Changement de bases. Position du problème On considère un espace vectoriel de dimension, dont on connaît une base,,,. On considère une famille de vecteurs de cet espace vectoriel,,,. ppelle la matrice dont les vecteurs colonnes sont formés par les composantes des vecteurs,, dans la base,,. Par exemple si l'espace vectoriel est de dimension et que l'on a 2 5 2 2 La matrice sera égale à : 2 5 2 2 Nous avons démontré l'an dernier que cette matrice est inversible si et seulement si la famille,, est une base de l'espace vectoriel. La matrice est alors appelée matrice de passage de la base,, à la base,,. 2. Rôle de Reprenons l'exemple précédent. La matrice est inversible et l'on a : 8 29 29 29 7 5 29 29 29 0 29 29 29 Quelle est la signification de cette matrice? On peut formellement écrire : 2 5 2 2 Autrement dit Et donc Ce qui donne On en tire 8 29 7 29 0 29 29 29 5 29 29 29 29
Ce résultat est tout à fait général. En dimension, si l 'on a : La matrice est égale à 8 29 7 29 0 29 29 5 29 29 29 29 29 Ce qui donne Si la matrice est inversible on aura encore Et donc La matrice permet donc d'exprimer les composantes des vecteurs,, dans la nouvelle base,,.. Formule de changement de base. On considère un vecteur s'écrivant dans la base,,. Ce même vecteur s'écrit dans la base,,. Quel lien a-t-on entre les réels,, et les réels,,? Appelons la matrice de passage de,, à,,. Avec les notations de la section précédente, posons. dans la base,,
donc : Donc En pratique, nous connaissons les "anciennes composantes" :,, et nous voulons déterminer les nouvelles (celles que l'on a dans la nouvelle base :,, ). Et donc Synthétisons tout cela. Appelons et. Prenons un exemple. On considère l'espace vectoriel rapporté à la base canonique. On considère les vecteurs,, 2. Montrer que la famille,, est une base de. On considère alors le vecteur 2. Exprimer les composantes de dans la base,,. 2 0 Cette matrice est inversible et l'on a 2 5 2 2. Posons 2.
Donc 2 2 5 2 2 0 2. Changement de bases et endomorphisme On considère un espace vectoriel dont on connaît une base,,. Soit un endomorphisme de et sa matrice dans la base. Les colonnes de la matrice sont donc formées par les composantes des vecteurs,, dans la base. Si est un vecteur de dont l'image est le vecteur de, si l'on associe le vecteur colonne à et le vecteur colonne à, l'égalité se traduit par : Considérons une autre base de,,. Appelons la matrice de l'application dans cette nouvelle base. Les colonnes de la matrice sont formées par les composantes des vecteurs,, exprimées dans la base ', c'est-à-dire en fonction des vecteurs,,. Le même vecteur précédent et son image ont de nouvelles composantes dans la base '. Appelons et les deux vecteurs colonnes formés par les composantes de et de dans la base '. Soit enfin la matrice de passage de à ', c'est-à-dire la matrice dont les colonnes sont formées par les composantes des vecteurs,, dans la base. Nous avons vu que pour, on a De même pour, on aura L'égalité se traduit dans la base ' par : aussi donc pour tout vecteur dont est le vecteur colonne associé : Ce qui conduit à : En reprenant les données de l'exemple précédent, considérons l'endomorphisme de dont la matrice est : 2 2 2 2 5 donc 2 2 2 2 5 Calculons le produit. 2 2 2 2 5 2 2 0 29 98 2 2 5 0
La matrice obtenue est la matrice de l'application dans la base,,. donc 2 29 98 0 Cette matrice n'est pas vraiment plus simple que la matrice, l'intérêt du changement de base n'est pas vraiment évident. Considérons maintenant l'endomorphisme φ dont la matrice dans la base,, est : 0 6 5 0 2 Calculons 0 6 2 2 2 5 5 0 0 2 0 2 0 0 cette fois-ci une matrice bien plus simple. En particulier cette matrice est inversible, ce qui implique que l'application est bijective et comme cette propriété est propre à l'application, elle ne dépend pas de la base dans laquelle on la découvre. Et donc en particulier, cela signifie que la matrice est inversible. Examinons un troisième exemple. Considérons l'endomorphisme de dont la matrice dans la base,, est : 2 5 5 6 0 2 5 5 5 5 5 Dans la base,,, sa matrice sera 2 8 22 5 5 6 2 5 0 2 2 5 5 2 6 0 9 2 5 5 5 5 5 5 5 2 28 5 5 2 Pas vraiment plus simple que. Considérons maintenant les vecteurs, 2, 2. On peut vérifier que cette famille est libre et qu'elle forme donc une base de. La matrice de passage de,, à,, est : 2 2 Elle est inversible et
5 5 0 5 5 La matrice de dans cette base se calcule par : 5 5 5 6 0 0 5 5 5 5 5 2 5 2 0 0 0 2 0 0 5 2 0 0 2 5 Elle est effectivement beaucoup plus simple. On remarque en particulier qu'elle n'est pas inversible et donc que n'est pas une application bijective, ce qui permet d'affirmer que ni, ni ne sont des matrices inversibles. 5. De l'intérêt du changement de bases Changer de bases est couteux en calculs et pas toujours très efficace. Mais si nous reprenons le dernier exemple, quand on aboutit à une matrice diagonale cela vaut le coup. Les matrices sont souvent associées à des graphes probabilistes. Dans une telle situation, la recherche de l'état du système après répétitions, ou plus encore de l'existence possible d'un état stable est d'une grande pertinence. Or ces recherches demandent de connaître la puissance ième de la matrice. Quand on prend 2 5 5 6 0 2 5 5 5 5 5 On sent bien que ne sera pas simple à déterminer. par exemple 5 5 5 2 26, A 2 5 5 9 8 5 5 7 Difficile de prévoir quelle sera la forme de. Mais l'on a vu que 0 0 0 0 0 0 0 2 Avec 2. 2 donc par récurrence 9 5 5 59 5 8 5 8 5 6 5
Or Donc 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 5 2 5 2 2 2 2 8 5 2 2 5 2 5 2 5 2 6. A la recherche de la "bonne base" La méthode indiquée ci-dessus est souvent la seule pour obtenir les puissances successives d'une matrice. Mais dans l'exemple proposé, elle a bien fonctionné parce que l'énoncé a fourni une "bonne base" : la base,,. Un certain nombre de questions se posent alors : Existe-t-il toujours une "bonne base" dans laquelle l'endomorphisme sera associé à une matrice diagonale? Existe-t-il plusieurs matrices diagonales possibles (ce qui changerait fortement les résultats obtenus pour? Comment trouver une telle base si elle existe? Pour essayer de répondre à ces questions, nous allons poser le problème à l'envers et essayer de remonter. Restons dans le cas d'un endomorphisme dans (tout ce que l'on dira se généralise sans difficulté à un endomorphisme dans. Il est associé à une certaine matrice exprimée dans la base canonique par exemple. Nous cherchons une autre base,, dans laquelle la matrice de cet endomorphisme sera diagonale. Elle s'écrira par exemple 0 0 0 0 0 0 Que signifie cette matrice? Les colonnes de cette matrice sont formées des images des vecteurs,, dans la base,,. Ce qui revient à dire que Les trois vecteurs,, et ont une propriété commune : ils sont colinéaires à leurs images par. Cette propriété est visible quand on l'exprime directement dans la base formée par ces trois vecteurs. Mais dépend-elle de la base choisie pour faire les calculs? Etudions cela. Considérons un vecteur qui dans une certaine base remplit l'égalité. Autrement dit si, on aura. Si est la matrice de l'endomorphisme dans cette base et le vecteur colonne associé au vecteur, et le vecteur colonne associé au vecteur, on aura : Changeons de base.
Soit la matrice de dans cette nouvelle base, la matrice de passage de l'ancienne base à la nouvelle, et les matrices colonnes associées à et dans la nouvelle base. donc : La propriété ne dépend pas de la base dans laquelle on l'exprime. Au départ on dispose d'une matrice associée à l'endomorphisme, mais on ne connaît ni,,, ni,,. Par contre on sait que si l'on est capable de trouver un vecteur et un nombre réel tels que cette égalité sera vérifiée dans n'importe quelle base. Nous avons une contrainte sur il faut que ce soit le vecteur d'une base. Il ne peut donc pas être égal au vecteur nul. Comme il est difficile de tout chercher à la fois, on va procéder par ordre. On va commencer par essayer de déterminer les valeurs possibles des réels,,. Pour cela, on cherche s'il existe des nombres réels λ pour lesquels il existerait un vecteur non nul remplissant l'égalité Cette égalité dans la base dans laquelle on travaille s'écrit avec les notations précédentes : Que l'on peut transformer en : Et donc Posons est une matrice que l'on peut associer à un endomorphisme. donc Or résoudre cette équation matricielle revient à chercher les vecteurs du noyau de. Et nous voulons que ce noyau contienne d'autres vecteurs que le vecteur nul (c'est la condition que nous avons imposée à λ). Ce ne sera possible que si la matrice n'est pas inversible. Donc l'espoir de trouver des valeurs de λ qui répondent à notre problème réside dans le fait de trouver des valeurs de λ telles que la matrice ne soit pas inversible. Supposons que nous ayons effectivement trouvé une telle valeur, alors nous savons que le noyau de l'endomorphisme de matrice contient des vecteurs non nuls. Nous pouvons déterminer une base de ce noyau. Et nous aurons ainsi un ou plusieurs vecteurs non nuls qui seront colinéaires à leurs images. 7. Un exemple Considérons l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est : 5 7 2 2 8 7 0
Cherchons les valeurs de (si elles existent) telles que ne soient pas inversibles. 5 λ 7 2 λ 2 8 7 0 On procède par le pivot de Gauss avec toutes les précautions voulues et l'on trouve trois valeurs :,2,. On détermine alors les noyaux des endomorphismes,,. On obtient trois espaces de dimension et donc trois vecteurs,, tels que 2 Ces trois vecteurs sont libres. Ils forment donc une base de. 0 0 Dans cette base la matrice de est : 0 2 0 0 0 Si est la matrice de passage de la base canonique à cette base, on a :