) entre dans la fibre au point O avec un angle d incidence θ. Les rayons lumineux sont supposés issus d une radiation monochromatique de fréquence f, de pulsation ω et de longueur d onde λ dans un milieu constituant le cœur. 1. Les différents angles utiles sont représentés sur la figure 1. À quelle condition sur i, angle d incidence à l interface cœur/gaine, le rayon reste-il confiné à l intérieur du cœur? On note i l l angle d incidence limite. 2. Montrer que la condition précédente est vérifiée si l angle d incidence θ est inférieur à un angle limite θ l dont on exprimera le sinus en fonction de n et i l. En déduire l expression de l ouverture numérique ON = sin θ l de la fibre en fonction de n et n 1 uniquement. 3. Donner la valeur numérique de ON pour n = 1,50 et n 1 = 1,47. On considère une fibre optique de longueur L. Le rayon entre dans la fibre avec un angle d incidence θ variable compris entre 0 et θ l. On note c la vitesse de la lumière dans le vide. Lycée Jean Jaurès Montreuil 1

4. Pour quelle valeur de l angle θ, le temps de parcours de la lumière dans la fibre est-il minimal? maximal? Montrer que l intervalle de temps δt entre le temps de parcours minimal et maximal s écrit ( ) δt = nl n 1 c n 1 5. On pose 2 = 1 (n 1 /n) 2. On admet que pour les fibres optiques 1. Donner dans ce cas, l expression approchée de δt en fonction de L, c, n et. On pourra utiliser la relation 1 1 + a x si ax 1 1 ax 2 On conservera cette expression de δt pour la suite du problème. On injecte à l entrée de la fibre une impulsion lumineuse d une durée caractéristique t 0 = t 2 t 1 formée par un faisceau de rayons ayant un angle d incidence compris entre 0 et θ l. La figure ci-contre représente l allure de l amplitude A du signal lumineux en fonction du temps t. 6. Reproduire la figure 2 en ajoutant à la suite l allure du signal lumineux à la sortie de la fibre. Quelle est la durée caractéristique t 0 de l impulsion lumineuse en sortie de fibre? Le codage binaire de l information consiste à envoyer des impulsions lumineuses (appelées «bits») périodiquement avec une fréquence d émission F. 7. En supposant t 0 négligeable devant δt, quelle condition portant sur la fréquence d émission F exprime le non-recouvrement des impulsions à la sortie de la fibre optique? Pour une fréquence F donnée, on définit la longueur maximale L max de la fibre optique permettant d éviter le phénomène de recouvrement des impulsions. On appelle bande passante de la fibre le produit B = L max F. 8. Exprimer la bande passante B en fonction de c, n et. 9. Calculer la valeur numérique de et de la bande passante B (exprimée en MHz.km) avec les valeurs de n et n 1 données dans la question 3. Pour un débit d information de F = 100 Mbits.s 1 = 100 MHz, quelle longueur maximale de fibre optique peut-on utiliser pour transmettre le signal? Commenter la valeur de L max obtenue. III Lamelle d épaisseur e On rappelle les relations de conjugaison pour une lentille mince L de centre O, de foyer objet F, de foyer image F et de distance focale image f donnant d un objet AB une image A B : 1 f = 1 OA 1 OA (relation de Descartes) γ = A B AB = F A F O = FO FA = OA (relations de grandissement) OA L objectif est de déterminer les caractéristiques d une lamelle d épaisseur e et d indice n par deux méthodes. Ce problème comporte cinq parties. La première partie aborde l étude de la lame de verre. Les deuxième, troisième et quatrième parties cherchent à déterminer n et e par une méthode d optique géométrique. III.1 Lame de verre Une lame transparente est caractérisée par son épaisseur e et l indice n du milieu qui la compose. On cherche à caractériser ce dioptre dans le cadre de l optique géométrique. 1. Donner un ordre de grandeur de l indice du verre. 2. Effectuer un rapide tracé de rayon sur la figure A1 (document réponse) afin de trouver graphiquement la position de A image de A par la lame. 3. Effectuer, de même, un rapide tracé de rayon sur la figure A2 (document réponse) avec un point objet A virtuel. Lycée Jean Jaurès Montreuil 2

4. Montrer, par des considérations géométriques, que la relation de conjugaison qui relie A et A est donnée dans les conditions de Gauss par ( AA = e 1 1 ) n III.2 Viseur On étudie un viseur à frontale fixe (figure 6) constitué par : un objectif L 2 de centre O 2, de distance focale f 2 = 50 mm ; un réticule gradué R oc ; un oculaire modélisé par une lentille convergente L 1 de centre O 1 et de distance focale f 1 = 50 mm. ( ) A B On règle la lunette afin d avoir, pour l objectif, un grandissement transversal γ ob = ob = 2. On rappelle AB que l observateur voit à travers le viseur l image et le réticule parfaitement nets en même temps (le réticule et l image intermédiaire sont superposés). 5. Comment règle-t-on l oculaire par rapport au réticule? 6. Préciser la position F 2 A de l objet visé par rapport à l objectif en formation de γ ob et f 2. On utilisera l une des relations de grandissement donnée. Faire l application numérique. 7. Déterminer l encombrement O 2 O 1 de la lunette en fonction de f 1, γ ob et f 2. Effectuer l application numérique. 8. Valider vos résultats par un tracé de rayons justifiés sur la figure B (document réponse). Compléter la figure avec la présence du réticule R oc et de la lentille L 1. 9. Citer une application de ce type de viseur. III.3 Description du dispositif expérimental On complète le dispositif de lunette à frontale fixe précédent par : un miroir plan M 0 centré sur M 0 et orthogonal à l axe optique ; une lame semi-réfléchissante L S centrée sur L S et inclinée à 45 : O 2 L S = 50 mm. La lame réfléchissante est un appareil qui permet de réfléchir la lumière dans une direction et de la laisser passer dans une autre. Ici, la lame réfléchit totalement la lumière dans la direction verticale (selon M i L S ) et la laisse passer totalement (sans réflexion) dans la direction horizontale (selon O 2 L S ). Tout se passe comme si la lame n existe pas lorsque le rayon provient de M 0. un miroir plan M i centré sur M i et incliné à 45 : M i L S = 100 mm ; une lentille L 3 convergente de distance focale f 3 : f 3 = 150 mm ; un objet constitué d un réticule mobile R dont la position est mesurable. Lycée Jean Jaurès Montreuil 3

L ensemble (L 2, L 3 ) forme un système afocal (figure 7). 10. (a) Tracer symboliquement sur la figure C (document réponse) le trajet de la lumière issue de R et émergeant de l oculaire. On fera un rayon symbolique horizontale selon l axe optique passant par l oculaire R. (b) L association de la lentille L 2 avec la lame semi-réfléchissante L S, le miroir M i et la lentille L 3 forme un système afocal. Définir la notion de système afocal. (c) Quelle doit être la distance M i O 3 en fonction de f 3, f 2, O 2 L S et M i L S afin de réaliser cette condition? Faire l application numérique. (d) On note R l image de R par l ensemble du système additionnel constitué par L 3, M i, L S et L 2. On sera attentif à l algébrisation de l axe optique et au sens effectif de propagation de la lumière. Établir, en fonction de f 2 et f 3, la relation liant la position F 3R de l objet R par rapport au foyer image de L 3 à celle de son image R donnée par F 2 R. Montrer que f 2 2 2 F 2 R = f 3 F 3 R On utilisera les formules de Newton données dans l énoncé (appelées aussi formule du grandissement). (e) On place l objet R tel que O 3 R = 150 mm comme sur la figure 7. Où se trouve son image O 2 R par le système optique (L 3, M i, L S, L 2 )? (f) Quel est son grandissement transversal? On fera un schéma horizontal avec les lentilles L 2 et L 3 en configuration afocale. On tracera sur ce schéma un rayon qui arrive parallèle à l axe optique à une distance h de cet axe. On utilise une méthode d autocollimation à l aide du miroir plan M 0, placé devant l objectif à la distance O 2 M 0 = O 2 F 2 = 50 mm Attention : la lunette est réglée en frontale fixe comme dans la deuxième partie. On éclaire le réticule R par rapport à la question précédente. Il donne une nouvelle image R par le système optique (L 3, M i, L S, L 2 ). R sert alors d objet au système (miroir M 0, lunette de visée). On obtient une image R que l on désire superposer à l image de R oc par L 1. On observe à travers l oculaire l image nette de 2 réticules (R oc et R ). Lycée Jean Jaurès Montreuil 4

11. (a) Déterminer la position particulière d 0 du réticule R telle que d 0 = F 3R. Exprimer ce résultat en fonction de F 2 A, f 2 et f 3. (b) Question subsidiaire : Montrer que si un miroir plan est reculé d une distance e, l image est reculée de 2e. (c) On éloigne le miroir M 0 de l objectif d une distance e. Sa position M 01 est telle que O 2 M 01 = O 2 F 2 e Afin de préserver une image nette à travers l oculaire, on doit déplacer d une valeur ε 1 le réticule R. La nouvelle position du réticule R est d 1 telle que d 1 = F 3 R 1 = d 0 + ε 1. On a le déplacement ε 1 qui vaut Quel est l intérêt du système étudié? ε 1 = 2 f 3 2 f 2 2 e (d) Que dire du rapport entre les échelles sur les deux réticules? Lycée Jean Jaurès Montreuil 5